1.1.2 探索勾股定理 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版初中数学 八年级上册 第一章 1.1探索勾股定理（第2课时） 回顾 思考 1.勾股定理的内容是什么？ 勾股定理 直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边的平方。 2.我们用什么方法发现的？ 测量与数格子。 3.如何验证勾股定理呢？ 尝试 思考 a b c 你能用这个图说明勾股定理的正确性吗？ （1）将所有三角形的面积和正方形的面积用 含a，b ，c的式子表示出来。 （2）如何建立a2 + b2 = c2这一等量关系呢？ 请你尝试动手画一画。 b2 a2 c2 a b c b2 a2 c2 a b 小正方形的边长是（b-a） 分析：既然勾股定理能得到a2 + b2 = c2， 那么我们就在边长为c的正方形ABCD中 进行分割，如果得到的所有图形面积 和等于a2 + b2，就能得到结论。 如何分割呢？ 尝试 思考 验证：S正方形ABCD= (b-a)2+4× =c2 b2+a2-2ab+2ab=c2 a2+b2=c2 A B C D 方法1： a b c b2 a2 c2 分析：既然分割可以，是不是也可以 利用直角三角形进行补充呢？ A B C D 验证：S正方形ABCD= (a+b)2=c2+4× a2+b2+2ab=c2+2ab a2+b2=c2 b b 你能找出其中的等量关系吗？ 大正方形的边长是（a+b） 方法2： 尝试 思考 数学文化 勾股定理在我国有着悠久的历史。汉末三国初数学家、天文学家赵爽(3世纪初)在给《周髀》作注时，给出了相对完整的表述:“勾、股各自乘，并之为弦实。开方除之，即弦。”他利用“勾股圆方图”直观地论证了勾股定理。后人通常把左图称为“赵爽弦图”，2002年国际数学家大会会标的主要图案(右图)就取材于此图。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在3000多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三、股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀》中。 文化自信 例题解析 解:根据题意，可以画出右图，其中点A表示王叔叔所在位置，点C、点B表示两个时刻蓝方汽车的位置。由于王叔叔距离公路400m，因此∠C是直角。由勾股定理，可得 AB 2=BC 2+AC 2, 也就是 5002=BC 2+4002 所以 BC=300 m。 蓝方汽车 10s行驶了300m，那么它平均每秒行驶 300÷10=30(m)。 因此，蓝方汽车这10s的平均速度为30m/s。 例 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路400m处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶。他用红外测距仪测得汽车与他相距400m；过了10s，测得汽车与他相距500m。你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗? 分析:你能根据题意画出图形吗? 在你画的图形中存在一个怎样的三角形? A 公路 400 500 C B 思考 交流 如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边长的平方等于另外两边长的平方和”吗?以图1-10为例(方格纸中每个小方格的边长均为1)，说说你的判断和理由，并与同伴进行交流。 钝角三角形：a2+b2＞c2 锐角三角形：a2+b2＜c2 2.如图（单位:cm)，求等腰三角形ABC的面积。 A B C 5 5 6 随堂练习 1．如图，直线l上有三个正方形a,b,c，若a,c的面积分别为3和4， 则b的面积为（ ) A. 16 B. 12 C. 9 D. 7 D a b c l 3.右图是某沿江地区交通平面图的一部分(单位:km),为了加快经济发展， 该地区拟修建一条连接M，0，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高 速公路的建设成本是5000 万元/km，该沿江高速公路的建设成本预计 是多少? M O Q N P 30 40 50 120 随堂练习 4.请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的 方法之间的联系。 b b a a c c 随堂练习 这就是美国第二十任总统伽菲尔德的验证方法， 被称为“总统证法”. 课堂小结 本节课我们利用哪些方法验证勾股定理？ 这些方法的本质是什么？ 你还有不一样的验证方法吗？ 作业布置 阅读“漫画勾股世界”，体会古人的证明方法。 如图，通过本节的学习可知S1+S2=S3，除正方形外，还可以以直角三角形三边长向外作哪些图形，仍能满足此等式？并尝试证明。 S1 S1 S2 S3 $$