5.3 二元一次方程组的应用 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

《孙子算经》中有一个“雉免同笼”问题:今有雉（鸡）免同笼,上有三十五头，下有九十四足，问雉免各几何？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程解决这个有趣的问题吗？你是怎么做的？与同伴进行交流。 设笼中有鸡x只、兔y只，根据以上分析，得方程组 x+y=35， 2x+4y=94。 解这个方程组，得 x=23, y=12。 所以,笼中有鸡23只、兔12只。 你能用一元一次方程或小学的算术方法求解这个问题吗？ 列方程组求解下面的问题: 若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍；若乙从甲处得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币？（选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》） 尝试•思考 解：设甲原来拥有x个钱币，乙原来拥有y个钱币。 根据题意，可列方程组 x+7=5（y-7）， y+5=7（x-5） 解这个方程组，得 x=7， y=9。 所以，甲原来拥有7个钱币，乙原来拥有9个钱币。 尝试•思考 例1.今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱5倍。乙得甲十钱,适等。问甲、乙怀钱各几何？（选自《张丘建算经》） 例1.题目大意:甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱，那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍；如果乙得到甲的10钱，那么两人钱数相等。甲 乙两人各带了多少钱？ 解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据题意，得 x+10=6（y-10），解这个方程组，得 x=38， x-10=y+10。 y=18。 所以，甲带了38钱，乙带了18钱。 列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？与同伴进行交流。 思考•交流 1.区别 未知数的个数:列一元一次方程解决问题时，设一个未知数，列二元一次方程组解决问题时，设两个未知数。 方程的个数:列一元一次方程解决问题时，列一个方程，列二元一次方程组解决问题时，列两个方程。 解题的思路:列一元一次方程解决问题时，需找一个等量关系，列二元一次方程组解决问需找两个等量关系。 思考•交流 2.联系 解题的步骤:列一元一次方程解决问题和列二元一次方程组解决问题的步骤都是:审题、设未知数、列方程(组)、解方程(组)、检验、作答。 解题的方法：列一元一次方程解决问题和列二元一次方程组解决问题的方法都是：通过设未知数，将实际问题转化为数学问题，然后通过解方程(组)来求解。 思考•交流 1.列方程组求解古算题： 今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？(选自《九章算术》） 题目大意：5头牛、2只羊共值10两“金”；2头牛、5只羊共值8两“金”。每头牛、每只羊各值多少“金”？ 1.解：设每头牛值x两“金”，每只羊值y两“金”。 根据题意，可列方程组 5x+2y=10， 2x+5y=8。 解得 x= ， y= 。 答：每头牛值 两“金”，每只羊值 两“金”。 某工厂去年的利润（总收入一总支出)为200万元。今年的总收人比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%,今年的利润为780万元。去年的总收人、总支出各是多少万元？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。 设去年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有 200 （1+20%）x （1-10%）y 780 根据上表，可列出方程组______________________。 解这个方程组，得________________。 因此，去年的总收入是_______。总支出是________。 x-y=200 根据上表，可列出方程组（1+20%）x-（1-10%）y=780。 x=2000， 解这个方程组，得 y=1800。 因此，去年的总收入是2000万元。总支出是1800万元。 例2.医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质， 每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要? 例2.分析：设每餐用甲原料xg、乙原料g，则有 x 0.5x 0.4y 0.7y 35 40 例2.解：设每餐用甲原料xg、乙原料yg，根据题意，得 0.5x+0.7y=35， x+0.4y=40。 解这个方程组，得 x=28, y=30。 所以，每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。 1.一、二两班共有100名学生，他们的体育达标率（达到标准的百分率）为81%。如果一班学生的体育达标率为87.5%,二班学生的体育达标率为75%，那么一、二两班各有多少名学生？ 1.设一班有x名学生，二班有y名学生，填写下表并求出x,y的值。 x y 100 87.5%x 75%y 100×81% 根据题意，得 x+y=100， 87.5%x+75%y=100×81%。 解得 x=48， y=52。 答：一班有48名学生，二班有52名学生。 2.甲、乙两人从相距 36 km的两地相向而行。如果甲先走2h，那么他们在乙出发2.5h时相遇；如果乙先走2h,那么他们在甲出发3h时相遇。甲、乙两人的速度各是多少？ 1.设甲、乙两人的速度分别是xkm/h，ykm/h,填写下表并求x，y的值。 （2+2.5）x 2.5y 36 3x （2+3）y 36 根据题意，得 （2+2.5）x+2.5y=36， 3x+（2+3）y=36。 解得 x=6， y=3.6。 答：甲、乙两人的速度分别是6km/h，3.6km/h。 如图（单位：cm)，8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）你能列方程组解决这个问题吗？ （1）这个问题涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 涉及的量有：小长方形的长和宽，大长方形的长和宽 等量关系有:小长方形的宽+小长方形的长=大长方形的宽，小长方形的长十小长方形的长=大长方形的长。 （2）你能列方程组解决这个问题吗？ 设每块小长方形墙砖的长是x cm，宽是y cm； 根据图形，得 x十y=40，解得 x=30m， x=3y。 y=10m。 答：每块小长方形墙砖的长是30m，宽是10m。 例3.火车以40 m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时30 s,其中火车全身都在隧道里的时间是20s,求隧道和火车的长度。 分析:本题涉及哪些量？你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”的过程吗？这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长度之间 有什么关系？ 例3.解:“从车头进人隧道到车尾驶出隧道”，“火车全身都在隧道里”的过程可以分别用下图表示。 例3.设隧道的长度为x m，火车的长度为y m，根据题意，得 x+y=40×30， x-y=40×20。 解这个方程组，得 x=1000， y=200。 所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200m。 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交流。 思考•交流 1、审题；2、找出两个等量关系式；3、设两个未知数并列出方程组；4、解方程组并求出相关的量。 1.由甲地到乙地的公路全程为200km，其中一段为高速公路，其余路段均为普通公路。已知汽车在普通公路和高速公路上的行驶速度分别是60 km/h和 100 km/h,从甲地到乙地用时3h，汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少千米？ 1.解：设汽车在普通公路上行驶了x km，在高速公路上行驶了y km。 依题意，得 x+y=200， 。 解得 x=150， y=50。 答：汽车在普通公路上行驶了150km，在高速公路上行驶了50km。 1、利用表格梳理题目中的关键信息，是一种常用的方法。 2、利用线段图梳理题目中的关键信息，也是一种常用的方法。 作业一：习题5.3 作业二：导学案 作业三：对下一节课进行预习 $$