第十八章 分式 单元训练 2025--2026学年人教版八年级数学上册

第十八章分式课后培优训练人教版2025—2026学年八年级上册 一、选择题 1．石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为（　　） A．0.34×10﹣6 B．3.4×10﹣7 C．3.4×10﹣6 D．34×10﹣8 2．下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 4．若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 5．五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是x元，可列出方程（　　） A． B． C． D． 6．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣2 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A．m＝2 B．n＝6 C．a＝﹣4 D．b＝﹣3 7．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x 8．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（　　） A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0 9．已知分式的值为0，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 10．如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 二、填空题 11．分式和的最简公分母是 　 ． 12．当x＝ 　 　 时，分式的值等于零． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　 　 ． 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　 　 ． 三、解答题 15．已知分式：（），及一组数据：﹣2，﹣1，1，2，0．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的数代入x求值． 16．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求4A﹣B的值． 17．计算：（1）； （2）解分式方程：． 18．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　 　 ． 19．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 20．乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 21．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式M，N，M+N15，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”k＝15． （1）已知分式A，B，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”k＝5， ①求M＝　 　 （用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值： （3）若分式E，F（b、c为整数且a＝b+c），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，求a的值． 参考答案 一、选择题 1．石墨烯是目前世界上最薄却是最坚硬的纳米材料，同时也是导电性最好的材料，其理论厚度仅0.00000034毫米，将0.00000034用科学记数法表示应为（　　） A．0.34×10﹣6 B．3.4×10﹣7 C．3.4×10﹣6 D．34×10﹣8 【解答】解：0.00000034＝3.4×10﹣7． 故选：B． 2．下列分式变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、，选项变形错误，不符合题意； B、，选项变形错误，不符合题意； C、，选项变形错误，不符合题意； D、，选项变形正确，符合题意． 故选：D． 3．下列分式中，属于最简分式的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； B、原式＝﹣1，不是最简分式，故本选项不符合题意； C、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意； D、该式子是最简分式，故本选项符合题意； 故选：D． 4．若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值（　　） A．不变 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【解答】解：由题意得：， ∴若把分式中的a，b都缩小为原来的，则分式的值扩大为原来的3倍， 故选：D． 5．五一劳动节期间，某景点的商店推出优惠活动，决定每个纪念品降价1元销售，降价后用120元可以比降价前多购买4个．设该纪念品的原价是x元，可列出方程（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵该纪念品的原价是x元， ∴该纪念品降价后的价格是（x﹣1）元． 根据题意得：4． 故选：A． 6．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则下列结论中错误的是（　　） x的取值 ﹣2 2 a 0 分式的值 无意义 0 1 b A．m＝2 B．n＝6 C．a＝﹣4 D．b＝﹣3 【解答】解：根据分式无意义及分母为0即可求出m的值如下： 当x＝﹣2时，分式无意义， ∴x+m＝0，即﹣2+m＝0， ∴m＝2， 故A选项不符合题意； 此时分式为， 当x＝2时，分式的值为0， ∴， ∴n＝6， 故B选项不符合题意； 此时分式为， 当分式的值为1时，， 解得x＝4，即a＝4， 故C选项错误，符合题意； 当x＝0时，， 故D选项不符合题意； 故选：C． 7．解分式方程时，去分母正确的是（　　） A．1﹣2＝﹣1+x B．1﹣2（x﹣2）＝1﹣x C．1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x D．1﹣2（x﹣2）＝﹣1﹣x 【解答】解：原方程去分母得：1﹣2（x﹣2）＝﹣1+x， 故选：C． 8．用换元法解方程时，若设，则原方程可以化为（　　） A．3y2+2y+3＝0 B．3y2+3y+2＝0 C．2y2+3y+3＝0 D．2y2+2y+3＝0 【解答】解：原方程整理得， 把代入方程得：， 整理得：3y2+3y+2＝0． 故选：B． 9．已知分式的值为0，则x＝（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【解答】解：根据题意得，|x|﹣1＝0且1﹣x≠0， 解得x＝﹣1． 故选：B． 10．如果分式方程无解，则a的值为（　　） A．﹣4 B． C．2 D．﹣2 【解答】解：去分母得：x＝2（x﹣4）﹣a 解得：x＝a+8 根据题意得：a+8＝4 解得：a＝﹣4． 故选：A． 二、填空题 11．分式和的最简公分母是 　6a2b2　 ． 【解答】解：∵和的分母分别为3a2b和2ab2， ∴两个分式的最简公分母为：6a2b2． 故答案为：6a2b2． 12．当x＝ 　3　 时，分式的值等于零． 【解答】解：由题可知， ， 解得x＝3． 故答案为：3． 13．已知关于x的分式方程有增根，则m的值是 　3　 ． 【解答】解：去分母得：3x﹣m﹣3＝x﹣2， 整理得：x， 原方程的增根为x＝2， ∴2， ∴m＝3． 故答案为：3． 14．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是　m＜3且m≠2　 ． 【解答】解：， 解得：x＝3﹣m， ∵原分式方程有解， ∴x﹣1≠0，即3﹣m≠1（求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解）， 解得：m≠2， ∵方程的解是正数， ∴3﹣m＞0， 解得：m＜3， ∴m＜3且m≠2， 故答案为：m＜3且m≠2． 三、解答题 15．已知分式：（），及一组数据：﹣2，﹣1，1，2，0．请先将已知分式化简，再从已知数据中选取一个你喜欢的数代入x求值． 【解答】解：原式＝[]•（x+1）（x﹣1） ＝x2+1， ∵x≠±1， ∴x可取±2和0， 当x＝2时，原式＝22+1＝5， 当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+1＝5， 当x＝0时，原式＝02+1＝1． 16．（1）若关于x的方程有增根，求m的值． （2）在（1）中的条件下，若，求4A﹣B的值． 【解答】解：（1）方程两边同乘以（x﹣3），得，x﹣4+m＝2（x﹣3）， 解得x＝2+m， ∵方程有增根， ∴x＝3， 把x＝3代入x＝2+m中，得3＝2+m， 解得m＝1， ∴m的值为1． （2）由（1）得m＝1， ∴方程为， 方程两边同乘以（x﹣1）（x﹣2），得， 3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1）， 3x﹣4＝Ax+Bx﹣2A﹣B， 可得， 解得， ∴4A﹣B＝2． 17．计算：（1）； （2）解分式方程：． 【解答】解：（1）原式 ； （2）去分母得： 1+x＝2（x﹣5）﹣1， 去括号得： 1+x＝2x﹣10﹣1， 移项，合并同类项得： ﹣x＝﹣12， ∴x＝12． 经检验，x＝12是原方程的根， ∴原方程的解为：x＝12． 18．如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．例：分式，，M+N＝1，则M与N互为“和整分式”，“和整值”k＝1． （1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k． （2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4． ①求G； ②若x为正整数，分式D的值也为正整数，则x值为　1或2　 ． 【解答】解：（1）∵A+B3， ∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝3． （2）①∵，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝4， ∴， 去分母得：（4x﹣2）（x+3）+G＝4（x+3）（x﹣3）， 整理得：G＝4（x+3）（x﹣3）﹣（4x﹣2）（x+3）＝﹣10x﹣30． ②∵G＝﹣10x﹣30， ∴D． ∵分式D的值为正整数， ∴x﹣3＝﹣1或﹣2或﹣5． 当x﹣3＝﹣1时，x＝2， 当x﹣3＝﹣2时，x＝1， 当x﹣3＝﹣5时，x＝﹣2（舍去）， ∴x值为1或2． 故答案为：1或2． 19．已知，关于x的方程：． （1）若方程无解，求m的取值； （2）若方程的解为整数，求整数m的值． 【解答】解：（1）， 去分母，得3（x﹣1）+6（x+1）＝mx， 去括号，得3x﹣3+6x+6＝mx， 移项、合并同类项，得（m﹣9）x＝3， 当x＝﹣1时，得9﹣m＝3， 解得m＝6； 当x＝1时，得m﹣9＝3， 解得m＝12， ∴若方程有增根，m的取值为6或12； ∵（m﹣9）x＝3， ∴当m﹣9＝0时原分式方程无解， ∴m＝9， ∵当m＝6或12时方程有增根， ∴若方程无解，m的取值为6或9或12； （2）由（1）知，（m﹣9）x＝3， ∴， ∵方程的解为整数， ∴m﹣9＝±3，m﹣9＝±1， 当m﹣9＝3时，m＝12（舍去）； 当m﹣9＝﹣3时，m＝6（舍去）； 当m﹣9＝1时，m＝10； 当m﹣9＝﹣1时，m＝8； ∴m＝8或10． 20．乡村全面振兴背景下，大学生小张毕业返乡创办了樱桃合作社．现合作社需购买甲、乙两种肥料，已知甲种肥料每袋比乙种贵100元，且用15000元购得乙种肥料的数量，恰为10000元购得甲种肥料数量的2倍． （1）求甲、乙两种肥料每袋的价格； （2）若两种肥料共需40袋且总费用不超过13500元，则甲种肥料最多可购买多少袋？ 【解答】解：（1）设每袋乙种肥料的价格是x元，则每袋甲种肥料的价格是（x+100）元， 根据题意得：2， 解得：x＝300， 经检验，x＝300是所列方程的解，且符合题意， ∴x+100＝300+100＝400（元）． 答：每袋甲种肥料的价格是400元，每袋乙种肥料的价格是300元； （2）设购买y袋甲种肥料，则购买（40﹣y）袋乙种肥料， 根据题意得：400y+300（40﹣y）≤13500， 解得：y≤15， ∴y的最大值为15． 答：甲种肥料最多可购买15袋． 21．如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“幸福分式”，常数k称为“幸福值”．如分式M，N，M+N15，则M与N互为“幸福分式”，“幸福值”k＝15． （1）已知分式A，B，判断A与B是否互为“幸福分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“幸福值”k； （2）已知分式C，D，C与D互为“幸福分式”，且“幸福值”k＝5， ①求M＝　﹣6x﹣12　 （用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，求x的值： （3）若分式E，F（b、c为整数且a＝b+c），E是F的“幸福分式”，且“幸福值”k＝5，求a的值． 【解答】解：（1）A与B是互为“幸福分式”，理由如下： 分式，， ∴， ∴A与B是互为“幸福分式”，“幸福值”k为2； （2）①∵，且“幸福值”k＝5， ∴5x2+6x﹣8+M＝5（x﹣2）（x+2）＝5x2﹣20， ∴M＝﹣6x﹣12； 故答案为：﹣6x﹣12； ②， ∵分式D的值为正整数， ∴x﹣2是﹣6的约数，即x﹣2＝﹣1或﹣2或﹣3或﹣6， 解得：x＝1或0或﹣1或﹣4； ∵x为正整数， ∴x＝1； （3）E是F的“幸福分式”， ∴， ﹣x2+5x+ax﹣5a+x2﹣cx﹣bx+bc＝5x﹣20， （5+a﹣c﹣b）x+bc﹣5a＝5x﹣20， ∵a＝c+b， ∴5x+bc﹣5（c+b）＝5x﹣20， ∴bc﹣5（c+b）＝﹣20， ∴bc﹣5c＝5b﹣20， ∴c（b﹣5）＝5b﹣20， ∴， ∴c，b为整数， ∴b﹣5一定是5的约数， b﹣5＝﹣1或﹣5或l或5， 解得：b＝4 或0或6或10， ∴c＝0或4或10或6， ∴a＝c+b＝4或4或16或16， 即a的值为4或16． 学科网（北京）股份有限公司 $$