第3章 不等式（单元测试·基础卷）数学苏教版2019必修第一册

2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D A D B C D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BD AD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 15．（13分） 【详解】（1）由，得，（1分） 所以，（4分） 当且仅当，即时等号成立，（5分） 所以；（6分） （2）（8分） ，（10分） 因为，所以，所以，（12分） 所以，即.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）由题意得，，是方程的两根, 则,解得.（7分） （2）由（1）得，正实数，满足，   （8分）  所以，        （12分） 当且仅当，且，即时等号成立，（14分） 所以的最小值为.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题图知， 所以，即，（2分） 解得，（3分） 所以．（4分） 因为（5分） ，当且仅当时，等号成立，（6分） 所以即当时，取得最小值．（7分） （2）因为矩形的面积大于，（8分） 所以，（10分） 化简得，（12分） 即，（14分） 解得或．（15分） 18．（17分） 【详解】（1）由函数， 若，可得，（1分） 又由，即不等式，即，（2分） 因为，且函数对应的抛物线开口向上，（3分） 所以不等式的解集为，即的解集为.（4分） （2）由对一切实数恒成立，（5分） 即对恒成立，（6分） ， ，（7分） ， ，（9分） 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是.（10分） （3）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.（11分） 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为.（12分） 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为；（13分） ②当时，，不等式的解集为或；（14分） ③当时，，不等式的解集为或；（15分） 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）证明：因为，所以，，， 所以（1分） ，（3分） 当且仅当，即，即时等号成立， 所以，（4分） 所以.（5分） （2）可变形为 ，（7分） 由（1）知的最小值为4，所以.（19分） 又，且，所以或3.（10分） （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立，（11分） 而（12分） ，（13分） 当且仅当，（14分） 即时等号成立， 所以，即，（15分） 即.（16分） 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 7．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 11．关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最小值是 ． 13．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 14．命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 16．（15分） 已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 17．（15分） 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 18．（17分） 设函数. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：. 19．（17分） 已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 7．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 11．关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最小值是 ． 13．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 14．命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 16．（15分） 已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 17．（15分） 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 18．（17分） 设函数. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：. 19．（17分） 已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一年级必修一数学单元检测卷 第3章 不等式·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一分析. 【详解】若，则，A错误； 若，则，B错误； 若，则，C错误； 若，则，D正确. 故选：D 2．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】， 所以， 原不等式的解集为． 故选：D． 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分式不等式的解法解出即可. 【详解】由， 即， 即， 即， 解得：， 所以不等式的解集为：， 故选：A. 4．已知，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用不等式的性质求各项代数式的范围. 【详解】A：由不等式的同向可加性得，即，对； B：同乘，不等式变号，得，又， 由不等式的同向可加性得，即，对； C：由B项结论及，利用不等式的同向同正可乘性得，即，对； D：因为，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则，错. 故选：D 5．已知关于的不等式0的解集为，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3，据此可得答案. 【详解】由题知一元二次方程的两个实数根分别为1和3， 则由韦达定理：，解得． 故选：B 6．某同学使用一架两臂不等长的天平称一批重物．他先将10g的砝码放在天平的左盘，取一部分重物放在天平的右盘，使天平平衡；第二次将10g的砝码放在天平的右盘，取另一部分重物放在天平的左盘，使天平平衡，则两次称得重物的总重量（    ） A．等于20g B．小于20g C．大于20g D．与左右臂的长度有关 【答案】C 【分析】设天平左臂长为a，右臂长为b，第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，由题意得，，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为天平两臂不等长，所以设天平左臂长为a，右臂长为b，则． 设第一次称得的重物为xg，第二次称得的重物为yg，则，， 故，，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 但，等号不成立，所以，故两次称得重物的总重量大于20g． 故选：C. 7．已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】由题可得.，然后由基本不等式可得 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故选：D 8．设，若关于的不等式的解集中的整数解恰有3个，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由 可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围． 【详解】关于的不等式，而， 由原不等式的解集中的整数恰有3个，得， 解不等式，得，因此原不等式解集中的3个整数是， 则，即，于是，又， 因此，解得， 实数的取值范围是， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质，结合特殊值法逐一判断即可. 【详解】对于，所以，故A错误； 因为在上单调递增，又，所以，故B正确； 令，此时，此时，故C错误； 因为，所以，因为，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 10．下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 11．关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集得到，同时和是的两个根，进而得到 ，，逐项判断即可； 【详解】由一元二次不等式得解集结构可得： 且和是的两个根， 故，，得，， A选项：由可判断A正确； B选项：，故B错误； C选项：由得得，故C正确； D选项：由得，得，得或，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，且，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式中“1”的应用计算可得当时，的最小值为. 【详解】由可得： ； 当且仅当，即当时，等号成立. 即的最小值为. 故答案为：. 13．已知是的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得或，结合充分不必要条件列不等式求参数范围. 【详解】由，得或， 又是的充分不必要条件， 所以，解得. 故答案为： 14．命题“对任意的，总存在，使得”成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】问题转化为函数与有交点，数形结合求参数的取值范围. 【详解】由. 问题转化为函数与有交点，其中，. 由图可知： . 若，则上式显然成立； 若，则，又对任意都成立，所以； 若，则，又对任意都成立，所以. 综上可知，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：“对任意的，总存在，使得”转化为：“对对任意的，的值一定在函数（）的值域内”，再分情况讨论，求的取值范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 选用恰当的证明方法，证明下列不等式． (1)已知，且，求证：； (2)已知，求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题设，应用基本不等式证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以； （2） ， 因为，所以，所以， 所以，即. 16．（15分） 已知关于的不等式的解集为. (1)求实数，的值； (2)若正实数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韦达定理求解即可； （2）利用将转化为基本不等式形式求解即可. 【详解】（1）由题意得，，是方程的两根, 则,解得. （2）由（1）得，正实数，满足，     所以，         当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 17．（15分） 某村原有一块矩形场地建有健身器材，为了满足村民对体育锻炼的需求，计划在原有矩形场地的基础上扩建成一个更大的矩形场地．为了不影响原有的锻炼环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线经过点，如图所示．已知，，设，矩形的面积为． (1)写出关于的表达式，并求出为多少时，有最小值； (2)要使矩形的面积大于，则的长应在什么范围内？ 【答案】(1)，当时，取得最小值 (2)或 【分析】（1）先根据平行得出比例关系计算得，再应用基本不等式计算即可； （2）应用已知列不等式再求解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题图知， 所以，即， 解得， 所以． 因为 ，当且仅当时，等号成立， 所以即当时，取得最小值． （2）因为矩形的面积大于， 所以，化简得， 即， 解得或． 18．（17分） 设函数. (1)若，求的解集； (2)若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； (3)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）将代入，解即可； （2）由题意对恒成立，分离参数，转化为求函数最值即可求解； （3）由题意，对分类讨论即可求解. 【详解】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. （2）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， ， ， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是. （3）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19．（17分） 已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析 (2)2或3 (3) 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【详解】（1）证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. （2）可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$