第05讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年七年级数学上册同步讲义与测试（苏科版2024）

第05讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.用计算器计算有理数的加减混合运算 6.数轴上两点之间的距离 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、数轴上两点之间的距离 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. “同号”指两数同时是正数或负数. (2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 相加 若＞0，b＞ 0， 则＋b＝＋(||＋|b|) 若＜0，b＜0， 则＋b=－(||＋|b|) 3. 有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有0 . 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条；(2)确定和的符号；(3)确定和的绝对值. 知识点2.有理数加法运算律 1. 有理数加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b＝b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c＝ ＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)相反数结合法；(2)同号结合法；(3)同形结合法；(4)凑整法；(5)拆项结合法. 3. 有理数加法的推论 如果＋b＝0 ，那么，b互为相反数. 知识点3.有理数的减法 1. 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：－b＝＋(－b) ，其中，b表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－较小的数＝正数，即若> b，则－b> 0 . (2)较小的数－较大的数＝负数，即若<b，则－b< 0 . (3)相等的两个数的差为0，即若＝b，则－b＝0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个数的和的形式. (2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便. 2. 省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算，在和式里可以把加号及括号省略不写，以简化书写形式. 3. 加法运算律在有理数加减混合运算中的应用原则 正数和负数分别相结合；同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和真分数两部分后，再计算. 知识点5.用计算器计算有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算，可依次输入算式中各有理数及各级括号，输入完毕，按等号键 ＝ ，即得运算结果. 知识点6.数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 【答案】D 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是掌握有理数的加法运算法则．根据有理数加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：如果两个有理数的和是负数那么这两个数可能是一个正数与一个负数，例如，可能都是负数，例如，也可能是0和一个负数，例如，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于，如的各位数字之和是，像这样的三位数共有 个． 【答案】15 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数中三位数的组成，有理数加法运算，运用分类讨论解决问题。 根据题意，三位数的各位数字之和等于5，分类讨论：百位为5，百位为4，百位为3，百位为2，百位为1的数；把这五种情况下符合要求的三位数都列举出来，再求出它们的和即可。 【详解】解：当百位为5时，有500，共1个； 当百位为4时，有410，401共2个； 当百位为3时，有320、302，311，共3个； 当百位为2时，有230、203、221，212共4个； 当百位为1时，有140、104、131、113，122共5个。 一共：（个）， 故答案为：15。 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，1，2，，这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，请你在图中完成．（填写一种情况符合题意即可） 【答案】 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 【详解】解：由题意，填写如下： 题型二、有理数加法中的符号问题 4．两个数的和是正数，那么这两个数（   ） A．都是正数 B．一正一负 C．都是负数 D．至少有一个是正数 【答案】D 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】根据有理数的加法法则：两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行逐一分析即可． 【详解】解：、不一定，例如：，故此选项错误； 、不一定，例如：2与6的和8为正数，但是2与6都是正数，并不是一正一负，故此选项错误； 、两负数相加和必为负数，故此选项错误； 、至少有一个是正数正确，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法法则：两个数相加，取绝对值较大的加数的符号．所以两个数的和为正数，那么这两个数至少一个为正数． 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【知识点】有理数加法中的符号问题 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 6．如图，有理数a，b，c在数轴上的位置大致如下： （1）去绝对值符号：|a－c|＝ ，| b－a|＝ ； （2）化简：|c－b|－|b－a|－|a＋c|． 【答案】（1）c－a，b－a；（2）2a 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法中的符号问题、整式加减的应用 【分析】（1）根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简即可； （2）原式利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：（1）根据题意，有理数a，b，c在数轴上的位置得：a＜c＜0，a＜0＜b， ∴|a－c|＝c-a，| b－a|＝b-a ； 故答案为：c－a， b－a． （2）∵c－b＜0，b－a＞0，a＋c＜0， ∴原式＝－( c－b)－(b－a)－(－a－c) ＝b－c－b＋a＋a＋c ＝2a． 【点睛】此题考查了整式的加减，数轴，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．（22-23七年级上·江苏常州·期中）某天上午8时的气温为，到中午时温度升高，傍晚时温度下降，则傍晚时温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】此题考查了有理数加法的应用．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则傍晚时温度为， 故选：A． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 【答案】 【知识点】有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数的加法，由图1可以看出白色表示负数，黑色表示正数，观察图2即可列式求解，掌握有理数加法的运算法则是关键． 【详解】解：根据图1可知：白色表示负数，黑色表示正数， 图2表示的计算过程为：． 故答案为：． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 【答案】(1) (2)与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数加法在生活中的应用 【分析】本题主要考查了有理数加法的实际应用，有理数比较大小的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）超过或不足的重量的绝对值最小的那筐白菜最接近标准重量，据此求解即可； （2）把这6筐白菜超过或不足的重量相加，若结果为正，则与标准重量比较是超过，计算结果即为超过的重量，若结果为0，则等于标准重量，若结果为负，则与标准重量比较是不足，计算结果的绝对值即为不足的重量，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜是编号为4的白菜， ∴这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重千克； （2）解： 千克， 答：与标准重量比较，6筐白菜总计不足1千克． 题型四、有理数加法运算律 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数加法运算律 【分析】根据有理数的加法交换律即可解答，注意：交换加数时，加数前面的符号不能改变. 【详解】解：； 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法交换律是解题的关键. 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】本题主要考查有理数的加法，解答的关键是灵活运用有理数的加法的运算律． 利用有理数的加法的交换律与结合律对式子进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】2 【知识点】有理数加法运算律 【分析】本题考查了有理数的加法．熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键． 将分母相同的分数进行加减即可． 【详解】解： ． 题型五、有理数的减法运算 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）马虎同学做了以下4道计算题： ①；②；③；④； 请你帮他检查一下，他一共做对了（　　） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 【答案】B 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】此题主要考查了有理数的加减运算，根据有理数的加减运算法则一一检查判断即可． 【详解】解：①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③错误； ④，故④错误； 所以他一共做对了2道题， 故选：B． 14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，用字母表示这一法则，可写成 ． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了有理数的减法法则，同时也考查了利用字母表示数或公式．根据有理数的减法法则即可解决问题． 【详解】解：依题意得：减去一个数，等于加上这个数的相反数， 用字母表示这一法则，可写成：， 故答案为∶ ． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是： （1）由两个加数与和的关系，即可求出被墨水污染的减数； （2）把求出的被墨水污染的减数代入减法算式计算，即可得出正确结果． 【详解】（1）解：由题意，得被墨水污染的减数为； （2）． 题型六、有理数减法的实际应用 16．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）徐州市区某天的最高气温是，最低气温是，计算出该市这天的日温差（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查有理数的减法，正数和负数，根据题意列出式子再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表，则最低海拔的落差最大相差是 米． 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m 【答案】387 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数，有理数的减法．根据题意列式计算即可． 【详解】解：（米）， 即最低海拔的落差最大相差是387米， 故答案为：387． 18．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 【答案】(1)11 (2)周一温差最大，最大是． 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】本题考查了有理数减法的实际应用，准确理解题意并熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）用这天的最高气温减去最低气温即可求解； （2）分别求得本周中每天最高气温与最低气温的差，比较即可求解． 【详解】（1）解：由题意得（度）， 故答案为：11； （2）解：周一：； 周二：； 周三：； 周四：； 周五：； ， 答：周一温差最大，最大是． 题型七、有理数的加减混合运算 19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）把式子写成省略加号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加减法法则写成省略加号的形式即可求出结果 【详解】解：． 故选：A． 20．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 21．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2)2 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握去括号法则，有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据去括号，有理数的加减混合运算法则即可求解； （2）去括号，根据加法交换律，结合律，有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型八、有理数加减中的简便运算 22．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 【答案】C 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据加法交换律和加法结合律进行计算即可求解． 【详解】解：将式子先变成再计算结果，则小磊运用了加法交换律和加法结合律 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算律，熟练掌握加法交换律和加法结合律是解题的关键． 23．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，步骤①的运算依据是 ． 计算： ① ② . 【答案】加法的交换律 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】根据有理数的加减法法则解答即可． 【详解】解： ， 利用的是加法的交换律， 故答案为：加法的交换律． 【点睛】本题考查了有理数的加减法，解答本题关键是掌握有理数的加减运算法则． 24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键；因此此题可根据有理数的加法结合律可进行求解 【详解】解：原式 ＝…… ． 题型九、有理数加减混合运算的应用 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查了有理数的加减运算，上升记为正数，下降记为负数，列出算式计算即可求出答案． 【详解】解：根据题意得，， 故选：C． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    【答案】 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减应用，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题的关键； 先根据最左边的一列三个数字和为，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角方框代表的数是； 故答案为： 27．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，正确理解题中的操作规定，探索出数字之间的变化规律是解题的关键． （1）按照题中规定操作，即可求解； （2）如果只进行一次，只能改变相邻个数，剩下个数不相等，故至少次操作； （3）按照每次操作后，四个数的和是奇数（或偶数）的不变性，可以得出，，，不管以何种方式排列，通过若干次操作后都不能变成相等的个数． 【详解】（1）解：如图②即为所求； （2） 要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过次操作， 如果只进行次操作，只能改变相邻的两个数，剩下的两个数不相等，因此最少需要通过次操作； （3）解：不能，理由如下： 为奇数， 又操作一次，将相邻两个数都减去同一个数，其余数不变，即得到的四个数的和为奇数， 最终得到四个相同的数， 最后得到的四个数的和为偶数， 不能将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数． 题型十、省略加法和括号的形式 28．写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】根据有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数对各选项进行省略整理即可得解． 【详解】A．，故本选项错误； B．，故本选项错误； C．，故本选项错误； D．，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的减法，主要是省略加号和的形式的练习，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 29．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是 ． 【答案】 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】先利用减法法则，把减法转化为加法，再省略括号和加号． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减法，掌握有理数的减法法则是解决本题的关键． 30．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【知识点】省略加法和括号的形式 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型十一、数轴上两点之间的距离 31．数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 （   ） A．-8 B．8 C． D．16 【答案】B 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查的是数轴上两点距离，根据数轴上两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：数轴上两点分别用，表示， 在数轴上表示数和表示数的两点之间的距离． 故选：B． 32．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 【答案】或6 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴，解题关键是用几何方法借助数轴来求解．先根据两点间的距离公式得到的长度，再根据求得的长度，再用加上该长度即为所求． 【详解】站台分别位于，处 A站台与B站台之间的距离， A站台与P站台之间的距离， P站台是； 或A站台与P站台之间的距离， P站台是． 故P站台用类似电影的方法可称为“或6站台”． 故答案为：或6． 33．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 【答案】(1) (2)①；②， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】此题考查数轴上的点和数之间的对应关系，结合数轴，找到折痕是解决问题的关键． （1）根据对称的知识，若表示的点与1表示的点重合，则折痕是原点，从而找到3的对称点； （2）由表示1的点与表示的点重合，可确定折痕是表示的点，则： ①表示0的点与表示的点重合； ②由题意可得、两点距离折痕的距离为4，据此求解． 【详解】（1）解：表示的点与1表示的点重合， 折痕在原点处， 表示3的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示1的点与表示的点重合， 折痕在处， 表示0的点与表示的点重合， 故答案为：； ②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧）， 则点表示的数是， 点表示的数是． 所以、两点表示的数分别是，2． 强化训练 一、单选题 1．下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加法法则判断即可. 【详解】解：. 故选：B. 【点睛】本题考查了有理数的加法，属于基本题目，掌握有理数的加法法则是关键. 2．以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 【答案】A 【分析】本题主要考查了加法运算律，掌握加法交换律、结合律成为解题的关键． 根据加法运算律的定义即可解答． 【详解】解：由题意可得：①加法交换律②加法结合律． 故选A． 3．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算．熟练掌握加法运算律是解题的关键． 先把减法转化成加法，再利用加法的运算律求解． 【详解】解：甲：； 正确； 乙：． 正确． 故选：A． 4．已知被减数是，差是，则减数是（    ） A． B． C．17 D．10 【答案】A 【分析】此题考查了有理数的减法．根据减数等于被减数减去差即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， ， 即减数为， 故选：A 5．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 6．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法计算是解题的关键．根据有理数加法的计算得出结论即可． 【详解】解：由题意知，白色列数表示正数，黑色列数表示负数， 图2表示的过程应是在计算， 故选：C． 7．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，设，那么x，y，z计算结果最小的是（   ） A．x B．y C．z D．根据a，b，c的值才能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的点表示数的大小和绝对值的意义、有理数的加减法法则． 根据有理数，，在数轴上的对应点的位置，确定出，即可得到，，比较x，y，z大小即可． 【详解】解：根据，，在数轴上的对应点的位置可知， ， ∴，， ∴， 那么x，y，z计算结果最小的是z， 故选：C． 8．若，，，那么的值是（   ） A．3或7 B．3或 C．或7 D．或 【答案】A 【分析】此题考查了绝对值、有理数的加法法则、求代数式的值等知识． ，，得到，，又由得到或，分别代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴或， 当时，， 当时，， 即的值是3或7， 故选：A 9．已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法则是解题关键．要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和即可得． 【详解】解：要使加减混合运算的结果最大，则利用所有的正有理数之和减去所有的负有理数之和． 即 ， 即这个运算结果最大值是21， 故选：C． 二、填空题 10．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查有理数的加法运算，掌握裂项相加是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 11．下面是小红做的数学作业，其中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了有理数的减法运算法则，即有理数减去有理数，等于加上的相反数，熟练掌握有理数的减法运算法则是解题关键． 根据有理数的减法运算法则，逐项计算即可求解． 【详解】解：①，①错误； ②，②正确； ③，③错误； ④，④正确； 故答案为：②④． 12．数轴上两点分别表示6与，这两点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上两点的距离等于这两点表示的数的差的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：∵数轴上两点分别表示6与， ∴这两点之间的距离是， 故答案为：． 13．手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 【答案】+4/4 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握正数和负数表示相反意义的量是解题的关键． 根据有理数的加法法则求和即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴尹老师当天微信收支的最终结果是收入4元， 故答案为：4． 14．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，2，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度． 根据题意可得，由折叠后，可得，再根据两点之间距离的计算即可求解． 【详解】解：∵A，B表示的数分别是，2， ∴， ∵折叠后， ∴， ∵点C在点B的左侧， ∴点C表示的数为， 故答案为：． 15．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律，将分母相同的分数分组，简化计算. （2）将互为相反数或相加为整数的小数结合，简化计算. （3）将小数和分数分别分组，简化计算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算，加法运算律，掌握有理数的加减运算法则和运算律是解题的关键． （1）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （2）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可； （3）先把加减运算转化为加法运算，再利用加法运算律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 18．下表记录的是某校图书馆上周借书情况： （规定：以100为基准，超过100册记为正，少于100册记为负．） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 请你列式计算以下问题； (1)上星期五借出几册书？ (2)上周平均每天借出几册？ 【答案】(1)上星期五借出88册书 (2)上周平均每天借出102册 【分析】（1）根据超过100册记为正，少于100册记为负结合表格列式计算即可； （2）求出周一到周五超过或不足部分的平均数，再加上基准部分的100册即可． 【详解】（1）解：（册）， 答：上星期五借出88册书； （2）解：（册）， （册）， 答：上周平均每天借出102册． 【点睛】本题考查了有理数加减的实际应用，正确列出算式，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19．设表示不超过 a 的最大整数，例如，，． (1)求的值； (2)令，求 的值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了新定义的理解应用问题以及有理数的加减混合计算、有理数的大小比较，并能根据新定义化成一般的有理数加减混合计算的式子是解题的关键； （1）根据新定义得：，，，再代入计算即可； （2）根据新定义得：，，再代入原式进行计算． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ． 20．已知三个有理数在数轴上对应的位置如图所示． (1)判断大小：_____________________0 (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，化简绝对值，整式的加减计算，掌握绝对值的性质是解题的关键； （1）根据数轴分别判断a，b，c的大小及正负，再通过有理数的运算法则求出，的正负； （2）根据绝对值的性质先化简绝对值，再根据整式的加减计算即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，，， ，，， 故答案为：； （2）解：，，， ． 21．【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 【答案】[尝试应用]（1）；（2）； [深入研究]；[解决问题] 【分析】本题考查了绝对值的非负性质，有理数的加减混合运算，数轴； （1）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值符号即可； [深入研究]根据数轴中，的位置得出，，且，进而推出，根据绝对值的性质化简得出答案； [解决问题]利用绝对值的性质化简，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可． 【详解】[尝试应用]（1）， 故答案为：． （2）， 故答案为：． [深入研究] 根据数轴中，的位置得出，，且， ，，， ； 故答案为：； [解决问题]解：原式 ． 22．点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 【答案】(1)，； (2)；或； (3)①，；②或． 【分析】（）根据两点之间距离的定义直接求解即可； （）根据绝对值的性质化简，再计算即可求解； （）①根据两点的距离，求得点 所对应的数，代入进行计算即可求解；②分点在点的左边和右边时，分别求得点所对应的数，代入进行计算即可求解； 本题考查了数轴上两点的距离，绝对值的意义，有理数的加减运算，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和两点之间的距离为， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴； 当时，， ∴； 当时，， 该种情况不存在； 当时，， ∴； 综上，或； 故答案为：；或； （3）解：①∵为原点，，， ∴所对应的数为，所对应的数为， 故答案为：，； ②∵是原点，且， ∴点所对应的数为或， 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 当点所对应的数为，即时，，， ∴； 综上，的值为或． 23．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______． 【答案】(1)9，3 (2)6，5，4 (3)；或 【分析】本题考查的是有理数的加减法，注重考查学生的思维能力和运算能力． （1）第3行上的数字和等于，因此，； （2）根据第（1）问，每行、列和对角线上的数字和都等于15，、、即可求得； （3）因为每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2，易得；将中间的正方形的未知顶点设为，则；从而得到或． 【详解】（1）解：（1）第3行上的数字和等于， 因此，, 故答案为：9，3； （2）解：根据题意，每行、列和对角线上的数字和都等于15， 因此，，， 故答案为：6，5，4； （3）解：根据题意，，解得； 将中间的正方形的未知顶点设为，则，解得； 因此或， 故答案为：；或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的加法与减法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.有理数加法法则 2.有理数加法运算律 3.有理数的减法 4.有理数的加减混合运算 5.用计算器计算有理数的加减混合运算 6.数轴上两点之间的距离 题型巩固 一、有理数加法运算 二、有理数加法中的符号问题 三、有理数加法在生活中的应用 四、有理数加法运算律 五、有理数的减法运算 六、有理数减法的实际应用 七、有理数的加减混合运算 八、有理数加减中的简便运算 九、有理数加减混合运算的应用 十、省略加法和括号的形式 十一、数轴上两点之间的距离 强化训练 单选题（9） 填空题（6） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.有理数加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. “同号”指两数同时是正数或负数. (2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 相加 若＞0，b＞ 0， 则＋b＝＋(||＋|b|) 若＜0，b＜0， 则＋b=－(||＋|b|) 3. 有理数加法运算的步骤 (1)判断加法的类型，即判断两个加数是同号，还是异号，加数中是否有0 . 根据加法的类型确定用加法法则中的哪一条；(2)确定和的符号；(3)确定和的绝对值. 知识点2.有理数加法运算律 1. 有理数加法运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 ＋b＝b＋ 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (＋b)＋c＝ ＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)相反数结合法；(2)同号结合法；(3)同形结合法；(4)凑整法；(5)拆项结合法. 3. 有理数加法的推论 如果＋b＝0 ，那么，b互为相反数. 知识点3.有理数的减法 1. 法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数. 用字母表示为：－b＝＋(－b) ，其中，b表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－较小的数＝正数，即若> b，则－b> 0 . (2)较小的数－较大的数＝负数，即若<b，则－b< 0 . (3)相等的两个数的差为0，即若＝b，则－b＝0 . 知识点4.有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个数的和的形式. (2)运用加法交换律、加法结合律进行计算，使运算简便. 2. 省略和式中的加号和括号 进行有理数的加减混合运算时，利用减法法则将减法转化为加法，将有理数的加减混合运算统一成加法运算，在和式里可以把加号及括号省略不写，以简化书写形式. 3. 加法运算律在有理数加减混合运算中的应用原则 正数和负数分别相结合；同分母分数或比较容易通分的分数相结合；互为相反数的两数相结合；其和为整数的两数相结合；带分数一般化为假分数或整数和真分数两部分后，再计算. 知识点5.用计算器计算有理数的加减混合运算 进行有理数的加减混合运算，可依次输入算式中各有理数及各级括号，输入完毕，按等号键 ＝ ，即得运算结果. 知识点6.数轴上两点之间的距离 数轴上两点之间的距离　数轴上，点A，B分别表示数，b，则A，B两点之间的距离为线段AB的长度，即AB＝|－b|. 示图：(如图2.4–1) 题型巩固 题型一、有理数加法运算 1．（23-24七年级上·江苏常州·阶段练习）如果两个有理数的和是负数那么这两个数（   ） A．一定都是负数 B．一定是0与一个负数 C．一定是一个正数与一个负数 D．可能是一个正数与一个负数，可能都是负数，也可能是0和一个负数 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）有这样一类三位数，它们的各位数字之和等于，如的各位数字之和是，像这样的三位数共有 个． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，1，2，，这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，请你在图中完成．（填写一种情况符合题意即可） 题型二、有理数加法中的符号问题 4．两个数的和是正数，那么这两个数（   ） A．都是正数 B．一正一负 C．都是负数 D．至少有一个是正数 5．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则 0．（用＞，＜或＝填空） 6．如图，有理数a，b，c在数轴上的位置大致如下： （1）去绝对值符号：|a－c|＝ ，| b－a|＝ ； （2）化简：|c－b|－|b－a|－|a＋c|． 题型三、有理数加法在生活中的应用 7．（22-23七年级上·江苏常州·期中）某天上午8时的气温为，到中午时温度升高，傍晚时温度下降，则傍晚时温度为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）我国是最早认识负数并进行相关计算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）实施“正负术”的方法，如图1表示的是计算的运算过程．按照这种方法，图2中表示的计算过程，其结果是 ． 9．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）有6筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的纪录如下： 编号 1 2 3 4 5 6 超过（或不足） 2 1 回答下列问题： (1)这6筐白菜中最接近标准重量的这筐白菜重 千克； (2)与标准重量比较，6筐白菜总计超过或不足多少千克？ 题型四、有理数加法运算律 10．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）下列与相等的是（    ） A． B． C． D． 11．（2024七年级上·江苏·专题练习）用简便方法计算： ． 12．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 题型五、有理数的减法运算 13．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）马虎同学做了以下4道计算题： ①；②；③；④； 请你帮他检查一下，他一共做对了（　　） A．1题 B．2题 C．3题 D．4题 14．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）有理数的减法法则：“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，用字母表示这一法则，可写成 ． 15．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）在计算两个数减法：，由于不小心，减数被墨水污染； (1)嘉淇误将后面的“”看成了“”，从而算得结果为，请求出被墨水污染的减数； (2)请你正确计算此道题． 题型六、有理数减法的实际应用 16．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）徐州市区某天的最高气温是，最低气温是，计算出该市这天的日温差（　　） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表，则最低海拔的落差最大相差是 米． 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔/m 18．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图是沈阳市2024年春节前一周的天气预报，请根据图中信息回答 (1)该市周三的最高气温比最低气温高 度． (2)该市本周五天中，周几的温差最大？最大是多少？ 题型七、有理数的加减混合运算 19．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）把式子写成省略加号的和的形式是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）把改写成只含加法的式子为 ． 21．（22-23七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 题型八、有理数加减中的简便运算 22．小磊解题时，将式子先变成再计算结果，则小磊运用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．以上均不正确 23．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，步骤①的运算依据是 ． 计算： ① ② . 24．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）计算：． 题型九、有理数加减混合运算的应用 25．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某天早晨的气温是，中午上升了，午夜又下降了，则午夜时的气温是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图是中国古代“洛书”的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字之和皆相等，则右下角方框代表的数是 （选填“”，“”或“”）．    27．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）现有若干有理数排在多边形各边上，规定一次操作为：将任意相邻的两个数都减去同一个有理数，其余各数不变．图①是小明两次操作的示意图，将三角形三边上的三个数变为了相同的数： (1)请画出相应的操作示意图，将图②三角形三边上的有理数都变为相同的数（箭头上标注具体操作） (2)如图③，若要将四边形的四条边上的四个数都变为相同的数，最少需要通过几次操作？给出你的判断，并说明理由； (3)能否将，，，这个有理数以某种方式排列在四边形的四条边上，使得通过若干次操作将这个有理数变为相同的数？如果可以，请画出最初的排列方式与具体的操作步骤；如果不能，请说明理由． 题型十、省略加法和括号的形式 28．写成省略加号和的形式后为的式子是(    ) A． B． C． D． 29．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）把写成省略括号的和的形式是 ． 30．将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 题型十一、数轴上两点之间的距离 31．数轴上表示数和表示数的两点之间的距离是 （   ） A．-8 B．8 C． D．16 32．电影《哈利•波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若站台分别位于，处，若P站台到A站台的距离是到B站台距离的2倍，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”． 33．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在纸面上有一个数轴（如图），折叠纸面．    (1)若表示的点与表示1的点重合，则表示3的点与表示 的点重合； (2)若表示1的点与表示的点重合，回答下列问题： ①表示0的点与表示 的点重合； ②若数轴上、两点之间的距离为8，在的左侧），且、两点经折叠后重合，求、两点表示的数多少？ 强化训练 一、单选题 1．下列省略加号和括号的形式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．以下是小明有理数计算的一部分，在计算过程中使用的运算律表述正确是（   ） ① ② A．①加法交换律②加法结合律 B．①②都是加法交换律 C．①加法结合律②加法交换律 D．①②都是加法结合律 3．甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是（    ） 甲： 乙： A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确 C．只有甲正确 D．只有乙正确 4．已知被减数是，差是，则减数是（    ） A． B． C．17 D．10 5．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 7．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，设，那么x，y，z计算结果最小的是（   ） A．x B．y C．z D．根据a，b，c的值才能确定 8．若，，，那么的值是（   ） A．3或7 B．3或 C．或7 D．或 9．已知有理数1，，，，通过有理数的加减混合运算，使其运算结果最大，则这个运算结果最大值是（   ） A．23 B．22 C．21 D．3 二、填空题 10．计算： ． 11．下面是小红做的数学作业，其中正确的是 ．（填序号） ①；②；③；④． 12．数轴上两点分别表示6与，这两点之间的距离是 ． 13．手机移动支付给生活带来便捷．如图是尹老师2024年某天的微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），尹老师当天微信收支的最终结果是 元． 14．在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是，2，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且，则C点表示的数是 ． 15．符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算： ． 三、解答题 16．计算： (1)． (2)． (3)． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．下表记录的是某校图书馆上周借书情况： （规定：以100为基准，超过100册记为正，少于100册记为负．） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 请你列式计算以下问题； (1)上星期五借出几册书？ (2)上周平均每天借出几册？ 19．设表示不超过 a 的最大整数，例如，，． (1)求的值； (2)令，求 的值． 20．已知三个有理数在数轴上对应的位置如图所示． (1)判断大小：_____________________0 (2)化简． 21．【阅读理解】小明发现，不计算结果，也可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，如：；；；． 【尝试应用】根据上述规律，去掉下列各式的绝对值符号： （1）______； （2）______； 【深入研究】有理数、在数轴上的位置如图所示，则______； 【解决问题】用简便的方法计算： 22．点在数轴上分别对应有理数，则两点之间的表示为距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离为 ，数轴上表示和两点之间的距离为 ； (2)若表示一个数，且，则 ；若表示一个数，且，则 ； (3)数轴上从左到右的三个点所对应的数分别为．其中，，如图所示． ①若以为原点，写出点所对应的数 ， ，并计算的值． ②若是原点，且，求的值． 23．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方（如图2）．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字（1至9，数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． (1)根据“洛书”中表达的意思，______，______； (2)改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则______，______，______； (3)如图4，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“〇”．将这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的4个顶点处“〇”中的数的和都为2．则______，______. 学科网（北京）股份有限公司 $$