第十八章分式课后提升训练 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十八章分式课后提升训练人教版2025—2026学年八年级上册 一、选择题 1．中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产14nm芯片，14nm等于0.000000014m，数据0.000000014可用科学记数法表示为（　　） A．﹣1.4×108 B．1.4×10﹣8 C．﹣14×109 D．14×10﹣9 2．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 3．水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 4．将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍 5．分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 6．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．7或﹣7 D．0 7．对于正整数x，使分式的值是一个整数，则x可能取值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．已知x2﹣3x+2＝0，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠﹣4 D．a＜2且a≠﹣4 10，如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 二、填空题 11．要使分式有意义，则x的取值范围是　 ． 12．已知，则 　　 ． 13．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是　 ． 14．关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 　 　 ． 三、解答题 15．先化简：，再从2、﹣2、1、﹣1四个数中选择一个合适的数代入求值． 16．解分式方程： （1）； （2）． 17．某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，则m＝　 　 ； （2）若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 19．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A，B，A﹣B（）2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M，N（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 20．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．①[3，﹣5]（　 　 ）；②[1，﹣2]（　 　 ）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对[2m+k，﹣k]（，且m≠0，k≠﹣1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 参考答案 一、选择题 1．中国在芯片领域取得了显著成就，华为的麒麟9000芯片采用5纳米工艺制造，中芯国际在芯片制造技术上不断突破，已量产14nm芯片，14nm等于0.000000014m，数据0.000000014可用科学记数法表示为（　　） A．﹣1.4×108 B．1.4×10﹣8 C．﹣14×109 D．14×10﹣9 【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8． 故选：B． 2．下列分式是最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项不符合题意； 是最简分式，故D选项符合题意， 故选：D． 3．水果店老板用3000元购进了一批杨梅，以高于进价40%的价格卖出，销售收入为3500元时店里还剩25千克杨梅．问这批杨梅进价为多少元/千克？设这批杨梅进价为x元/千克，由题意列方程得（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵这批杨梅的进价为x元/千克，且以高于进价40%的价格卖出， ∴这批杨梅的售价为（1+40%）x＝1.4x元/千克． 根据题意得：25． 故选：A． 4．将分式中的a、b都扩大为原来的3倍，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的3倍 C．扩大为原来的6倍 D．扩大为原来的9倍 【解答】解：将原分式中的a（a≠0），b（b≠0）都扩大为原来的3倍可得：， ∴新分式的值扩大为原来的3倍， 故选：B． 5．分式方程的解是（　　） A． B． C．2 D．3 【解答】解：， x+5＝5x， x﹣5x＝﹣5， ﹣4x＝﹣5， 解得：， 检验，当时，x（x+5）≠0， ∴是原方程的解． 故选：B． 6．若分式的值为0，则x的值为（　　） A．7 B．﹣7 C．7或﹣7 D．0 【解答】解：根据题意可知，x2﹣49＝0，且x﹣7≠0， 解得：x＝±7，且x≠7， ∴x＝﹣7， 故选：B． 7．对于正整数x，使分式的值是一个整数，则x可能取值的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：2， ∵分式的值是一个整数， ∴x+1＝±4或x+1＝±2或x+1＝±1， 解得x＝3或x＝﹣5或x＝1或x＝﹣3或x＝0或x＝﹣2， ∵x是正整数， ∴x＝3或x＝1， 故x可能取值的个数是2个， 故选：B． 8．已知x2﹣3x+2＝0，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：∵x≠0， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 9．已知关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（　　） A．a≤2 B．a＜2 C．a≤2且a≠﹣4 D．a＜2且a≠﹣4 【解答】解：分式方程去分母得：2x+a＝﹣x+2， 移项合并得：3x＝2﹣a， 解得：x， ∵分式方程的解为非负数， ∴0，且2， 解得：a≤2，且a≠﹣4． 故选：C． 10，如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 ,【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A． 二、填空题 11．要使分式有意义，则x的取值范围是　x≠2025　 ． 【解答】解：要使分式有意义， 则x﹣2025≠0， 解得x≠2025， 故答案为：x≠2025． 12．已知，则 　　 ． 【解答】解：∵， ， ， ∴， ∴ ， 故答案为：． 13．关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是　m≥﹣3且m≠﹣1　 ． 【解答】解：， m﹣3（x﹣1）＝﹣x， m﹣3x+3＝﹣x， ∴， 由题意可知且， 解得m≥﹣3且m≠﹣1， 故答案为：m≥﹣3且m≠﹣1． 14．关于x的一元一次不等式组有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数m的和为 　﹣1　 ． 【解答】解：解不等式组得， x≤4， ∵该不等式组有解且最多有3个整数解， ∴其整数解为2，3，4， ∴14， 解得﹣5＜m≤1， 解分式方程得， y， 由题意得m﹣1≠0且1， 解得m≠1且m≠﹣3， 由题意得， 当4时，解得m＝0； 当2时，解得m＝﹣1； 当1时，解得m＝﹣3（舍去）； 当1时，解得m＝5（舍去）； 当2时，解得m＝3（舍去）； 当4时，解得m＝2（舍去）， ∴m＝0或m＝﹣1， ∴符合条件的所有整数m的和为：0﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 三、解答题 15．先化简：，再从2、﹣2、1、﹣1四个数中选择一个合适的数代入求值． 【解答】解：原式 ＝原式• ， ∵a+2≠0且a﹣2≠0且a+1≠0， ∴a可以取1， 当a＝1时，原式． 16．解分式方程： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原方程去分母得：3x+8＝x﹣4， 解得：x＝﹣6， 检验：当x＝﹣6时，x﹣4≠0， 故原方程的解为x＝﹣6； （2）原方程去分母得：3（x﹣1）+2（x+1）＝4， 整理得：5x﹣1＝4， 解得：x＝1， 检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0， 则x＝1是分式方程的增根， 故原方程无解． 17．某学校欲购买A，B两种型号拖把．其中A型拖把的单价比B型拖把的单价少9元，且用3120元购买A型拖把的数量与用4200元购买B型拖把的数量相等． （1）求A、B型拖把的单价分别是多少元？ （2）若购买两种拖把共200个，且购买A型拖把的数量不超过B型拖把数量的，如何购买，才能使购买总费用最低？最低是多少元？ 【解答】解：（1）设该企业购买的B型拖把的单价为x元，则A型拖把的单价为（x﹣9）元， 根据题意得， 解得：x＝35， 经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意． ∴x﹣9＝26． 答：A型拖把的单价为26元，B型拖把的单价为35元； （2）设购买a把A型拖把，则购买（200﹣a）把B型拖把， 依题意得：a（200﹣a）， 解得：a≤50， 设总费用为y元， 则y＝26a+35（200﹣a）＝﹣9a+7000， ∵﹣9＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当a＝50时，y的最小值＝﹣9×50+7000＝6550（元）， 此时200﹣a＝200﹣50＝150． 答：当购买A型拖把50把，B型拖把150把时，总费用最低，最低为6550元． 18．已知关于x的分式方程． （1）若分式方程有增根，则m＝　﹣1　 ； （2）若分式方程的解为非负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵， ∴x﹣2（x﹣1）＝﹣m， ∴x＝m+2， ∵原分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， ∴x＝1， 把x＝1代入x＝m+2， 得1＝m+2， m＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）由（1）得x＝m+2， 由分式方程有解且解为非负数，x≠1且x≥0， 即：m+2≠1且m+2≥0， 即：m≥﹣2且m≠﹣1． 19．我们定义：如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，则称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 如分式A，B，A﹣B（）2，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式C，D，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请证明并求出C关于D的“雅中值”； （2）已知分式P，Q，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，x为整数，且“雅中式”P的值也为整数，求E所代表的代数式及所有符合条件的x的值之和； （3）已知分式M，N（a，b，c为整数），M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1，求a﹣b+c的值． 【解答】（1）C不是D的“雅中式”，理由如下， ． 即：C不是D的“雅中式”． （2）． ∵P是Q的雅中式． 又∵P关于Q的雅中值为2． ∴E﹣2x2﹣6x＝2（9﹣x2）． ∴E＝6x+18． ∴P． ∵P的值也为整数，且分式有意义． 故3﹣x＝±1，或3﹣x＝±2，或3﹣x＝±3，或3﹣x＝±6且x≠﹣3， ∴x的值为：0，1，2，4，5，6，9． 符合条件的x的值之和为：0+1+2+4+5+6+9＝27． （3）∵M是N的“雅中式”，且M关于N的“雅中值”是1． 1． 整理得：（﹣b﹣c+a+4）x+bc﹣5a＝0． 由上式子恒成立，则：． 消去a得：bc﹣5b﹣5c+20＝0． ∴b（c﹣5）﹣5（c﹣5）＝5． ∴b（c﹣5）＝5（c﹣4）， ∴b， ∵a、b、c的整数． ∴c﹣4、c﹣5是连续整数． 当c﹣4＝2、c﹣5＝1时，b＝10，c＝6，a＝12 ∴a﹣b+c＝8． 当c﹣4＝0、c﹣5＝﹣1时，c＝4，b＝0，a＝0． ∴a﹣b+c＝4． 当c﹣4＝4，c﹣5＝5时，c＝10，b＝6，a＝12， ∴a﹣b+c＝16． 当c﹣4＝﹣4，c﹣5＝﹣5时，c＝0，b＝4，a＝0， ∴a﹣b+c＝﹣4 综上：a﹣b+c的值为：8或4或16或﹣4． 20．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对[a，b]称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：a＝2，b＝﹣5使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对[2，﹣5]就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“√”；若不是，打“×”．①[3，﹣5]（　√　 ）；②[1，﹣2]（　×　 ）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）若数对[2m+k，﹣k]（，且m≠0，k≠﹣1）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数m的值． 【解答】解：（1）当a＝3，b＝﹣5时， 分式方程，解得， ∵， ∴①的答案是√； 当a＝1，b＝﹣2时， 分式方程，解得， ∵， ∴②的答案是×； 故答案为：√；×； （2）∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴a＝﹣n，， ∴，解得， ∵， ∴， 解得n＝3； （3）∵数对[2m+k，﹣k]是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴a＝2m+k，b＝﹣k， ∵k≠﹣1，m≠0， ∴，， ∵， ∴， 当时，解得， 将化简得：（2m﹣1）2x＝（1﹣2m）（1+2m）， ∵， 解得， ∵关于x的方程有整数解，且m为整数， ∴2m﹣1＝±1或±2， 即2m﹣1＝﹣1或2m﹣1＝1或2m﹣1＝﹣2或2m﹣1＝2， 解得m＝0或m＝1或（不是整数，舍去）或（不是整数，舍去）， ∵m≠0， ∴m＝1． 学科网（北京）股份有限公司 $$