阶段测评(2)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

阶段测评(二)[范围4.1] (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　由P(B|A)＝， 得P(AB)＝P(B|A)P(A)， 因为P(B|A)＝，P(A)＝， 所以P(AB)＝×＝. 答案　C 2．要从某班8名班干部(其中5名女生，3名男生)中随机选取3人参加学校优秀班干部评选，事件A表示“女生甲被选中”，事件B表示“有两名男生被选中”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知P(A)＝＝，女生甲被选中且有两名男生被选中的概率P(AB)＝＝，则P(B|A)＝＝.故选B. 答案　B 3． 如图所示为太极八卦图，八卦中的每一卦均由纵向排列的三个爻组成，其中“”为阳爻，“”为阴爻．现从八卦中任取两卦，已知取出的两卦中有一卦恰有一个阳爻，则另一卦至少有两个阳爻的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由八卦图可知，八卦中有1卦有三个阳爻，有3卦恰有一个阳爻，有3卦恰有两个阳爻，有1卦没有阳爻．设取出的两卦中“有一卦恰有一个阳爻”为事件A，“另一卦至少有两个阳爻”为事件B， 法一　因为P(A)＝1－P()＝1－＝，P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝. 法二　因为n(A)＝CC＋C＝18，n(AB)＝CC＝12，所以P(B|A)＝＝＝. 答案　D 4．若从数字1，2，3，4中任取一个数，记为x，再从1，…，x中任取一个数记为y，则y＝2的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　设事件Ai表示“取出数字i”，i＝1，2，3，4，易知P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(A4)＝，事件B表示“取到y＝2”，则P(B|A1)＝0，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝，P(B|A4)＝， ∴P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×＝.故选C. 答案　C 5．已知随机事件A，B满足P(A)＝，P(A|B)＝，P(|A)＝，则P(B)＝(　　) A． B． C． D． 解析　因为P(A)＝，P(|A)＝＝，所以P(A)＝. 又P(A)＝P(AB)＋P(A)＝. 所以P(AB)＝.又P(A|B)＝＝， 所以P(B)＝. 答案　A 6．已知甲、乙两人去北京旅游的概率分别为，，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为，且甲是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　记事件A：甲去北京旅游，事件B：乙去北京旅游， 则P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝， 因为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，即＝＋－P(AB)，解得P(AB)＝， 又因为P(A)＝P(AB)＋P(A)， 即＝＋P(A)，解得P(A)＝， 因为P(B)＝，所以P()＝1－P(B)＝， 所以P(A|)＝＝＝. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球．以A1，A2分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以B1，B2分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是(　　) A．事件A1与事件A2互斥 B．事件B1与事件A2相互独立 C．P(B1|A2)＝ D．P(B2)＝ 解析　对于A，∵从甲箱中随机取出一球，∴事件A1与事件A2是互斥事件且是对立事件，故A正确；对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为5个，则从乙箱中取出白球的概率发生变化，∴事件B1与事件A2不相互独立，故B错误；对于C，若从甲箱中取出1个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为5个，白球还是2个，则P(B1|A2)＝，故C错误；对于D，∵P(A1)＝P(A2)＝，P(B2|A1)＝，P(B2|A2)＝，∴P(B2)＝P(A1)·P(B2|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝×＋×＝，故D正确．故选AD. 答案　AD 8．在某一季节，疾病D1的发病率为2%，病人中40%表现出症状S；疾病D2的发病率为5%，其中18%表现出症状S；疾病D3的发病率为0.5%，症状S在病人中占60%.则(　　) A．任意一人有症状S的概率为0.02 B．任意一人有症状S时患疾病D1的概率为0.4 C．任意一人有症状S时患疾病D2的概率为0.45 D．任意一人有症状S时患疾病D3的概率为0.25 解析　P(D1)＝0.02，P(D2)＝0.05，P(D3)＝0.005，P(S|D1)＝0.4，P(S|D2)＝0.18，P(S|D3)＝0.6， 由全概率公式得P(S)＝P(Di)P(S|Di)＝0.02×0.4＋0.05×0.18＋0.005×0.6＝0.02，故A正确； 由贝叶斯公式得P(D1|S)＝＝＝0.4， P(D2|S)＝＝＝0.45，P(D3|S)＝＝＝0.15， 故B，C正确，D错误． 故选ABC. 答案　ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，在其中一个小孩是女孩的条件下，另一个小孩是男孩的概率是________． 解析　设A＝“其中一个小孩是女孩”，AB＝“一个小孩是男孩，一个小孩是女孩”， 则A＝{(男孩，女孩)，(女孩，男孩)，(女孩，女孩)}，AB＝{(男孩，女孩)，(女孩，男孩)}， 所以由条件概率的定义可知P(B|A)＝＝. 答案　 10．盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为________． 解析　设Ai表示第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i＝0，1，2，3)，B表示第二次取出的3个球都是新球， 根据题意得P(A0)＝＝，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝， 根据全概率公式，得第二次取出的球都是新球的概率为 P(B)＝P(A0)P(B|A0)＋P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＋×＝. 答案　 11．(2024·天津卷)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为________． 解析　由题意知甲选到A的概率P＝＝.设“乙选择A活动”为事件M，“乙选了A活动再选择B活动”为事件N，则P(M)＝＝， P(MN)＝＝， 所以P(N|M)＝＝＝. 答案　　 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率． 解析　(1)记事件A为“任取一箱为甲厂的产品”，事件B为“任取一箱为乙厂的产品”，事件C为“从中任取一个为废品”，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 由题意，得P(A)＝＝，P(B)＝＝， P(C|A)＝0.06，P(C|B)＝0.05， 由全概率公式得，P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝. (2)记事件E为“任取一个为甲厂的产品”，事件F为“任取一个为乙厂的产品”，事件D为“任取一个为废品”，则Ω＝E∪F，且E，F互斥， 由题意，得P(E)＝＝， P(F)＝＝， P(D|E)＝0.06，P(D|F)＝0.05， 由全概率公式， 得P(D)＝P(E)P(D|E)＋P(F)P(D|F)＝×＋×＝. 13．(15分)(2024·海南海口模拟)某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件． (1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量； (2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率； (3)现有一辆轿车使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？ 解析　(1)设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8－a， 根据题意得600a＋800(0.8－a)＋500×0.2＝640， 解得a＝0.5. 所以需要从甲厂订购配件M的数量为10×0.5＝5万件； 从乙厂订购配件M的数量为10×(0.8－0.5)＝3万件． (2)由(1)知甲厂、乙厂和本厂生产的配件M的比例分别为0.5，0.3和0.2， 所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为0.5×0.04＋0.3×0.02＋0.2×0.01＝0.028，所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028. (3)设A＝“该轿车使用了次品配件M”，B1＝“配件M来自甲厂”，B2＝“配件M来自乙厂”，B3＝“配件M来自本厂”．由(2)知P(A)＝0.028. 该次品配件M来自甲厂的概率为P(B1|A)＝＝＝＝， 该次品配件M来自乙厂的概率为P(B2|A)＝＝＝＝， 该次品配件M来自本厂的概率为P(B3|A)＝＝＝＝， 所以甲厂应承担的费用为14 000×＝10 000元， 乙厂应承担的费用为14 000×＝3000元， 本厂应承担的费用为14 000×＝1000元． 14．(15分)某工厂有甲、乙两个车间加工同一种零件，已知加工该零件需要两道工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品才能出厂进行销售．已知甲车间每道加工工序合格的概率均为0.9；乙车间第一、二道加工工序合格的概率分别为0.95，0.8. (1)对6个来自甲车间，4个来自乙车间的零件进行质检，若从这10个零件中随机抽取1个，求该零件可以出厂销售的概率； (2)甲车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损30元，乙车间加工的每个零件，销售后可以盈利100元，若不能销售则亏损20元．由于市场对这种零件需求旺盛，该工厂计划扩建其中一个车间以增加产量，若以每个零件获利的数学期望为决策依据，请判断该工厂应扩建哪个车间． 解析　(1)用事件A表示“抽取的零件来自甲车间”，用事件B表示“抽取的零件来自乙车间”， 用事件C表示“抽取的零件可以出厂销售”， 则P(A)＝0.6，P(B)＝0.4， P(C|A)＝0.9×0.9＝0.81，P(C|B)＝0.95×0.8＝0.76， P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝0.6×0.81＋0.4×0.76＝0.79. 即该零件可以出厂销售的概率为0.79. (2)甲车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.81， 甲车间加工的每个零件获利的期望为0.81×100－(1－0.81)×30＝75.3(元)； 乙车间加工的每个零件可以出厂销售的概率为0.76， 乙车间加工的每个零件获利的期望为0.76×100－(1－0.76)×20＝71.2(元)， 因为75.3>71.2，所以应扩建甲车间． 学科网（北京）股份有限公司 $$