第34讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式讲义-2026届高三数学一轮复习

三角函数的定义 三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为，那么 ； ； ． 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 记忆口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 例：(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( ) A． B． C． D． 1．三角函数定义的判断 (1)若sin α＝sin β，则α与β的终边相同．( ) (2)终边相同的角的同名三角函数的值相等．( ) (3)终边不同的角的同名三角函数的值不等．( ) (4)若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．( ) (5)若sin α＞0，则α是第一．二象限的角．( ) (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．( ) (7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos θ＝．( ) (8)若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝．( ) 考点一 三角函数值的符号 【例1】1．若则在（ ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【训练1】1．若，，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 3．若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 4．设角属于第二象限，且，则角属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知为第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 6．若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 7．已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点二 三角函数求值 【例2】1．若角终边落在射线上，则=（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin=，则sin=_________． 【训练2】1．设为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为 ____． 2．设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ） A． B． C． D． 3．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为( ) A． B． C． D． 4．把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（ ） A． B． C． D． 5．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于( ) A．－ B． C．－ D． 考点三 三角函数求参数 【例3】1．已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则m= 【训练3】1．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C．－1 D．3 2． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝______． 3．已知是角终边上一点且﹐则x的值为（ ） A． B． C． D． 4．若一个角的终边上有一点，且，则的值为( ) A． B． C．或 D． 5．已知角终边经过点，若，则（ ） A． B． C． D．－ 三角函数线 1．单位圆：圆心为原点，半径为1个单位的圆； 2．有向线段：带有方向的线段，即为有向线段； 3．三角函数线：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点． 我们分别称图中的有向线段MP、OM、AT为角正弦线、余弦线、正切线． （1）三角函数线的长度等于三角函数的值绝对值；（2）方向表示三角函数的值的正负． 提醒：（1）当角的终边与轴重合时，正弦线、正切线变成一个点，此时角的余弦值为1或－1，正弦值和正切值都为0；当角的终边与轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正弦值为－1或1，余弦值为0，正切值不存在． （2）在用字母表示三角函数线时注意方向，分清始点与终点，书写时不能颠倒顺序． 1．三角函数线的判断 (1)若角的余弦线长为0，则它的正弦线的长度为1．( ) (2)角（0＜＜2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则的值为．( ) 考点一 画三角函数线 【例1】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）；（2）； （3）； （4）. 【训练1】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 考点二 利用三角函数线比较大小 【例2】1．如果、分别是角的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 2．利用三角函数线比较下列各组数的大小 （1）与 （2）tan与tan 【训练2】1．设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①；②； ③；④，其中正确的是________． 2．设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 5．若< < ，则下列不等式中成立的是（ ） A．sin>cos>tan B．cos>tan>sin C．tan>sin>cos D．sin>tan>cos 6．已知sin＞sin，那么下列命题成立的是（ ） A．若、是第一象限角，则cos＞cos B．若、是第二象限角，则tan＞tan C．若、是第三象限角，则cos＞cos D．若、是第四象限角，则tan＞tan 考点四 利用三角函数线解不等式 【例4】1．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合. （1），（2）． 2．（多选）已知点在第一象限，则在内的取值范围是 A． B． C． D． 【训练4】1．已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．写出满足下列条件的角的集合： （1） ； （2）≤- . 3．在内，使成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．若且，求满足条件的的集合． 5．函数y＝的定义域是 ． 6．已知是的一个内角，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知：为锐角，证明 sin＋cos>1. 8．已知：为锐角，证明 sin<<． 同角三角函数的基本关系式 一．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：． 二．相关变形 1．对于平方关系的变形 （1）， （2）， （3） 2．对于商数关系的变形 3．结合平方关系和上述关系，可以的恒等式 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1．( ) (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．( ) (3)已知sin α＝，α∈，则cos α＝．( ) (4)sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________． 考点一 知一求二 【例1】1．已知， ，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，若，则的值为( ) A． B． C． D． 【训练1】1．已知是第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，为第二象限角，则的值是（ ） A． B． C． D． 4．已知，其中为三角形内角，则（ ） A． B． C． D． 5．（23全国乙文）若，则________． 6．（23全国甲理）“”是“”的（ ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 考点二 由条件等式求正余切 【例2】1．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A．－1 B．－ C． D．1 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【训练2】1．已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，则tan α＝______． 2．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ ． 考点三 与知一求二 【例3】1．已知sin θ·cos θ＝，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________． 2．已知是关于的方程的两根，则__________. 规律方法：对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． 【训练3】1．已知，则sin α－cos α的值等于（ ） A． B． C． D． 2．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝． (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 考点四 齐次式的计算 【例4】1．已知tan α＝2，则＝___________； 2．___________； 3．4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________． 规律方法 关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练4】1．已知，则的值为（ ） A． B． C．5 D． 2．已知，那么的值是（ ） A． B． C．3 D． 3．已知＝5，则sin2 α－sin αcos α的值是( ) A． B．－ C．－2 D．2 4．已知，，求的值； 5．已知，则 ①________． ②＝______． ③＝______． 诱导公式 一．三角函数的诱导公式 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α 余弦 cos α 正切 tan α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）α无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 考点一 利用诱导公式化简 【例1】1．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________． 2．＝( ) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2 【训练1】1．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________． 2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( ) A． B． C． D． 3．已知，求的值． 4．化简：＝________． 5．若sinα=－，则＝( ) A． B． C． D． 6．已知角满足 (1)若角是第三象限角，求的值; (2)若，求的值． 考点二 利用诱导公式求值 【例2】1．（ ） A． B． C． D． 2．sin＋cos－tan＝( ) A．0 B． C．1 D．－ 【训练2】1．求下列三角函数的值： （1） （2） （3） 2． （ ） A． B． C． D． 3．tan的值是（ ） A． B． C． D． 4．已知角θ的终边过点，（ ） A． B． C． D．1 5．已知是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 考点三 换元法+诱导公式 【例3】1．已知，且，则_______． 【训练3】1．已知sin＝，则cos＝________． 2．已知tan＝，则tan＝________． 3．已知sin＝，则cos的值为________． 4．已知，则（    ） A． B． C．- D． 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角函数的定义 三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点P到原点的距离记为， 那么 ； ； ． 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 记忆口诀：“一全正二正弦，三正切四余弦”． 例：(多选)下列三角函数值的符号判断正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】165°是第二象限角，因此；280°是第四象限角，因此；170°是第二象限角，因此；310°是第四象限角，因此，故选ABD 1．三角函数定义的判断 (1)若sin α＝sin β，则α与β的终边相同．(×) 【解析】α=30°，β=150°，则sin α＝sin β，此时α与β的终边不同． (2)终边相同的角的同名三角函数的值相等．(√) (3)终边不同的角的同名三角函数的值不等．(×) 【解析】α=30°，β=150°，则sin α＝sin β，此时α与β的终边不同． (4)若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角．(×) 【解析】θ=180°时，cos θ=－1＜0，则θ不是第二或第三象限的角． (5)若sin α＞0，则α是第一．二象限的角．(×) 【解析】θ=90°时，sinθ=1＞0，则α不是第一．二象限的角． (6)点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第二象限．(√) (7)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos θ＝．(×) 【解析】若在直线y＝2x上选，则cos θ＝－． (8)若α是第二象限的角，且P(x，y)是其终边上一点，则cos α＝．(×) 【解析】α是第二象限的角，∴x＜0，则． 考点一 三角函数值的符号 【例1】1．若则在（ ） A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第一、四象限 D．第二、四象限 【答案】A 【解析】因为在第一、二象限为正，第三、四象限为负；在第一、四象限为正， 第二、三象限为负.而，所以在第一、三象限． 2．sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 【答案】A 【解析】∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0． 【训练1】1．若，，则角的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】∵，∴在第一或第三象限，又∵，∴在第三象限． 2．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,3] B．(－2,3) C．[－2,3) D．[－2,3] 【答案】A 【解析】角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有解得－2＜a≤3． 3．若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角， 由＜0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角． 4．设角属于第二象限，且，则角属于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】为第二象限角，， ；当时，为第一象限角； 当时，为第三象限角；为第一或第三象限角； ，，为第三象限角.故选：C. 5．已知为第三象限角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵为第三象限角，即，∴即是第二、四象限，∴或，或，故选项A、B错误， ∵∴，，故C正确D错误． 6．若α为第四象限角，则（ ） A. cos2α>0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 【答案】D 【解析】由α为第四象限角，可得， 所以此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以故选：D.，选项C错误，选项D正确． 7．已知是第二象限角，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为是第二象限角，所以，， 进而硧定，.所以点在第四象限.故选：D 考点二 三角函数求值 【例2】1．若角终边落在射线上，则=（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设角终边上一点， 则． 2． 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin=，则sin=_________． 【答案】 【解析】角与角终边关于y轴对称，∴角与角终边所过的点的纵坐标没变， 又∵，∴sin=sin=． 【训练2】 1．设为第二象限角，其终边上一点为，且，则的值为____． 【答案】 【解析】∵由题意得，，且，解得， 则． 2．设是第三象限角，为其终边上的一点，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，解得，又是第三象限角，所以，所以． 3．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q的坐标为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由弧长公式得，P点逆时针转过的角度α＝，所以Q点的坐标为，即． 4．把角终边逆时针方向旋转后经过点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为点在角的终边上，∴． 5．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－，则sin α等于( ) A．－ B． C．－ D． 【答案】D 【解析】因为α和β的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β＝2kπ＋(k∈Z)． 又β＝－，所以α＝2kπ＋(k∈Z)，即得sin α＝． 考点三 三角函数求参数 【例3】1．已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，则m= ． 【答案】± 【解析】由题意得，r＝，∴sin θ＝＝m．∵m≠0，∴m＝± 【训练3】1．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C．－1 D．3 【答案】B 【解析】由题意，，则． 3． 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝______． 【答案】－8 【解析】因为sin θ＝＝－，所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8． 3．已知是角终边上一点且﹐则x的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是角终边上一点，则，故． 4．若一个角的终边上有一点，且，则的值为( ) A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由条件角终边上一点，∴， 又因为，∴，即， 解得或，故选C． 5．已知角终边经过点，若，则（ ） A． B． C． D．－ 【答案】C 【解析】根据三角函数的定义，可得且，解得． 三角函数线 1．单位圆：圆心为原点，半径为1个单位的圆； 2．有向线段：带有方向的线段，即为有向线段； 3．三角函数线：设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交于点． 我们分别称图中的有向线段MP、OM、AT为角正弦线、余弦线、正切线． （1）三角函数线的长度等于三角函数的值绝对值；（2）方向表示三角函数的值的正负． 提醒： （1）当角的终边与轴重合时，正弦线、正切线变成一个点，此时角的余弦值为1或－1，正弦值和正切值都为0；当角的终边与轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角的正弦值为－1或1，余弦值为0，正切值不存在． （2）在用字母表示三角函数线时注意方向，分清始点与终点，书写时不能颠倒顺序． 1．三角函数线的判断 (1)若角的余弦线长为0，则它的正弦线的长度为1．(√) (2)角（0＜＜2π）的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则的值为．(×或) 考点一 画三角函数线 【例1】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）；（2）； （3）； （4）. 【答案】 【训练1】1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】 考点二 利用三角函数线比较大小 【例2】1．如果、分别是角的余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出的正弦线和余弦线，如下图所示： 由于，由图可知，．故选：D. 2．利用三角函数线比较下列各组数的大小 （1）与 （2）tan与tan 【答案】D 【解析】如图所示，分别画出、的终边、，由三角函数的正弦线的定义知，，,因为，所以则有同理，可得、的正切线分别为、，因为二者的方向与y轴正方向相反，所以二者表示负数，所以长度长的反而小，即有，即tan tan． ( A o T 2 T 1 P 2 P 1 M 2 M 1 S 1 ) 【训练2】1．设和分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式： ①；②； ③；④，其中正确的是________． 【答案】② 【解析】. 2．设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】作出角的三角函数线如下图所示： 由图象知：，又，. 3．已知，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以可取 因为，所以 4．下列关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 作出单位圆，用三角函数线进行求解，如图所示，有，所以. 5．若< < ，则下列不等式中成立的是（ ） A．sin>cos>tan B．cos>tan>sin C．tan>sin>cos D．sin>tan>cos 【答案】C 【答案】由图像可知，，∴tan>sin>cos． 6．已知sin＞sin，那么下列命题成立的是（ ） A．若、是第一象限角，则cos＞cos B．若、是第二象限角，则tan＞tan C．若、是第三象限角，则cos＞cos D．若、是第四象限角，则tan＞tan 【答案】D 【解析】作出单位圆中的三角函数线，数形结合可判断之，A选项中，若、是第一象限角， 且sin＞sin，可得角的余弦线长度小于角的余弦线长度，且二者方向均与x轴正向相同， 所以应有cos<cos，所以A错；同理，可判断B,C论断错误，D选项正确． 考点四 利用三角函数线解不等式 【例4】1．利用三角函数线，写出满足下列条件的角x的集合. （1），（2）． 【答案】（1）； （2） 【解析】（1）如图，过点（0，）作轴的平行线交单位圆于两点， 知：当时，角x满足的集合为：； （2）由图知：当时，角x满足的集合为： . 2．（多选）已知点在第一象限，则在内的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，由，可得，由，可得 所以综上，的取值范围是． 【训练4】1．已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出单位圆，作直线y=，数形结合可得之． 2．写出满足下列条件的角的集合： （1） ； （2）≤- . 【答案】（1）{}.（2）{} 【解析】先作出满足，的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围. 解：（1）{}.（2）{} 3．在内，使成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】在单位圆中，作出正弦线及余弦线如图，观察图象，得 4．若且，求满足条件的的集合． 【答案】 【解析】在轴的正方向上取，过N作x 轴的平行线交单位圆于P1，P2两点， 过P1，P2分别作P1M1⊥x轴，P2M2⊥x轴，垂足分别为，显然，在内，适合, 同理找出适合cos, 求交集得． 5．函数y＝的定义域是 ． 【答案】 ( 【解析】要使函数有意义，即0＜tan1,画出正切线，可得之. 6．已知是的一个内角，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，则，又，由，得．作出的正切线， 如图所示． 由图可得，当时，此时，故的取值范围是． 7．已知：为锐角，证明 sin＋cos>1． 【证明】在直角坐标系内作出锐角正弦线、余弦线根据三角形两边之和大于第三边可得， 解：如右图所示，作出锐角的正弦线MP，余弦线OM，根据三角形两边之和大于第三边，可得OM+MP>1即sin＋cos>1. 8．已知：为锐角，证明 sin<<． 【证明】(用面积比较) 同角三角函数的基本关系式 一．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：． 二．相关变形 1．对于平方关系的变形 （1）， （2）， （3） 2．对于商数关系的变形 3．结合平方关系和上述关系，可以的恒等式 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin2 α＋cos2β＝1．(×) 【解析】∵α，β为锐角，∴只有α，β为同一个角，才满足sin2α＋cos2α＝1． (2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(×) 【解析】时，，故此时无意义． (3)已知sin α＝，α∈，则cos α＝．(×) 【解析】∵sin2α＋cos2α＝1，α∈，，∴． (4)sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝________． 【解析】sin21°＋sin22°＋…＋sin290°＝sin21°＋sin22°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos21°＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin244°＋cos244°)＋sin245°＋sin290°＝45＋＝． 考点一 知一求二 【例1】1．已知， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ，,, 所以． 2．已知，若，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，，解得，又，所以， 所以． 【训练1】1．已知是第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是第四象限角，且，所以． 2．已知为第三象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为第三象限角，， ，． 3．已知，为第二象限角，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，为第二象限角，可得，∴． 4．已知，其中为三角形内角，则（ ） A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】因为，所以，又因为， 所以解得： 或，因为为三角形内角，所以． 5．（23全国乙文）若，则________． 【答案】 【解析】∵，，∴， ∴，解得， ∴．故答案为． 6．（23全国甲理）“”是“”的（ ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】由，可知，可得， ∴“”是“”的必要不充分条件． 考点二 由条件等式求正余切 【例2】1．已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝( ) A．－1 B．－ C． D．1 【答案】 A 【解析】因为sin α－cos α＝，所以(sin α－cos α)2＝2，所以sin 2α＝－1．因为α∈(0，π)，2α∈(0,2π)， 所以2α＝，所以α＝，所以tan α＝－1．法三两边平方，再同时除以cos2 α，得tan2 α+2tan α+1＝0， tan α＝－1 2．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵，，两边同时平方可得， 又，故，解得或， 又，，，． 【训练2】1．已知sin α＋cos α＝，0＜α＜π，则tan α＝______． 【答案】 － 【解析】∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2，即1＋2sin αcos α＝，∴2sin αcos α＝－， ∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝．∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π， ∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝，由 得∴tan α＝－． 2．已知，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，， 又，∴，∴由，解得，或（舍去）， ∴．故选：D． 3．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ ． 【答案】3或－ 【解析】法一：由sin α＋2cos α＝，得sin α＝－2cos α，①又sin2α＋cos2α＝1，② 联立①②，解得或所以tan α＝＝3或－． 法二：两边平方，再同时除以cos2 α，得3tan2 α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－． 考点三 与知一求二 【例3】1．已知sin θ·cos θ＝，且＜θ＜，则cos θ－sin θ的值为________． 【答案】－ 【解析】当＜θ＜时，sin θ＞cos θ，∴cos θ－sin θ＜0，又(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， ∴cos θ－sin θ＝－． 2．已知是关于的方程的两根，则__________. 【答案】 【解析】由题意：，所以， 所以，即，解得.故答案为：. 规律方法：对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二． 【训练3】1．已知，则sin α－cos α的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以，故， 所以. 2．已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为为第四象限角，所以，，所以； 3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，即， 所以.因为，所以，所以. 因为，所以.故选：B. 4．已知在△ABC中，sin A＋cos A＝． (1)求sin Acos A的值； (2)判断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A的值． 【答案】(1)－；（2）钝角三角形；（3）－ 【解析】(1)∵sin A＋cos A＝，①∴两边平方得1＋2sin Acos A＝，∴sin Acos A＝－， (2)由sin Acos A＝－＜0，且0＜A＜π，可知cos A＜0，∴A为钝角，∴△ABC是钝角三角形． (3)∵(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝1＋＝，又sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0，∴sin A－cos A＝，②∴由①，②可得sin A＝，cos A＝－，∴tan A＝＝＝－． 考点四 齐次式的计算 【例4】1．已知tan α＝2，则＝___________； 2．__________； 3．4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝________． 【答案】－1；；　1 【解析】(1)＝＝＝－1， （2）分子分母同除，可得． (3)4sin2 α－3sin αcos α－5cos2α＝＝＝＝1． 规律方法 关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子． 【训练4】1．已知，则的值为（ ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【解析】∵，∴． 2．已知，那么的值是（ ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【解析】 ，将代入上式，得原式． 3．已知＝5，则sin2 α－sin αcos α的值是( ) A． B．－ C．－2 D．2 【答案】A 【解析】由＝5得＝5即tan α＝2，所以sin2 α－sin αcos α ＝＝＝． 4．已知，，求的值； 【答案】20 【解析】∵，，∴，分子分母同除， 可得原式． 5．已知，则 ①＝______．②＝______． 【答案】； 【解析】①，分子分母同除， 原式． ② 诱导公式 一．三角函数的诱导公式 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统一写作；（2）α无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可． 二．特殊角的三角函数值 角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 角α的弧度数 0 π sin α 0 1 － 0 cos α 1 0 － － － －1 tan α 0 1 － －1 － 0 考点一 利用诱导公式化简 【例1】1．如果sin(π＋A)＝，那么cos的值是________． 【答案】 【解析】∵sin(π＋A)＝，∴－sin A＝．∴cos＝－sin A＝． 2．＝( ) A．sin 2－cos 2 B．sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D．cos 2－sin 2 【答案】 A 【解析】原式＝＝＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2． 【训练1】1．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________． 【答案】 【解析】因为tan(π＋α)＝tan α＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝． 2．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)＝1, 则sin α的值是( ) A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β＝1，解得tan α＝3， 又sin2α＋cos2α＝1，α为锐角．故sin α＝． 3．已知，求的值． 【答案】 4 【解析】因为， ， 所以， 又，所以.故答案为：4. 4．化简：＝________． 【答案】 －1 【解析】原式＝＝＝－＝－·＝－1． 5．若sinα=－，则＝( ) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】∴sin α＝－．∴原式＝＝＝． 6．已知角满足 (1)若角是第三象限角，求的值; (2)若，求的值． 【答案】 (1) ；（2） 【解析】（1）由题意和同角三角函数基本关系式，有， 消去得，解得或 因为角是第三象限角，所以，， （2）， 当角是第一象限角时，， 当角是第三象限角时，， 考点二 利用诱导公式求值 【例2】1．（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】． 2．sin＋cos－tan＝( ) A．0 B． C．1 D．－ 【答案】A 【解析】原式＝sin(4π＋)＋cos(－10π＋)－tan(6π＋)＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0． 【训练2】1．求下列三角函数的值： （1） （2） （3） 【答案】；； 【解析】（1）； （2）； （3）． 2． （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】． 3．tan的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 4．已知角θ的终边过点，（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为已知角θ的终边过点，所以，所以． 5．已知是第二象限角，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，因为是第二象限角， 所以． 考点三 换元法+诱导公式 【例3】1．已知，且，则_______． 【答案】/ 【解析】因为，所以，故，所以. 。故答案为： 【训练3】1．已知sin＝，则cos＝________． 【答案】－ 【解析】cos＝cos＝cos＝－cos， 而sin＝sin＝cos＝，所以cos＝－． 2．已知tan＝，则tan＝________． 【答案】－ 【解析】∵＋＝π，∴tan＝－tan＝－tan＝－． 3．已知sin＝，则cos的值为________． 【答案】－ 【解析】cos＝cos＝－sin＝－． 4．已知，则（    ） A． B． C．- D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 5．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】， 的值为，故选： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$