3.1.2 第1课时 排列与排列数(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

[必备知识·基础巩固] 1．18×17×16×…×9×8＝(　　) A．A B．A C．A D．A 解析　18×17×16×…×9×8＝A. 答案　D 2．(多选)下列问题属于排列问题的是(　　) A．从10个人中选2人分别去种树和扫地 B．从10个人中选2人去扫地 C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D．从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 解析　根据排列的定义，选出的元素有顺序的才是排列问题． 答案　AD 3．(多选)下列各式中正确的是(　　) A．n！＝ B．A＝nA C．A＝ D．A＝ 解析　n！＝1×2×3×…×n＝＝，故A正确； A＝＝＝nA，故B正确； A＝，故C正确； A＝＝，故D错误． 答案　ABC 4．若甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A．6 B．4 C．8 D．10 解析　列树状图如下： 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种． 答案　B 5．已知自然数x满足3A＝2A＋6A，则x的值为________． 解析　因为3A＝2A＋6A， 所以3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x， 由x是自然数且x＋1≥3，整理得3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，∴x＝4. 答案　4 6．北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有______种机票． 解析　列出每一个起点和终点情况，如图所示． 故符合题意的机票种类有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． 答案　12 7．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子，分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________． 解析　第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理共有4×3＝12种不同选法，其中真分数有，，，，，，共6个． 答案　12　6 8．(1)计算：； (2)化简：1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！； (3)化简：＋＋＋…＋. 解析　(1)＝·(n－m)！· ＝·(n－m)！·＝1. (2)∵n·n！＝[(n＋1)－1]·n！＝(n＋1)！－n！， ∴原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. (3)∵＝－， ∴原式＝＋＋＋…＋＝1－. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列等式中成立的是(　　) A．A＝(n－2)A B．A＝A C．nA＝A D．A＝A 解析　A中，右边＝(n－2)(n－1)n＝A成立；C中，左边＝n×(n－1)×…×2＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝A成立；D中，左边＝×＝＝A成立；经验证只有B不正确． 答案　ACD 10．不等式A－n<7的解集为(　　) A．{n|－1<n<5} B．{1，2，3，4} C．{3，4} D．{4} 解析　由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7， 整理得n2－4n－5<0，解得－1<n<5， 由题可知，n－1≥2且n∈N＋，则n＝3或n＝4，即原不等式的解集为{3，4}． 答案　C 11．一天有6节课，安排6门学科，一天的课程表有________种排法． 解析　这是6个对象的全排列问题，故一天的课程表排法有A＝6×5×4×3×2×1＝720(种). 答案　720 12．从0，2，3，5这4个数字中选出2个不同的数字组成两位数，并按从小到大的顺序把这些两位数排列起来，则52是第________个数． 解析：组成一个两位数分两步，第一步：选十位上的数字，有3种不同的选法，第二步：选个位上的数字，有3种不同的选法，共有3×3＝9个不同的两位数．于是52是第8个两位数． 答案　8 13．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法． 解析　如图， 由树形图可写出所有不同试验方法如下： a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种． [核心价值·探索创新] 14．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有(　　) A．80个　　　　　 B．40个 C．20个 D．10个 解析　十位数只能是3，4，5，当十位数为3时只有A＝2个；当十位数是4时有A＝6个；当十位数是5时有A＝12个，故共有2＋6＋12＝20(个). 答案　C 15．为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 解析　由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式． 不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示，那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种，其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色，那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里，各4种.147留4个空，两个两个相邻，共4种放法． 137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法.246，四个空都分开，有6种放法． 所以共有6×4＋1×4＋2×2＋1×6＝38种， 当黄或蓝有3个时，总数一样，故一共有3×38＝114种不同的放法． 学科网（北京）股份有限公司 $$