第22讲 简单的三角恒等变换讲义-2026届高三数学一轮复习

第22讲　简单的三角恒等变换 一、知识梳理 1.半角公式 (1)sin =±. (2)cos =±. (3)tan =±. 符号由的终边所在象限决定. 2.常用的三角公式 (1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)  (2)1±sin α=　　　　　　.(升幂公式)  (3)sin α=,cos α=　　　　,tan α=　　　　.(万能公式)  (4)半角正切公式的有理化 tan==. 3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式. (3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan . (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 二、核心原则‌ （1）‌公式体系‌ ‌半角公式‌：​ ‌升幂公式‌： ‌万能公式‌： （2）‌解题思想‌ ‌函数名统一‌：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。 ‌角的统一‌：利用半角、倍角或和差公式转化角度。 ‌整体代换‌：设中间变量简化计算。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：三角函数式的化简‌ ‌策略‌：（1）利用半角公式或升幂公式降次。 （2）结合万能公式统一函数名。 【例1】若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． ‌题型2：三角函数式的求值‌ ‌策略‌：（1）根据已知条件选择半角、倍角或和差公式。 （2）注意象限对符号的影响。 【例2】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． ‌题型3：三角恒等式的证明‌ ‌策略‌：（1）从复杂侧出发，逐步化简至另一侧。 （2）常用技巧：通分、因式分解、公式逆用。 【例3】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 四、典例欣赏 【例4】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=≈0.618,现给出三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cos α和二倍角公式sin 2α=2sin αcos α,则下列t与sin 18°的关系式中正确的为 ( ) A.t=sin 18° B.t=2sin 18° C.t=sin 18° D.t=4sin 18° 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第22讲　简单的三角恒等变换 一、知识梳理 1.半角公式 (1)sin =±. (2)cos =±. (3)tan =±. 符号由的终边所在象限决定. 2.常用的三角公式 (1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)  (2)1±sin α=　　　　　　.(升幂公式)  (3)sin α=,cos α=　　　　,tan α=　　　　.(万能公式)  (4)半角正切公式的有理化 tan==. 3.三角恒等变换的基本技巧 (1)变换函数名称:使用诱导公式. (2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式. (3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan . (4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式. 二、核心原则‌ （1）‌公式体系‌ ‌半角公式‌：​ ‌升幂公式‌： ‌万能公式‌： （2）‌解题思想‌ ‌函数名统一‌：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。 ‌角的统一‌：利用半角、倍角或和差公式转化角度。 ‌整体代换‌：设中间变量简化计算。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：三角函数式的化简‌ ‌策略‌：（1）利用半角公式或升幂公式降次。 （2）结合万能公式统一函数名。 【例1】若 ，且 ，则 等于（    ） A． B． C． D． 【详解 】因为 ，且 ， 所以 ， 又 ，所以 ．故选：D. ‌题型2：三角函数式的求值‌ ‌策略‌：（1）根据已知条件选择半角、倍角或和差公式。 （2）注意象限对符号的影响。 【例2】已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解 】因为， 又因为，， 所以， 所以 因为，所以， 所以， 所以当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 因为，所以， 因为，所以.故选：C. ‌题型3：三角恒等式的证明‌ ‌策略‌：（1）从复杂侧出发，逐步化简至另一侧。 （2）常用技巧：通分、因式分解、公式逆用。 【例3】已知函数. (1)求函数的单调递增区间； (2)若，，求的值. 【详解】（1）， 令，解得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得，， 即，则，， 所以 . 四、典例欣赏 【例4】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”,他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比t=≈0.618,现给出三倍角公式cos 3α=4cos3α-3cos α和二倍角公式sin 2α=2sin αcos α,则下列t与sin 18°的关系式中正确的为 ( B ) A.t=sin 18° B.t=2sin 18° C.t=sin 18° D.t=4sin 18° 【详解】(1)由sin β+sin γ=sin α得sin γ=sin α-sin β,两边平方得sin2γ=sin2α+sin2β-2sin αsin β①, 由cos α+cos γ=cos β得cos γ=cos β-cos α,两边平方得cos2γ=cos2α+cos2β-2cos αcos β②, ①+②得1=2-2cos(α-β),即cos(α-β)=, 因为α,β,γ∈,所以α-β∈, 由sin γ=sin α-sin β可得sin α>sin β,即α-β>0, 所以α-β∈, 又cos(α-β)=,所以α-β=, 所以sin(β-α)=-,故A错误,B正确; 由sin β+sin γ=sin α,两边平方得sin2α=sin2β+sin2γ+2sin βsin γ③, 由cos α+cos γ=cos β得cos α=cos β-cos γ,两边平方得cos2α=cos2β+cos2γ-2cos βcos γ④, ③+④得1=2-2cos(β+γ),即cos(β+γ)=, 因为α,β,γ∈,所以β+γ∈(0,π),故β+γ=, 由α-β=,β+γ=,可得α-γ=2β,故C正确,D错误. 故选BC. (2)因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=(*), 所以cos(α+β)=±=±, 所以tan(α+β)==±(2+),故B错误; 因为tan α-tan β=0,即=,所以sin αcos β=sin βcos α,代入(*)中, 得sin αcos β=,解得sin αcos β=,故A正确; sin βcos α=sin αcos β=, 则sin 2αsin 2β=4sin αcos αsin βcos β=4(sin αcos β)(cos αsin β)=4××=,故C正确; 因为cos(α+β)=±, 且cos2(α-β)-cos2(α+β)=(cos αcos β+sin αsin β)2-(cos αcos β-sin αsin β)2=4cos αcos βsin αsin β=sin 2αsin 2β=, 所以cos2(α-β)=cos2(α+β)+=+=, 所以cos(α-β)=±,故D正确.故选ACD. (3)因为cos 54°=sin 36°,所以cos(3×18°)=sin(2×18°),令β=18°, 则cos 3β=sin 2β,cos 3β=4cos3β-3cos β,sin 2β=2sin βcos β, 即4cos3β-3cos β=2sin βcos β, 因为cos β≠0,所以4cos2β-3=2sin β, 即4(1-sin2β)-3=2sin β,整理得4sin2β+2sin β-1=0, 解得sin β=, 因为sin 18°>0,所以sin 18°=,故t==2sin 18°. 故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$