精品解析：福建省泉州市鲤城区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷 （本卷共25题：满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若分式有意义，则取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 某校组织学生参观植物园时，了解到某种花的花粉颗粒的直径大的为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各点中，在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 4. 在下列条件中，不能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行且相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（ ） A. 轿车的速度为 B. 轿车出发后，两车相距 C. 轿车比货车早到乙地 D. 轿车出发后追上货车 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 当_________时，分式值为零． 12. 在中，，则它的周长等于_________ ． 13. 已知点、都在直线上，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 14. 如图，在中，，若，则的度数是______． 15. 已知，则的值为___________． 16. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）的面积是________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18 解分式方程：． 19. 如图，已知四边形ABCD平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 22. 生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出口C点到的距离的长； （3）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，是轴负半轴上的一点，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点． （1）求直线的解析式； （2）如图，若点恰好落在轴上，求直线解析式； （3）当时，求点C的坐标． 25. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若是的中点，且，求平行四边形的面积； （3）如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年八年级下学期期中考试 数学试卷 （本卷共25题：满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若分式有意义，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母不等于0，根据题意解得答案． 【详解】依题意得x−2≠0， ∴x≠2． 故选：C． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义． 2. 某校组织学生参观植物园时，了解到某种花的花粉颗粒的直径大的为0.0000065米，将0.0000065用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000065=6.5×10-6， 故选：D． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列各点中，在第二象限的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、在x轴上，故本选项不合题意； B、在y轴上，故本选项不合题意； C、在第四象限，故本选项不合题意； D、在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0． 4. 在下列条件中，不能够判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等 B. 一组对边平行且相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等，等腰梯形也符合这一条件，故不能够判定一个四边形是平行四边形，符合题意； B．一组对边平行且相等，正确，不符合题意； C．两组对边分别平行，正确，不符合题意； D．对角线互相平分，正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况，解题的关键是掌握对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形． 5. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A．分子与分母同时加2，整体再乘以，等式不成立，变形错误； B．分子与分母同时除以2，分式的值不变，等式成立，变形正确； C．分子与分母同时减2，等式不成立，变形错误； D．分子与分母同时开方，等式不成立，变形错误； 故选B． 6. 如图所示，已知函数和的图象相交于点，则关于，的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两个函数的交点坐标同时满足两个函数解析式，从而可得方程组的解. 【详解】解：∵函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P的坐标为（-4，-2）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故选D． 【点睛】本题考查的是利用函数的交点坐标确定方程组的解，明确交点坐标的含义与掌握数形结合的方法解题是关键. 7. 如图，将放置在平面直角坐标系中，为坐标原点．若点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点的坐标；由平行四边形的性质得，，从而可得点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴，； ∵点的坐标是， ∴点B的横坐标为，纵坐标为4， 即点B的坐标为； 故选：C． 8. 如图，函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数及反比例函数的性质分开讨论：当时，直线经过第一、二、三象限，双曲线在第一、三象限；当时，直线经过第二、三、四象限，双曲线在第二、四象限，然后与选项作比较即可得出结果． 【详解】解：A、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项不符合题意； B、∵的图象在第一、三象限， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限，故选项符合题意； C、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意； D、∵的图象在第二、四象限， ∴， ∴直线经过第二、三、四象限，故选项不符合题意． 9. 一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向乙地．已知甲、乙两地相距，如图，，分别表示货车、轿车离甲地的距离s与货车出发时间t之间的对应关系．根据图象信息，下列说法不正确的是（ ） A. 轿车的速度为 B. 轿车出发后，两车相距 C. 轿车比货车早到乙地 D. 轿车出发后追上货车 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从函数图象上获取信息，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．根据图象可知轿车比货车早到乙地，结合图象可分别求出轿车和货车的速度，再逐一判断各个选项即可． 【详解】由题意可知，轿车的速度为：，故选项Ａ说法正确，不符合题意； 货车的速度为： 轿车出发后，两车相距 ， 故选项Ｃ说法正确，不符合题意； 设轿车出发小时后追上货车，根据题意得： 解得：， 即轿车出发后后追上货车， 故选项D说法错误，符合题意， 故选：D 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点A，与轴相交于点，四边形是平行四边形，直线经过点，且与轴相交于点与相交于点，记四边形，的面积分别为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出点A的坐标为，点B的坐标为，根据平行四边形性质得出点的坐标为，求出直线的解析式为，得出点D的坐标为，求出直线的解析式为：，的解析式为，求出点E的坐标为，得出，求出，，即可求出结果． 详解】解：把代入得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 把代入得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵， ∴的解析式为， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 当_________时，分式的值为零． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查分式为零的条件，根据根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴， 故答案为：1． 12. 在中，，则它的周长等于_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，由平行四边形性质得出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴的周长为：， 故答案为：． 13. 已知点、都在直线上，则___________．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数解析式得出随着的增大而增大，结合即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在中，，若，则的度数是______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据平行四边形对边平行可得，利用平行线的性质可得，因此利用直角三角形两个锐角互余求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够综合运用上述知识． 15. 已知，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先通分即可得出，再整体代入求值即可． 【详解】解：由得， ∴． 故答案为：4． 16. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为）的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，先根据题意求出，进而求出点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式，求出，则点C的横坐标为4，据此求出点C的坐标，然后得到，进而代数求解即可． 【详解】解：连接，， 点和的刻度分别为5和2， ， ，轴， ， 把代入得，， 解得， 反比例函数解析式为， 直尺的宽度为，， ， 点的横坐标为4， 当时，， 点的坐标为； ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数和几何综合，反比例函数系数的几何意义，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握负整数指数幂法则，零指数幂法则，立方根定义，是解题关键．根据负整数指数幂法则，零指数幂法则，立方根定义，进行计算即可． 【详解】解： ． 18. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先去分母，然后对结果进行检验即可． 【详解】解：方程两边乘， 得：， ， ， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把代入化简后的结果中计算即可，熟练掌握分式的性质以及运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点 （1）求直线的解析式； （2）若直线上的点C在第一象限，且求点C的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为： （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征，三角形面积，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． （1）设直线的解析式为，把点与点代入直线解析式进行求解即可； （2）设点的坐标，由，可得，再由，列出方程，由此求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为：，因点A、B在直线上， 依题意得：， 解得：， 所以直线的解析式为：． 【小问2详解】 解：因点C在直线上，设， 由题意得：， 解得：， 所以． 22. 生活中处处充满着趣味数学，如图是河南省某海洋公园娱乐设施“水上滑梯”的侧面图，建立如图坐标系，其中段可以看成是反比例函数图象的一段，为水面，矩形为向上攀爬的梯子，每节梯子高米，宽1米．其中点A，E，D均在坐标轴上，且轴． （1）求反比例函数的表达式； （2）求出口C点到的距离的长； （3）若滑梯上有一个小球Q，要求Q到水面的距离不高于3米，则Q到的距离至少是多少米？ 【答案】（1） （2）4 （3）1米 【解析】 【分析】（1）先根据题意求出点B的坐标，进而利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出的长，从而求出点C的坐标，进一步求出的长即可； （3）先求出当时，，再根据反比例函数的性质可得点Q的横坐标要大于等于2，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：在中，当时，， ∵， ∴y随x增大而减小， ∴当时，，即点Q的横坐标要大于等于2， ∴点Q到的距离至少是米． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系是解题的关键． 23. 某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同． （1）求每个甲、乙两种商品的进价分别是多少元？ （2）若甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，如将购进的甲、乙两种商品全部售出，求售出后两种商品总利润的最大值． 【答案】（1）每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元 （2）售出后两种商品总利润的最大值为405元 【解析】 【分析】（1）设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元，根据题意建立方程求出其解就可以了． （2）设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元，“根据进两种商品的总数量不超过95个”可得出不等式，求出y的取值范围，然后列关于w的关系式，再求解即可． 【小问1详解】 解：设每件乙种商品的进价为x元，则每件甲种商品的进价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 每件甲种商品进价为：（元）． 答：每件甲种商品的进价为8元，每件乙种商品件的进价为10元． 【小问2详解】 解：设购进乙种商品y个，则购进甲种商品个．设售出后两种商品总利润为w元， 由题意得：． 解得， ， ∵， ∴w随y的增大而增大， ∴当时，w取最大值，且最大值为： （元）， 答：售出后两种商品总利润的最大值为405元． 【点睛】本题考查分式方程的应用及一元一次不等式的应用，一次函数的应用，找出等量关系与不等关系列出方程与不等式是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，是轴负半轴上的一点，以为对称轴作的轴对称图形，点的对称点为点． （1）求直线的解析式； （2）如图，若点恰好落在轴上，求直线的解析式； （3）当时，求点C的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式即可； 根据为直角三角形，利用勾股定理可得：，根据点、关于直线对称，可得：，根据对称性可以求出点的坐标为，设点的坐标为，则有，根据勾股定理可得：，解方程求出的值，即可得到点的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式即可； 利用可证，根据全等三角形的性质可以求出点的坐标是，根据点是的中点，可以求出点的坐标为，利用待定系数法求出的解析式，求出直线与轴的交点坐标即为点的坐标． 【小问1详解】 解：将，两点坐标分别代入， 可得：， 解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：为直角三角形，，， ， 解得：， 点、关于直线对称， ， ， 点在轴的正半轴上， 点的坐标为， 设点的坐标为， ，， 由题意可知， ， 在中，， ， 解得：， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为； 【小问3详解】 解：当时， 是轴负半轴上的一点得点在第一象限， 如下图所示，过作轴于点， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 点的坐标是， 点的坐标是， 中点的坐标为 即点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线解析式为， 在直线上，横坐标为， 当时，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是根据轴对称的性质找到点的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式． 25. 如图，在平行四边形中，，对角线，相交于点，平分，交于点，连接． （1）求证：； （2）若是的中点，且，求平行四边形的面积； （3）如图，若，，用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（）根据平行四边形中，，可得是等边三角形，进而可以证明结论； （）根据是中点，可得，证明，再利用含未知数的勾股定理可得的长，进而可得平行四边形的面积； （）根据四边形是平行四边形，可得，，由是等边三角形，可得，由的边上的高等于的边上的高的一半，底等于的倍，设边上的高为，的长为，分别表示出四边形和三角形的面积，进而可得与满足的关系； 此题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ，， 平分， 是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：是的中点 ， 是等边三角形， ， ， ， 在中， ∴ 当时，设，则， ∴ 解得， ， 平行四边的面积； 【小问3详解】 四边形是平行四边形， ， ，， 是等边三角形，， ， ， 设的边上的高为，的长为， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $