第3章 不等式（复习讲义）数学苏教版2019必修第一册

第3章 不等式（复习讲义） 1、通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 3、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,能够熟练求解分式不等式和绝对值不等式，提升数学运算素养. 1、实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 3、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 4、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 5、分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型一 比较两个数（式子）大小 【例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【变式1-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 题型二 利用不等式性质判断正误 【例2】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【变式2-1】若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型三 利用不等式性质求取值范围 【例3】已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 题型四 利用基本不等式求最值 【例4】（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【变式4-1】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】若，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【变式4-3】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型五 “1”的妙用 【例5】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【变式5-1】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式5-2】已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式5-3】已知，，且，则的最小值是 ． 题型六 条件等式求最值 【例6】已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式6-1】已知正数，满足，则的最小值是 . 【变式6-2】若实数，满足，则的最大值为 . 【变式6-3】已知，，且，则的最小值为 ． 题型七 二次与二次（一次）的商式最值 【例7】函数的最小值为 ． 【变式7-1】若，则的最小值是 . 【变式7-2】函数的值域是 ． 【变式7-3】（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 题型八 解不含参数的一元二次不等式 【例8】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式8-1】一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式8-3】一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 题型九 解含参数的一元二次不等式 【例9】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【变式9-1】若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（多选）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 题型十 由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【变式10-1】若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【变式10-3】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型十一 一元二次不等式恒成立（能成立）问题 【例11】若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【变式11-2】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【变式11-3】若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 基础巩固通关测 1．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 3．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 6．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 7．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 9．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 10．若，且，则的最小值为 ． 11．已知，求函数的最小值． 12．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 能力提升进阶练 1．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 4．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 6．用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 8．（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则的最小值为 ． 10．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 11．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 12．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式（复习讲义） 1、通过作差法比较两个实数的大小、不等式性质的应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 2、通过基本不等式及其几何解释的学习提升数学抽象和直观想象素养；通过利用基本不等式求最大值或最小值提升逻辑推理和数学运算素养；通过基本不等式的实际应用,提升数学建模和数学运算素养. 3、能够从实际情境中抽象出一元二次不等式模型,了解一元二次不等式的现实意义；能够借助一元二次函数图象求解一元二次不等式,能够熟练求解分式不等式和绝对值不等式，提升数学运算素养. 1、实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 2、不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 3、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 4、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 5、分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 题型一 比较两个数（式子）大小 【例1】比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 【变式1-1】若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【详解】因为，所以． 故选：C. 【变式1-2】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【变式1-3】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 题型二 利用不等式性质判断正误 【例2】若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【详解】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B 【变式2-1】若a＞b，c＞d，则（   ） A． B．a－c＞b－d C．a－d＞b－c D．ac＞bd 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 【变式2-2】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D 【变式2-3】（多选）已知，下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】应用不等式性质及所给条件依次判断各项的正误. 【详解】因为，不等式两边同乘，不等号改变方向，所以， 又，所以，A正确； 因为，所以，所以，B正确； 因为，所以， 由等价于，由题中条件无法得到此式， 例如取，则，C错误； 因为，所以，所以， 所以，又，所以，D正确． 故选：ABD 题型三 利用不等式性质求取值范围 【例3】已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【详解】方法一：设，则， 所以解得即， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D 【变式3-1】若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知的范围求的最小值，用待定系数法或换元法求解. 【详解】法一：设 故且，所以，故， 由于，则， 所以， 整理得，故最小值为， 此时由，可得； 法二：设，则，所以， 由于，所以，故， 即，故最小值为，同法可得． 故选：B 【变式3-2】若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】由可得， 故， 故选：D 【变式3-3】（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围. 【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确； 由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故C正确； 设，得，得， 即，且，， 所以的范围是，故D错误. 故选：ABC 题型四 利用基本不等式求最值 【例4】（多选）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 【变式4-1】已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 【变式4-2】若，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最大值为1． 故选：B 【变式4-3】已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． 故选：D. 题型五 “1”的妙用 【例5】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D．10 【答案】B 【分析】由题可得，结合基本不等式计算即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号， 所以的最小值为 故选：B 【变式5-1】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可. 【详解】已知，得， 代入得： 由于，， 得： 当且仅当，即：，时等号成立. 故的最小值为. 故选：A 【变式5-2】已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 【变式5-3】已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 题型六 条件等式求最值 【例6】已知且，则的最小值为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】法一：由得，可得，进而结合基本不等式求解即可； 法二：由得，由，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】已知，且， 法一：由得， 则 ， 当且仅当时取等号，则的最小值为； 法二：由得， 则， 当且仅当，即，时取等号， 则的最小值为． 故选：B. 【变式6-1】已知正数，满足，则的最小值是 . 【答案】1 【分析】首先将条件等式可转化为，再利用基本不等式求出最值. 【详解】由，得， 于是， 当且仅当，时取等号，故最小值为1. 故答案为：1 【变式6-2】若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值. 【详解】由，得， 设，其中，则， 从而， 故 记，则， 要求最大值，则只需考虑，则, 当且仅当，即时取等号，即最大值为. 故答案为：. 【变式6-3】已知，，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用消元思想，把二元变量转化为一元变量，再利用基本不等式来求最小值即可. 【详解】由可得：， 因为，所以， 又因为，所以， 则， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时取等号，此时. 故答案为：. 题型七 二次与二次（一次）的商式最值 【例7】函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可. 【详解】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【变式7-1】若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 【变式7-2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 【变式7-3】（1）已知，求的最小值； （2）已知两正数满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）通过配凑将原式变形为，然后利用基本不等式求解出最小值； （2）先化简得到，然后采用常数代换法求解出最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为； （2）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 题型八 解不含参数的一元二次不等式 【例8】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 【变式8-1】一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方， 所以一元二次不等式的解集为. 故选：C 【变式8-2】不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】依据题意利用十字相乘法求解一元二次不等式即可. 【详解】因为，所以， 则，解得或， 则不等式的解集为或，故B正确. 故选：B 【变式8-3】一元二次不等式的解集是（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】先分解因式，再求得不等式的解集. 【详解】由可得， 故得. 故选：B. 题型九 解含参数的一元二次不等式 【例9】解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【变式9-1】若，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，比较的大小，进而结合二次函数的图象写出解集. 【详解】当时，，解，得， 所以不等式的解集为. 故选：D 【变式9-2】（多选）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 【变式9-3】（多选）对于给定的实数，不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】AB 【分析】分， ， ， ， 五种情况讨论，分别结合一次或二次不等式的解法求解即可. 【详解】当时，不等式可化为，则不等式解集为， 当时，原不等式可化为， 则当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为． 综上，AB符合，CD不符合. 故选:AB． 题型十 由一元二次不等式的解确定参数 【例10】（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【分析】根据不等式的解集可得，且，，据此可逐项判断求解. 【详解】对于A，因为不等式的解集为，所以，， 二次函数的图象开口向下，因此有最大值，故A正确； 对于BC，，3是关于的一元二次方程的两根， 则，所以，，则，故B正确，C错误； 对于D，不等式即为， 即，即， 解得（舍去）或， 所以，故D正确； 故选：ABD. 【变式10-1】若不等式的解集为，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得且，由此化简要求的不等式为，从而求出它的解集. 【详解】由题，可得和是方程的两根，且， ，解得， 则不等式可化为，即， 解得，故不等式的解集为. 故选：A. 【变式10-2】已知不等式的解集非空，则的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由在R上有解，又开口向上， 所以，解得或，即或. 故选：B 【变式10-3】已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 题型十一 一元二次不等式恒成立（能成立）问题 【例11】若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 【变式11-1】若不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果. 【详解】①当，即时， ，解得. ②当，即时， 若，则原不等式为，恒成立； 若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式11-2】若关于的不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论，根据一元二次不等式与二次函数的关系即可通过判别式求解. 【详解】当时，不等式为，此时解集为，符合题意，     当，即时，由开口向上的二次函数可知不可能为空集，故不符合题意，舍去， 当，即时，此时，解得， 综上a的取值范围是：， 故答案为： 【变式11-3】若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 基础巩固通关测 1．设a，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质判断ABC，利用基本不等式判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以， 又，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立， 又，所以，故D正确. 故选：D. 2．不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】直接求出一元二次不等式的解集即可. 【详解】解不等式，得， 所以不等式的解集为. 故选：B 3．在上定义运算，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义列式结合一元二次不等式的解法计算求解. 【详解】， 化简得，， 故选：B． 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解分式不等式的解集. 【详解】因为，所以. 即，可得，解得. 故选：D. 5．的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 6．设，，且，则的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【详解】解析：，当且仅当，即，即，时取等号. 7．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 8．不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】原不等式即，解出，即可求解. 【详解】原不等式即，解得，所以， 所以解集为． 故选：A. 9．（多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】对于A，根据不等式的解集得到判断A；对于B，结合题意得到和3是关于x的方程的两根，再结合韦达定理得到，将目标不等式化为，求出解集判断B，对于C，结合得到判断C，对于D，将合理变形后求出解集判断D即可. 【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误； 对于B，由已知得和3是关于的方程的两根， 由韦达定理得，解得， 对于不等式，即化为，解得，故B正确； 对于C，可得，故C错误； 对于D，对于不等式，可化为， 而，则化为，解得，故D正确． 故选：BD 10．若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式进行求解即可． 【详解】因为， 设，则，整理得：， 解二次不等式得：，（舍负解），即， 即，当且仅当时，等号成立． 故答案为：. 11．已知，求函数的最小值． 【答案】9 【分析】根据条件，利用“”的妙用，即可求解. 【详解】因为，所以． 所以， 当且仅当，即时，上式取等号， 故． 12．已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 能力提升进阶练 1．“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先解不等式，然后根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，解得. 因为是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】整理化简分式不等式，并将其等价转化为整式不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，等价于，解得. 故选：B. 3．已知，，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立， 所以，即的最小值是4． 故选：A． 4．已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设描述，由一元二次不等式的解集列不等式求参数的范围，结合假命题个数确定参数范围. 【详解】若的解集为或，则解得； 若的解集为或，则解得； 若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得． 又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，． 故选：C. 5．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 6．用表示与的最大者，记，其中，都是正数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件有，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，都是正数，所以，当且仅当，即时取等号， ，当且仅当，即时取等号， 故，得到，当且仅当，时取等号， 故选：B. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件得到，从而得，转化成利用基本不等式解决问题. 7．（多选）若，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式、换元法逐一判断即可. 【详解】因为，所以有. A：因为，， 所以，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； B：因为，， 所以有，当且仅当时，取等号， 即当时，取等号，故本选项结论正确； C：因为，，所以 ， 即，当且仅当时取等号，即当且仅当时取等号，故本选项结论不正确； D：令，所以且， 于是， ， 即，当且仅当时取等号，即时取等号， 因此，即时取等号，所以本选项结论正确， 故选：ABD 8．（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 9．已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则， 当且仅当，且满足， 即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 10．已知关于的不等式的解是，则关于的不等式的解为 ． 【答案】或 【分析】依题意可得和是方程的两个实根，再根据根与系数的关系得，在分和两种情况讨论即可求解答案． 【详解】由关于的不等式的解是， 则和是方程的两个实根， 由根与系数的关系得，整理得， 则当时，关于的不等式转化为，解得； 当时，关于的不等式转化为，解得． 综上关于的不等式的解为或． 故答案为：或． 11．求最值： (1)已知，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最大值； (3)已知，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用基本不等式即可； （2）利用基本不等式求的最小值，再求的最大值即可； （3）先化简得，再利用的妙用化简即可. 【详解】（1）因为，且，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，有最小值，最小值为； （2）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为； （3）因为，所以， 因为，所以， 当且仅当，即，即时取等号， 故当时，有最小值，最小值为. 12．已知不等式的解集为． (1)求的值； (2)若不等式对于均成立，求实数取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集得1和2是方程的两根，然后根据韦达定理建立的方程求解即可. （2）分和两种情况讨论，时利用判别式法列不等式组求解范围，最后求并集即可. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得； （2）由（1）可知，则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，可得． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$