第3章 不等式（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

第3章 不等式 清单01实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 清单02不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 清单03基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 清单04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个 的实数根，() 有两个 的实数根 ()的解集 ()的解集 清单05分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错点1 忽略不等式性质 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 例题1 已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 例题2 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点3一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 例题3（多选）已知关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 易错点4 分式不等式转化不等价 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 例题4 不等式的解集为 . 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 例题5 （多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 8．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 9．关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 10．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 11．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（    ） A． B．， C． D．， 12．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 13．（多选）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 14．不等式的解集为 ． 15．不等式的解集为 . 16．不等式的解集是 ． 17．不等式的解集是 ． 18．解关于x的不等式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 不等式 清单01实数大小的比较 （1）如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. （2）作差法比大小：①；②；③ （3）做商法①或②③或 清单02不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 清单03基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”） （1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. （2）基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 清单04二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式 二次函数(的图象 一元二次方程 ()的根 有两个不相等的实数根，() 有两个相等的实数根 没有实数根 ()的解集 ()的解集 清单05分式不等式的解集 （1）定义： 与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。 （2）分式不等式的解法 ①移项化零：将分式不等式右边化为0： ② ③ ④ ⑤ 易错点1 忽略不等式性质 错误：不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；； 注意：不等式左右两边同乘一个负数，不等号方向要改变 例题1 已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 易错点2 多次使用通项相加性质，扩大了取值范围 错误：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 注意：解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出，的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 例题2 已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设，由相等关系列方程组求出m，n，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设，则， 所以，解得， 于是 又，， 所以，即. 故． 故选：D． 易错点3一元二次不等式首项系数含参讨论分类错误 错误：一元二次不等式求解时首项系数含参时，字母讨论遗漏 注意：解形如时，讨论时最高项系数含参，从0开始讨论，两根大小不确定从相等开始讨论 例题3（多选）已知关于的不等式，其中，则该不等式的解集可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】考虑和两种情况，不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，，A满足； 当时，，即， 当时，； 当时，不等式无解； 当时，，B满足. 故选：AB. 易错点4 分式不等式转化不等价 错误：解形如的分式不等式时，转化时错误转化为，忽略考虑了 注意：注意考虑分母不为0 例题4 不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为且，即可求解. 【详解】有已知得，，，, 即且，则不等式的解集为， 故答案为：. 易错点5 使用基本不等式时忽略了“一正、二定、三相等” 错误：使用时，忽略了 注意：利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 例题5 （多选）下列判断正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B对； 对于C选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 但，故等号不成立，所以，，D对. 故选：BCD. 1．已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 2．，，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特例法判断ACD；利用不等式的性质判断B. 【详解】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，因为，故，故B正确； 对于C、D，若，，，故C、D错误， 故选：B． 3．若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 4．已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法及不等式的性质即可求解. 【详解】令，则， 所以，解得， 所以， 因为， 所以， 又 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：D. 5．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用待定系数法求得，进而利用不等式的性质求解范围即可. 【详解】设， 所以，解得，所以； 又，，所以， 故选：D. 6．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用待定系数法求得，利用不等式的性质即可求的取值范围. 【详解】设， 所以，解得，则， 因为，，所以. 故选：D. 7．关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【详解】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C 8．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论解不等式，判断不可能的解集. 【详解】关于的不等式， 若，不等式为，解得，此时解集为； 若，方程，解得或， 时，不等式解得或，此时解集为； 时，，不等式解得，此时解集为； 时，，不等式解集为， 时，，不等式解得，此时解集为； 所以不等式的解集不可能是. 故选：B 9．关于x的不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】将原不等式化为，再分类讨论的取值情况进行求解. 【详解】由题意，原不等式可化为 当时，原不等式为，解得，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为； 当时，，原不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 故不可能的解集为或. 故选：D 10．（多选）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 11．（多选）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（    ） A． B．， C． D．， 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为的正负未知，所以，不能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于B选项，当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于C选项，对于代数式，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值； 对于D选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，能用基本不等式直接求得最大（小）值. 故选：BCD. 12．（多选）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 13．（多选）下列各式中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由正定等条件可判断. 【详解】A项，首先要使式子有意义，， 当时，，故A错误； B项，任意，， 当且仅当时，即时，等号成立. 但方程无解，故等号取不到，即，故B错误； C项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为； D项，首先要使式子有意义，则， 则，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：CD. 14．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可. 【详解】即 原不等式可化为， 解得. 故答案为： 15．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】将原不等式化为，再将分式不等式等价变形可得不等式解集为. 【详解】将不等式变为，即，可得； 等价于，解得，即； 所以不等式解集为. 故答案为： 16．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】移项通分得，即，再利用穿根法即可得到答案. 【详解】，即，即， 则，根据穿根法解得， 故答案为：. 17．不等式的解集是 ． 【答案】或} 【分析】分式不等式变式成，等价于，求解即可 【详解】，所以，解得或， 所以不等式的解集是或}. 故答案为：或} 18．解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$