4.2.4 第2课时 离散型随机变量的方差(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．设随机变量X的方差D(X)＝1，则D(2X＋1)的值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析　D(2X＋1)＝4D(X)＝4×1＝4. 答案　C 2．已知离散型随机变量X的概率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)＝(　　) A．1 B．0.6 C．2.44 D．2.4 解析　由0.5＋m＋0.2＝1，得m＝0.3， ∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4， ∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案　C 3．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·，k＝0，1，2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为(　　) A． B．8 C．12 D．16 解析　由题意可知ξ～B， ∴n＝E(ξ)＝24.∴n＝36. ∴D(ξ)＝n××＝×36＝8. 答案　B 4．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　因为E(X甲)＝E(X乙)，D(X甲)＝11>D(X乙)＝3.4.所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐，故选B. 答案　B 5．已知随机变量X服从二项分布B(n，p).若E(X)＝30，D(X)＝20，则p＝________． 解析　根据二项分布的期望、方差公式求解． 由E(X)＝30，D(X)＝20，得 解得p＝. 答案　 6．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)的最大值为________，D(ξ)的最大值为________． ξ 0 1 2 P －p p 解析　E(ξ)＝p＋1≤； D(ξ)＝－p2－p＋1≤1. 答案　　1 7．从装有大小相同的3个白球和m个黑球的不透明布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则m的值为________，D(X)的值为________． 解析　由题可知，从装有大小相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取1个球，有放回地摸取5次，每次取到白球的概率为. ∵有放回地摸取5次，摸得白球个数为X， ∴X～B.∵E(X)＝3，∴E(X)＝5×＝3，解得m＝2，∴D(X)＝5××＝. 答案　2　 8．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X. (1)求X的分布列及方差D(X)； (2)若ξ＝aX＋2，且D(ξ)＝33.6，求实数a的值． 解析　(1)X的所有可能取值为6，9，12. P(X＝6)＝＝，P(X＝9)＝＝， P(X＝12)＝＝， ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴E(X)＝6×＋9×＋12×＝7.8， D(X)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36. (2)由(1)，可知D(ξ)＝D(aX＋2)＝a2D(X)＝3.36a2＝33.6，可求得a＝±. [关键能力·综合提升] 9．甲、乙、丙三人参加三个地区志愿服务活动，若每人只能选择一个地区，且选择其中任何一个地区是等可能的．记X为三人选中的地区个数，Y为三人没有选中的地区个数，则(　　) A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y) B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y) C．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y) D．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y) 解析　由题意得X的可能取值为1，2，3，则P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝， D(X)＝×＋×＋×＝. Y的可能取值为0，1，2， 则P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝， P(Y＝2)＝＝， ∴E(Y)＝0×＋1×＋2×＝，D(Y)＝×＋×＋×＝. ∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y). 答案　D 10．(多选题)(2023·深圳高二质量检测)已知随机变量ξ、随机变量η的分布列分别是(　　) ξ －1 0 1 P η 1 2 3 P 则当p在(0，1)内增大时，下列选项中一定正确的有(　　) A．E(ξ)＝E(η)　　　 B．D(ξ)＝D(η) C．E(ξ)增大 D．D(η)先增大后减小 解析　由分布列可得E(ξ)＝－＋＝，E(η)＝＋1－p＋＝，A错误； D(ξ)＝×＋×＋×＝， D(η)＝×＋×＋×＝，B正确； 当p在(0，1)内增大时，E(ξ)增大，D(η)增大，C正确，D错误． 故选BC. 答案　BC 11．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2 min，则这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间Y的方差为________． 解析　遇到红灯的次数X～B， 所以D(X)＝， 所以D(Y)＝D(2X)＝4×＝. 答案　 12．若随机事件A在1次试验中发生的概率为p(0<p<1)，用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D(X)的最大值为________；的最大值为________． 解析　随机变量X的所有可能取值为0，1，由题意，得X的分布列为 X 0 1 P 1－p p 从而E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，D(X)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p－p2. D(X)＝p－p2＝－＋＝－＋， 因为0<p<1，所以当p＝时，D(X)取得最大值，最大值为. ＝＝2－， 因为0＜p＜1，所以2p＋≥2. 当2p＝，即p＝时，取“＝”．所以当p＝时，取得最大值2－2. 答案　　2－2 13．低碳生活，从“衣食住行”开始．在国内一些网站中出现了“碳足迹”的应用，人们可以由此计算出自己每天的碳排放量，如家居用电的二氧化碳排放量(千克)＝耗电度数×0.785，家用天然气的二氧化碳排放量(千克)＝天然气使用立方数×0.19等．某校开展“节能减排，保护环境，从我做起！”的活动，该校高一六班同学利用假期在东城、西城两个小区进行了关于“生活习惯是否符合低碳排放标准”的调查．生活习惯符合低碳观念的称为“低碳家庭”，否则称为“非低碳家庭”，经统计，这两类家庭占各自小区总户数的比例P的数据如下： 东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例P 西城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例P (1)如果在东城、西城两个小区内各随机选择2个家庭，求这4个家庭中恰好有两个家庭是“低碳家庭”的概率； (2)该班同学在东城经过大力宣传节能减排的重要意义，每周“非低碳家庭”中有20%的家庭能加入到“低碳家庭”的行列中，宣传两周后随机地从东城小区中任选5个家庭，记X表示5个家庭中“低碳家庭”的个数，求E(X)和D(X). 解析　(1)设事件“4个家庭中恰好有两个家庭是‘低碳家庭’”为A，则有以下三种情况：“低碳家庭”均来自东城小区，“低碳家庭”分别来自东城、西城两个小区，“低碳家庭”均来自西城小区． ∴P(A)＝×××＋4××××＋×××＝. (2)因为东城小区每周“非低碳家庭”中有20%的家庭加入“低碳家庭”行列，所以经过两周后，两类家庭占东城小区总家庭数的比例如下： 东城小区 低碳家庭 非低碳家庭 比例P′ 由题意得，两周后东城小区5个家庭中的“低碳家庭”的个数X服从二项分布，即X～B， ∴E(X)＝5×＝，D(X)＝5××＝. [核心价值·探索创新] 14．(多选题)袋中有10个大小相同的球，其中6个黑球、4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为其中白球的个数，随机变量Y为其中黑球的个数．若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A．P(|Z－6|≤1)＝ B．E(X)>E(Y) C．D(X)＝D(Y) D．E(Z)＝ 解析　由题意知X，Y均服从超几何分布，且X＋Y＝4，Z＝2X＋Y，P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 从而P(|Z－6|≤1)＝P(5≤Z≤7)＝1－P(Z＝4)－P(Z＝8)＝1－P(X＝0)－P(X＝4)＝1－－＝，故选项A正确； E(X)＝4×＝，E(Y)＝4－E(X)＝，D(X)＝D(4－Y)＝D(Y)，故选项B错误，C正确； E(Z)＝2E(X)＋E(Y)＝，故选项D正确．故选ACD. 答案　ACD 15．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表： 降水量X X＜300 300≤X＜700 700≤X＜900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9.求： (1)工期延误天数Y的均值与方差； (2)在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率． 解析　(1)由已知条件和概率的加法公式有： P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，所以P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 于是，E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3；D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8. (2)由概率的加法公式，P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P(Y≤6|X≥300)＝P(X<900|X≥300)＝＝＝，故在降水量X至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是. 学科网（北京）股份有限公司 $$