第23讲 三角函数的图象与性质讲义-2026届高三数学一轮复习

第23讲　三角函数的图象与性质 一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).  (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).  2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义 域 R R 值域 　　　  　　　  　　　  周期 2π 2π π 奇偶 性 　　　  　　　  奇函数 在上单调递增;在　　　  　　　　上单调递减  在[2kπ,2kπ+π]上单调递减;在　　　  　　　上单调递增  在上单调递增 零点 kπ +kπ kπ 对称 轴 x=kπ+ 　　　  无 对称 中心 　　  二、核心原则‌ 1、‌图象特征‌ （1）‌基本图象‌：掌握正弦、余弦、正切函数的图象特征（周期性、对称性、渐近线）。 （2）‌变换规律‌：理解振幅（A）、周期（T=2π/ω）、相位（φ）对图象的影响（平移、伸缩）。 2、‌性质体系‌ （1）‌定义域与值域‌： （2）‌周期性‌： （3）‌对称性‌： 正弦曲线关于原点对称（奇函数），余弦曲线关于y轴对称（偶函数）。 （5）‌单调性‌： 3、‌解题思想‌ （1）‌整体代换‌：将ωx+φ视为整体分析性质（如单调区间、对称轴）。 （2）‌数形结合‌：通过图象辅助求解零点、最值等问题。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：图象识别与变换‌ ‌策略‌：根据函数式确定振幅、周期、相位，对比图象特征。 【例1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． ‌题型2：定义域与值域问题‌ ‌策略‌：（1）‌定义域‌：正切函数注意分母不为零；复合函数需满足内层函数定义域。 （2）‌值域‌： 【例2】设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D．. ‌题型3：周期性、对称性与奇偶性‌ ‌策略‌：（1）‌周期‌：（2）‌对称性‌：（3）‌奇偶性‌： 【例3】若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． ‌题型4：单调性与参数范围‌ ‌策略‌：（1）‌单调区间‌：解不等式求递增/递减区间（注意ω的符号）。 （2）‌参数范围‌：根据单调性列不等式（如f'(x)≥0恒成立）。 结合图象分析边界条件（如区间端点值）。 【例4】已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 ‌题型5：零点与综合应用‌ ‌策略‌：（1）‌零点问题‌：转化为方程sin(ωx+φ)=k，结合图象求交点个数。 （2）‌综合题‌：多性质联动（如对称性+周期性简化计算）。 实际应用题（如建模后求最值）。 【例5】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 四、典例欣赏 【例5】已知ω>0,函数f(x)=sin在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是 ( )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D.(0,2] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第23讲　三角函数的图象与性质 一、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).  (2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).  2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z) 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义 域 R R 值域 　　　  　　　  　　　  周期 2π 2π π 奇偶 性 　　　  　　　  奇函数 在上单调递增;在　　　  　　　　上单调递减  在[2kπ,2kπ+π]上单调递减;在　　　  　　　上单调递增  在上单调递增 零点 kπ +kπ kπ 对称 轴 x=kπ+ 　　　  无 对称 中心 　　  二、核心原则‌ 1、‌图象特征‌ （1）‌基本图象‌：掌握正弦、余弦、正切函数的图象特征（周期性、对称性、渐近线）。 （2）‌变换规律‌：理解振幅（A）、周期（T=2π/ω）、相位（φ）对图象的影响（平移、伸缩）。 2、‌性质体系‌ （1）‌定义域与值域‌： （2）‌周期性‌： （3）‌对称性‌： 正弦曲线关于原点对称（奇函数），余弦曲线关于y轴对称（偶函数）。 （5）‌单调性‌： 3、‌解题思想‌ （1）‌整体代换‌：将ωx+φ视为整体分析性质（如单调区间、对称轴）。 （2）‌数形结合‌：通过图象辅助求解零点、最值等问题。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：图象识别与变换‌ ‌策略‌：根据函数式确定振幅、周期、相位，对比图象特征。 【例1】函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【详解】从四个选项中可以看出，函数奇偶性、函数值的正负无法排除任意选项， 但满足 ， 因此的图象关于直线对称，可排除AB， 又，排除D，故选：C. ‌题型2：定义域与值域问题‌ ‌策略‌：（1）‌定义域‌：正切函数注意分母不为零；复合函数需满足内层函数定义域。 （2）‌值域‌： 【例2】设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（   ） A．2 B． C． D．. 【详解】若，则，由正弦函数的性质可知， 当时，函数取得最小值，即， 当时，函数取得最大值，即， 所以.故选：B. ‌题型3：周期性、对称性与奇偶性‌ ‌策略‌：（1）‌周期‌：（2）‌对称性‌：（3）‌奇偶性‌： 【例3】若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足 ，即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B. ‌题型4：单调性与参数范围‌ ‌策略‌：（1）‌单调区间‌：解不等式求递增/递减区间（注意ω的符号）。 （2）‌参数范围‌：根据单调性列不等式（如f'(x)≥0恒成立）。 结合图象分析边界条件（如区间端点值）。 【例4】已知函数的图象关于点对称，且在上为增函数，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【详解】将代入，得， 所以，得． 因为函数在上为增函数，此时 ，所以，解得， 所以当时，，故选：A. ‌题型5：零点与综合应用‌ ‌策略‌：（1）‌零点问题‌：转化为方程sin(ωx+φ)=k，结合图象求交点个数。 （2）‌综合题‌：多性质联动（如对称性+周期性简化计算）。 实际应用题（如建模后求最值）。 【例5】设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 四、典例欣赏 【例5】已知ω>0,函数f(x)=sin在区间上单调递减,则实数ω的取值范围是 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.C. D.(0,2] 【详解】由题可知,当x∈时,ωx-∈,ω>0, 令t=ωx-,因为函数f(x)=sin在区间上单调递减, 所以π-≤×,且函数y=sin t在上单调递减,ω>0, 则0<ω≤2,且由正弦函数的性质得k∈Z, 解得k∈Z,即4k+≤ω≤2k+,k∈Z, 又0<ω≤2,所以≤ω≤. 故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$