4.2.5 正态分布(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．(多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 解析　由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． 答案　BCD 2．已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7，则P(2<X<4)＝(　　) A．0.682 6 B．0.341 3 C．0.460 3 D．0.920 7 解析　∵随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X≥4)＝0.158 7， ∴P(X≤2)＝0.158 7， ∴P(2<X<4)＝1－P(X≤2)－P(X≥4)＝0.682 6，故选A. 答案　A 3．已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100，4)，现从该产品的生产线上随机抽取10 000件产品，其中质量在[98，104]内的产品估计有(　　) (附：若X服从N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954) A．4093件 B．4772件 C．6827件 D．8185件 解析　由题意可得，该正态分布的对称轴为x＝100，且σ＝2， 则质量在[96，104]内的产品的概率为P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954， 而质量在[98，102]内的产品的概率为 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683， 结合对称性可知，质量在[98，104]内的产品的概率为0.683＋＝0.818 5，据此估计质量在[98，104]内的产品的数量是10 000×0.818 5＝8185(件). 答案　D 4．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.683，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954. A.2386 B．2718 C．3415 D．4772 解析　由P(－1≤X≤1)＝0.683，得P(0≤X≤1)≈0.341 5，则阴影部分的面积为0.341 5，故估计落入阴影部分的点的个数为10 000×＝3415. 答案　C 5．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0).若X在(0，1)内取值的概率为0.4，则X在(0，2)内取值的概率为________． 解析　如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)， 故P(0＜X＜2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8. 答案　0.8 6．一批灯泡的使用时间X(单位：小时)服从正态分布N(10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9200，10 800]内的概率是________． 解析　μ＝10 000，σ＝400，P(9200<X≤10 800) ＝P(10 000－2×400<X≤10 000＋2×400)＝95.4%. 答案　95.4% 7．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩ξ～N(105，102)，P(95≤ξ≤105)＝0.34，则P(ξ>115)＝________；该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为________． 解析　∵数学测试成绩ξ～N(105，102)， ∴正态分布曲线的对称轴方程为x＝105， 又P(95≤ξ≤105)＝0.34， ∴P(105≤ξ≤115)＝0.34， ∴P(ξ>115)＝0.5－0.34＝0.16， 则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为1000×0.16＝160. 答案　0.16　160 8．某制造企业租用一台3D打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件．该团队打印出了一批这样的零件，从中随机抽取10个零件，测量其内径，得到数据如下(单位：μm). 97　97　98　102　105　107　108　109　113　114 (1)计算均值μ与标准差σ； (2)假设这台3D打印设备打印出的零件内径Z服从正态分布N(μ，σ2)，该团队到工厂安装调试后，试打了5个零件，测量其内径，分别为86，95，103，109，118(单位：μm)，则此打印设备是否需要进一步调试？为什么？ 参考数据：P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解析　(1)μ＝×(97＋97＋98＋102＋105＋107＋108＋109＋113＋114)＝105， σ2＝×(64＋64＋49＋9＋0＋4＋9＋16＋64＋81)＝36，则σ＝6. (2)需要进一步调试． 理由如下： 因为Z服从正态分布N(105，36)，P(μ－3σ≤Z≤μ＋3σ)≈0.997 3，所以内径在[87，123]之外的概率约为0.002 7.又86∉[87，123]， 所以根据3σ原则，可知需要进一步调试． [关键能力·综合提升] 9．(多选题)已知随机变量X服从正态分布N(1，32)，则下列结论正确的是(　　) A．E(X)＝1，D(X)＝9 B．随机变量Y满足2X＋Y＝4，则E(Y)＝4 C．σ＝9 D．若P(X>2)＝p，则P(0≤X<1)＝－p 解析　对于A选项，X～N(1，32)， 所以E(X)＝1， D(X)＝9，A中结论正确； 对于B选项，随机变量Y满足2X＋Y＝4. 则E(Y)＝E(4－2X)＝4－2E(X)＝2，B中结论错误； 对于C选项，σ＝3，C中结论错误； 对于D选项，若P(X>2)＝p， 则P(X<0)＝p， P(0≤X<1)＝－P(X<0)＝－p， D中结论正确． 故选AD. 答案　AD 10．已知检测某元件的测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4.任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的元件个数的期望值为(　　) A．40　　　　　　　 B．50 C．80 D．90 解析　∵ξ服从正态分布N(1，σ2)，且ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，由正态曲线的对称性可知ξ在(1，2)内取值的概率也为0.4， ∴P(0<ξ<2)＝P(0<ξ＜1)＋P(1<ξ<2)＝0.4＋0.4＝0.8，任取这样的元件100个，测量结果在(0，2)内的期望值为100×0.8＝80.故选C. 答案　C 11．若随机变量ξ服从正态分布N(9，42)，则P(－3<ξ≤13)＝________． [参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝99.7%] 解析　∵随机变量ξ服从正态分布N(9，42)， ∴对称轴方程为x＝μ＝9，σ＝4， 则P(－3<ξ≤13)＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋σ) ＝[P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＋P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)] ＝[99.7%＋68.3%]＝84%. 答案　84% 12．某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：时)均服从正态分布N(1000，502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________． 解析　由三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000，502)得，三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p＝，使用寿命超过1000小时的元件1或元件2正常工作的概率为p1＝1－(1－p)2＝，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为p2＝p1×p＝. 答案　 13．某学校的功能室统一使用A品牌的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ(单位：月)服从正态分布N(μ，σ2)，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命μ； (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下(中途不更换)，求至少两支灯管需要更换的概率． 解析　(1)∵ξ～N(μ，σ2)，P(ξ≥12)＝0.8， P(ξ≥24)＝0.2， ∴P(ξ＜12)＝0.2，显然P(ξ＜12)＝P(ξ＞24). 由正态曲线的对称性可知，μ＝＝18， 即这种灯管的平均使用寿命是18个月． (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1－0.8＝0.2，假定使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η(单位：支)，则η～B(4，0.2)，故至少两支灯管需要更换的概率P＝1－P(η＝0)－P(η＝1)＝1－C×0.84－C×0.83×0.21≈0.18. [核心价值·探索创新] 14．某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径X(单位：mm)服从正态分布N(100，1).现加工10个螺栓，尺寸(单位：mm)如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0，X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，工人随机将其中的8个交给质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为________． 解析　由题知，10个螺栓的尺寸，只有103.2不在区间[97，103]内， 工人随机将其中的8个交给质检员检验，若质检员认为设备需检修，则尺寸为103.2的螺栓在这8个之中，所以质检员认为设备需检修的概率为＝. 答案　 15．某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品． (1)从这10件农产品中任意抽取2件农产品，记这2件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望； (2)根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本质量指标平均数，σ2近似为方差，生产合同中规定，所有农产品中优质品的占比不得低于15%，那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，≈9.7. 解析　(1)因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件，Y的所有可能取值为0，1，2. 则P(Y＝0)＝＝， P(Y＝1)＝＝. P(Y＝2)＝＝， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝. (2)这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 这10件农产品的平均数为×(38＋70＋50＋45＋48＋54＋49＋57＋60＋69)＝54.所以μ＝54，这10件农产品的方差为×[(38－54)2＋(70－54)2＋(50－54)2＋(45－54)2＋(48－54)2＋(54－54)2＋(49－54)2＋(57－54)2＋(60－54)2＋(69－54)2]＝94， 因为≈9.7，所以σ＝9.7， 记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，X～N(54，9.72)，可得P(44.3≤X≤63.7)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7， 则P(X≥60)＞P(X≥63.7)＝＝0.158 65>15%， 所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求． 学科网（北京）股份有限公司 $$