4.2.5正态分布（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.5正态分布 题型一 正态密度函数的认识 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．  C．    D．   3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则 . 6．（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 题型二 概率分布曲线的认识 1．（21-22高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 2．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 题型三 正态曲线的性质及其应用 1．（21-22高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 题型四 求指定区间的概率 1．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 题型五 求特殊区间的概率 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 3.（2025高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 题型六 标准正态分布及其应用 1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 题型七 根据正态曲线的对称性求参数 1．（24-25高二下·重庆·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）设随机变量，，则实数a的值为 . 题型一 正态分布的实际应用 1．（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 2．（22-23高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 3．（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某公共汽车门的高度是按照“保证成年男子头顶与车门顶部碰撞的概率在以下”这一要求设计的，如果某地成年男子的身高服从正态分布（单位：cm），那么该地公共汽车门的高度应设计为多少？（精确到1cm） 题型二 3原则及应用 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 2．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 题型三 概率分布的综合问题 1．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 2．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 3．（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 4．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 5．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 4．（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 5．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 6．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 7．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 8．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.5正态分布 题型一 正态密度函数的认识 1．（22-23高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【分析】 将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【详解】， . 故选：B. 2．（22-23高二下·江苏·课后作业）函数(其中)的图象可能为（   ） A．   B．   C．    D．   【答案】A 【分析】函数图象的对称轴为直线，由判断各选项.. 【详解】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 3．（22-23高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【详解】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A 4．（23-24高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解. 【详解】由正态分布密度函数，可得. 故选：C. 5．（2025·上海浦东新·三模）已知随机变量，其密度函数为，则 . 【答案】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 6．（24-25高二·全国·课堂例题）若一个正态密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态密度函数的解析式． 【答案】 【分析】可根据正态密度函数的性质，结合偶函数的特点以及函数最大值来确定正态密度函数解析式中的参数. 【详解】由于该正态密度函数是一个偶函数， 所以正态曲线关于轴对称，即，又该函数的最大值是， 所以，解得． 故所求正态密度函数的解析式为. 题型二 概率分布曲线的认识 1．（21-22高二下·广东潮州·期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【答案】A 【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差. 【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2， 故选：A 2．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 3．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 4．（21-22高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 题型三 正态曲线的性质及其应用 1．（21-22高二下·江苏常州·期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（    ）. A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③② 【答案】A 【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定. 【详解】由题意，得，，， 因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且， 所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③. 故选：A. 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知随机变量服从正态分布，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·湖北孝感·阶段练习）已知三个正态分布密度函数（其中，为自然对数的底数）的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布密度函数图像直接判断得出. 【详解】，正态曲线关于对称，且越大图像越靠近右边，根据图像知， 第一个曲线的均值比第二和第三个的均值都小，且第二，第三两个的均值相等， 即，故B、D错误； ，越小图像越瘦高，根据图像知，第一个图像的等于第二个图像的，且第二个图像的比第三个的要小， .，所以A错误，C正确． 故选：C. 4．（24-25高二下·湖南岳阳·期末）设随机变量服从正态分布，服从正态分布，下列说法中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态曲线的性质逐项判断即可. 【详解】根据题意，随机变量服从正态分布，， 服从正态分布，， A选项：， ， 故，命题正确； B选项： ，所以，命题正确； C选项：， ， 所以，命题正确； D选项：， ， 所以，命题错误. 故选：D. 5．（多选）（2023高三上·全国·专题练习）某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，其正态曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）    A．甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B．甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C．甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D．甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 【答案】AC 【分析】根据正态密度函数的图象，得到，，即可求解. 【详解】X，Y均服从正态分布，， 结合正态密度函数的图象可知，可得，， 故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故A正确，B错误； 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误． 故选：AC 题型四 求指定区间的概率 1．（2025·海南·模拟预测）若随机变量服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）如果随机变量，则约等于（   ）（注：） A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.0215 【答案】B 【分析】由正态分布对称性结合原则直接计算即可求解. 【详解】由题得，， . 故选：B. 3．（24-25高二下·四川广元·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】由题意有：， 故选：B. 题型五 求特殊区间的概率 1．（24-25高二下·河南漯河·期末）小强每天骑自行车上学．假设他每次骑车到校所用时间X（单位：分钟）服从正态分布，则（   ） 【附：，】 A．0.1359 B．0.2718 C．0.34135 D．0.47725 【答案】A 【分析】根据正态分布的三段区间概率及对称性求概率即可. 【详解】由题设，，． 故选：A 2．（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【答案】C 【分析】利用特殊区间的概率及正态分布的对称性估计该班数学成绩良好的学生比例即可. 【详解】由题设 . 故选：C 3.（2025高二·全国·专题练习）已知. (1)求； (2)求； (3)设d满足，则d至少为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）由正态分布的性质逐一求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，故. 题型六 标准正态分布及其应用 1．（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）已知随机变量，，则 ． 【答案】0.7/ 【分析】利用正态分布的对称性，即可列式求解. 【详解】由题意可知，. 故答案为：0.7 2．（23-24高二下·江苏淮安·期末）随机变量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】分析可知，结合正态分布的对称性运算求解. 【详解】因为，可知， 若， 可得， 所以. 故答案为：. 3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某省计划在高考中对政治、地理、化学、生物四门选考科目进行赋分制度计分，即将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A、B、C、D、E共5个等级，参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为10%，35%，35%，18%，2%，选考科目成绩计入考生总成绩时，将A至E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换原则，分别转换到，，、、五个分数区间，得到考生的赋分等级成绩，如果该省某次高考模拟考试政治科目的原始成绩，若一名学生想取得A等的赋分等级，则他的原始分数最低为 分．（分数保留整数） 附：①若，，则；②当时，． 【答案】71 【分析】设A等级的原始分最低为，由原始成绩，令，则，即可求解. 【详解】由题意知：从高到低，即A等级人数所占比例为， 若A等级的原始分最低为，又原始成绩， ，令，则， 又，所以， 即，可得分, 则他的原始分数最低为71. 故答案为：71. 题型七 根据正态曲线的对称性求参数 1．（24-25高二下·重庆·期末）设随机变量服从正态分布，且，若，则 . 【答案】0.5/ 【分析】利用正态分布密度曲线的对称性，列方程即可求出参数. 【详解】易知正态分布曲线关于对称，且， 则，所以. 故答案为：0.5 2．（24-25高二下·湖北恩施·期末）设随机变量，，则实数a的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，结合正态分布曲线的对称性，得到，即可求解. 【详解】由随机变量，可得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以，解得. 故答案为： 题型一 正态分布的实际应用 1．（多选）（24-25高二下·陕西咸阳·阶段练习）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时，样本方差为4.假设坐公交车用时（单位：min）和骑自行车用时（单位：min）都服从正态分布，正态分布中的参数用样本均值估计，参数用样本标准差估计，则（   ） A． B． C． D．若某天只有可用，李明应选择坐公交车 【答案】AD 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】依题意随机变量的均值为，方差为，即，，， 随机变量的均值为，方差为，则，，； 所以，故A正确； ，， 因为， 所以，故B错误； ，故C错误； 因为， ， 又，， 又与的密度曲线大致如下，所以， 所以，所以李明应选择公交车，故D正确． 故选：AD． 2．（22-23高三·全国·课后作业）某校400名学生的某次数学考试成绩X服从正态分布，正态分布密度曲线如图所示，则成绩X位于区间的人数大约是 ． 【答案】273 【分析】由图知：，利用原则可求出成绩X位于区间的概率，进而可得出大约人数. 【详解】由题意可知：，由图象可得：， ∵，即， ∴成绩X位于区间的人数大约是. 故答案为：273. 3．（2025高二·全国·专题练习）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度服从. (1)求取得的这件材料的强度不低于180的概率； (2)若所用的材料要求以99%的概率保证强度不低于150，则这批材料是否符合要求？ 【答案】(1) (2)符合要求 【分析】（1）根据正态分布的性质计算对应概率即可； （2）先求正态分布的随机变量在某一范围内取值的概率，再判断即可. 【详解】（1）. （2）求出从这批材料中任取一件，所取材料的强度都不低于150的概率， 与99%进行比较，从而得出结论. 即从这一批材料中任取一件时，所取材料的强度保证不低于150的概率为99.73%， 这个概率大于99%，所以这批材料符合要求. 4．（24-25高二下·全国·课后作业）某公共汽车门的高度是按照“保证成年男子头顶与车门顶部碰撞的概率在以下”这一要求设计的，如果某地成年男子的身高服从正态分布（单位：cm），那么该地公共汽车门的高度应设计为多少？（精确到1cm） 【答案】高度至少应设计为189cm 【分析】实际应用问题，分析可知，求的是门的最低高度，可设其为，使其总体在不低于的概率小于，即，从而解出的范围． 【详解】设该地公共汽车门的高度应设计为，则根据题意可知，， 由于，所以，， 也即，通过查表可知，，解得． 即该地公共汽车门的高度至少应设计为189cm． 题型二 3原则及应用 1．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【分析】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【详解】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C 2．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 题型三 概率分布的综合问题 1．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 2．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【分析】（1）根据正态分布的对称性结合已知条件求出，再结合人数计算； （2）应用二项分布的数学期望公式结合数学期望性质计算求解. 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 3．（23-24高二下·内蒙古鄂尔多斯·期中）某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于80分为优秀． (1)估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例； (2)若该市有40000名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数． 参考数据：若，则，，． 【答案】(1)2.3% (2)32740． 【分析】（1）利用正态分布的对称性求指定区间的概率可得； （2）由正态分布的对称性求指定区间的概率可得. 【详解】（1）设学生的物理得分为随机变量X，则，所以，， 所以， ， 所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为2.3%． （2）由题意，得，， 即，， 所以，， 所以． 又， 所以全市物理成绩在内的学生人数估计为32740． 4．（2025高三下·辽宁沈阳·专题练习）某公司生产的糖果每包标识“净含量500g”，但公司承认实际的净含量存在误差．已知每包糖果的实际净含量（单位：g）服从正态分布． (1)随机抽取1包该公司生产的糖果，求其净含量误差不小于5g的概率（精确到0.001）； (2)随机抽取2包该公司生产的糖果，其净含量误差均不小于5g，检测员根据抽检结果，判断生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由． (3)随机抽取3包该公司生产的糖果，记其中净含量小于497.5g的包数为．求的分布列和期望（精确到0.001）． 说明：对任何一个正态分布来说，通过转化为标准正态分布，从而查标准正态分布表得到． 参考数据：，，，其中为标准正态分布函数，具有性质． 【答案】(1)0.046 (2)检测员的判断是合理的，理由见解析 (3)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据正态分布的性质即可求解； （2）计算这两包糖果其净含量误差均不小于5g的概率，并用这个概率值的大小下结论； （3）先求任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率，服从二项分布，即可求解. 【详解】（1）由题意，，的概率等于． 令，则．因此，． 故净含量误差不小于5g的概率约为0.046． （2）检测员的判断是合理的．因为如果生产线不出现异常，由（1）可知，随机抽取2包检查，其净含量误差不小于5g的概率约为，几乎为零，但这样的事件竟然发生了，所以有理由认为生产线出现了异常，检测员的判断是合理的． （发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为设备运转异常，需对设备进行检修．酌情给分）． （3）可能的取值为、、、． 由（1）可知，任取一包糖果，净含量小于497.5g的概率为． 故服从二项分布，记， ，，， 从而的分布列为 0 1 2 3 0.595 0.337 0.064 0.004 因此． 5．（24-25高二下·广东江门·阶段练习）某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在［70，80）内的学生获三等奖，得分在［80，90）内的学生获二等奖，得分在［90，100］内的学生获一等奖，其他学生不得奖．为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示． 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)求这100名学生的竞赛平均成绩 (2)若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）； (3)若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若随机变量服从正态分布，则，． 【答案】(1)64 (2)1587 (3)分布列见解析， 【分析】（1）利用频率分布直方图求出样本平均数. （2）由（1）可得，利用正态分布的对称性求出，进而求出学生人数. （3）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【详解】（1）由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数. （2）由（1）知，，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此， 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. （3）由（2）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）设随机变量，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布的性质得，由作差法、对数的性质比较大小，即可得. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 所以，， 所以. 故选：A 2．（24-25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，根据正态分布的性质，结合图象的对称性，整理概率等式，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）某省为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省各市本次模拟考试数学成绩都近似服从正态分布．在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量为本次考试数学成绩在之外的人数，则约为 ．若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生的数学成绩为114分，则估计学生的数学成绩在甲市的大致名次为第 名． 参考数据：，．若，有，，． 【答案】 0.4782 1587 【分析】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外，利用正态分布的概率计算公式求出，从而得到，由二项分布的概率公式即可求出，根据题意可得，解得 ，利用正态分布的概率公式计算即可求解. 【详解】设事件：在样本中抽取的1名学生在本次考试中数学成绩在之外． 成绩在之内的概率为0.9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ． 若本次模拟考试甲市数学平均成绩为97.5分，则可得， ， ，即，解得． 甲市学生在该次考试中数学成绩为114分，且， 又，即，， 即学生本次考试的数学成绩在甲市的大致名次为第1587名． 故答案为：0.4782，1587 4．（24-25高二下·山东·阶段练习）为了增强市民的交通意识，某社区举办了一次交通规则知识竞赛.经统计发现，参加本次知识竞赛的社区居民的竞赛成绩近似服从正态分布. (1)若有15.865%参赛社区居民的成绩低于本次知识竞赛预期的平均成绩，试估计本次知识竞赛预期的平均成绩. (2)参加了知识竞赛的社区居民可继续参加该社区组织的答题赠话费活动，活动规则如下：每人需回答3道题，每答对一道题获得30元话费.已知能参加了知识竞赛的居民小王答对每道题的概率均为，且每道题答对与否相互独立.记小王获得话费为元，求的数学期望和方差. 参考数据：若随机变量，则，，. 【答案】(1)83； (2)， 【分析】（1）根据正态分布的对称性求出，再根据期望方差，得到平均成绩；（2）利用二项分布的数学期望、方差公式与性质计算即得. 【详解】（1）因为， 又正态分布中，， 所以本次知识竞赛预期的平均成绩大约为86-3=83； （2）记小王答对题的数量为，则， 由题意得， 则， 所以， . 5．（24-25高二下·海南海口·期中）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个原件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：V）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为 ①设，证明：； ②若第天元件发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）①由条件概率得到，证明出结论； ②由①，得，从而元件B，C必须至少有一个正常工作，所求概率为. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得，， ； （2）①由题设，得 ， . 所以. ②由①，得， 所以第天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 6．（2025·江苏苏州·三模）现有甲、乙两台机器生产一批零件，甲生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布，乙生产出的零件内径（单位：mm）服从正态分布． (1)若甲、乙在一天内发生故障的概率分别为0.1,0.2，且两台机器工作状态相互独立．设一天内发生故障的机器台数为，求的分布列； (2)若生产出的零件内径小于8mm，则每件亏损2元；若内径大于10mm，则每件亏损8元；其余尺寸的零件，则每件获利20元．已知每天每台机器生产出一千件零件，试比较哪一台台机器每天生产出的零件的平均利润更大． 参考数据：若，则． 【答案】(1)分布列见解析 (2)甲台机器每天生产出的零件的平均利润更大 【分析】（1）需要根据独立事件概率公式计算不同故障台数的概率； （2）比较甲、乙两台机器生产零件的平均利润，要先根据正态分布的性质求出不同内径范围的概率，再计算平均利润. 【详解】（1）表示一天内发生故障的机器台数，的可能取值为，，. ：表示甲、乙两台机器都不发生故障，因为甲、乙两台机器工作状态相互独立，根据独立事件概率公式，可得. ：表示甲发生故障乙不发生故障或者甲不发生故障乙发生故障，可得. ：表示甲、乙两台机器都发生故障，根据独立事件概率公式，可得. 所以的分布列为： 0.72 0.26 0.02 （2）甲机器：已知甲生产出的零件内径，则，. ； ； . 每台机器每天生产1000件零件，则甲机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 乙机器：已知乙生产出的零件内径，则，. ； ； . 则乙机器每天生产出的零件的平均利润为： （元）. 因为，所以甲机器每天生产出的零件的平均利润更大. 7．（24-25高二下·云南昆明·期中）某商场在五一假期间开展了一项有奖闯关活动，并对每一关根据难度进行赋分，已知甲、乙、丙三人都参加了该项闯关活动.每个人闯关活动累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给共2500名参加者中得分前400名发放奖励. (1)假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励，请说明理由； (2)丙得知他的分数为430分，而乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪. 附：若随机变量，则；；. 【答案】(1)甲能够获得奖励，理由见详解 (2)乙所说为假 【分析】（1）由，且，计算，求出前400名参赛者的最低得分，与甲的得分比较即可； （2）假设乙所说为真，由计算，求出，利用小概率事件即可得出结论． 【详解】（1）甲能够获得奖励，理由如下： 设此次闯关活动的分数记为. 由题意可知，因为， 且， 所以，则；而， 且， 可知前400名参赛者的最低得分高于，而甲的得分为270分， 所以甲能够获得奖励. （2）假设乙所说为真，则， ， 而，所以，从而， 而， 所以为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其一般不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙所说为假. 8．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)少于40件 【分析】 （1）由分层抽样中样本均值与总体均值关系求；设甲的均值，方差，乙的均值，方差，根据方差公式及已知有，即可得； （2）根据正态分布的对称性及特殊区间概率估计尺寸小于的零件数. 【详解】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $