河北省石家庄市第二十七中学2024--2025学年九年级上学期期中考数学试卷

第 1页（共 18页） 2024-2025学年河北省石家庄二十七中九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．（3分）已知 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 2．（3分）若反比例函数 y＝ 的图象在第二，四象限，则 m的取值范围是（ ） A．m＞ B．m＜ C．m＞2 D．m＜2 3．（3分）淇淇在计算正数 a的平方时，误算成 a与 2的积，求得的答案比正确答案小 1，则 a＝（ ） A．1 B． ﹣1 C． +1 D．1或 +1 4．（3分）如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则 sin∠B的值为（ ） A． B． C． D． 5．（3分）如图，每个小正方形的边长均为 1，则下列图中的三角形（阴影部分）与如图中的 △ABC相似的是（ ） A． B． C． D． 第 2页（共 18页） 6．（3分）某场比赛，共有 10位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从 10个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到 8个有效评分，8个有效评分的方差 与 10个原始评分的方差相比（ ） A．不变 B．变大 C．变小 D．不能确定 7．（3分）关于 x的一元二次方程 x2﹣mx+（m+1）＝0有两个相等的实数根，则代数式 8m﹣ 2m2+10的值为（ ） A．18 B．10 C．4 D．2 8．（3分）如图是某校建党 100周年的宣传海报，中间是一张长与宽之比为 3：2的矩形图案， 周围是宽度为 10cm的白色边框，其中图案面积等于边框面积，现设这张矩形图案的长为 3x cm，根据题意列出方程为（ ） A．（3x+10）（2x+10）＝6x2 B．（3x+10）（2x+10）＝12x2 C．（3x+20）（2x+20）＝6x2 D．（3x+20）（2x+20）＝12x2 9．（3分）反比例函数 在第一象限的图象如图所示，则 k的值可能是（ ） A．10 B．8 C．7 D．6 10．（3分）如图，电线杆 AB的中点 C处有一标志物，在地面 D点处测得标志物的仰角为 35°， 若拉线 CD的长度是 a米，则电线杆 AB的长可表示为（ ） 第 3页（共 18页） A．2a•cos35°米 B． 米 C．2a•sin35°米 D． 米 11．（3分）如图，在△ABC中，直尺的一边与 BC重合，另一边分别交 AB，AC于点 D，E．其 中点 B，C，D，E处的读数分别为 8、16、10.5、14.5，已知直尺宽为 3，则△ABC中 BC 边上的高为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点 A，C为圆心，大于 AC的 长为半径画弧，两弧相交于点 D，E，作直线 DE分别交 AC，BC于点 F，G．以 G为圆心， GC长为半径画弧，交 BC于点 H，连结 AG，AH．则下列说法错误的是（ ） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG•CB 二、填空题（本大题有 4个小题，每小题 3分，共 12分） 13．（3分）若 m，n是方程 x2﹣5x+6＝0的两个实数根，则 2m+2n﹣mn的值为 ． 14．（3分）黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两 点都是线段 AB的黄金分割点．若 AC＝2，则 AB的长为 ．（结果保 留根号） 第 4页（共 18页） 15．（3 分）如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A、B、O都在格点上，则∠AOB 的正弦值是 ． 16．（3分）如图，过 的图象上点 A，分别作 x轴，y轴的平行线交 的图象 于 B，D两点，以 AB，AD为邻边的矩形 ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记 为 S1，S2，S3，S4，若 ，则 k的值为 ． 三、解答题（本大题有 8个小题，共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）（1）解方程 x2﹣4x＝32； （2）计算 ． 18．（9 分）某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取 50名学生进行测 试，并对成绩（满分 100分）进行分组整理，各小组的成绩（x分）分段为：50≤x＜60， 60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100，信息如下： 第 5页（共 18页） a．成绩频数分布图如图所示： b．成绩在 70≤x＜80这一组的是（单位：分）： 70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79 根据以上信息，回答下列问题， （1）补全统计图并求成绩不低于 80分的人数占测试人数的百分比； （2）求这次测试成绩的中位数； （3）这次测试成绩的平均数是 76.4分，甲的测试成绩是 77分．乙说：“甲的成绩高于平 均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由． 19．（9分）如图，△ABC的顶点都在网格点上，点 B的坐标（﹣2，1）． （1）以点 O为位似中心，把△ABC按 2：1放大在 y轴的左侧，画出放大后的△DEF； （2）点 A的对应点 D的坐标是 ； （3）S△ABO：S 四边形 ABED＝ ． 20．（9分）已知 A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数 y＝kx+b和反比例函数 y＝ 图象 两个交点． 第 6页（共 18页） （1）求一次函数和反比例函数的解析式． （2）求△AOB的面积． （3）观察图象，直接写出不等式 kx+b＞ 的解集． 21．（9分）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔 AB前有一座高为 DE 的观景台，已知 CD＝6m，∠DCE＝30°，点 E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组 在观景台 C处测得塔顶部 B的仰角为 45°，在观景台 D处测得塔顶部 B的仰角为 27°． （1）求 DE的长； （2）设塔 AB的高度为 h（单位：m）； ①用含有 h的式子表示线段 EA的长（结果保留根号）； ②求塔 AB的高度（tan27°取 0.5， 取 1.7，结果取整数）． 22．（10 分）公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计 了某品牌头盔 4月份到 6月份的销量，该品牌头盔 4月份销售 150个，6月份销售 216个， 且从 4月份到 6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为 30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为 40元时，月销 售量为 600个，在此基础上售价每涨价 1元，则月销售量将减少 10个．设该品牌头盔售价 为 x元，月销售量为 y． 第 7页（共 18页） ①直接写出 y关于 x的函数关系式； ②为使月销售利润达到 10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价 应定为多少元？ 23．（10分）已知：在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点 M是斜边 AB的中点，MD∥BC，且 MD＝CM，DE⊥AB于点 E，连接 AD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）当 S△BDM＝ 时，求 S△BED：S△MED的值； （3）在（2）的条件下，求 cos∠ABC的值． 24．（10分）如图 1，正方形 AFEG与正方形 ABCD有公共点 A，点 G，F分别在 AD，AB上， 点 E在正方形 ABCD的对角线 AC上．将正方形 AFEG绕 A点逆时针方向旋转，旋转角为 α（0°≤α≤360°）． （1）当α＝0°时， ＝ ； （2）如图 2，当 0°＜α＜45°时，连接 CE，DG， 是否为定值？请说明理由； （3）若 ，AG＝2，当 C，G，E三点共线时，求 DG的长度． 第 8页（共 18页） 2024-2025学年河北省石家庄二十七中九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 3分，共 36分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．【解答】解：∵ ， ∴ ＝ ﹣1＝ ﹣1＝ ． 故选：A． 2．【解答】解：∵反比例函数 y＝ 的图象在第二、四象限． ∴2m﹣1＜0， ∴m＜ ． 故选：B． 3．【解答】解：根据题意得，a2﹣2a＝1， 解得 a＝1± ， ∵a＞0， ∴a＝ +1． 故选：C． 4．【解答】解：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理，得 AB2＝AC2+BC2， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 5．【解答】解：由勾股定理得：AC＝ ＝ ，BC＝2，AB＝ ＝ ， ∴AB：BC：AC＝1： ： ， A、三边之比为 1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； B、三边之比：1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似； C、三边之比为 ： ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似； D、三边之比为 2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 第 9页（共 18页） 故选：B． 6．【解答】解：8个有效评分的方差与 10个原始评分的平均数不能确定， 所以方差不能比较大小， 故选：D． 7．【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣m）2﹣4×（m+1）＝0， 整理，得 m2﹣4m＝4， 所以原式＝﹣2（m2﹣4m）+10＝﹣2×4+10＝2， 故选：D． 8．【解答】解：依题意有，这张矩形图案的长为 3x cm，则这张矩形图案的宽为 2x cm， 根据题意得：（3x+20）（2x+20）＝12x2． 故选：D． 9．【解答】解：如图，当 x＝4时，y＝ 观察图象可知， ＞2， ∴k＞8， ∴k＝10符合题意． 故选：A． 10．【解答】解：由题意得：∠CBD＝90°， 在 Rt△CBD中，∠CDB＝35°，CD＝a米， ∴BC＝CD•sin35°＝asin35°（米）， ∵点 C是 AB的中点， ∴AB＝2BC＝2asin35°（米）， 故选：C． 11．【解答】解：过 A作 AH⊥BC于 H，交 DE于 F， ∵点 B，C，D，E处的读数分别为 8、16、10.5、14.5， ∴BC＝16﹣8＝8，DE＝14.5﹣10.5＝4， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ， ∵直尺宽为 3， 第 10页（共 18页） ∴FH＝3， ∴ ， ∴AH＝6， ∴△ABC中 BC边上的高为 6， 故选：D． 12．【解答】解：由作法得 DE垂直平分 AC，GH＝GC， ∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以 A选项不符合题意； ∵CG＝GH，CF＝AF， ∴FG为△ACH的中位线， ∴FG∥AH， ∴AH⊥AC， ∴∠CAH＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°， ∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°， ∴∠B＝2∠HAB，所以 B选项不符合题意； ∵GC＝GA， ∴∠GAC＝∠C＝36°， ∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°， ∵△ACH为直角三角形， ∴△CAH与△BAG不全等，所以 C选项符合题意； ∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B， ∴△CAG∽△CBA， ∴CG：CA＝CA：CB， ∴CA2＝CG•CB， 第 11页（共 18页） ∵∠BAG＝∠AGB＝72°， ∴AB＝GB， 而 AB＝AC， ∴AC＝GB， ∴BG2＝CG•CB，所以 D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题有 4个小题，每小题 3分，共 12分） 13．【解答】解：由根与系数的关系可知：m+n＝5，mn＝6， ∴原式＝2（m+n）﹣mn ＝2×5﹣6 ＝4， 故答案为：4． 14．【解答】解：∵D是线段 AB的黄金分割点， ∴BC＝ AB， 由题意得：AB﹣ AB＝2， 解得：AB＝3+ ， 故答案为：3+ ． 15．【解答】解：如图：过 O作 OE⊥AB于 E，过 A作 AC⊥OB于 C． 由勾股定理得：OA＝ ＝ ，OB＝ ＝ ， ∵S△ABO＝ AB•OE＝ OB•AC， ∴AC＝ ＝ ＝ ， ∴∠AOB的正弦值是 ＝ ＝ ， 第 12页（共 18页） 故答案为： ． 16．【解答】解：设 ，在 中，令 得 ， 令 x＝m得 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴S2＝S4＝1， ， ∵ ， ∴ ， ∴k＝2． 故答案为：2． 三、解答题（本大题有 8个小题，共 72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解答】解：（1）原方程可变形为 x2﹣4x﹣32＝0， （x+4）（x﹣8）＝0， x+4＝0或 x﹣8＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝8； （2）原式＝2× +（ ）2﹣ × ＝1+ ﹣1 ＝ ． 18．【解答】解：（1）成绩在 60≤x＜70的人数为 50﹣7﹣12﹣16﹣6＝9（人）， 补全统计图如下： 第 13页（共 18页） 成绩不低于 8（0分）的人数占测试人数的百分比为 ×100%＝44%； （2）这次测试成绩的中位数是第 25、26个数据的平均数，而第 25、26个数据的平均数为 ＝78.5， 所以这组数据的中位数是 78.5； （3）不正确，理由： 因为甲的成绩 7（7分）低于中位数 78．（5分）， 所以甲的成绩不可能高于一半学生的成绩． 19．【解答】解：（1）如图，△DEF即为所求； （2）点 D的坐标是（﹣2，6）， 故答案为：（﹣2，6）； （3）根据题意得 AB∥DE， ∴△ABO∽△DEO， 又∵位似比为 2：1， 第 14页（共 18页） ∴S△ABO：S△DEO＝1：4， ∴S△ABO：S 四边形 ABED＝1：3， 故答案为：1：3． 20．【解答】解：（1）把 A（﹣4，2）代入 y＝ ， 得 m＝2×（﹣4）＝﹣8，则反比例函数解析式为 y＝﹣ ． 把 B（n，﹣4）代入 y＝﹣ ， 得﹣4n＝﹣8，解得 n＝2，则 B点坐标为（2，﹣4）． 把 A（﹣4，2）、B（2，﹣4）代入 y＝kx+b得 ， 解得 ， 则一次函数解析式为 y＝﹣x﹣2； （2）直线与 x轴的交点为 C，在 y＝﹣x﹣2中，令 y＝0，则 x＝﹣2， 即直线 y＝﹣x﹣2与 x轴交于点 C（﹣2，0）， ∴OC＝2． ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝ ×2×2+ ×2×4＝6； （3）由图可得，不等式 kx+b﹣ ＞0解集范围是 x＜﹣4或 0＜x＜2． 21．【解答】解：（1）由题意得：DE⊥EC， 在 Rt△DEC中，CD＝6m，∠DCE＝30°， ∴DE＝ CD＝3（m）， ∴DE的长为 3m； （2）①由题意得：BA⊥EA， 在 Rt△DEC中，DE＝3m，∠DCE＝30°， ∴CE＝ DE＝3 （m）， 在 Rt△ABC中，AB＝h m，∠BCA＝45°， ∴AC＝ ＝h（m）， 第 15页（共 18页） ∴AE＝EC+AC＝（3 +h）m， ∴线段 EA的长为（3 +h）m； ②过点 D作 DF⊥AB，垂足为 F， 由题意得：DF＝EA＝（3 +h）m，DE＝FA＝3m， ∵AB＝h m， ∴BF＝AB﹣AF＝（h﹣3）m， 在 Rt△BDF中，∠BDF＝27°， ∴BF＝DF•tan27°≈0.5（3 +h）m， ∴h﹣3＝0.5（3 +h）， 解得：h＝3 +6≈11， ∴AB＝11m， ∴塔 AB的高度约为 11m． 22．【解答】（1）解：设月增长率为 a， 依题意可得：150（1+a）2＝216， 解得：a1＝0.2＝20%，a2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为 20%． （2）解：①y＝600﹣10（x﹣40）＝600﹣10x+400＝1000﹣10x； ②依题意，得：（x﹣30）（1000﹣10x）＝10000， 整理，得：x2﹣130x+4000＝0， 解得：x1＝80，x2＝50， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为 50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为 50元． 第 16页（共 18页） 23．【解答】解：（1）∵MD∥BC， ∴∠DME＝∠CBA， ∵∠ACB＝∠MED＝90°， ∴△MED∽△BCA， （2）∵∠ACB＝90°，点 M是斜边 AB的中点， ∴MB＝MC＝AM＝ AB， ∵MC＝MD， ∴MD＝ AB， ∴S△AMC＝S△BMC＝ S△ABC， ∵△MED∽△BCA， ∴ ＝（ ）2＝ ， ∵S△BDM＝ ， ∴ ＝ ， ∴S△BED：S△MED＝1：3； （3）∵ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵MD＝MB， ∴ ＝ ， ∴cos∠EMD＝ ＝ ， ∵∠DME＝∠CBA， ∴cos∠ABC＝ ． 24．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD是正方形，四边形 AFEG是正方形， ∴∠AGE＝∠D＝90°，∠DAC＝45°， ∴ ＝ ，GE∥CD， 第 17页（共 18页） ∴ ＝ ＝ ， 故答案为： ； （2）为定值 ，理由：连接 AE， 由旋转性质知∠CAE＝∠DAG＝α， 在 Rt△AEG和 Rt△ACD中， ＝cos45°＝ ， ＝cos45°＝ ， ∴ ＝ ， ∴△ADG∽△ACE， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ； （3）①如图： 同（2）的方法知，△ADG∽△ACE， ∴ ＝ ＝ ， ∴DG＝ CE， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝2 ，AC＝ ＝4， 第 18页（共 18页） ∵四边形 AFEG是正方形， ∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝2， ∵C，G，E三点共线． ∴CG＝ ＝2 ， ∴CE＝CG﹣EG＝2 ﹣2， ∴DG＝ CE＝ ﹣ ； ②如图： 同（2）的方法知，△ADG∽△ACE， ∴ ＝ ＝ ， ∴DG＝ CE， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝BC＝2 ，AC＝4， ∵四边形 AFEG是正方形， ∴∠AGE＝90°，GE＝AG＝2， ∵C，G，E三点共线． ∴∠AGC＝90°， ∴CG＝ ＝2 ， ∴CE＝CG+EG＝2 +2， ∴DG＝ CE＝ + ． 综上，当 C，G，E三点共线时，DG的长度为 ﹣ 或 + ． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/11/25 13:38:22；用户：宋瑞宇；邮箱：sjzyg09@xyh.com；学号：51481920