第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念讲义-2026届高三数学一轮复习

第四单元　三角函数与解三角形 第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念 一、知识梳理 1.任意角 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形.  (2)角的分类: 按旋转 方向 正角 按　　时针方向旋转而成的角  负角 按　　时针方向旋转而成的角  　  射线没有旋转 按终边 位置 前提:角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角 轴线角 角的终边落在坐标轴上 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　　　　.(相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍)  2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.  (2)公式(表中α为弧所对的圆心角,l为弧长,r为半径,S为扇形面积): 角α的弧度数 的绝对值 |α|= 角度与弧度 的换算 ①1°= rad,②1 rad=° 弧长公式 l=　　　  扇形面积公式 S=lr=　　　  3.三角函数的概念 (1)三角函数的概念 三角函数 正弦 余弦 正切 终边上任 意点定 义法 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O 的距离为r=OP= sin α=　  cos α=　  tan α=　　(x≠0)  单位圆 定义法 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y) sin α=　  cos α=　  tan α=　　(x≠0)  (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 二、核心原则‌ （1）‌任意角与弧度制‌ ‌角的概念‌：角由射线绕端点旋转形成，需明确始边、终边、顶点等要素。 ‌弧度制‌：1弧度定义为长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度与角度换算关系为： ‌应用要点‌：弧长公式 ，扇形面积公式 。 （2）‌三角函数定义‌ ‌单位圆定义 ‌一般定义‌： （3）‌解题思想‌ ‌数形结合‌：通过图形分析角的位置及三角函数值符号。 ‌分类讨论‌：针对象限角、参数范围等分情况处理。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：终边相同的角‌ ‌策略‌：所有与角 αα 终边相同的角可表示为集合}。 【例1】下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． ‌题型2：象限角判定‌ ‌策略‌：（1）根据角范围确定象限：第一象限：第二象限：依此类推。 【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 ‌题型3：弧度制与角度制互化‌ ‌策略‌：（1）角度转弧度​；（2）弧度转角度。 【例3】将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． ‌题型4：扇形弧长与面积计算‌ ‌策略‌：弧长，面积 。‌最值问题‌：结合二次函数求极值。 【例4】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． ‌题型5：三角函数定义应用‌ ‌策略‌：已知终边上点坐标​，再求三角函数值。 【例5】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． ‌题型6：三角函数值符号判定‌ ‌策略‌：（1）根据象限确定符号：第一象限：全正； 第二象限：正弦正；第三象限：正切正；第四象限：余弦正。 【例6】若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 四、典例欣赏 【例7】应用单位圆证明:若α∈,则sin α<α<tan α. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四单元　三角函数与解三角形 第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念 一、知识梳理 1.任意角 (1)定义:角可以看成一条射线绕着它的　　　　旋转所成的图形.  (2)角的分类: 按旋转 方向 正角 按　　时针方向旋转而成的角  负角 按　　时针方向旋转而成的角  　  射线没有旋转 按终边 位置 前提:角的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合 象限角 角的终边在第几象限,这个角就是第几象限角 轴线角 角的终边落在坐标轴上 (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S=　　　　　　　　.(相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等.终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍)  2.弧度制的定义和公式 (1)定义:长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.  (2)公式(表中α为弧所对的圆心角,l为弧长,r为半径,S为扇形面积): 角α的弧度数 的绝对值 |α|= 角度与弧度 的换算 ①1°= rad,②1 rad=° 弧长公式 l=　　　  扇形面积公式 S=lr=　　　  3.三角函数的概念 (1)三角函数的概念 三角函数 正弦 余弦 正切 终边上任 意点定 义法 设P(x,y)是角α终边上异于原点的任意一点,其到原点O 的距离为r=OP= sin α=　  cos α=　  tan α=　　(x≠0)  单位圆 定义法 设α是一个任意角,角α的终边与单位圆交于点P(x,y) sin α=　  cos α=　  tan α=　　(x≠0)  (2)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 二、核心原则‌ （1）‌任意角与弧度制‌ ‌角的概念‌：角由射线绕端点旋转形成，需明确始边、终边、顶点等要素。 ‌弧度制‌：1弧度定义为长度等于半径的弧所对的圆心角，弧度与角度换算关系为： ‌应用要点‌：弧长公式 ，扇形面积公式 。 （2）‌三角函数定义‌ ‌单位圆定义 ‌一般定义‌： （3）‌解题思想‌ ‌数形结合‌：通过图形分析角的位置及三角函数值符号。 ‌分类讨论‌：针对象限角、参数范围等分情况处理。 三、常见题型分类与解题策略‌ ‌题型1：终边相同的角‌ ‌策略‌：所有与角 αα 终边相同的角可表示为集合}。 【例1】下列与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【详解】与角终边相同的角的集合为, 取， ，其他均不符合， 故选：B. ‌题型2：象限角判定‌ ‌策略‌：（1）根据角范围确定象限：第一象限：第二象限：依此类推。 【例2】已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当 ，此时在第二象限； 当 ，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角.故选：C. ‌题型3：弧度制与角度制互化‌ ‌策略‌：（1）角度转弧度​；（2）弧度转角度。 【例3】将化为弧度制，正确的是（   ） A． B． C． D． 【详解】.故选：C. ‌题型4：扇形弧长与面积计算‌ ‌策略‌：弧长，面积 。‌最值问题‌：结合二次函数求极值。 【例4】已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为r． (1)若，求扇形的弧长． (2)若扇形的周长为24，当为多少弧度时，该扇形面积最大？求出最大面积． 【详解】（1）设扇形的弧长为l． 因为，即， 所以． （2）由题设条件，知，则， 所以扇形的面积． 当时，S有最大值36， 此时， 所以当时，扇形的面积最大，最大面积是36． ‌题型5：三角函数定义应用‌ ‌策略‌：已知终边上点坐标​，再求三角函数值。 【例5】在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B. ‌题型6：三角函数值符号判定‌ ‌策略‌：（1）根据象限确定符号：第一象限：全正； 第二象限：正弦正；第三象限：正切正；第四象限：余弦正。 【例6】若，则点位于第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【详解】因为，则， 所以点位于第二象限. 故选：B. 四、典例欣赏 【例7】应用单位圆证明:若α∈,则sin α<α<tan α. 【详解】证明:如图,设角α的终边与单位圆交于点P,A(1,0),O为坐标原点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,过点A作AT⊥x轴,与OP交于T,连接AP,由题意得sin α=MP,tan α=AT, ∵S△POA<S扇形POA<S△AOT, ∴OA·MP<α·OA2<AT·OA, ∴MP<α<AT,即sin α<α<tan α. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$