第5章 二元一次方程组课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

1 ❶一般地，以一个二元一次方程的解为__________组成的图象与相应的一次函数的图象相同，是__________． ❷一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的__________；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的__________． 坐标的点 一条直线 解 坐标 2 C 【例1】直线l是以二元一次方程8x＋4y＝5的解为坐标的点所构成的直线，则该直线不经过的象限是 （ ） A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 【名师点拨】每个二元一次方程都对应着一个一次函数，将方程整理成用含x的代数式表示y的形式即可判断． 【学生解答】 A 【名师点拨】从图形的角度看，二元一次方程组的解，就是这个方程组对应的两个一次函数在同一坐标系中图象交点的坐标． 【学生解答】 5 A 1．在下列图象中，直线上每个点的坐标都适合二元一次方程2x－y＝2的是 ( ) 无数 2．二元一次方程2x＋y＝4有__________个解，以这些解为坐标的点都在一次函数__________________的图象上． y＝－2x＋4 7 D 8 解：(1)如图； 4．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图象如图． (1)在同一平面直角坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图象； 9 10 D 5．（2024·遵义一模）如图，一次函数y＝ax＋2与y＝2x－1的图象相交于点P，则关于x的方程ax＋2＝2x－1的解是( ) A.x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4 11 D 12 13 14 8． 阅读下列材料，并完成任务． 以方程x－y＝－2的解为坐标的所有点构成一次函数x－y＝－2的图象．我们知道，二元一次方程x－y＝－2有无数个解，我们把每一个解用有序数对(x，y)表示，就可以描出无数个以方程x－y＝－2的解为坐标的点，这无数个点组成一条直线，反过来，这条直线上任意一点的坐标都是方程x－y＝－2的解． 是 16 在 (2)①在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－0.5，1.5)，则点P________一次函数x－y＝－2的图象上；（选填“在”或“不在”） ②点Q的坐标为(1，2)，则点Q__________一次函数x－y＝－2的图象上；（选填“在”或“不在”） 不在 17 18 B 任务三： (4)上述用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，主要体现的数学思想是__________． A.转化思想 B.数形结合思想 C.方程思想 19 【例2】如图，一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与一次函数y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是 ( ) A. B． C. D． 3．（2024·贵阳期末）如图，一次函数y＝－x＋4与y＝2x＋1图象的交点为P(1，3)，则方程组的解是( ) A. B． C． D． (2)利用图象解方程组： (2)由图可知y＝－x＋4与y＝2x－5两直线交于点(3，1)， ∴方程组的解为 6．（2024·内蒙古）点P(x，y)在直线y＝－x＋4上，且它的横、纵坐标是二元一次方程5x－6y＝33的解，则点P的位置在 ( ) A.第一象限 B．第二象限 C.第三象限 D．第四象限 7．如图，直线l1：y＝x－1与直线l2：y＝－x＋2在同一平面直角坐标系中交于点A(2，1). (1)方程组的解是____________________； 解：(1) (2)请判断三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋是否经过同一个点，并说明理由． (2)三条直线经过同一个点．理由如下： 联立解得 把代入y＝x＋中，等式成立， ∴三条直线y＝x－1，y＝－x＋2，y＝x＋经过同一个点(2，1). 任务一： (1)如图①，在平面直角坐标系中，点M是一次函数x－y＝－2的图象上一点，点M的坐标为(－3.5，－1.5)，则________方程x－y＝－2的解；（选填“是”或“不是”） 任务二： (3)如图②，在平面直角坐标系中，一次函数x－y＝－2与一次函数3x－y＝0的图象交于点N(1，3)，则二元一次方程组的解为__________； $$ 1 总支出 进货价 2 50 【例1】某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计50万元，每年需付2.295万元利息，已知甲种贷款每年的利率为4.35%，乙种贷款每年的利率为4.75%，根据题意填写下表： 4.35%x 4.75%y 2.295 甲 乙 合计/万元 贷款/万元 x y __________ 利息/万元 __________ __________ __________ 20 则可得方程组为_______________________，解方程组可得该公司向银行申请了甲种贷款_______万元，乙种贷款______万元． 【学生解答】 30 答案见上． 50 4.35%x 4.75%y 2.295 甲 乙 合计/万元 贷款/万元 x y __________ 利息/万元 __________ __________ __________ C 【例2】如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形．若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y.根据题意，下列方程组正确的是（ ） 5 (1＋15%)x 1．某工厂去年总产值比总支出多500万元，由于今年总产值比去年增加15%，总支出比去年节约10%.因此，今年总产值比总支出多950万元．今年的总产值和总支出分别是多少万元？ 设去年总产值为x万元，总支出为y万元． 根据题意填写下表： 总产值/万元 总支出/万元 差/万元 今年 ________________ ________________ __________ (1－10%)y 950 根据表格，列出方程组，并求出x，y的值以及今年的总产值与总支出． 总产值/万元 总支出/万元 差/万元 今年 (1＋15%)x (1－10%)y 950 7 2．某配餐公司需用甲、乙两种食材为在校午餐的同学配置营养餐，两种食材的蛋白质含量和碳水化合物含量如下表所示． 甲食材 乙食材 每克所含蛋白质 0.3单位 0.7单位 每克所含碳水化合物 0.6单位 0.4单位 若每位中学生每餐需要21单位蛋白质和40单位碳水化合物，那么每餐甲、乙两种食材各多少克恰好满足一个中学生的需要？设每 餐需要甲食材x g，乙食材y g，那么可列方程组为___________． 8 3．小敏做拼图游戏时发现：8个一样大小的小长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小颖看见了，也来试一试，结果拼成了如图②所示的正方形，不过中间留下一个边长恰好为2 cm的小正方形空白，你能算出每个小长方形的长和宽各为多少吗？ 9 宽 思考1：设小长方形的长为x cm，宽为y cm.在图①中大长方形的长有两种表现形式，一种是5个小长方形的__________的和，另一种是3个小长方形的__________的和，可得方程__________； 长 5y＝3x 10 1 思考2：在图②中，大正方形的边长也有两种表现形式，一种是__________个小长方形的长和__________个小长方形的宽的和，另一种从中间看为__________个小长方形的长与空白小正方形的__________的和，可得方程________________． 2 2 边长 x＋2y＝2x＋2 11 A 4．爱心公益群体为某白血病患者举行了募捐献爱心活动．若某中学某班45名学生为该患者捐款315元，且该班同学捐款情况如下表所示，则该班捐款10元的同学有 ( ) A.15人 B．20人 C．25人 D．30人 捐款/元 5 8 10 捐款学生/人 5 12 5．（2024·贵阳期末）某一天，蔬菜经营户花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40 kg，到菜市场去卖，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示： 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 13 (1)求该蔬菜经营户批发的黄瓜和茄子的数量各是多少？ 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 14 (2)根据题意，得(4－3)×10＋(3－2)×30＝1×10＋1×30＝10＋30＝40（元）. 答：他可以赚40元． (2)若该蔬菜经营户当天将购买的黄瓜和茄子全部卖完，请问他可赚多少元？ 品名 黄瓜 茄子 批发价/（元/kg） 3 2 零售价/（元/kg） 4 3 15 6．（2024·内蒙古）某超市从某水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的进价和售价如下表所示： 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲 a 22 乙 b 25 该超市购进甲种水果18 kg和乙种水果6 kg需366元；购进甲种水果30 kg和乙种水果15 kg需705元． (1)求a，b的值； 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲 a 22 乙 b 25 17 (2)该超市决定每天购进甲、乙两种水果共150 kg进行销售，其中甲种水果的数量不少于50 kg，且不大于120 kg.实际销售时，若甲种水果超过80 kg，则超过部分按每千克降价5元销售．求超市当天销售完这两种水果获得的利润y（元）与购进甲种水果的数量x(kg)之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围），并求出在获得最大利润时，超市的进货方案以及最大利润． 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲 a 22 乙 b 25 18 (2)当50≤x≤80时，y＝(22－14)x＋(25－19)(150－x)＝2x＋900. ∵2＞0，∴y随x的增大而增大， ∴当x＝80时，y取最大值，为2×80＋900＝1 060，此时150－x＝70. 当80≤x≤120时，y＝(22－14)×80＋(22－14－5)(x－80)＋(25－19)(150－x)＝－3x＋1 300. ∵－3＜0， ∴y随x的增大而减小， 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲 a 22 乙 b 25 19 ∴当x＝80时，y有最大值，为－3×80＋1 300＝1 060，此时150－x＝70. 进价/（元/kg） 售价/（元/kg） 甲 a 22 乙 b 25 20 ❶利润＝总收入－__________； 商品利润＝销售价－__________． ❷达标率＝×100%； 商品利润率＝×100%. A． B． C． D． 解：根据题意，得解得 (1＋15%)×2 000＝2 300（万元）， (1－10%)×1 500＝1 350（万元）. 答：x的值为2 000，y的值为1 500，今年总产值为2 300万元，总支出为1 350万元． 解：(1)设该蔬菜经营户批发x kg黄瓜，y kg茄子． 根据题意，得解得 答：该蔬菜经营户批发10 kg黄瓜，30 kg茄子； 解：(1)根据题意，得解得 ∴a＝14，b＝19； 综上所述，y＝ 当购进甲种水果80 kg，乙种水果70 kg时，所获利润最大，为1 060元． $$ 1 用代数式表示多位数：同一数字在不同的数位上，表示的数值不同．一般地，两位数的表示方法是：_________位数字×10＋ ___________位数字；三位数的表示方法是：_______________________________________……以此类推． 十 个 百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字 2 【例1】一道来自课本的变式题： 从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需54 min，从乙地到甲地需42 min.甲地到乙地全程是多少？ 根据以上条件，下列解题思路或结论说法正确的有______．（填序号） ①②④ 【名师点拨】设甲地到乙地上坡路长x km，平路长y km，根据时间、路程、速度之间的关系列方程组，逐项判断即可． 【学生解答】 5 【例2】某中学新跑道一圈长400 m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，25 s后首次相遇；若甲从起点先跑2 s，乙从该起点同向出发追甲，3 s后追上甲，求甲、乙两名运动员的速度． 【学生解答】 6 B 1．已知某桥长1 000 m，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 1 min，整列火车在桥上的时间为40 s．设火车的速度为x m/s，车长为y m，所列方程组正确的是 ( ) 15 2．小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行了一段路，到学校共用20 min.他骑自行车的平均速度是200 m/min，步行的平均速度是70 m/min，他从家到学校的路程是3 350 m，则小明骑自行车的时间为__________min. 9 3． 甲、乙二人分别从相距 20 km 的A，B两地出发，相向而行．下图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是 x km/h，乙的速度是y km/h.根据题意所列的方程组是 _____________． 10 4．两列火车同时从相距880 km的两地相向出发，10 h后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发5.5 h，那么在第二列火车出发7 h后相遇，求两列火车的速度． 11 5．甲、乙两人从相距36 km的两地相向而行，均匀速行驶．如果甲比乙先走2 h，那么他们在乙出发 2.5 h 后相遇；如果乙比甲先走2 h，那么他们在甲出发3 h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 12 D 13 7．甲、乙二人在一环形场地上从点A同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min时两人首次相遇，此时乙还需要跑300 m才能跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长． 14 15 8．爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 设：9：00时里程碑上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y，解答下列问题： 解：(1)10x＋y 10y＋x 100x＋y (1)用含x，y的代数式表示：9：00时看到的里程碑上的数字为__________；10：00时看到的里程碑上的数字为___________；11：30时看到的里程碑上的数字为___________； (2)列方程组并求出10：00时看到的里程碑上的数字； 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 17 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 (3)由(2)可知，9：00看到的两位数是15，10：00看到的两位数是51. ∴摩托车的速度为(51－15)÷1＝36(km/h). (3)求摩托车的速度． 时刻 9：00 10：00 11：30 里程碑上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与9：00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比9：00时看到的两位数中间多了个0 19 ①设从甲地到乙地上坡路长x km，平路长y km，可列方程组②根据条件，能求出甲地到乙地的全程是3.1 km；③列算式(54－42)÷(5－3)即可求出甲地到乙地上坡路长；④设上坡路长x km，可列方程－＝－. 解：设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s.根据题意，得 解得 答：甲的速度为6 m/s，乙的速度为10 m/s. A. B． C. D． 解：设第一列火车的速度为x km/h，第二列火车的速度为y km/h. 根据题意，得解得 答：第一列火车的速度为48 km/h，第二列火车的速度为40 km/h. 解：设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h. 根据题意，得解得 答：甲的速度为6 km/h，乙的速度为3.6 km/h. 6． 甲、乙二人分别从相距40 km的 A，B两地出发，相向而行．如果甲比乙早出发1 h，那么乙出发后2 h，他们相遇；如果他们同时出发，那么2.5 h后，两人相距 5 km，则甲由A地到B地需要 ( ) A. h B．20 h C.10 h或20 h D． h或10 h 解：设乙的速度为x m/min，环形场地的周长为y m，则甲的速度为 2.5x m/min. 根据题意，得解得 ∴甲的速度为2.5×150＝375(m/min). 答：甲的速度为375 m/min，乙的速度为150 m/min，环形场地的周长为900 m． (2)根据题意，得 解得 ∴10y＋x＝10×5＋1＝51. 答：10：00时看到的里程碑上的数字为51； $$ 1 消元法 1．用代入消元法解下列方程组： (1) 解：将①代入②，得4x－(2x＋3)＝－5， 4x－2x－3＝－5，2x＝－2，x＝－1. 将x＝－1代入①，得y＝1. 所以原方程组的解是 (2) 解：由①，得x＝y＋4.③ 将③代入②，得2(y＋4)＋y＝5， 2y＋8＋y＝5，3y＝－3，y＝－1. 将y＝－1代入③，得x＝3. 所以原方程组的解是 2．用加减消元法解下列方程组： (1)（2024·广西） 解：①＋②，得2x＝4，x＝2. ①－②，得4y＝2，y＝. 所以原方程组的解是 (2) 解：②×3，得6x＋3y＝9.③ ①＋③，得7x＝7，x＝1. 将x＝1代入②，得y＝1. 所以原方程组的解是 3．用适当的方法解下列方程组： (1) 解：将①代入②，得4×＋3y＝65， 2y－10＋3y＝65，5y＝75，y＝15. 将y＝15代入①，得x＝5. 所以原方程组的解是 (2) 解：①×2，得2x－4y＝2.③ ②－③，得7y＝14，y＝2. 将y＝2代入①，得x＝5. 所以原方程组的解是 (3) 解：方程组变形为 ③×3，得12x－9y＝6.⑤ ④×4，得12x－16y＝－8.⑥ ⑤－⑥，得7y＝14，y＝2. 将y＝2代入③，得x＝2. 所以原方程组的解是 整体代入或整体求值法 4．阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组时，可以采用一种“整体代入”的解法： 解：将②变形为4x＋2y＋y＝6， 即2(2x＋y)＋y＝6.③ 将①代入③，得2×0＋y＝6，y＝6. 将y＝6代入①，得x＝－3. 所以原方程组的解是 请你利用“整体代入”的解法解方程组 解：将②变形为x＋6x－3y＝20， 即x＋3(2x－y)＝20.③ 将①代入③，得x＋15＝20，x＝5. 将x＝5代入①，得y＝5. 所以原方程组的解是 5．已知方程组的解恰好是方程x＋y＝11的解，求a的值． 解，求a的值． 解： ①＋②，得7(x＋y)＝2a－3， ∴x＋y＝. ∵x＋y＝11，∴＝11，解得a＝40. 换元法 6．如何解方程组呢？我们可以把m＋5，n＋3看成一个整体，设m＋5＝x，n＋3＝y，把方程组转化为关于x，y的二元一次方程组，再解这个方程组，求出x，y的值，进而可以很快求出原方程组的解，这种解方程组的方法叫作换元法．请仔细体会换元法的数学思想，并用换元法完成本题的解答过程． 解：设m＋5＝x，n＋3＝y， 则原方程组可化为 解得 即 解得 7．解方程组： 解：设x＋y＝m，x－y＝n， 则原方程组可化为解得 即解得 $$ 1 B 2 ① ② ⑤ 3． 已知二元一次方程x＋3y＝14，请写出该方程的一个整数解：________________________． D 4 3 5．如果|x－2y＋1|与(x＋y－5)2互为相反数，那么x＝________，y＝_________． 2 1 5 6 7 8 解：(1)加减消元法 等式的基本性质 9 (2)二 (2)小马的解题过程从第________步开始出现错误； (3)请你从出现错误的那步开始，写出后面正确的解题过程． 10 B 9．为弘扬和传承长征精神，某学校老师准备带该校八年级学生乘车到贵阳市“红飘带”红色教育基地学习，若学校租用45座客车若干辆，则15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．设租用45座客车x辆, 师生共y人, 则可列方程组为 ( ) 11 4.8 10．小明和小强两人从A地匀速骑行去往B地，已知A，B两地之间的距离为10 km，小明骑山地车的速度是13 km/h，小强骑自行车的速度是8 km/h.若小强先出发15 min，则小明追上小强时，两人距离B地__________km. 12 11． （2024·山西）当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加．科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源．据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760 g．已知从2.5 t废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6 t废旧智能手机中提炼出的白银克数相等．求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克． 13 14 A 12．如图是一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象，则下列结论中：①k＜0；②a＞0；③b＞0；④方程kx＋b＝x＋a的解是x＝3，错误结论的个数是 ( ) A. 1 B．2 C．3 D．4 15 13．（2024·铜仁期末）铜仁市水果种类繁多，沿河空心李、玉屏黄桃、万山香柚、印江红香柚、松桃猕猴桃等特色优势产品一直备受大众青睐．数学兴趣小组调查今年4月初我市新上市的一种水果的价格与前几天的销售旺季价格变化情况． 日期x 1 3 5 7 价格y/（元/kg） 20 18 16 14 (1)请建立该水果价格y与日期x之间的函数表达式； 日期x 1 3 5 7 价格y/（元/kg） 20 18 16 14 (2)请用求出的函数表达式预测该水果今年4月8日的价格； (2)当x＝8时，y＝－8＋21＝13， ∴该水果今年4月8日的价格为13元/kg； 日期x 1 3 5 7 价格y/（元/kg） 20 18 16 14 (3)你能用求出的函数表达式预测该水果今年4月30日的价格吗？为什么？ (3)不能用求出的函数表达式预测该水果今年4月30日的价格．理由如下： 当x＝30时，y＝－30＋21＝－9， ∵－9＜0，不符合题意， ∴不能用求出的函数表达式预测该水果今年4月30日的价格． 日期x 1 3 5 7 价格y/（元/kg） 20 18 16 14 －2 已知(a－2)xa2－3＋y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a的值为__________． 20 A 21 22 4 500 3．（2024·上海）某种商品的销售额y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时，销售额为1 000万元；当投入90万元时，销售额为5 000万元．则投入80万元时，销售额为__________万元． 23 24 解：(1)一 二 25 (2)请你帮小华同学写出正确的解题过程． 26 5． （2024·贵阳期末）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1 000个，总共花费18 000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ 27 28 二元一次方程（组）的有关概念 1．（2024·贵阳期末）如果是关于x和y的二元一次方程x＋my＝2 023的解，那么m的值是 ( ) A．－2 020 B．2 020 C．－2 021 D．2 021 2．下列方程（组）：①x＋2＝0；②3x－2y＝1；③xy＋1＝0；④2x－＝1；⑤⑥其中，是一元一次方程的是__________，是二元一次方程的是__________，是二元一次方程组的是__________．（均填序号） （答案不唯一） 二元一次方程组的解法 4．若方程组的解x与y相等，则a的值为 ( ) A．0 B．－1 C．1 D．2 6．已知方程组和有相同的解，则a2－2ab＋b2的值为__________． 7．（2024·六盘水期末）解方程组： (1) 解：将②代入①，得2(y＋1)＋3y＝22， 2y＋2＋3y＝22，5y＝20，y＝4. 将y＝4代入②，得x＝5. 所以原方程组的解是 (2) 解：①×2，得6x＋4y＝14.③ ③＋②，得8x＝18，x＝. 将x＝代入②，得－4y＝4，y＝. 所以原方程组的解是 8． 下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①×2，得4x－6y＝－8.③第一步 ②－③，得－y＝－12，第二步 y＝12.第三步 将y＝12代入①，得2x－36＝－4，x＝16. 第四步 所以原方程组的解是第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫作_______________，其中第一步的依据是______________； (3)②－③，得y＝－12， 将y＝－12代入①，得2x＋36＝－4，x＝－20. 所以原方程组的解是 A． B． C． D． 解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x g，白银y g. 根据题意，得解得 答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240 g，白银1 000 g． 解：(1)由表格可知，价格y是日期x的一次函数． 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b（k，b为常数，且k≠0）. 将x＝1，y＝20和x＝3，y＝18分别代入y＝kx＋b， 得解得 ∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋21； 忽略二元一次方程字母系数不为0而致错 1．（2024·黔南模拟）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝2x＋b与y＝kx＋4的图象如图所示．小红根据图象得到如下结论：①在一次函数y＝kx＋4的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程kx＋4＝0的解为x＝2.5；③k＜b＜0；④方程组的解为其中，正确结论的个数是 ( ) A.1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·江苏宿迁）若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于x，y的方程组的解是_______________. 4． 下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，解答下面问题． 解：②×2，得8x－2y＝－6.③第一步 ①＋③，得11x＝－7，第二步 x＝－. 将x＝－代入②，得－－y＝－6，y＝.第三步 所以原方程组的解是第四步 (1)以上过程有两处关键性错误，第一次出错在________步，第二次出错在__________步； (2)正确的过程为： ②×2，得8x－2y＝－12.③ ③＋①，得11x＝－11，x＝－1. 将x＝－1代入②，得－4－y＝－6，y＝2. ∴原方程组的解为 解：(1)设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个． 根据题意，得解得 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是40%，求一个“妮妮”的售价．（利润率＝×100%） (2)设一个“妮妮”的售价为m元． 根据题意，得(28－20)×600＋(m－15)×400＝18 000×40%. 解得m＝21. 答：一个“妮妮”的售价为21元． $$ 1 D B 3 4 7 4．在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝15；当x＝－2时，y＝25；当x＝3时，y＝15，则a＋b＋c＝__________． 5．母亲节到了，小红、小丽和小华到花店买花送给自己的母亲. 小红买了3支玫瑰，5支康乃馨，1支百合花，付了18元；小丽买了4支玫瑰，7支康乃馨，1支百合花，付了20元；小华想买上面三种花各2支，则她应付__________元． 28 5 A 6 7． 在一个3×3的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图所示的三阶幻方填写了一些数和字母，则x＝__________． 7 8．小明从家到学校的路程为3.3 km，其中有一段上坡路、平路和下坡路．如果保持上坡路每小时行3 km，平路每小时行4 km，下坡路每小时行5 km，那么小明从家到学校用1 h，从学校到家用44 min，求从小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米． 8 9 三元一次方程（组）的概念及解法 1．下列是三元一次方程组的是 ( ) A． B． C． D． 2．观察方程组，系数的特点，若要使求解简便，消元的方法应选取 ( ) A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．以上说法都不对 3．解三元一次方程组： 解：由①，得y＝4－2x.④ 由②，得z＝－.⑤ 把④⑤代入③，得x＋4－2x＋－＝7，x＝－2. 把x＝－2代入④，得y＝8. 把x＝－2代入⑤，得z＝1. 所以原方程组的解是 6．已知方程组则x＋y＋z的值是 ( ) A．9 B．8 C．7 D．6 解：设从小明家到学校的上坡路是x km，平路是y km，下坡路是z km. 根据题意，得解得 答：从小明家到学校的上坡路是2.25 km，平路是0.8 km，下坡路是0.25 km. $$ 1 C A．直接把①代入②，消去y B．直接把①代入②，消去x C．直接把②代入①，消去y D．直接把②代入①，消去x B 3 4 B 5 ① x＝10－3y ② y x 6 7 A 8 8． 材料： 9 这种解法称为“整体代入法”．你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答． 实践运用： 10 11 直接用代入消元法解二元一次方程组 1．用代入消元法解方程组时，下列说法正确的是 ( ) 2．对于二元一次方程组将①代入②，消去y可以得到 ( ) A．x＋2x－1＝7 B．x＋2x－2＝7 C．x＋x－1＝7 D．x＋2x＋2＝7 3．解方程组： 解：将①代入②，得3x＋2x－4＝1，5x＝5，x＝1. 将x＝1代入①，得y＝－2. 所以原方程组的解是 变形后用代入消元法解二元一次方程组 4．把方程2x＋y＝5改写成用含x的式子表示y为( ) A．y＝x B．y＝5－2x C．x＝ D．x＝5－2y 5．用代入消元法解方程组较简单的解法步骤是：先把方程__________变形为______________，再代入方程__________，求得_________的值，然后再求_________的值． 6．解方程组： 解：由②，得x＝10－y.③ 将③代入①，得3(10－y)＋2＝5y，30－3y＋2＝5y，8y＝32，y＝4. 将y＝4代入③，得x＝6. 所以原方程组的解是 7．以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解方程组： 将①整体代入②，得3×4＋y＝14，y＝2. 将y＝2代入①，得x＝2. 所以原方程组的解是 (1)请直接写出方程组的解：____________； 解：(1) (2)请用“整体代入法”解方程组： (2)由①，得2x－3y＝2.③ 将③代入②，得1＋2y＝9，2y＝8，y＝4. 将y＝4代入③，得2x－12＝2，x＝7. 所以原方程组的解是 $$ 1 3 1.数学文化宝塔装灯明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中的数学名题“宝塔装灯”原文：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问顶层几盏灯．题目大意是：远处有一座雄伟的七层宝塔，塔上挂了许多红灯，相邻两层中下一层灯的盏数是上一层灯的盏数的2倍，共有381盏灯，则塔顶灯有__________盏． 2 4 5 6 7 3．“柳庭风静人眠昼，昼眠人静风庭柳”，从左向右读与从右向左读完全相同，这样的诗称为回文诗．在数学中也有这样的一类数．一个自然数从左向右读与从右向左读完全相等，这样的数称为回文数，如121与1221均为回文数．回文数与其各个数位上的数字之和的差值称为回自差，如121的回自差为121－(1＋2＋1)＝117. 8 解：(1)101 99 (1)最小的三位回文数是___________，其回自差是___________； (2)任意一个三位回文数的回自差最大能被哪个正整数整除？请你说明理由； 9 ∴该三位回文数的回自差为101a＋10b－(a＋b＋a)＝9(11a＋b)， 由条件可知11a＋b是整数， ∴该三位回文数的回自差一定是9的倍数， ∴任意一个三位回文数的回自差最大能被9整除； (3)27 (3)任意一个四位回文数的回自差最大能被正整数___________整除． 11 2．阅读下列解方程组的方法，然后解答后面的问题： 解方程组：时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③ ③×16，得16x＋16y＝16.④ ②－④，得x＝－1. 将x＝－1代入③，得y＝2. 所以原方程组的解是 (1)解方程组： 解：(1)①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③ 将③×2 022，得2 022x＋2 022y＝2 022.④ ②－④，得x＝－1. 将x＝－1代入③，得y＝2. 所以原方程组的解是 (2)猜想：下列关于x，y的方程组的解是什么？并说明你的理由． (2)猜想：关于x，y的方程组的解是 理由如下： ①－②，得2x＋2y＝2，所以x＋y＝1.③ 将③×a，得ax＋ay＝a.④ ④－②，得y＝2. 将y＝2代入③，得x＝－1. 所以原方程组的解是 (2)任意一个三位回文数的回自差最大能被9整除，理由如下：设一个三位回文数为，其中a，b都为不超过9的自然数，则该三位回文数为100a＋10b＋a＝101a＋10b， $$ 1 B 2 2．小刚和小花在一起玩数字游戏，他们每人取了一张一位数字卡片，拼成了一个两位数，小刚说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数．小花说：“这个两位数恰好比原来的两位数大9.”那么他们第一次拼成的两位数是多少？ 4 A 5 4． 4月16日，金沙县在安底镇举行2025年春季双手采茶技能竞赛决赛暨金沙贡茶文化宣传活动．当天，金沙县还同步举办茶叶拍卖活动．其中某采购商计划购进甲、乙两种茶叶商品．已知甲种茶叶商品的每件进价比乙种茶叶商品的每件进价少20元．若购进甲种茶叶商品5件，乙种茶叶商品3件，共需要700元． (1)求甲、乙两种茶叶商品每件的进价分别是多少元； 6 7 (2)设每件乙种茶叶商品的售价为a元． 根据题意，得300×(110－80)＋200(a－100)＝(300×80＋200×100)×30%， 解得a＝121. 答：每件乙种茶叶商品的售价是121元． (2)该采购商购进了甲种茶叶商品300件、乙种茶叶商品200件．在销售时, 甲种茶叶商品的每件售价为110元, 要使得这500件茶叶商品所获利润率为30%, 求每件乙种茶叶商品的售价是多少元？ 8 5．某中学篮球赛小组赛积分榜（小组赛每队进行10场比赛）如下表： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 9 解：(1)3 1 (1)胜一场积_________分，负一场积________分； (2)求无限队的胜场数和负场数． 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 10 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 勤勉队 10 8 2 26 无限队 10 ？ ？ 22 进取队 10 5 5 20 超越队 10 0 10 10 11 A 12 7．某中学为了落实“劳动课”，决定在学校长方形草坪中规划出3块大小、形状一样的小长方形（图形中阴影部分）区域种植鲜花，数据如图所示，求种植鲜花区域的面积． 13 14 8．古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180 m的河道整治任务由A，B两工程队先后接力完成．A工程队每天整治12 m，B工程队每天整治8 m，共用时20天． (1)根据题意, 甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 15 解：(1)甲：A工程队整治的天数 B工程队整治的天数 乙：A工程队整治的河道长度 B工程队整治的河道长度 方框中依次填：20 180 180 20 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示______________，y表示______________； 乙：x表示______________，y表示______________； 16 (2)求A，B两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 17 数字问题 1．已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数．设甲数为x，乙数为y，由题意可列方程组为 ( ) A． B． C． D． 解：设他们第一次拼成的两位数的十位数字为x，个位数字为y. 根据题意，得解得 ∴10x＋y＝10×4＋5＝45. 答：他们第一次拼成的两位数是45. 销售问题 3．某文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打八折，能比标价省19.8元．已知书包的标价比文具盒标价的3倍多15元．若设文具盒的标价是x元，书包的标价为y元，可列方程组为 ( ) A． B． C． D． 解：(1)设甲种茶叶商品每件的进价是x元，乙种茶叶商品每件的进价是y元． 根据题意，得解得 答：甲种茶叶商品每件的进价是80元，乙种茶叶商品每件的进价是100元； (2)设无限队胜m场，负n场． 根据题意，得解得 答：无限队胜6场，负4场． 6．如图，将正方形ABCD沿AE（点E在边CD上）所在直线折叠后，点D的对应点为点D′，∠BAD′比∠EAD′大30°.若设∠BAD′＝x°，∠EAD′＝y°，则下列方程组正确的是( ) A. B． C. D． 解：设一块小长方形的长为x m，宽为y m． 根据题意，得 解得 ∴3xy＝3×25×10＝750. 答：种植鲜花区域的面积为750 m2. 甲：乙： (2)设A，B两工程队分别整治河道x m，y m． 根据题意，得 ②×12，得x＋1.5y＝240.③ ③－①，得0.5y＝60，y＝120. 把y＝120代入①，得x＝60. 答：A，B两工程队分别整治河道60 m，120 m $$ 1 将方程组的解代入含参数的方程组，解这个方程组即可求出参数值． 2 2 4 将方程组中的参数看成已知数，一般先解这个方程组，然后结合已知条件得到关于参数的方程或方程组，解这个方程或方程组，可求出参数值． 5 A 6 2 －2 7 8 9 10 当两个方程组的解相同时，这两个方程组的解是这四个方程的公共解．解决这类问题的方法是：先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求出新方程组的解；再将所求的解代入另两个含参数的方程中求解，从而得出参数的值． 11 2 3 12 13 (2)求(2a＋3b)2 025的值． 14 看错方程组中某个方程的未知数的系数，所得的解既是方程组中看错系数的方程的解，也是方程组中没有看错系数的方程的解，可以把解代入没有看错系数的方程中，组成新的方程组求解． 15 0 16 17 18 已知二元一次方程组的解，求参数值 1．已知关于x，y的二元一次方程组的解为则a＋2b的值为__________． 2．（教材P141复习题T2变式）（2024·贵阳期末改编）和都是方程ax＋y＝b的解，求a＋b的值． 解：把和代入方程， 得解得 ∴a＋b＝－5＋(－2)＝－7. 已知二元一次方程组解的关系，求参数值 3．若方程组的解x与y互为相反数，则m的值等于 ( ) A.－2 B．2 C．－3 D．3 4．若关于x，y的方程的解满足x－y＝3，则m的值为__________． 5．已知关于x，y的方程组满足x－3y＝10＋k，则k的值是__________． 6．阅读以下内容： 已知实数x，y满足x＋y＝2，且求k的值．三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路： 甲同学：先解关于x，y的方程组再求k的值． 乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求k的值． 丙同学：先解方程组再求k的值． 你最欣赏哪位同学的解题思路？按其思路求出k的值． 解：我最欣赏乙同学的解题思路．（答案不唯一） ①＋②，得5x＋5y＝7k＋4，x＋y＝. ∵x＋y＝2，∴＝2，解得k＝. 两个方程组同解，求参数值 7．已知关于x，y的方程组和的解相同，则a＝_________，b＝_________． 8．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同的解； 解：(1)解方程组得 ∴它们的相同的解是 (2)把代入方程组 得解得 ∴(2a＋3b)2 025＝[2×(－2)＋3×1]2 025＝(－1)2 025＝－1. 已知方程组的错解，求参数值 9．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为则a2 025＋的值为__________． 10．在解同一个方程组时，小红不慎将墨水滴在了题目上使得系数看不清了，显示如下：同桌的小明说：“我求出了这个方程组的正确解为”而小红说：“我求出的解是”于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第二个方程中x的系数所致，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来． 解：设原方程组为 把代入②，得3c＋14＝8，c＝－2. 把和代入①， 得解得 ∴原方程组为 $$ 1 A D 3 1 3．若xm－2yn-2＝1是关于x，y的二元一次方程，则m＝　 　，n＝　 　． 【变式】（易错题）已知(m－1)x|m|＋y＝0是关于x，y的二元一次方程，则m的值为　 　． 3 －1 4 B 5 C 6 ①③ ②③ ③ 7 C 7．将一个长方形的长减少5 cm，宽变成现在的2倍，就成为了一个正方形．设这个长方形的长为x cm, 宽为y cm，则下列方程中, 正确的是 ( ) A．x＋5＝2y B．x＋5＝y＋2 C．x－5＝2y D．x－5＝y＋2 8 B 9 B 9．（2024·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买）．其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则购买方案有 ( ) A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 10 10．某超市甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5 200元．设打折前甲、乙两种品牌的粽子每盒的价格分别为x元、y元． (1)请根据题意列出方程组； 11 12 1．下列方程中，是二元一次方程的是 ( ) A．3x＋y＝0 B．xy－y＝0 C．x－2y＝z D．＋y＝0 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( ) A． B． C． D． 4．（教材P113 随堂练习T3变式）（2024·贵阳期末）二元一次方程2x＋y＝4的解是 ( ) A． B． C． D． 5．若是关于x和y的二元一次方程ax＋y＝1的解，则a的值是 ( ) A．－3 B．2 C．－2 D．3 6．（教材P114习题T4变式）在①②③三对数值中，__________是方程x＋y＝3的解，__________是方程3x＋2y＝5的解，__________是方程组的解．（均填序号） 8．已知是二元一次方程组的解，则m＋n的值是 ( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解：(1) (2)请判断是不是(1)中所列方程组的解． (2)是(1)中所列方程组的解． $$ 1 通过两式相__________消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法称为加减消元法． 加（减） 2 【学生解答】 3 5 B 7 8 C 9 B 10 11 12 B 13 A 7． 对于非零的两个实数m，n，定义一种新运算，规定m*n＝am－bn. 若2*(－3)＝8，5*3＝－1，则(－3)*(－2)的值为 ( ) A．1 B．－1 C．－6 D．6 14 8． 下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请你阅读并完成相应的任务： 15 解：(1)①D 任务一： (1)①上述材料中小明同学解二元一次方程组的数学方法是__________；（填序号） A.公式法 B．换元法 C.代入消元法 D．加减消元法 16 ②D ②上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是______；（填序号） A.数形结合 B．公理化 C.演绎 D．转化 17 ③一 等号右边的4没有乘2 ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是______________________； 18 任务二： (2)请你写出正确的求解过程． 19 21 22 23 【例1】用加减消元法解方程组： 【名师点拨】当方程组中未知数的系数不为1时，一般选择加减消元法来解，且若某一未知数系数成倍数关系，应选择消去该未知数． 解：①×3，得6x－9y＝21.③ ②×2，得6x－4y＝16.④ ④－③，得5y＝－5，y＝－1. 把y＝－1代入①，得x＝2. 所以原方程组的解为 【例2】若方程组的解也是方程2x＋y＝6的解，则k的值为____________________. 【名师点拨】视k为已知数，先求出方程组的解，再代入2x＋y＝6，进而求出k的值． 【学生解答】 直接用加减消元法解二元一次方程组 1．解二元一次方程组最合适的方法是( ) A．代入消元法 B．加减消元法 C．代入、加减消元法都可以 D．以上都不对 2．用加减消元法解下列方程组： (1) 解：①＋②，得3x＝9，x＝3. 将x＝3代入②，得 6－y＝5，y＝1. 所以原方程组的解是 (2) 解：①－②，得2m＝6，m＝3. 将m＝3代入②，得 3－2n＝1，n＝1. 所以原方程组的解是 变形后用加减消元法解二元一次方程组 3．用加减消元法解方程组最简便的方法是 ( ) A．②×2＋① B．②×2＋①×3 C．②×2－① D．①×3－②×2 4．已知方程组若用“加减消元法”消去y，下列做法正确的是 ( ) A．①＋② B．①＋②×2 C．①－② D．①－②×2 5．用加减消元法解方程组： (1) 解：①×3，得6x－3y＝15.③ ③＋②，得10x＝5，x＝. 将x＝代入①，得y＝－4. 所以原方程组的解是 (2) 解：①×2，得4x＋6y＝16.③ ③－②，得11y＝22，y＝2. 将y＝2代入①，得x＝1. 所以原方程组的解是 6．已知且3x－2y＝0，则a的值为( ) A．2 B．0 C．－4 D．5 解方程组： 解：①×2，得2x－4y＝4.③第一步 ②＋③，得5x＝9.第二步 x＝.第三步 把x＝代入①，得－2y＝4，y＝－.第四步 ∴原方程组的解是第五步 解方程组： 解：①×2，得2x－4y＝4.③第一步 ②＋③，得5x＝9.第二步 x＝.第三步 把x＝代入①，得－2y＝4，y＝－.第四步 ∴原方程组的解是第五步 解方程组： 解：①×2，得2x－4y＝4.③第一步 ②＋③，得5x＝9.第二步 x＝.第三步 把x＝代入①，得－2y＝4，y＝－.第四步 ∴原方程组的解是第五步 解方程组： 解：①×2，得2x－4y＝4.③第一步 ②＋③，得5x＝9.第二步 x＝.第三步 把x＝代入①，得－2y＝4，y＝－.第四步 ∴原方程组的解是第五步 (2)①×2，得2x－4y＝8，③ ②＋③，得5x＝13，x＝. 把x＝代入①，得－2y＝4，y＝－. 所以原方程组的解是 9．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组： 解：①－②，得3x－3y＝3，即x－y＝1.③ ③×4，得4x－4y＝4.④ ②－④，得2x＝1，x＝. 将x＝代入③，得y＝－. 所以原方程组的解是 (1)请仿照上面的解法解方程组： 解：(1)①－②，得x－y＝1.③ ③×2 022，得2 022x－2 022y＝2 022.④ ②－④，得2x＝1，x＝. 将x＝代入③，得y＝－. 所以原方程组的解是 (2)猜测关于x，y的方程组(m≠n)的解是___________． (2) $$ 1 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数； (2)找出表示应用题全部含义的两个等量关系； (3)根据两个等量关系列出__________； (4)利用代入消元法或加减消元法解__________； (5)检验结果的正确性、合理性； (6)写出答案及单位名称． 方程组 方程组 2 【例1】《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，1大桶加1小桶共盛_______________斛米．（注：斛是古代一种容量单位） 【学生解答】 【例2】某农户原有15头大牛和5头小牛，每天约用饲料325 kg.两周后，由于经济效益好，该农户决定扩大养牛规模，又购进了10头大牛和5头小牛，这时每天约用饲料550 kg.问：每头大牛和每头小牛1天各需多少饲料？ 【学生解答】 5 D 1．九章算术原文：“今有共买金, 人出四百，盈三千四百；人出三百, 盈一百，问人数、金价各几何？”译文：“今有人合伙买金，每人出钱400，会多出3 400钱；每人出钱300，会多出100钱，问合伙人数、金价各是多少？”设合伙人数为x，金价为y钱，根据题意列方程组为( ) 2．（2025·毕节校级一模）我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长 5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿 长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为______________． 7 C 3．（2024·内蒙古赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？若设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为 ( ) 8 4． （2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称．键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，白色琴键比黑色琴键多16个．求白色琴键和黑色琴键的个数． 9 10 D 11 6．运动会结束后八(1)班班主任准备购买一批明信片奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划用班费180元购买A，B两种明信片共20盒，已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元． 解：(1)180 20 A种明信片的总价 B种明信片的总价 12 (2)乙同学设了未知数但不会列方程组，请你帮他列出方程组并 解答． 乙：x表示购买A种明信片的盒数，y表示购买B种明信片的盒数． 13 7．在学校社团活动中，同学们利用天平和身边的物品探究等式的基本性质，现在每个小组有1架天平和1个5 g的砝码，如何称出1块橡皮和1支钢笔的重量呢？ 以下是笃行小组的实验记录： 实验准备重量相同的橡皮若干和重量相同的钢笔若干． 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4块橡皮＋1个5 g砝码 1支钢笔 平衡 记录2 9块橡皮 2支钢笔＋1个5 g砝码 平衡 (1)设1块橡皮重x g，则1支钢笔重________g； (2)分别求1块橡皮和1支钢笔的重量各是多少； 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4块橡皮＋1个5 g砝码 1支钢笔 平衡 记录2 9块橡皮 2支钢笔＋1个5 g砝码 平衡 15 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4块橡皮＋1个5 g砝码 1支钢笔 平衡 记录2 9块橡皮 2支钢笔＋1个5 g砝码 平衡 (3)明辨小组根据笃行小组的实验结论提出一个假设：如果在天平左边放上1个5 g的砝码，再把若干橡皮和若干钢笔分别放在天平的两边，使天平处于平衡状态，那么此时橡皮的数量可以是钢笔数量的4倍． 请用方程的知识进行判断，若假设成立，请求出钢笔的数量；若假设不成立，请说明理由． 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4块橡皮＋1个5 g砝码 1支钢笔 平衡 记录2 9块橡皮 2支钢笔＋1个5 g砝码 平衡 17 (3)假设成立，钢笔为1支． 理由如下：设钢笔的数量为a支，则橡皮的数量为4a块， ∴钢笔的重量为65a g，橡皮的重量为4a·15＝60a g． ∵65a＞60a， ∴把钢笔放右边，橡皮和砝码放左边， ∴60a＋5＝65a，解得a＝1. ∴假设成立，钢笔为1支． 天平右边 天平左边 天平状态 记录1 4块橡皮＋1个5 g砝码 1支钢笔 平衡 记录2 9块橡皮 2支钢笔＋1个5 g砝码 平衡 18 解：设每头大牛1天需要饲料x kg，每头小牛1天需要饲料y kg. 根据题意，得 解得 答：每头大牛1天需要饲料20 kg，每头小牛1天需要饲料5 kg. 古代数学问题（传承数学文化） A. B． C. D． A. B． C. D． 解：设白色琴键的个数为x，黑色琴键的个数为y. 根据题意，得解得 答：白色琴键的个数为52，黑色琴键的个数为36. 5．（2024·山东泰安）我国古代著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜果苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，可列出符合题意的二元一次方程组根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为 ( ) A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 (1)根据题意，甲同学列出了尚不完整的方程组如下：请在括号内填上具体的数并写出a，b分别表示的含义，a表示__________，b表示__________； (2)根据题意，得解得 答：购买A种明信片5盒，购买B种明信片15盒． 解：(1)(4x＋5)或(9x－5) (2)设1块橡皮的重量是x g，1支钢笔的重量是y g． 根据题意，得解得 答：1块橡皮的重量是15 g，1支钢笔的重量是65 g； $$ 1 ❶先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中____________，从而得到函数表达式的方法，叫作待定系数法． ❷用待定系数法求一次函数表达式的方法： (1)设一次函数的表达式为y＝kx＋b； (2)任选取两组满足条件的x，y的对应值或函数图象上两个点的坐标，代入y＝kx＋b； (3)联立求解即可确定一次函数的表达式． 未知的系数 2 【例】某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量分段收费的办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x(t)的函数关系如图所示． (1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时，y与x的函数关系式； (2)若某用户十月份用水量为10 t，则应交水费多 少元？若该用户十一月份交了51元的水费，则他 该月用水多少吨？ 【学生解答】 5 －2 1．已知y是x的一次函数，下表中列出了x与y的部分对应值，则m的值为__________． x … －1 0 1 … y … 1 m －5 … 2.如图，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与正比例函数y＝－2x的图象相交于点A，且与x轴交于点B，求这个一次函数的表达式． 7 8 B 3．（教材P131随堂练习T2变式）弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)的关系是一次函数，图象如图，则弹簧不挂物体时的长度是 ( ) A．9 cm B．10 cm C．10.5 cm D．11 cm 9 4．某超市以10元/件的价格购进一批商品，根据前期销售情况，每天销售量y（件）与该商品定价x（元/件）是一次函数关系，如图所示． (1)求销售量y与定价x之间的函数表达式； 10 (2)当x＝13时，超市每天销售这种商品所获得的利润为(－2×13＋32)×(13－10)＝6×3＝18（元）. (2)如果超市将该商品的销售价定为 13元/件，不考虑其他因素，求超市每天销售这种商品所获得的利润． 11 D 5．“漏壶”是古代的一种计时器，如图，在它内部盛有一定量的水，不考虑水量对压力的影响，水从小孔均匀漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间，水面高度y与时间x成一次函数关系，如表记录了四次观测的数据，其中只有一组数据记录错误，它是 ( ) A.(1，22) B．(3，18) C.(4，16) D．(6，14) 12 6． 已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，2)，与x轴的交点为B.若OB＝4，则这个一次函数的表达式 为___________________________． 13 7．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点A(0，2)，B(4，0), C为直线AB上的动点，正比例函数y＝mx的图象经过点C. (1)求一次函数的表达式； 14 15 8． 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔1 min记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的几组数据： 时间t/min 1 2 3 4 5 … 总水量y/mL 7 12 17 22 27 … 时间t/min 1 2 3 4 5 … 总水量y/mL 7 12 17 22 27 … 17 时间t/min 1 2 3 4 5 … 总水量y/mL 7 12 17 22 27 … (2)①当t＝20时，y＝100＋2＝102， 即估算小明在第20分钟测量时，量筒的总水量是102 mL； (2)应用： ①请你估算小明在第20分钟测量时，量筒的总水量是多少毫升； ②一个人一天大约饮用1 500 mL水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 时间t/min 1 2 3 4 5 … 总水量y/mL 7 12 17 22 27 … 19 时间t/min 1 2 3 4 5 … 总水量y/mL 7 12 17 22 27 … 20 解：(1)当0≤x≤15时，设y＝k1x，则27＝15k1，解得k1＝， ∴当0≤x≤15时，y＝x； 当x≥15时，设y＝k2x＋b，则 解得 ∴当x≥15时，y＝x－9； (2)当x＝10时，代入y＝x，得y＝18； 当y＝51时，代入y＝x－9，解得x＝25. 答：该用户十月份应交水费18元，十一月份用水25 t． 解：在函数y＝－2x中，令y＝2，得－2x＝2，解得x＝－1，∴点A的坐标为(－1，2). 将A(－1，2)，B(1，0)代入y＝kx＋b， 得解得 ∴这个一次函数的表达式为y＝－x＋1. 解：(1)设y＝kx＋b(k≠0). 把(11，10)，(15，2)代入，得 解得 ∴销售量y与定价x之间的函数表达式为y＝－2x＋32； y＝－x＋或y＝2x＋8 解：(1)∵一次函数图象过点A(0，2)，B(4，0)， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋2； (2)若点C(1，a)，求方程组的解． (2)将C(1，a)代入y＝－x＋2，得a＝－×1＋2＝，∴C. 将方程组整理为 ∴方程组的解为一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝mx的交点坐标， ∴方程组的解为 (1)探究：根据上表中的数据，请判断y＝和y＝kt＋b（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出y关于t的函数表达式； 解：(1)根据上表中的数据，y＝kt＋b（k，b为常数）能正确反映总水量y与时间t的函数关系． ∵当t＝1时，y＝7，当t＝2时，y＝12， ∴解得∴y＝5t＋2； ②当t＝24×60＝1 440时，y＝5×1 440＋2＝7 202， 当t＝0时，y＝2. ＝144（天）. ∴这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用约144天． $$