4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.4 第1课时 离散型随机变量的均值 课时跟踪检测 1.已知某一随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=6.3,则a的值为 (　　) X a 7 9 P b 0.1 0.4 A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7 解析:选A　根据随机变量X分布列的性质可知b+0.1+0.4=1,所以b=0.5.又E(X)=ab+7×0.1+9×0.4=6.3,所以a=4. 2.已知随机变量X服从两点分布,E(X)=0.6,则其成功概率为 (　　) A.0.3　　　　B.0.4　　　　C.0.5　　　　D.0.6 解析:选D　∵随机变量X服从两点分布,设成功的概率为p,∴E(X)=0×(1-p)+1×p=p=0.6. 3.已知随机变量ξ和η,其中η=4ξ-2,且E(η)=7,若ξ的分布列如下表,则n的值为 (　　) ξ 1 2 3 4 P m n A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选A　∵η=4ξ-2,∴E(η)=4E(ξ)-2=7,∴E(ξ)=,∴=1×+2×m+3×n+4×=2m+3n+,又+m+n+=1,联立求解可得n=,故选A. 4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1 000件产品中的次品数,Y表示乙车床生产1 000件产品中的次品数,经过一段时间考查后,X,Y的分布列分别是 X 0 1 2 3 P 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 据此判定 (　　) A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 解析:选A　由分布列可得E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7,∵E(Y)>E(X),∴甲比乙质量好. 5.某班举行了一次“心有灵犀”的活动.教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学,这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4,同学乙猜对成语的概率是0.5,且规定猜对得1分,猜错得0分,则这两个同学各猜1次,得分之和X的数学期望为 (　　) A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1 解析:选A　依题意得,X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=(1-0.4)×(1-0.5)=0.3, P(X=1)=0.4×(1-0.5)+(1-0.4)×0.5=0.5,P(X=2)=0.4×0.5=0.2. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 ∴E(X)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9. 6.从一批含有8件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为ξ,则E(5ξ+1)= (　　) A.2 B.1 C.3 D.4 解析:选D　由题意,知随机变量ξ的取值为0,1,2,则P(ξ=0)==;P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,所以E(ξ)=0×+1×+2×=,所以E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5×+1=4. 7.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球;否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值可能是 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　根据题意,知发球次数为1的概率P(X=1)=p,发球次数为2的概率P(X=2)=(1-p)p,发球次数为3的概率P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<.由p∈(0,1)可得p∈. 8.(5分)学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会,其中高二(1)班有4名候选人,假设每名候选人都有相同的机会被选中,若X表示选中高二(1)班的候选人的人数,则E(X)的值为　　　　.  解析:X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则E(X)=0×+1×+2×=. 答案: 9.(5分)设ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P a 若η=2ξ+a,则E(η)=　　　　. 解析:由分布列的性质可知+++a=1,解得a=,所以E(ξ)=1×+2×+3×+4×=,所以E(η)=E=2E(ξ)+=2×+=6. 答案:6 10.(5分)设离散型随机变量X的分布列为P(X=k)=··(k=0,1,2,…,300),则E(X)=　　　,若Y=2X-1,则E(Y)=　　　.  解析:由P(X=k)=··,可知X~B,∴E(X)=300×=100,E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=200-1=199. 答案:100　199 11.(10分)一个盒子里装有5张卡片,其中有红色卡片3张,白色卡片2张,从盒子中任取2张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (1)求取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片的概率;(3分) (2)在取出的2张卡片中,白色卡片数设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.(7分) 解:(1)设“取出的2张卡片中,至少有1张红色卡片”为事件A,则P(A)=1-=. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 12.(10分)某全国连锁咖啡店,男会员占60%,女会员占40%.现对会员进行服务质量满意度调查,根据调查结果得知,男会员对服务质量不满意的概率为,女会员对服务质量不满意的概率为. (1)随机选取一名会员,求其对服务质量不满意的概率;(3分) (2)从会员中随机抽取3人,记抽取的3人中,对服务质量不满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.(7分) 解:(1)设事件A1:会员是男会员,A2:会员是女会员,事件B:对服务质量不满意. 由题意,得P(A1)=,P(A2)=,P(B|A1)=,P(B|A2)=, 于是,由全概率公式可得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. (2)由题意知,X~B, 则P(X=0)==, P(X=1)=××=, P(X=2)=×=, P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 因为X~B,所以E(X)=3×=. 13.(15分)(2025·北京高考)有一道选择题考查了一个知识点,甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率. (1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率.(2分) (2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.(7分) (3)若甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).(6分) 解:(1)用频率估计概率,从甲校随机抽取1人,做对题目的概率为=. (2)设A为“从甲校抽取1人做对”,则P(A)=0.8,P()=0.2, 设B为“从乙校抽取1人做对”,则P(B)=0.75,P()=0.25, 设C为“恰有1人做对”,故P(C)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.35. 而X可取0,1,2, P(X=0)=P( )=0.05,P(X=1)=0.35,P(X=2)=0.8×0.75=0.6,故X的分布列如表: X 0 1 2 P 0.05 0.35 0.6 故E(X)=1×0.35+2×0.6=1.55. (3)设D为“甲校掌握该知识点的学生”, 因为甲校同学掌握这个知识点则有100%的概率做对该题目, 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,故P(D)+[1-P(D)]=0.8, 即p1+×(1-p1)=0.8,故p1=, 同理有0.85p2+×(1-p2)=0.75,故p2=, 故p1<p2. 学科网（北京）股份有限公司 $