精品解析：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

哈师大附中2024-2025学年度下学期 高一期末考试数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据91，80，86，88，100，93，86，95的第一四分位数为（ ） A. 87 B. 86 C. 94 D. 93 【答案】B 【解析】 【分析】将给定数据由小到大排列，再利用第一四分位数的定义求得答案. 【详解】样本数据由小到大排列为：80，86，86，88，91，93，95，100， 由，得第一四分位数为. 故选：B 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先运用除法运算进行化简，再结合共轭复数概念,减法计算即可. 【详解】，则， 故选：B. 3. 某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ） A. 33家 B. 20家 C. 5家 D. 10家 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比求出答案. 【详解】依题意，分层抽样的抽样比为， 所以应抽取大型商铺（家）. 故选：C 4. 已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共线求出，检验即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 若不重合的三点，，共线， 则，解得或， 当时，重合，矛盾， 当时，都不重合，故满足题意， 所以. 故选：A. 5. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则m平行于平面内的任意一条直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的性质即可判断；对于B，由答案不完备即可判断；对于C，由线面垂直的性质即可判断；对于D，直接证明即可. 【详解】对于A，若，则m平行于平面内的无数条平行直线，但不是任意一条直线，故A错误； 对于B，若，，则平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，，则，故C错误； 对于D，若，，则若，又，则. 故选：D. 6. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 【答案】D 【解析】 【分析】对于B：根据互斥事件的定义分析判断；对于CD：根据题意结合古典概型运算求解即可；对于A：根据独立事件的概率公式即可判断． 【详解】设样本空间为，则， 对于选项B：事件“两次向上的数字都为3” ， 事件“两次向上的数字之和是6” ， 显然事件B包含事件A，所以事件A与事件B不互斥，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C错误； 对于选项D：因为，所以，故D正确； 对于选项A：，，， 显然，故A错误； 故选：D． 7. 已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围. 【详解】 如图：三角形中，，， 则有两解的充要条件为：， 即. 故选：D. 8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式计算求解即可. 【详解】作出如图所示正四棱台，其中为正四棱台的高，为其斜高，    因为正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为， 则，，， 则该正四棱台的体积为. 故选：C. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 已知，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若锐角三角形，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理求得的外接圆的半径即可验算；对于B，由余弦定理验算即可；对于C，由正弦定理、余弦定理得为钝角即可判断；对于D，由锐角三角形性质得，结合正弦函数性质即可判断. 【详解】对于A，若，，则的外接圆的半径为，的外接圆的面积为，故A错误； 对于B，已知，则， 即，所以， 则，故B错误； 对于C，若，则，所以， 则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D，若为锐角三角形，则， 所以，则，故D正确. 故选：CD. 10. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为 C. 若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由圆锥侧面积公式得到，根据勾股定理求出圆锥的高；B选项，由勾股定理得，表达出三棱锥的体积，利用基本不等式求出最大值；C选项，作出辅助线，得到即为二面角的平面角，并求出，故，C错误；D选项，将与沿着折叠到同一平面内，得到最小值为，作出辅助线，由勾股定理求出最小值. 【详解】A选项，圆锥SO的侧面积为，即， 又，故， 由勾股定理得，A正确； B选项，因为为直径，所以⊥，且， 由勾股定理得， ， 当且仅当时，等号成立， 所以三棱锥的体积最大值为，B正确； C选项，取的中点，连接， 点B为弧AC的中点，所以， 又⊥，所以⊥， 因为，由三线合一得⊥， 所以即为二面角的平面角， 其中，故， 又，所以，故，C错误； D选项，若，则为等腰直角三角形，且， 又，所以为等边三角形， 将与沿着折叠到同一平面内，如图所示， 连接，交于点，此时最小，最小值为， 过点作⊥，交的延长线于点， 则，， 所以，由勾股定理得 ，D正确. 故选：ABD 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度为 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A根据线面平行，找到平行平面与已知平面的交线即可；对于B通过球与平面相交的截面圆计算轨迹长度；对于C利用平行线找到平面的截面图形在计算长度；对于D三棱锥外接球问题，计算球的半径，最后计算球的表面积； 【详解】 对于A，取中点，连接， 若平面，过点作平面的平行平面， 因为分别是中点，所以， 又平面，平面，可得平面， 同理平面，进而得到平面平面， 点是底面内一动点，点运动轨迹为线段,长度为6，A错误； 对于B，若，则可看作以为球心，半径为的球与平面相交的圆的四分之一周长即为点运动轨迹， 在正方体中，平面，且， 设球与平面的截面圆半径, 所以点运动轨为以D为圆心，为半径的圆在正方形内的部分， 则点运动轨迹长度为，B正确； 对于C，因为， 过三点的平面截正方体所得截面图形，则截面图形的周长为 ，C正确； 对于D，因三棱锥为墙角模型，故其外接球可以为长宽高分别为6，6，3的长方体的外接球， 则外接球半径为，所以表面积，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的求法，代入数据，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以向量在向量上投影向量为 . 故答案为：. 13. 已知，，，则的最大值为______. 【答案】7 【解析】 【分析】由复数的模、几何意义将转换为关于的三角函数即可求解. 【详解】因为，所以设， 而，从而 ， 其中，等号成立当且仅当， 所以的最大值为7. 故答案：7. 14. 如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求出点到平面的距离，再求出线段的取值范围，利用线面角的正弦公式求解. 【详解】令正方体的棱长为2，由，得四边形为平行四边形， 则，而平面，平面，于是平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ，，由， 得，解得，矩形中，O为线段AC的中点， 则，令直线OE与平面所成的角为，则， 所以直线OE与平面所成角的余弦值的范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. （1）估计此批棉花纤维长度的众数； （2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） （3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 【答案】（1） （2）下四分位数约为，中位数约为 （3） 【解析】 【分析】（1）由众数的定义即可求解； （2）由百分位数、中位数的定义即可求解； （3）由平均数的定义即可求解. 【小问1详解】 由图可知，区间对应的矩形最高，所以估计此批棉花纤维长度的众数为； 【小问2详解】 因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的下四分位数在区间，且为， 因为前三组的频率之和，前四组的频率之和， 所以估计此批棉花纤维长度的中位数在区间，且为； 【小问3详解】 估计此批棉花纤维长度的平均数为 . 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且. （1）求证：； （2）若平面，，，求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）只需证明平面，再结合线面垂直的性质定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合向量夹角的余弦值即可求解. 【小问1详解】 设相交于点，连接， 因为四边形是菱形，所以互相垂直且平分， 所以， 因为，是中点，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以； 小问2详解】 以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以， 设为平面的法向量， 则，令，解得， 故可取， 设为平面的法向量， 而， 从而，取，解得， 故可知， 所以； 由图可知平面与平面所成的角为锐角， 故所求角的余弦值为. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系式由可得，由诱导公式和两角和差公式可得． （2）由正弦定理可求得,根据三角形面积公式可求得三角形面积． （3）由两角差的余弦公式求得，由数量积的运算公式求解即可. 【小问1详解】 ∵为的内角，且，， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， 又∵， ∴在中，由正弦定理，得． ∴的面积； 【小问3详解】 因为， 所以. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii）棱上不存在点，使.理由见解析. 【解析】 【分析】（1）可以先证明，利用线面平行的判定定理，可证明平面； （2）（i）先证平面，可用面面垂直的判定定理，证明即可（ii）假设棱上存在点，使，利用空间向量法进行验证得出结果. 【小问1详解】 证明：如图，取中点，连接． 因为为中点，故．由已知有． 又由于为中点，因而，故四边形为平行四边形， 所以．又平面，而平面，所以平面． 【小问2详解】 （i）如图，连接． 因为，而为中点，故， 所以为二面角的平面角． 在中，由，，可解得． 在中，由，，可解得． 在中，，，，由余弦定理，可解得， 从而，即． 又，从而，因此平面． 又平面，所以平面平面． （ii）棱上不存在点，使. 理由：假设棱上存在点，使. 由（i）知，，因为，，所以，因此两两垂直， 以为坐标原点，分别以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则有 ， 因为点在棱上,设，， 因为，所以，解得. 此时此时点在的反向延长线上，与因为点在棱上矛盾. 所以棱上是不存在点，使. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD的取值范围. 【答案】（1）证明过程见解析 （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换即可得证； （2）（i）由三角形是锐角三角形求得的范围可得的范围；（ii）首先得，其次根据正弦定理将表示成的函数，结合的范围即可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 而，， 从而， 所以或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 （i）因为为锐角三角形， 所以，解得， 所以的取值范围为； （ii）由已知，， 而， 从而， 由正弦定理有， 所以 ， ， 所以， 设， 所以，所以， 由对勾函数性质可知，在上递增， 所以， 所以，所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大附中2024-2025学年度下学期 高一期末考试数学试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据91，80，86，88，100，93，86，95的第一四分位数为（ ） A. 87 B. 86 C. 94 D. 93 2. 已知复数（i为虚数单位），则（ ） A. 0 B. C. D. 2 3. 某地区有1000家商铺，其中大型商铺50家，中型商铺100家，其余为小型商铺，为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为100的样本，则应抽取大型商铺（ ） A. 33家 B. 20家 C. 5家 D. 10家 4. 已知O为坐标原点，若不重合的三点，，共线，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n是不同的直线，，是不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则m平行于平面内的任意一条直线 B 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 6. 一个质地均匀的骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6．连续抛掷这个骰子两次，并记录每次正面朝上的数字，记事件“两次向上的数字都为3”，“两次向上的数字之和是6”，则下列结论正确的是（   ） A. 事件A与事件B相互独立 B. 事件A与事件B互斥 C. D. P(AB)= 7. 已知的内角的对边分别为，且，，若有两解，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则的外接圆的面积为 B. 已知，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 若为锐角三角形，则 10. 如图，AC为圆锥SO的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，母线，圆锥SO的侧面积为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积最大值为 C. 若点B为弧AC的中点，则二面角的平面角大小为 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 11. 如图，正方体的棱长为6，分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（ ） A. 若平面，则点运动轨迹长度为 B. 若，则点运动轨迹长度 C. 过三点的平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 三棱锥的外接球表面积为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，满足，，则向量在向量上投影向量的坐标为______. 13. 已知，，，则的最大值为______. 14. 如图，在正方体中，O为线段AC的中点，点E在线段上，则直线OE与平面所成角的余弦值的范围是______. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间中，其频率分布直方图如图所示. （1）估计此批棉花纤维长度的众数； （2）估计此批棉花纤维长度的下四分位数和中位数；（保留整数） （3）估计此批棉花纤维长度的平均数.（保留整数） 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且. （1）求证：； （2）若平面，，，求平面与平面所成角的余弦值. 17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，. （1）求的值； （2）求的面积； （3）求的值. 18. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，，，，分别是棱的中点. （1）证明：平面； （2）若二面角为； （i）证明：平面平面； （ii）棱上是否存在点，使，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2）若为锐角三角形，D为AB中点，. （i）求的取值范围； （ii）求CD取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $