第3章 不等式（单元测试·提升卷）数学苏教版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】不等式可化为， 等价于， 解得或， 所以原不等式解集为. 故选：C 2．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】利用不等式的性质或者特值排除法可得答案. 【详解】因为，所以，因为，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； C错误，比如，而； 因为，，所以，所以，D正确. 故选：C 3．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 4．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 5．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】对变形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】因为正数x，y满足， 所以， 所以， 当且仅当，即，又，时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】条件转化为恒成立，再利用基本不等式求右侧的最大值，即可求得参数范围. 【详解】因为，所以恒成立等价于恒成立， 又，当且仅当时取等号，故. 故选：A 7．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出集合， 再根据中恰有一个整数，列出不等式求解. 【详解】由已知可得集合或, 由解得，， 所以， 因为，所以，则，且小于0， 由中恰有一个整数，所以， 即，也即，解得， 故选：B． 8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】先利用基本不等式得到和的最小值，进而利用得到和的最小值，从而得到所求的最小值. 【详解】设． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，时取等号． 因为为正数，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 则，当时取等号． ， 当，即时取“等号”， 所以M的最小值为3． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】由题意可得1和5是方程的两根，且，利用韦达定理可得与的关系，然后逐项判断可得答案. 【详解】由题意可得1和5是方程的两根，且， 由韦达定理可得，得， 对于A，因为，故A错误； 对于B，不等式，即，即，得， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由不等式，得，即， 则，得或，即解集为或，故D正确. 故选：BD. 10．关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 11．定义，则（   ） A． B． C． D．若，都是正数，，则 【答案】BD 【分析】根据新定义进行去体验判断AC，用新定义转化为结合二次函数性质判断B，用新定义转化后，利用基本不等式判断D. 【详解】选项A，，只有时，两者才相等，A错； 选项B，，当且仅当时等号成立，B正确； 选项C，， ，C错； 选项D，，则， 又， 所以，当且仅当，即时等号成立，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是利用新定义把问题进行转化，一是直接利用新定义进行运算，二是进行转化转化为函数知识求解，转化为基本不等式问题求解等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，先求出的取值范围，再通过同向不等式相加得到的范围，再由正数的可乘方性即可得出结果. 【详解】由不等式可乘性得，由同向可加性得，由正数的可乘方性得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 【答案】4 【分析】分析得到，故，利用基本不等式求出最小值. 【详解】若，，恒成立， 即恒成立， 所以二次式与一次式在0到正无穷有相同的解， 故才能满足要求（因式分解后二次项和常数项一致）， 又，故， ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为4. 故答案为：4 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 【答案】 【分析】根据已知列出总运费，再应用判别式法计算求解即可. 【详解】设当地到地的距离为时，铁路每公里运费为，公路每公里运费为． 由题意得，则总运费， 要使总费用最低，只需最小即可． 设，则， 得，则，得． 当时，总费用最低，则，得， 所以当地到地的距离为时，总运费最低． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 16．（15分） 16．已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 17．（15分） 17．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果； （2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果. 【详解】（1）由题意可知的两根为和， 所以由根与系数的关系得， 解得. （2）当时，则，解得； 当时，， 当时，则，解得或； 当时，则， 当时，即，解，得； 当时，即，解，得； 当时，即，解，得. 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18．（17分） 已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）由得，由x，y为正数得． （2）由得，利用基本不等式求最值即可. （3）由得，化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴． （2）∵，∴， ∴ ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为． （3）∵， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 19．（17分） 19．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B C C A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD BCD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13．4 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）因为，所以，（1分） 所以，（4分） 当且仅当，即时取等号，（5分） 所以的最小值为；（6分） （2）因为，所以，（10分） 当且仅当，即时取等号，（12分） 所以的最大值为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）证明： （3分） 因为 所以，（5分） 所以，（6分） 所以当时，.（7分） （2）证明： 当且仅当时取等.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意可知的两根为和，（1分） 所以由根与系数的关系得，（3分） 解得.（5分） （2）当时，则，解得；（6分） 当时，，（9分） 当时，则，解得或；（10分） 当时，则， 当时，即，解，得；（11分） 当时，即，解，得；（12分） 当时，即，解，得.（13分） 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）∵，∴， ∵x，y为正数，∴， ∴．（4分） （2）∵，∴，（5分） ∴（6分） ，（8分） 当且仅当即时等号成立，（9分） 故的最小值为．（10分） （3）∵，（11分） ∴ ，（14分） 当且仅当，即时等号成立，（16分） 故的最小值为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以，（1分） 故的解集为；（2分） 由，即， ∴，则，所以．（3分） 所以的解集为．（4分） （2）恒成立，此时 即，恒成立，（6分） 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4，（8分） 所以要使恒成立，则．（9分） 故的取值范围为．（10分） （3）不等式，即， 由方程可得或．（11分） ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意；（12分） ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得（14分） ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得．（16分） 综上所述，或． 故的范围为．（17分） 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 5．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 11．定义，则（   ） A． B． C． D．若，都是正数，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围是 . 13．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 16．（15分） 已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 17．（15分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 18．（17分） 已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 19．（17分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 3．已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 4．已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 5．若正数x，y满足，则的最小值是（ ） A．6 B． C． D． 6．已知，若恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．设集合，集合，若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 10．关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 11．定义，则（   ） A． B． C． D．若，都是正数，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，则的取值范围是 . 13．已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为 14．如图，地在自西向东的一条直线铁路上，在距地的B地有一金属矿，地到该铁路的距离．现拟定在之间的地修建一条公路到地，即修建一条的运输路线．若公路运费是铁路运费的倍，则当地到地的距离为 时，总运费最低． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） （1）已知，，  求的最小值； （2）已知，求的最大值； 16．（15分） 已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 17．（15分） 已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，求不等式的解集. 18．（17分） 已知正实数x，y满足. (1)求的值； (2)求的最小值； (3)若，求的最小值. 19．（17分） 高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$