第21讲 两角和、差及倍角公式讲义-2026届高三数学一轮复习

第21讲　两角和、差及倍角公式 一、知识梳理 1.两角和、差及二倍角公式 2.两角和与差的正切公式的常用变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 3.辅助角公式 asin α+bcos α=　　　　　　,其中sin φ=,cos φ=.  二、核心原则‌ （1）‌公式体系‌ ‌两角和差公式‌：​ ‌二倍角公式‌： ‌辅助角公式‌： （2）‌解题思想‌ ‌角的代换‌：利用互补、互余或倍角关系统一角度 。 ‌函数名统一‌：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。 ‌整体代换‌：将复杂部分视为整体 。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：公式的直接应用‌ ‌策略‌：直接套用两角和差或二倍角公式计算。 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 . 故选：A. ‌题型2：公式的逆用与变形‌ ‌策略‌：逆用公式合并或拆分表达式 【例2】计算：（    ） A． B．1 C． D． 【详解】因为， 所以， 所以 ， 故选：D． ‌题型3：角的变换‌ ‌策略‌：将非特殊角转化为特殊角的和差。 【例3】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A.- B. C.- D. 【详解】∵α∈,β∈,∴-<-α<0,<+β<,又cos=,sin=-,∴sin=-,cos=-,∴cos(α+β)=-cos(π+α+β)=-cos=-coscos-sinsin=-×-×=-.故选A. ‌题型4：给值求值问题‌ ‌策略‌：根据已知条件求相关三角函数值，注意象限符号。 【例4】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由得， 所以． 故选：A． ‌题型5：综合应用（含参数范围）‌ ‌策略‌：结合函数性质（如单调性、周期性）确定参数范围。 【例5】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【详解】 ， ，， 故选：C． 四、典例欣赏 【例6】已知α,β均为锐角,2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是 ( ACD ) A.若β=,则α= B.若α+2β=,则sin β= C.若β>,则α+β> D.α的最小值为 [解析] 对于A选项,若β=,则由2cos α=sin(α+β),得2cos α=sin=sin αcos+cos αsin=sin α+cos α, 即cos α=sin α,可得tan α=, 又α为锐角,所以α=,故A正确; 对于B选项,若α+2β=,则α=-2β, 由2cos α=sin(α+β),得2cos=sin, 所以2sin 2β=cos β,则2×2sin βcos β=cos β,因为β为锐角,所以cos β≠0,则sin β=,故B错误; 对于D选项,由2cos α=sin(α+β),得2cos α=sin αcos β+cos αsin β,则tan α==, 令y=tan α,x=sin β,则y>0,0<x<1,y=,两边平方得 y2=,可得(1+y2)x2-4x+4-y2=0, 可将其看作是关于x的一元二次方程,由判别式法可得Δ=(-4)2-4(1+y2)(4-y2)≥0,可得y2≥3,即tan α≥, 又α为锐角,所以α的最小值为,且当x=,即β=时,α取得最小值,故D正确; 对于C选项,由D选项可知,α≥,而β>,所以 α+β>,故C正确. 故选ACD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21讲　两角和、差及倍角公式 一、知识梳理 1.两角和、差及二倍角公式 2.两角和与差的正切公式的常用变形 tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β). 3.辅助角公式 asin α+bcos α=　　　　　　,其中sin φ=,cos φ=.  二、核心原则‌ （1）‌公式体系‌ ‌两角和差公式‌：​ ‌二倍角公式‌： ‌辅助角公式‌： （2）‌解题思想‌ ‌角的代换‌：利用互补、互余或倍角关系统一角度 。 ‌函数名统一‌：通过弦切互化（如切化弦）简化表达式。 ‌整体代换‌：将复杂部分视为整体 。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：公式的直接应用‌ ‌策略‌：直接套用两角和差或二倍角公式计算。 【例1】已知，则（    ） A． B． C． D． ‌题型2：公式的逆用与变形‌ ‌策略‌：逆用公式合并或拆分表达式 【例2】计算：（    ） A． B．1 C． D． ‌题型3：角的变换‌ ‌策略‌：将非特殊角转化为特殊角的和差。 【例3】已知cos=,sin=-,α∈,β∈,则cos(α+β)= (　 ) A.- B. C.- D. ‌题型4：给值求值问题‌ ‌策略‌：根据已知条件求相关三角函数值，注意象限符号。 【例4】已知，则的值为（    ） A． B． C． D． ‌题型5：综合应用（含参数范围）‌ ‌策略‌：结合函数性质（如单调性、周期性）确定参数范围。 【例5】函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 四、典例欣赏 【例6】已知α,β均为锐角,2cos α=sin(α+β),则下列说法正确的是 ( ) A.若β=,则α= B.若α+2β=,则sin β= C.若β>,则α+β> D.α的最小值为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$