学易金卷：八年级数学上学期第一次月考（冀教版2024八上第12～13章）

11 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八上第十二章~第十三章。 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A． ①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2.如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 4．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　） 姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式都是分式（×） ②当y≠2时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则x＝±3（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 6．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝1或a＝2 D．a＝1或a＝﹣1 7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．对于正数x，规定f（x），例如f（3），f（），计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）+f（2014）的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 11．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13.下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的是 . 14．如图，若，且，，则 ． 15．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天可列分式方程　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　 s时，CF＝AB． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(7分)计算： （1）； （2） ． 18．(8分)如图，AE∥BC，AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．求证：△EFA≌△ABC． 19．(8分)下面是小明同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 任务一：①解答过程中，第　 　 步开始出现了错误，产生错误的原因是　 　 ； ②第③步变形的依据是　 　 ． 任务二：该分式方程的解是　 　 ，并且写出正确的解答过程. 20．(8分)小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1（xy≠0），求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：∵1，∴1，∴y﹣x＝xy，∴x﹣y＝﹣xy， ∴原式4． 方法2：∵xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得 原式⋯ （1）“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是　 　 ； （2）请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 21．（9分）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 22．(9分)某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表： 进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套） 茶壶 24 a 55 茶杯 4 a﹣30 备注：（1）一个茶壶和四个茶杯配成一套（如图）； （2）利润＝（售价﹣进价）×数量 （1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个？ （2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同． ①求表中a的值． ②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套？ 23．(11分)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 　 　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，则EP的取值范围是 　 　 ． A.6＜EP＜8 B.6≤EP≤8 C.1＜EP＜7 D.1≤EP≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 24．(12分)如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 试题 第1页（共4页 ） 试题 第2页（共4页 ） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八上第十二章~第十三章。 一．选择题（共12小题） 1．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A．①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 【答案】D 【详解】解：图③和④是全等形． 故选：D 2.如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 【答案】D 【详解】解：作图痕迹中，弧是以点E为圆心，为半径的弧． 故选：D． 3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 【答案】B 【详解】解：由题意可得， 未知数x表示的意义是蒸发掉的水量， 故选：B． 4．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　） 姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式都是分式（×） ②当y≠2时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则x＝±3（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 【答案】B 【详解】解：①代数式是整式，是分式，本小题判断正确，+20分； ②当y≠2时，y﹣2≠0，则分式有意义，本小题判断正确，+20分； ③若分式的值为0，则x＝﹣3，故本小题判断错误，不得分； ∴式子从左到右变形错误，故本小题判断错误，不得分； ⑤分式是最简分式，本小题判断正确，+20分； 则他的得分应是60分， 故选：B． 5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 【答案】C 【详解】解：乙的分子由2﹣x变成了x﹣2，也就是分子乘了﹣1， 而分母和分式本身的符号并没有发生变化， 所以乙有错误． 故选：C． 6．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝1或a＝2 D．a＝1或a＝﹣1 【答案】D 【详解】解：原方程去分母得x﹣a＝ax+a， 整理得：（1﹣a）x＝2a， 当1﹣a＝0，a＝1时， 0x＝2无解，则原分式方程无解，符合题意， 当a≠1时， 若原方程无解，那么它有增根x＝﹣1， 则﹣（1﹣a）＝2a， 解得：a＝﹣1， 综上，a＝1或a＝﹣1， 故选：D． 7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【详解】解：根据调和数的定义可列分式方程得： ， 整理得，2x＝40， 解得x＝20， 经检验：x＝20是分式方程的解． 所以x的值为20， 故选：D． 8．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵△ABC≌△ADE，∠CAE＝90°，AB＝2， ∴AD＝AB＝2，∠BAC＝∠DAE，S△ABC＝S△ADE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝90°， 又∵S△ABC＝S△ADE， ∴S阴影， 故选：B． 9．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：原式 ， 则A+B+C＝1，3A+2B+C＝0，2A＝2， 解得：A＝1，B＝﹣3，C＝3， 则A+B+2C＝1﹣3+6＝4， 故选：D． 10．对于正数x，规定f（x），例如f（3），f（），计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）+f（2014）的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 【答案】B 【详解】解：根据题意得：f（x）+f（）1，f（1）， 则原式＝[f（）+f（2014）]+[f（）+f（2013）]+…+[f（）+f（2）]+f（1） ＝1+1+…+1 ＝2013.5． 故选：B． 11．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【详解】解：当点P在AC上，点Q在CE上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝8﹣3t，∴t＝1， 当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等， ∴PC＝CQ，∴7﹣2t＝3t﹣8， ∴t＝3， 综上所述：t的值为1或3． 故选：B． 12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中，， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中，， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13.下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的是 . 【答案】①②④ 【详解】解：①有一个角为的等腰三角形是等边三角形，故①正确； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形，故②正确； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故③错误； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故④正确， 即正确的命题有3个． 故答案是：①②④． 14．如图，若，且，，则 ． 【答案】/35度 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天可列分式方程　2　 ． 答案为：2． 【详解】解：∵慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且规定的时间为x天， ∴慢马所用时间为（x+1）天，快马所用时间为（x﹣3）天． 根据题意得：2． 故答案为：2． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　2或5　 s时，CF＝AB． 答案为：2或5 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠CBD＝90°， ∵CD为AB边上的高，∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠CBD＝90°，∴∠A＝∠BCD， ∵∠BCD＝∠ECF，∴∠ECF＝∠A， ∵过点E作BC的垂线交直线CD于点F， ∴∠CEF＝90°＝∠ACB， 在△CEF和△ACB中，， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE＝AC＝7cm， ①如图，当点E在射线BC上移动时，BE＝CE+BC＝7+3＝10（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：5（s）； ②当点E在射线CB上移动时，CE′＝AC﹣BC＝7﹣3＝4（cm）， ∵点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动， ∴E移动了：2（s）； 综上所述，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF＝AB； 故答案为：2或5． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）计算： （1）； （2）． （2）3m﹣2n＝x，分式化为，然后通分计算即可． 【详解】解：（1） ；.....................................................................................................................................................3分 （2） 设3m﹣2n＝x， 则原式 ．....................................................................................................................7分 18．（8分）如图，AE∥BC，AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．求证：△EFA≌△ABC． 【详解】证明：∵AE∥BC， ∴∠EAF＝∠C，.........................................................................................................................................3分 在△EFA和△ABC中， ，.......................................................................................................................................7分 ∴△EFA≌△ABC（AAS）．......................................................................................................................8分 19．（8分）下面是小明同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 任务一：①解答过程中，第　①　 步开始出现了错误，产生错误的原因是　去分母时，2没有乘最简公分母　 ； ②第③步变形的依据是　等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立　 ． 任务二：该分式方程的解是　x＝﹣6　 ． 【详解】解：任务一：①由解方程的步骤可得第①步开始出现了错误，产生错误的原因是去分母时，2没有乘最简公分母， 故答案为：①；去分母时，2没有乘最简公分母；...........................................................................2分 ②由解方程的步骤可得第③步变形的依据是等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立， 故答案为：等式的性质：等式的两边加上（或减去）同一个数或式子，等式仍然成立；............3分 任务二：答案为：x＝﹣6.......................................................................................................................4分 正确的解答过程是: 原方程去分母得：2x+3﹣2（x﹣2）＝﹣（x﹣1）， 去括号得：2x+3﹣2x+4＝﹣x+1， 移项得：2x﹣2x+x＝1﹣3﹣4， 合并同类项得：x＝﹣6，........................................................................................................................7分 经检验，x＝﹣6是原分式方程的解，..................................................................................................8分 20．（8分）小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1（xy≠0），求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：∵1，∴1，∴y﹣x＝xy，∴x﹣y＝﹣xy， ∴原式4． 方法2：∵xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得 原式⋯ （1）“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是　分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变　 ； （2）请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 【详解】解：（1）由“方法1”中的解题步骤可得其数学依据是分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变， 故答案为：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变；.............2分 （2）原式 ，...........................................................................................................................................5分 ∵， ∴原式．............................................................................................................................8分 21．（9分）（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 【详解】（1）解： ， ， ．.......................................................................................................................................4分 （2）， ， ， ， ..............................................................................................................8分 即池塘的宽度为．.......................................................................................................................9分 22．（9分）某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表： 进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套） 茶壶 24 a 55 茶杯 4 a﹣30 备注：（1）一个茶壶和四个茶杯配成一套（如图）； （2）利润＝（售价﹣进价）×数量 （1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个？ （2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同． ①求表中a的值． ②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套？ 【详解】解：（1）设购进茶壶x个，茶杯y个，可得：， 解得：， 答：购进茶壶30个，茶杯170个；.....................................................................................................3分 （2）①由题意得：， 解得：a＝36， 经检验，a＝36是分式方程的解．..........................................................................................................6分 ②设成套销售了m套，根据题意可得： （55﹣24﹣4×4）m+（36﹣24）（20﹣m）+（6﹣4）（100﹣4m）＝365， 解得：m＝15， 答：成套销售了15套．...........................................................................................................................9分 23．（11分）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 　B　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，则EP的取值范围是 　C　 ． A.6＜EP＜8 B.6≤EP≤8 C.1＜EP＜7 D.1≤EP≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 【详解】（1）解：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是△ABC的中线， ∴CD＝BD， 在△ADC和△EDB中， ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选：B；..................................................................................................................................................2分 （2）解：延长EP到H，使HP＝EP，连接HF，如图2所示： ∴EH＝HP+EP＝2EP， 同（1）证明：△EPD≌△HPF（SAS）， ∴ED＝HF， ∵EF＝8，DE＝6， ∴HF＝DE＝6， 在△EFH中，由三角形三边之间的关系得：EF﹣HF＜EH＜EF+HF， ∴8﹣6＜2EP＜8+6， ∴2＜2EP＜14， ∴1＜EP＜7， 故选：C；...........................................................................................................................................4分 （3）证明：延长FD到K，使DK＝DF，连接BK，FK，如图3所示： ∵DE⊥DF， ∴， 在△EDK和△EDF中，， ∴△EDK≌△EDF（SAS），..............................................................................................................6分 ∴EK＝EF， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△BDK和△CDF中，， ∴△BDK≌△CDF（SAS），........................................................................................................................9分 ∴BK＝CF， 在△BEK中，由三角形三边之间的关系得：BE+BK＞EK， ∵EK＝EF，BK＝CF， ∴BE+CF＞EF．................................................................................................................................11分 24．（12分）如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【详解】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s， ∴AP＝3cm，BQ＝3cm，∴AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm，∴BP＝AB﹣AP＝7cm， 又∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中，， ∴△ACP≌△BPQ（SAS），...............................................................................................................3分 ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ；.........................................................................................................................................6分 （2）依题意得：AP＝3t cm，BQ＝xt cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA，.....................................................................................................7分 ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， 由AC＝BP，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1，...............................................................................................................................................9分 ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：7＝xt， ∴， 解得：x，..........................................................................................................................................11分 综上所述：x的值是3或cm/s．..........................................................................................................12分 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$null 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：冀教版2024八上第十二章~第十三章。 一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列四个图形中，有两个是全等形，它们是（    ） A． ①和② B．①和③ C．②和④ D．③和④ 2.如图， 点C在的边上， 用尺规作出了， 作图痕迹中， 弧是（    ） A．以点C为圆心，为半径的弧 B．以点C为圆心，为半径的弧 C．以点E为圆心，为半径的弧 D．以点E为圆心，为半径的弧 3．实验室的一个容器内盛有150克食盐水，其中含盐10克．如何处理能将该容器内食盐水含盐的百分比提高到原来的3倍．晓华根据这一情景中的数量关系列出方程，则未知数x表示的意义是（　　） A．增加的水量 B．蒸发掉的水量 C．加入的食盐量 D．减少的食盐量 4．下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（　　） 姓名：李明班级：八（2）班得分：_____（每小题20分） 判断题，对的打“√”，错的打“×” ①代数式都是分式（×） ②当y≠2时，分式有意义（√） ③若分式的值为0，则x＝±3（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√） A．40 B．60 C．80 D．100 5．某数学老师在课堂上设计了一个接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将计算结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示．对于三个人的接力过程判断正确的是（　　） A．三个人都正确 B．甲有错误 C．乙有错误 D．丙有错误 6．若关于x的分式方程无解，则a的值为（　　） A．a＝1 B．a＝2 C．a＝1或a＝2 D．a＝1或a＝﹣1 7．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（x＞8），则x的值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，△ABC≌△ADE，连接BD，若∠CAE＝90°，AB＝2，则图中阴影部分的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．若（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．对于正数x，规定f（x），例如f（3），f（），计算f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）+f（2013）+f（2014）的结果是（　　） A．2013 B．2013.5 C．2014 D．2014.5 11．如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，∠ACE＝90°，且AC＝7cm，CE＝8cm，点P从点A开始以2cm/s速度沿AC向终点C运动，同时点Q以3cm/s的速度从点E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作BD的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为t s，当以P、C、M三点为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13.下列命题： ①有一个角为的等腰三角形是等边三角形； ②等腰直角三角形一定是轴对称图形； ③有一条直角边对应相等的两个直角三角形全等； ④到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 其中正确的是 . 14．如图，若，且，，则 ． 15．《九章算术》中记录有这样一道题：今有驿使乘快马、慢马行九百里．慢马较限期多一日，快马较限期少三日，且快马之速为慢马二倍．问限期几何？原题译成白话文：现在有驿使骑着快马和慢马行进九百里，慢马比规定时间多用1天，快马比规定时间少用3天，且快马的速度是慢马的2倍．问规定的时间是多少天？设规定的时间为x天可列分式方程　 　 ． 16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F，当点E运动 　 　 s时，CF＝AB． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．(7分)计算： （1）； （2）． 18．(8分)如图，AE∥BC，AE＝AC，∠EFA＝∠ABC．求证：△EFA≌△ABC． 19．(8分)下面是小明同学解分式方程：“”的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：去分母得：2x+3﹣2＝﹣（x﹣1）…① 去括号得：2x+3﹣2＝﹣x+1…②， 移项得：2x+x＝1+2﹣3…③． 合并同类项得：3x＝0…④， 系数化为1得：x＝0…⑤ 经检验，x＝0是原分式方程的解． 任务一：①解答过程中，第　 　 步开始出现了错误，产生错误的原因是　 　 ； ②第③步变形的依据是　 　 ． 任务二：该分式方程的解是　 　 ，并且写出正确的解答过程. 20．(8分)小明在一本数学课外书上看到这样一道题：已知1（xy≠0），求分式的值．该题没有给出x，y的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法1：∵1，∴1，∴y﹣x＝xy，∴x﹣y＝﹣xy， ∴原式4． 方法2：∵xy≠0，将分式的分子、分母同时除以xy，得 原式⋯ （1）“方法1”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是　 　 ； （2）请你将“方法2”中剩余的解题过程补充完整． 21．（9分）如图，为了测量一个池塘的宽度，嘉嘉在池塘的两边各取点B，E，使得点B，F，C，E在同一条直线上，然后在直线的两侧分别取点A，D，使得，测得．若． (1)求证：； (2)求池塘的宽度． 22．(9分)某商店购进某种茶壶、茶杯共200个进行销售，其中茶杯的数量是茶壶数量的5倍还多20个．销售方式有两种：（1）单个销售；（2）成套销售．相关信息如下表： 进价（元/个） 单个售价（元/个） 成套售价（元/套） 茶壶 24 a 55 茶杯 4 a﹣30 备注：（1）一个茶壶和四个茶杯配成一套（如图）； （2）利润＝（售价﹣进价）×数量 （1）该商店购进茶壶和茶杯各有多少个？ （2）已知甲顾客花180元购买的茶壶数量与乙顾客花30元购买的茶杯数量相同． ①求表中a的值． ②当该商店还剩下20个茶壶和100个茶杯时，商店将这些茶壶和茶杯中的一部分按成套销售，其余按单个销售，这120个茶壶和茶杯全部售出后所得的利润为365元．问成套销售了多少套？ 23．(11分)某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 （1）如图1，AD是△ABC的中线，且AB＞AC，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE，可证得△ADC≌△EDB，其中判定两个三角形全等的依据为 　 　 ． A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 【变式与应用】 （2）如图2，EP是△DEF的中线，若EF＝8，DE＝6，则EP的取值范围是 　 　 ． A.6＜EP＜8 B.6≤EP≤8 C.1＜EP＜7 D.1≤EP≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中． 【拓展与延伸】 （3）如图3，AD是△ABC的中线，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF．试说明：BE+CF＞EF． 24．(12分)如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． / / 学科网（北京）股份有限公司 $$1 2025-2026学年八年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 第Ⅰ卷(请用 2B铅笔填涂) 第Ⅱ卷 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（每小题 3分，共 12分） 13._________________ 14．___________________ 15.__________________ 16．__________________ 一、选择题（每小题 3分，共 36分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、（本大题共 8个小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 18. （8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （8分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（9分） 22.（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23. （11分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24. （12分）