第01讲 任意角和弧度制、三角函数（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第01讲 任意角和弧度制、三角函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 任意角的概念 3 知识点2 弧度制 4 知识点3 三角函数定义 5 知识点4 三角函数在各象限的符号 5 知识点5 特殊角的三角函数值 6 题型破译 6 题型1 角的概念 6 题型2 终边相同的角的表示 7 题型3 象限角的判定 8 题型4 区域角的表示 8 题型5 弧度制与角度制的互化 10 题型6 扇形的弧长及面积公式的应用 11 题型7 扇形中的最值问题 12 题型8 三角函数的定义 14 题型9 判断三角函数值的符号 15 题型10 确定角所在象限 16 题型11 圆上的动点与旋转点 16 04真题溯源·考向感知 18 05课本典例·高考素材 19 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数在各象限的符号 （2）特殊角的三角函数值 （3）弧度制 （4）扇形的弧长及面积公式的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第2题，5分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦定理结合出题. 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值 2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值 4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与 重合，角的始边 重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 自主检测设集合，那么（   ） A． B． C． D． 知识点2 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于 的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、 弧长公式 （是圆心角的弧度数） 4.扇形面积公式：． 自主检测已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点3 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点 ，则 ，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即 自主检测已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 知识点4 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀： ． 自主检测已知，关于k的不等式在时恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 知识点5 特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 自主检测 （    ） A． B． C． D． 题型1 角的概念 例1-1集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）给出下列命题： （1）小于的角是锐角 （2）第二象限角是钝角 （3）终边相同的角相等 （4）若α与β有相同的终边，则必有α﹣β=2kπ（k∈Z），正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 方法技巧 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式训练1-1】（24-25高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 . 【变式训练1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 . 【变式训练1-3】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 题型2 终边相同的角的表示 例2-1（24-25高一上·天津滨海新·期末）给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 例2-2下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B．) C．) D．) 方法技巧 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式训练2-1】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 . 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知是角的终边上一点，则 ，角的最小正值是 . 题型3 象限角的判定 例3-1（24-25高一上·天津·期末）已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3-2已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 方法技巧 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式训练3-1】给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【变式训练3-2】已知角，则角的终边落在第 象限． 【变式训练3-3】设是正整数，集合.当，集合有 个元素；若集合有100个元素，则 . 题型4 区域角的表示 例4-1（2025·天津·调研）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 例4-2已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 方法技巧 区域角的写法 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式训练4-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．   D．   【变式训练4-2】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【变式训练4-3·变载体】已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 题型5 弧度制与角度制的互化 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 例5-2如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 方法技巧 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系． ②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数． ③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式训练5-1】（2024·天津·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-3】将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 题型6 扇形的弧长及面积公式的应用 例6-1如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例6-2（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 方法技巧 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式训练6-1】（2024·天津河北·一模）直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为 . 【变式训练6-2】如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【变式训练6-3】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 . 题型7 扇形中的最值问题 例7-1（2025·天津·模拟预测）在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个座位的宽度()，每个座位宽度为 ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是 A． B． C． D． 例7-2如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 方法技巧 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式训练7-1】如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点、、分别是半径、及扇形弧上的三个动点（不同于、、三点），则关于的周长说法正确的是（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【变式训练7-2】已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【变式训练7-3】如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 题型8 三角函数的定义 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例8-2已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 方法技巧 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【变式训练8-1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【变式训练8-2】单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ． 【变式训练8-3】如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 题型9 判断三角函数值的符号 例9-1“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 例9-2（22-23高一上·天津河西·期末）已知角在第二象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 方法技巧 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 【变式训练9-1】下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-2】已知且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【变式训练9-3】（2025·天津南开·调研）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 题型10 确定角所在象限 例10-1（2024·天津·开学考试）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例10-2若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 方法技巧 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限。 【变式训练10-1】已知，则角所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练10-2】已知，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练10-3·变考法】若，则θ角是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 题型11 圆上的动点与旋转点 例11-1在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 例11-2如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 方法技巧 利用三角函数的定义求解。 【变式训练11-1】如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若 则的值为 A． B． C． D． 【变式训练11-2·变考法】如下图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为若，则的值为 A． B． C． D． 【变式训练11-3·变考法】如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2006·天津·高考真题）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 3．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 4．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 5．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 1． rad； °． 2．若，则α为第 象限角． 3．时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ． 4．已知函数的图象经过点和． (1)求实数a和b的值； (2)当x为何值时，取得最大值． 5．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 任意角和弧度制、三角函数 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 任意角的概念 3 知识点2 弧度制 5 知识点3 三角函数定义 5 知识点4 三角函数在各象限的符号 6 知识点5 特殊角的三角函数值 7 题型破译 7 题型1 角的概念 7 题型2 终边相同的角的表示 9 题型3 象限角的判定 11 题型4 区域角的表示 13 题型5 弧度制与角度制的互化 16 题型6 扇形的弧长及面积公式的应用 18 题型7 扇形中的最值问题 21 题型8 三角函数的定义 26 题型9 判断三角函数值的符号 29 题型10 确定角所在象限 31 题型11 圆上的动点与旋转点 33 04真题溯源·考向感知 37 05课本典例·高考素材 39 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）三角函数在各象限的符号 （2）特殊角的三角函数值 （3）弧度制 （4）扇形的弧长及面积公式的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第2题，5分 天津卷，第16题，14分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，单独出题比较少，一般与三角函数、正余弦定理结合出题. 复习目标： 1.理解、掌握三角函数的定义，能够求解特殊角的三角函数值 2.能掌握同角三角函数的基本关系式，诱导公式 3.具备数形结合的思想意识，会借助单位圆求解三角函数值 4.掌握三角函数的知一求二，齐次化等解题方法 知识点1 任意角的概念 1、角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 正角：按逆时针方向旋转所形成的角． 负角：按顺时针方向旋转所形成的角． 零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2、终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合．那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角． 3、常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 自主检测设集合，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得 ， 即M是由的奇数倍构成的集合， 又 ， 即N是由的整数倍构成的集合， 则， 故选：C． 知识点2 弧度制 1、弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）． 2、角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad=≈57．30°=57°18′，1°=≈0．01745（rad） 3、 弧长公式 （是圆心角的弧度数） 4.扇形面积公式：． 自主检测已知集合，集合，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】依题意，， 而， 所以，. 故选：A 知识点3 三角函数定义 设是一个任意角，它的终边与半径是的圆交于点，则，那么： （1）做的正弦，记做，即； （2） 叫做的余弦，记做，即； （3）叫做的正切，记做，即 自主检测已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为角的终边经过点， 则，所以. 故选：C. 知识点4 三角函数在各象限的符号 三角函数在各象限的符号 在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 自主检测已知，关于k的不等式在时恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题设，，即， 其中不落在坐标轴上， 令，，则， 所以函数在单调递增． 若，即， 所以，可得的范围为. 故选：C． 知识点5 特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 自主检测 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 故选：C 题型1 角的概念 例1-1集合中的最大负角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以集合中的最大负角为. 故选：C. 例1-2（2025·天津武清·模拟预测）给出下列命题： （1）小于的角是锐角 （2）第二象限角是钝角 （3）终边相同的角相等 （4）若α与β有相同的终边，则必有α﹣β=2kπ（k∈Z），正确的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】（1）小于的角是锐角，错误，如，但不是锐角； （2）第二象限角是钝角，错误，如是第二象限角，但不是钝角； （3）终边相同的角相等，错误，如π与﹣π； （4）若α与β有相同的终边，则必有α﹣β=2kπ（k∈Z），正确． 故选：B． 方法技巧 理解与角的概念有关问题的关键 关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可． 【变式训练1-1】（24-25高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20分钟，则分针转过的角的弧度是 . 【答案】 【详解】一个周角是，因此分针拨慢20分钟， 也即逆时针旋转． 故答案为： 【变式训练1-2】如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第1804次相遇时，点的坐标是 . 【答案】 【详解】相遇时间为秒， 故转过的角度为， 故对应坐标为，即. 故答案为： 【变式训练1-3】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则= . 【答案】 【详解】试题分析：因为和关于轴对称，所以，那么，（或）， 所以. 题型2 终边相同的角的表示 例2-1（24-25高一上·天津滨海新·期末）给出下列判断： ①“，”的否定为“，” ②函数与函数是同一个函数 ③若角与角的终边在一条直线上，则（） ④ 其中，判断正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①：“，”的否定为“，”，故①错误； 对于②：因为， 可知函数与函数的对应关系不相同，不为同一函数，故②错误； 对于③：若角与角的终边在一条直线上，则（），故③正确； 对于④：，故④错误； 所以正确的个数为1. 故选：A. 例2-2下列与角的终边一定相同的角是（    ） A． B．) C．) D．) 【答案】C 【详解】与角终边相同角可以表示为 对A，由找不到整数让，所以A错误 对B，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B错误， C项正确， 对D 项，当时，角为，当时，角为，得不到角，故D错误， 故选：C. 方法技巧 在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 （1）把任意角化为（且）的形式，关键是确定k．可以用观察法（的绝对值较小），也可用除法． （2）要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值． 【变式训练2-1】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称.若，则 . 【答案】 【详解】因在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线对称， 则有，即，而， 所以，，. 故答案为： 【变式训练2-2】（2025·天津·二模）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则 ． 【答案】 【详解】因为角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，且， 所以， 所以， 故答案为： 【变式训练2-3·变载体】（2025·天津·二模）已知是角的终边上一点，则 ，角的最小正值是 . 【答案】 【详解】由于是角的终边上一点，所以.由于，所以在第四象限，也即是第四象限角，所以，当时，取得最小正值为. 故答案为：（1）；（2） 题型3 象限角的判定 例3-1（24-25高一上·天津·期末）已知角顶点为坐标原点，始边与x的非负半轴重合，若，则的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，故的终边在第四象限. 故选：D. 例3-2已知是第一象限角，那么不可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【详解】由题意是第一象限角，即， 故， 当时，，是第一象限角； 当时，，是第二象限角； 当时，，是第三象限角； 故不可能是第四象限角， 故选：D 方法技巧 判断一个角在第几象限或哪条坐标轴上的一般方法 （1）若的绝对值比较大，可通过加上或减去360°的整数倍得到内或内的一个角β； （2）判断所在象限，则在第几象限，就在第几象限． 【变式训练3-1】给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 【变式训练3-2】已知角，则角的终边落在第 象限． 【答案】三 【详解】由题意得， 由于的终边在第三象限内，故角的终边落在第三象限内， 故答案为：三 【变式训练3-3】设是正整数，集合.当，集合有 个元素；若集合有100个元素，则 . 【答案】 2 198或199 【详解】由题意当，，周期为， 所以，经过去重得此时，即此时集合有2个元素； 原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系， 由对称性可知，只需考虑上半圆盘以及， 所以如果集合有100个元素，即相应横坐标的所有可能数为100， 则可能是，和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时， 还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称），也就是， 综上所述，若集合有100个元素，则或. 故答案为：2；198或199. 题型4 区域角的表示 例4-1（2025·天津·调研）已知角的终边落在阴影区域内（不含边界），角的终边和相同，则角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】终边落在上的角为，终边落在上的角为， 故角的集合为. 故选：C 例4-2已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，故B选项符合. 故选：B 方法技巧 区域角的写法 （1）按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； （2）由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角，，写出所有与，终边相同的角； （3）用不等式表示区域内的角，组成集合． 【变式训练4-1】集合中角表示的范围（用阴影表示）是图中的（      ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【详解】当时，，此时表示的范围与表示的范围一致； 当时，，此时表示的范围与表示的范围一致， 因此集合中角表示的范围所对图形是选项C反应的. 故选：C. 【变式训练4-2】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 【变式训练4-3·变载体】已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是 ． 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 题型5 弧度制与角度制的互化 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）将化成角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B 例5-2如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（    ） ①；        ②的长等于； ③扇形的周长为；    ④扇形的面积为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确； 由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确； 由扇形的弧长公式，可得的长度为， 所以扇形的周长为，所以③正确； 由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确. 故选：A. 方法技巧 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°，这一关系． ②用弧度作为单位时，常出现，如果题目没有特殊的要求，应当保留的形式，不要写成小数． ③角度制与弧度制不得混用，如，k∈Z；，k∈Z都是不正确的写法． 【变式训练5-1】（2024·天津·一模）英国著名数学家布鲁克·泰勒（Taylor Brook）以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世泰勒提出了适用于所有函数的泰勒级数，泰勒级数用无限连加式来表示一个函数，如：，其中．根据该展开式可知，与的值最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式， 故选：C. 【变式训练5-2】时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分针每分钟转，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为， ， 故选：． 【变式训练5-3】将化为弧度制，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B 题型6 扇形的弧长及面积公式的应用 例6-1如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：设，则，所以，即， 所以， 故选：C 例6-2（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（    ） A．4 B． C．2 D．1 【答案】C 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 则，所以， 则扇形的周长为， 当且仅当，即时，取等号，此时， 所以周长最小时半径的值为. 故选：C. 方法技巧 有关扇形的弧长，圆心角，面积的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用，两组公式． 【变式训练6-1】（2024·天津河北·一模）直线将圆分成两段圆弧，则较短圆弧与较长圆弧的弧长之比为 . 【答案】 【详解】设直线与圆的两个交点为，圆心为，， ∵圆心到直线的距离， ∴， ， ∴， ∴， 所以两段圆弧的弧长之比等于两段弧长所对的圆心角的弧度数之比为. 故答案为：. 【变式训练6-2】如图，某处有一块圆心角为的扇形绿地，扇形的半径为20米，是一条原有的人行直路，由于工程建设需要，现要在绿地中建一条直路，以便在图中阴影部分区域分类堆放物料.为了尽量减少对绿地的破坏（不计路宽），则原直路与新直路的交叉点到的距离为 米. 【答案】 【详解】过点作垂足为，可得，， 设,，在中，由正弦定理得， 因为，所以， 又由阴影部分的面积： ，其中， 令， 可得， 令，可得，解得 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值，则，所以为等腰直角三角形， 因为，所以. 故答案为：     【变式训练6-3】已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 . 【答案】 【详解】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则， ， ， 由于，都是母线，所以， 的面积 ， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以， 所以在等腰直角三角形SAO中， ， 所以侧面积= ； 故答案为：. 题型7 扇形中的最值问题 例7-1（2025·天津·模拟预测）在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中)有，跨接了6个座位的宽度()，每个座位宽度为 ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，为弯管，为6个座位的宽度， 则 设弧所在圆的半径为，则 解得 可以近似地认为，即 于是，长 所以是最接近的，其中选项A的长度比还小，不可能， 因此只能选B，260或者由， 所以弧长. 故选：B 例7-2如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点.当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置.当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（    ） A． B． C．2 D．不存在 【答案】A 【详解】当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置， 此时，， 则要使当点P，Q都不再运动，且满足题中两个条件时， ，且点离最远，则为的中点， 所以为的中点， 连接交于， 因为四边形ABCD是边长为的正方形， 所以，为的中点， 又因，为的中点， 所以，， 所以， 因为为的中点， 所以， 所以. 故选：A. 方法技巧 解决最值问题采用消元思想或二次函数思想加以解决 【变式训练7-1】如图，已知是半径为，圆心角为的扇形，点、、分别是半径、及扇形弧上的三个动点（不同于、、三点），则关于的周长说法正确的是（    ） A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值 【答案】C 【详解】如下图所示，作出关于的对称点，作出点关于的对称点，连接、， 由对称性可知，， 由于，则，，则， 所以，的周长为， 当且仅当、、、四点共线时，等号成立，但的周长无最大值. 因此，的周长有最小值，无最大值. 故选：C. 【变式训练7-2】已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角． 【详解】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 【变式训练7-3】如图，在半径为4、圆心角为的扇形中；分别为的中点，点在圆弧上且·    (1)若，求梯形的高； (2)求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）连接，过点作于点，交于点， 由，，扇形半径为4，分别为的中点， 故，，，， 则，故为等边三角形， 则，, 故梯形的高为；    （2）设，则， 且此时，四边形面积为： ， ∴时，取最大值. 题型8 三角函数的定义 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）已知角的顶点与原点重合，它的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，定义：，对于函数，有下列四个说法： ①函数的图象关于点对称；②在区间上单调递增； ③将函数的图象向左平移个单位长度后得到一个偶函数的图象； ④方程在区间上有两个不同的实数解． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】根据题意，，， 对于①，令，，解得， 取，可得， 所以函数的图象关于点对称，故①正确； 对于②，，， 由正切函数的性质可知在上单调递增，故②正确； 对于③，将的图象向左平移个单位可得，为奇函数，故③错误； 对于④，，，令， 由正切函数的性质可知在上单调递增，且，在上单调递增，且， 所以方程在区间上只有一个实数解，故④错误； 故选：B． 例8-2已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则 . 【答案】 【详解】由正切函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故答案为： 方法技巧 利用三角函数的定义求值的策略 （1）已知角的终边在直线上求的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种： 方法一：先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． 方法二：在的终边上任选一点，P到原点的距离为（）．则，．已知的终边求的三角函数值时，用这几个公式更方便． （2）当角的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． （3）若终边在直线上时，因为角的终边是射线，应分两种情况处理． 【变式训练8-1】（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【详解】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 【变式训练8-2】单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为 ． 【答案】 【详解】由题可设， 则， 则由题， 所以，即， 解得， 又，所以. 故答案为：. 【变式训练8-3】如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 【答案】(1)82米 (2)，4886平方米 【详解】（1）， . ， ， （米）. （2）， ， ， ， . 令，则， ，， ， ， 此时，即. 故当时，监控区域四边形的面积最大，约为4886平方米. 题型9 判断三角函数值的符号 例9-1“且”是“为第三象限角”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】充分性：由可知， 又由可得可知， 综上，，即为第三象限角． 必要性：若为第三象限角，则，所以，即且； 所以“且”是“为第三象限角”的充要条件． 故选：A． 例9-2（22-23高一上·天津河西·期末）已知角在第二象限，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为角在第二象限，所以有，. 故选：B. 方法技巧 三角函数值在各象限内的符号也可以用下面的口诀记忆： “一全正二正弦，三正切四余弦”，意为：第一象限各个三角函数均为正；第二象限只有正弦为正，其余两个为负；第三象限正切为正，其余两个为负；第四象限余弦为正，其余两个为负． 【变式训练9-1】下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，为第二象限角，，因此A正确 ，为第三象限角，，， 因此B、C正确 ，为第三象限角，，因此D错误． 故选：D 【变式训练9-2】已知且，则是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】D 【详解】，则是第三、四象限的角 ，则是第二、四象限的角 ∴是第四象限的角 故选：D． 【变式训练9-3】（2025·天津南开·调研）角为第三象限角的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A中，由，可得为第一象限角，所以A不符合题意； 对于B中，由，可得为第三象限角，反正也成立，所以B符合题意； 对于C中，由，可得为第二象限角，所以C不符合题意； 对于D中，由，可得为第四象限角，所以D不符合题意. 故选：B. 题型10 确定角所在象限 例10-1（2024·天津·开学考试）设，若、为同一象限的角，且不存在、，使得，则、所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】对于A，若，， 由，解得，显然， 令方程的根为，，当时，， 当时，，而当时，， 当时，，取，则，A不是； 对于B，当为第二象限时，，， 取，， 则，B不是； 对于C，当为第三象限时，，取， ，，C不是； 对于D，当为第四象限时，，， 则，当为第四象限时，，D正确. 故选：D 例10-2若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0， ∴sin θ>0， ∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0， ∴cos θ<0， ∴θ为第二象限角． 故选：B. 方法技巧 确定角所在象限的步骤 （1）判断该角的某些三角函数值的符号； （2）根据角的 三角函数值的符号，确定角所在象限。 【变式训练10-1】已知，则角所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，其中,，所以角在第四象限. 故选：D 【变式训练10-2】已知，则的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：由，平方得：，则，即，则或，，即有或，， 当为偶数时，位于第二象限，，，，不成立， 当为奇数时，位于第四象限，，，成立. ∴角的终边在第四象限. 故选：D. 【变式训练10-3·变考法】若，则θ角是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 【答案】C 【详解】 ，所以，， 由且有意义，可得，，所以为第三象限的角， 故选：C. 题型11 圆上的动点与旋转点 例11-1在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是 A． B． C． D． 【答案】C 详解：由下图可得：有向线段为余弦线，有向线段为正弦线，有向线段为正切线. A选项：当点在上时，， ，故A选项错误； B选项：当点在上时，，， ，故B选项错误； C选项：当点在上时，，， ，故C选项正确； D选项：点在上且在第三象限，，故D选项错误. 综上，故选C. 例11-2如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】 如图建立平面直角坐标系，由题意可设： 则 所以 ，当且仅当时取等号， 故选：D. 方法技巧 利用三角函数的定义求解。 【变式训练11-1】如图，点在圆上，且点位于第一象限，圆与正半轴的交点是，点的坐标为，，若 则的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】半径r＝|OB|1， 由三角函数定义知，点A的坐标为（cosα，sinα）； ∵点B的坐标为（，），|BC|， ∴， ∴整理可得：-6sinα+8cosα=5，又+=1， ∴解得sin或，又点位于第一象限，∴0<<，∴sin， 故选A. 【变式训练11-2·变考法】如下图，圆与轴的正半轴的交点为，点在圆上，且点位于第一象限，点的坐标为若，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点的坐标为，设， ∴，， 即 ，， ∵，若，∴， 则，则 故选B. 【变式训练11-3·变考法】如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C，B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， ，圆的半径为1． 根据三角函数的定义，易得，， 又， 为等边三角形，则，且为锐角，． 故选：A． 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2006·天津·高考真题）设函数，点表示坐标原点，，若向量，是与的夹角，（其中）设，则 . 【答案】1 【详解】依题可得，，因为，所以的坐标为 ， 即， 故， ． 故答案为：1． 3．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 4．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为：. 5．（2023·北京·高考真题）已知命题若为第一象限角，且，则．能说明p为假命题的一组的值为 ， ． 【答案】 【详解】因为在上单调递增，若，则， 取， 则，即， 令，则， 因为，则， 即，则. 不妨取，即满足题意. 故答案为：. 1． rad； °． 【答案】 / 【详解】. 故答案为：； 2．若，则α为第 象限角． 【答案】二 【详解】因为，即， 故，则， 故为二象限角，则为二象限角. 故答案为：二 3．时针走了1h 20min，则分针转过的角是 ． 【答案】 【详解】因为时针走了1h 20min，所以分针也走了， 注意到分针每分钟转的角度为（因为分针是顺时针旋转，所以对应的是负角）， 所以时针走了1h 20min，则分针转过的角是. 故答案为：. 4．已知函数的图象经过点和． (1)求实数a和b的值； (2)当x为何值时，取得最大值． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意， 所以； （2）由（1）可得， 若要使取得最大值，则需， 所以. 5．化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （2）解：根据三角函数的诱导公式，可得： . （3）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （4）解：根据特殊角的三角函数值，可得： . （5）解：根据特殊角的三角函数值和三角函数的诱导公式，可得： . 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$