第20讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:　　　　　　　　.   (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 终边 与角 α终 边的 关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α 　  正切 tan α 　  -tan α -tan α 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限 二、核心原则‌ （1）‌同角三角函数基本关系式‌ ‌平方关系‌： ‌商数关系‌： ‌变形公式‌： （2）‌诱导公式应用原则‌ ‌口诀‌：“奇变偶不变，符号看象限”。 ‌化简策略‌：负角化正角，大角化锐角，统一函数名称。 ‌解题思想‌ ‌方程思想‌：利用平方关系或商数关系列方程求值。 ‌整体代换‌：将复杂表达式转化为单一三角函数形式。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：同角三角函数基本关系式的应用‌ ‌策略‌： 【例1】已知，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】， 故， 又且，故， ，故. 故选：A. ‌题型2：正、余弦齐次式的计算‌ ‌策略‌：齐次式弦化切。 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由得. 故选：A. ‌题型3：诱导公式的简单应用‌ ‌策略‌：利用口诀化简角为锐角后计算。 【例3】已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， 所以. 故选：D. ‌题型4：三角函数式的化简与求值‌ ‌策略‌：（1）切化弦或弦化切统一函数名称。 （2）结合诱导公式和同角关系逐步化简。 【例4】已知，且是第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【详解】，则， 又因为，且是第二象限角，所以. 故选：C. ‌题型5：三角恒等式的证明‌ ‌策略‌：从复杂一侧出发，利用基本关系式和诱导公式逐步化简至另一侧。 【例5】证明：．. 【详解】左边右边， 所以． ‌题型6：同角关系与诱导公式综合‌ ‌策略‌：（1）先利用诱导公式化简角，再应用同角关系求值。 （2）注意符号判断和隐含条件（如分母不为零）。 【例6】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因，则， 因，则， 因， ， 则 故选：B. 四、典例欣赏 【例7】若α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 【详解】由α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,得2sin α=,0<cos β<1, 则2sin α+cos β=+, 注意到2+a+b≤2(a+b),其中a,b>0, 所以+≤,当且仅当a=b>0时等号成立, 所以2sin α+cos β=+≤=, 当且仅当sin2β-=1-sin2β,即sin β=时等号成立, 所以当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为. 故选B. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系:　　　　　　　　.   (2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.  2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 α+2kπ(k∈Z) π+α -α π-α -α +α 终边 与角 α终 边的 关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于直线 y=x对称 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α 　  正切 tan α 　  -tan α -tan α 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限 二、核心原则‌ （1）‌同角三角函数基本关系式‌ ‌平方关系‌： ‌商数关系‌： ‌变形公式‌： （2）‌诱导公式应用原则‌ ‌口诀‌：“奇变偶不变，符号看象限”。 ‌化简策略‌：负角化正角，大角化锐角，统一函数名称。 ‌解题思想‌ ‌方程思想‌：利用平方关系或商数关系列方程求值。 ‌整体代换‌：将复杂表达式转化为单一三角函数形式。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：同角三角函数基本关系式的应用‌ ‌策略‌： 【例1】已知，，则（   ） A． B． C． D． ‌题型2：正、余弦齐次式的计算‌ ‌策略‌：齐次式弦化切。 【例2】已知，则（    ） A． B． C． D． ‌题型3：诱导公式的简单应用‌ ‌策略‌：利用口诀化简角为锐角后计算。 【例3】已知角满足，则（    ） A． B． C． D． ‌题型4：三角函数式的化简与求值‌ ‌策略‌：（1）切化弦或弦化切统一函数名称。 （2）结合诱导公式和同角关系逐步化简。 【例4】已知，且是第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． ‌题型5：三角恒等式的证明‌ ‌策略‌：从复杂一侧出发，利用基本关系式和诱导公式逐步化简至另一侧。 【例5】证明：．. ‌题型6：同角关系与诱导公式综合‌ ‌策略‌：（1）先利用诱导公式化简角，再应用同角关系求值。 （2）注意符号判断和隐含条件（如分母不为零）。 【例6】已知，且，则（    ） A． B． C． D． 四、典例欣赏 【例7】若α,β∈,且4sin2α-sin2β+=0,则当2sin α+cos β取最大值时,sin β的值为 ( B )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$