4.2.5 第2课时 正态分布的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.5 第2课时 正态分布的应用 [课时跟踪检测] 1.设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X且X~N(800,502).记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值约为(参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ) ≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997) (　　) A.0.972 5　　　　　　 B.0.683 C.0.977　　　　　　　　 D.0.954 解析:选C　∵随机变量X服从正态分布N(800,502),∴μ=800,σ=50,∴P(700≤X≤900)≈0.954.根据正态曲线的对称性可得p0=P(X≤900)=P(X≤800)+P(800<X≤900)=+P(700≤X≤900)≈0.977. 2.某校高二年级男生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N,若X的值在(160,176)内的概率约为0.84,则n的值约为(参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.683;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=0.954;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997) (　　) A.3　　 B.4 C.5　　　 D.6 解析:选D　因为X~N,所以μ=172,σ=,因为P(160<X<176)=P(172-12<X<172+4)=0.84　①,而P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.683,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)=0.997,所以P(172-3σ<X<172+σ)=×(0.683+0.997)=0.84　②,由①②两式可知3σ=12且σ=4,解得σ=4,所以=4,解得n=6. 3.比较两组测量尺度差异较大的数据的离散程度时,常使用离散系数,其定义为标准差与均值之比.某地区进行调研考试,共10 000名学生参考,测试结果(单位:分)近似服从正态分布,且平均分为57.4,离散系数为0.36,则全体学生成绩的84%分位数约为 (　　) 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(|Z-μ|≤σ)≈0.683. A.82　　 B.78 C.74　　　 D.70 解析:选B　根据题意,得标准差为57.4×0.36=20.664,所以测试结果近似服从正态分布N(57.4,20.6642).又因为84%=0.5+,且P(|Z-μ|≤σ)≈0.683,所以全体学生成绩的84%分位数约为μ+σ=57.4+20.664≈78. 4.[多选]甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态曲线f(x)=,x∈R如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D.乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=1.99 解析:选ABC　由题图可知,甲图象关于直线x=0.4对称,乙图象关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,μ1<μ2,故A、C正确;因为甲图象比乙图象更“高瘦”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,故B正确;因为乙图象y的最大值为1.99,即×e0=1.99,所以σ2≠1.99,故D错误. 5.[多选]数学家棣莫弗发现,如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n比较大时,X近似服从正态分布N(μ,σ2),其密度函数为φμ,σ(x)=,x∈R.任意正态分布X~N(μ,σ2),可通过变换Z= 转化为标准正态分布Z~N(0,1).当Z~N(0,1)时,对任意实数x,记Φ(x)=P(Z<x),则下列说法正确的是 (　　) A.Φ(x)+Φ(-x)= B.当x>0时,P(-x≤Z<x)=2Φ(x)-1 C.随机变量X~N(μ,σ2),当μ减小,σ增大时,概率P(|X-μ|<σ)保持不变 D.随机变量X~N(μ,σ2),当μ,σ都增大时,概率P(|X-μ|<σ)增大 解析:选BC　根据正态曲线的对称性可得Φ(-x)=P(Z<-x)=P(Z≥x)=1-P(Z<x)=1-Φ(x),即Φ(x)+Φ(-x)=1,故A不正确;当x>0时,P(-x≤Z<x)=1-P(Z<-x)-P(Z≥x)=1-2P(Z≥x)=1-2[1-P(Z<x)]=2Φ(x)-1,故B正确;根据正态分布的“3σ原则”,在正态分布中σ代表标准差,μ代表均值,x=μ即为图象的对称轴,根据“3σ原则”可知X数值分布在(μ-σ,μ+σ)的概率是常数,故由P(|X-μ|<σ)=P(μ-σ<X<σ+μ)可知,C正确,D错误. 6.[多选]某精密制造企业根据长期检测结果得到其产品的质量差(单位:mg)服从正态分布N(μ,σ2),把质量差在(μ-σ,μ+σ)内的产品称为优等品,在(μ+σ,μ+2σ)内的产品称为一等品,优等品与一等品统称正品,其余的产品作为废品处理.根据大量的产品检测数据,得到产品质量差的样本数据统计如图,将样本平均数=70作为μ的近似值,将样本标准差s作为σ的估计值,已知质量差X~N(μ,100),则下列说法正确的是 (　　) 参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)≈0.997. A.样本数据的中位数为71 B.若产品质量差为62 mg,则该产品为优等品 C.该企业生产的产品为正品的概率是0.818 5 D.从该企业生产的正品中随机抽取1 000件,约有834件优等品 解析:选BCD　[46,56)的频率为0.01×10=0.1,[56,66)的频率为0.02×10=0.2,[66,76)的频率为0.045×10=0.45,且0.1+0.2<0.5,0.1+0.2+0.45>0.5,设样本数据的中位数为x,则x∈[66,76),所以0.3+(x-66)×0.045=0.5,解得x=≈70.4,故A错误;由题意知μ≈=70,X~N(70,102),优等品质量差在(μ-σ,μ+σ),即(60,80)内,而62∈(60,80),故B正确;一等品质量差在(μ+σ,μ+2σ),即(80,90)内,则正品质量差在(60,80)和(80,90)内,即在(60,90)内,所以产品为正品的概率为P(60<X<90)=P(60<X<80)+P(80<X<90)≈×(0.683+0.954)=0.818 5,故C正确;因为优等品质量差在(60,80)内,所以产品为优等品的概率为0.683,从正品中随机抽取1 000件,有1 000×≈834件优等品,故D正确.故选BCD. 7.[多选]4月23日为世界读书日,已知某高校学生每周阅读时间X服从正态分布N(9,4),则下列说法正确的是 (　　) (附:X~N(μ,σ2),P(μ-σ<X<μ+σ)=0.683,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997) A.该校学生每周平均阅读时间为9小时 B.该校学生每周阅读时间的标准差为4 C.该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占0.3% D.若该校有10 000名学生,则每周阅读时间在3~5小时的人数约为215 解析:选AD　因为E(X)=9,D(X)=4,所以平均数是9,标准差为2,A正确,B不正确;由P(7<X<11)=0.683,P(5<X<13)=0.954,P(3<X<15)=0.997,结合正态曲线的对称性可得,该校学生每周阅读时间不超过3小时的人数占==0.15%,C不正确;每周阅读时间在3~5小时的人数占=0.021 5,0.021 5×10 000=215,D正确. 8.(5分)在工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),购买者要求直径为3.0±ε,不在这个范围的将被拒绝,要使拒绝的概率控制在4.6%之内,则ε至少为　　　　 .(若X~N(μ,σ2),则P(|X-μ|≤2σ)=0.954)  解析:因为工业生产中轴承的直径服从N(3.0,0.002 5),所以μ=3.0,σ2=0.002 5,则σ=0.05,由P(|X-3.0|≤0.1)=0.954,得P(|X-3.0|>0.1)=1-0.954=0.046,则要使拒绝的概率控制在4.6%之内,则ε至少为0.1. 答案:0.1 9.(5分)已知随机变量ξ~N,且P(ξ>a)=P(ξ<b),且n=a+b,则二项式展开式中含x6的项为　　　　.  解析:因为随机变量ξ~N,且P(ξ>a)=P(ξ<b),所以n=a+b=2×=9,则的展开式通项Tr+1=x9-r=.令9-=6,解得r=2,故二项式展开式中含x6的项为x6=9x6. 答案:9x6 10.(10分)某报社组织“乡村振兴”主题征文比赛,一共收到500篇作品,由评委会给每篇作品打分,下面是从所有作品中随机抽取的9篇作品的得分:82,70,58,79,61,82,79,61,58. (1)计算样本平均数和样本方差s2;(4分) (2)若这次征文比赛作品的得分X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ和σ2的估计值分别为样本平均数和样本方差s2,该报社计划给得分在前50名作品的作者评奖,则评奖的分数线约为多少分?(6分) 参考数据:P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9. 解:(1)由题意可得,=(82+70+58+79+61+82+79+61+58)=70, s2=[(82-70)2+(70-70)2+(58-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(82-70)2+(79-70)2+(61-70)2+(58-70)2]=100, 所以样本平均数为70,样本方差为100. (2)因为得分X服从正态分布N(μ,σ2),且μ==70,σ2=s2=100,则σ=10, 所以X~N(70,102).又P(|X-μ|<1.3σ)≈0.8,即|X-70|<13,解得57<X<83, 所以P(57<X<83)≈0.8. 又P(|X-μ|<1.6σ)≈0.9,即|X-70|<16,解得54<X<86,所以P(54<X<86)≈0.9,所以前50名作品的作者评奖总共50篇,获奖率为0.1, 因为P(57<X<83)≈0.8,则1-P(57<X<83)≈0.2,所以P(X≤57)=P(X≥83)≈0.1, 即评奖的分数线约为83分. 11.(15分)为了提高学生的法律意识,某校组织全校学生参与答题闯关活动,共两关.现随机抽取100人,对第一关答题情况进行调查. 分数 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100] 人数 10 15 45 20 10 (1)假设分数Z近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数 (每组数据取区间的中点值),σ2近似为样本方差s2≈212,若该校有4 000名学生参与答题活动,试估计分数在(30,93)内的学生数;(8分) (2)学校规定:分数在[60,100]内的为闯关成功,并对第一关闯关成功的学生记德育学分5分;只有第一关闯关成功才能闯第二关,第二关闯关不成功的学生德育学分只记第一关学分;对两关均闯关成功的学生记德育学分10分.在闯过第一关的同学中,每位同学第二关闯关成功的概率均为,同学之间第二关闯关是相互独立的.从第一关闯关成功的学生中随机抽取2人,记2人本次活动总分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.(7分) (参考数据:若随机变量Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.997 3) 解:(1)样本的平均数 =10×0.1+30×0.15+50×0.45+70×0.2+90×0.1=51, 所以分数Z近似服从正态分布N(51,212), 即μ=51,σ=21,可得μ-σ=30,μ+2σ=93, 所以P(μ-σ<Z<μ+2σ)=P(μ-σ<Z<μ+σ)+P(μ-2σ<Z<μ+2σ)=×0.682 7+×0.954 5=0.818 6, 所以分数在(30,93)内的学生数约为4 000×0.818 6≈3 274. (2)随机变量X的所有可能取值为10,15,20, P(X=10)==, P(X=15)=××=, P(X=20)=×=, 所以X的分布列为 X 10 15 20 P EX=10×+15×+20×=17.5. 学科网（北京）股份有限公司 $