第03讲 等比数列（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等比数列 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比数列概念的理解 题型02 等比数列的通项公式及其应用 题型03 等比中项及应用 题型04 等比数列的证明 题型05 等比数列性质的应用 题型06 等比数列的单调性与最值问题 题型07 等比数列的实际应用 题型08 等比数列前n项和的性质及应用 题型09 公共项与插项问题 题型10 等比数列中与的关系 题型11 等比数列前项和的有关计算 题型12 等差数列与等比数列的综合应用 02 核心突破提升练 01 等比数列概念的理解 1．下列说法正确的是（    ） A．若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B．常数列既成等差数列又成等比数列 C．“”是“成等比数列”的必要不充分条件 D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 2．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．当且仅当或时，取得最大值 3．在数列中，，，，…，，是首项为1、公比为的等比数列，则数列的前n项和（   ） A． B． C． D． 4．记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 6．金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 7．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 02 等比数列的通项公式及其应用 8．记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 9．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 12．记正项严格递增等比数列的前项和为，且满足，，则 . 13．已知数列满足，则 ． 14．数列是正项数列，若，且，，则 ． 03 等比中项及应用 15．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 16．已知函数的图象恰为椭圆C：x轴上方的部分，若，，依次成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 17．已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（   ） A． B．36 C．9 D．49 18．在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 19．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 20．已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 21．已知数列为等比数列，其前项和，则首项（    ） A． B． C． D． 04 等比数列的证明 22．已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：． 23．（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 24．设数列的前n项和为，已知．证明：数列为等比数列． 25．记数列的前n项和为，已知，． (1)令，证明：为等比数列； (2)求的通项公式． 26．数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，证明：数列的前项和． 27．已知正项数列中，． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)记等差数列的前项和为，再从①；②；③中任选两个作为已知，使得，并求数列的前项和． 28．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 05 等比数列性质的应用 29．在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 30．在等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 31．在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B．3 C． D． 32．在等比数列中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 33．已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 34．设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 35．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 06 等比数列的单调性与最值问题 36．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 37．已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．6或7 D．5或7 38．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 40．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 41．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 42．设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 07 等比数列的实际应用 43．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 44．如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 45．数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为 . 46．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16改造为绿洲，同时原有绿洲的4被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．至少经过 年，绿洲面积可超过60？（） 47．从盛满纯酒精的容器里倒出，然后填满水，再倒出混合溶液后又用水填满，依次继续下去，要使酒精浓度低于，至少倒 次． 48．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 49．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 08 等比数列前n项和的性质及应用 50．设等比数列的前项和为．若，则 ． 51．数列的通项公式是，则其前n项和为 ． 52．已知等比数列的前n项和为，则 ． 53．等比数列的前项和为，且，则 ． 54．已知正项等比数列的前n项和为，且，若恒成立，则m的一个可能取值为 ． 55．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 56．已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（    ） A．B． C． D． 09 公共项与插项问题 57．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 58．则（   ） A．7 B．11 C．18 D．1 59．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（   ） A．17 B．16 C．6 D．5 60．已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 61．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D．2 62．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（   ） A．63 B．72 C．81 D．90 63．等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 10 等比数列中与的关系 64．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 65．已知数列的前项和为则 . 66．已知等比数列的前项和（是常数），则 . 67．已知等比数列的前项和是，则 . 68．已知等比数列满足，其前项和满足，则符合条件的一个数列的通项公式 . 69．已知等比数列的前项和为，则的公比为 ；记，则的最小值为 ． 70．已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 11 等比数列前项和的有关计算 71．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 72．已知正项等比数列的前n项和为，若且，则（   ） A．40 B．84 C．121 D．364 73．设等比数列的公比，其前n项和为，则下列等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 74．记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 75．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 76．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 77．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 12 等差数列与等比数列的综合应用 78．已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 79．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 80．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 81．在等比数列中，是和的等差中项，则的公比为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 82．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 83．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A．4 B．5 C．16 D．17 84．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 2．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 4．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 5．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 6．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 7．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 8．（2025·天津·模拟预测）记为等比数列的前项和．若，，则（ ） A． B． C． D． 9．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 10．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 11．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 12．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 13．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 14．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 15．（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（    ） A． B． C． D． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等比数列 目录 01 常考题型过关练 题型01 等比数列概念的理解 题型02 等比数列的通项公式及其应用 题型03 等比中项及应用 题型04 等比数列的证明 题型05 等比数列性质的应用 题型06 等比数列的单调性与最值问题 题型07 等比数列的实际应用 题型08 等比数列前n项和的性质及应用 题型09 公共项与插项问题 题型10 等比数列中与的关系 题型11 等比数列前项和的有关计算 题型12 等差数列与等比数列的综合应用 02 核心突破提升练 01 等比数列概念的理解 1．下列说法正确的是（    ） A．若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列 B．常数列既成等差数列又成等比数列 C．“”是“成等比数列”的必要不充分条件 D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件 【答案】C 【详解】对于A，考虑数列，其中，则当为偶数时， ，此时，不是等比数列，故A错误； 对于B，考虑数列，其中，则仅是等差数列，不是等比数列，故B错误； 对于C，当成等比数列，则；当，取 ， 则不成等比数列，则“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，时，若，则为递减数列；若为递增数列，则， ，则“”是“为递增数列”的即不充分也不必要条件，故D错误. 故选：C 2．已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．数列为等差数列 B． C． D．当且仅当或时，取得最大值 【答案】D 【详解】等差数列中，，解得，，解得， 所以等差数列的公差，， 前项和， 对于选项A，因为，又为常数， 因此数列是等比数列，所以选项A错误， 对于选项B，，所以选项B错误， 对于选项C，因为，显然数列是等差数列， 因此，所以选项C错误， 对于选项D，因为等差数列单调递减，前项均为正数，第项为，从第项起都为负数， 因此当或时，取得最大值，所以选项D正确， 故选：D. 3．在数列中，，，，…，，是首项为1、公比为的等比数列，则数列的前n项和（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得 ， 所以. 故选：D. 4．记是正项数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，， 所以，即，且，所以是以为公比的等比数列. 由得，，解得， 所以. 故选：C. 5．已知数列满足，则的前5项的乘积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴的前5项的乘积为． 故选：C． 6．金箔是黄金锻制而成的矩形薄片，其规格是指金箔制成后的尺寸.我国南京金箔锻制技艺被国务院列为第一批国家级非物质文化遗产名录.系列的矩形金箔共14种规格，其规格具有下列特点：①较长边长与较短边长的比值都相同；②每一序号的金箔（除外）对裁后，可以得到两张后一序号的金箔.比如1张金箔对裁后可以得到2张金箔.若金箔的较短边长为，则金箔的较长边长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设矩形金箔较长边长分别为，矩形金箔较短边长分别为， 设，且，所以， 所以，所以为公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：D. 7．设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列．现有下列3个命题：①数列是可分数列；②数列是可分数列；③数列是可分数列．其中是真命题的为（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组， 能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项， 平均分为2个组后不可能构成等比数列，所以数列是不可分数列，故②错误； 对于③，由于从数列中删去两项后， ，项后的顺序不变，依次三项可构成等比数列， 所以数列是可分数列，故③正确. 故选：C. 02 等比数列的通项公式及其应用 8．记为数列的前项和，设甲：是等比数列，乙：是等比数列，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】先判断充分性： 若是等比数列，设其公比为，首项为，可得： ， ， 当时，，不是等比数列， 当时，，是等比数列， 综上，当是等比数列时，不一定是等比数列， 故充分性不成立； 再判断必要性： 若是等比数列， 可设， 此时，若，， 若，， 即是等比数列，但不是等比数列， 故必要性不成立； 综上，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，由得，又， 解得（舍去），∴， 由得， ∴，所以， 当且仅当，即时等号成立．所以的最小值是． 故选：A 10．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【详解】由可知中一个大于1，一个小于1，结合，可知，又，故， 故公比，A错误， ，故B错误， 可知，故无最大值，的最大值为，C错误，D正确， 故选：D 11．已知数列满足，且函数．当时，函数恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，其中与的图象均关于直线对称， 故的图象关于直线对称， 因为时恰有一个零点，所以该零点为，即， 将代入，结合，可得， ，进一步可转化为， ，由此可知，数列是以为首项，公比的等比数列， 所以，，当时， ，即． 故选：B． 12．记正项严格递增等比数列的前项和为，且满足，，则 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，因，， 可得：，由②可知，故可得：（*）， 将其代入①，化简得，解得或 分别代入（*），可得或， 因为正项严格递增等比数列，故，即， 则，故. 故答案为：. 13．已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 14．数列是正项数列，若，且，，则 ． 【答案】3 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 03 等比中项及应用 15．已知实数a，b，c满足，且b是a，c的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 故，因，则， 又b是a，c的等比中项，则，故， 0，则，，所以，即， 结合，得，故，综上所述，． 故选：C. 16．已知函数的图象恰为椭圆C：x轴上方的部分，若，，依次成等比数列，则平面上点的轨迹是（    ） A．线段（不包含端点） B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【详解】依题意，易得， 因为，，依次成等比数列，则， 且，，，则得，， 由，可得， 化简得，即，故或， 当时，即，因为，所以平面上点的轨迹是线段（不包含端点）； 当时，即，因为，所以， 而，所以不成立. 综上，可知平面上点的轨迹是线段（不包含端点）. 故选：A. 17．已知，，且9是和的等比中项，则的最小值是（   ） A． B．36 C．9 D．49 【答案】C 【详解】由题可知，9是和的等比中项，因此，化简得，即，则. 因此，. ，， 由基本不等式可知，当且仅当即，时取等号. 则，当且仅当即，时取等号. 综上，的最小值为. 故选：C. 18．在等比数列中，是方程的两根，则的值为（   ） A．-4 B．-2或2 C．-2 D．2 【答案】C 【详解】为等比数列，设公比为， 由韦达定理得，， 又，故符号相同，同为负数， ， 因为为等比数列，所以，， 故. 故选：C 19．“数列，，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 20．已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 21．已知数列为等比数列，其前项和，则首项（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，当时，， 当时，，故， ， 由于为等比数列，故，故， 故选：A 04 等比数列的证明 22．已知数列中，，. (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【详解】（1）由题意可得：，因为，， 所以，， 所以数列是首项为2公比为2的等比数列， 所以，解得：. （2）由（1）知. 因为，所以数列各项为正的递减数列， 故，， ， 所以. 23．（1）已知等差数列满足：，求实数的值； （2）已知数列的前项和满足：，证明：是等比数列，并求； （3）已知数列、满足：，用数学归纳法证明：对任意，点都在直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析，；（3）证明见解析 【详解】（1）由题意知等差数列满足：， 则， 则，即， 即. 经验证时满足题意，故. （2）由于， 故当时，，即， 则，即， 是以为首项，为公比的等比数列， 则，. （3）要证点在直线上，即证， 下面用数学归纳法证明． ①当时，，，等式成立， ②假设当（为正整数）时，等式成立，即，即， 那么当时，，等式也成立， 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任意都成立， 故原命题成立. 24．设数列的前n项和为，已知．证明：数列为等比数列． 【答案】证明见解析 【详解】当时，，又，所以，， 由，得，， 两式相减得， 即， 所以， 又，则，， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列． 25．记数列的前n项和为，已知，． (1)令，证明：为等比数列； (2)求的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，， 即，则， 所以，即． 又，则， 所以数列是以8为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以． 当时，． 又，不满足上式， 故. 26．数列满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，证明：数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由可得，解得，则. 且，故是以2为首项，2为公比的等比数列，即得证. （2）由（1），故， ， 故 ，即得证. 27．已知正项数列中，． (1)证明：是等比数列，并求其通项公式； (2)记等差数列的前项和为，再从①；②；③中任选两个作为已知，使得，并求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析，； (2)选择条件①②：；选择条件②③：；选择条件①③不满足题意. 【详解】（1），， 又为正项数列，故，则， 又，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 故． （2）选择条件①②： 设数列的公差为， ，， 则，， 此时，故， 故， ， 得， ， 整理得． 选择条件②③： 由，得， 两式相减得， 整理得，即，数列为常数列， ，，故， 此时，则， ， ， 两式相减得， 整理得． 选择条件①③不满足题意，原因如下： 由，得， 两式相减得，整理得， 即，故数列为常数列． ，，则，此时，不满足题意． 28．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)的最小值为，无最大值 【详解】（1）已知，则当时，有. ，，即，解得． （2）由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时，. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 05 等比数列性质的应用 29．在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故， 又，所以，故，可得. 故选：C. 30．在等比数列中，，，则（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【详解】因为等比数列，故，解得， 又，解得， 设数列的公比为，则，故. 故选：D. 31．在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，所以， 所以均为负数，又因为是等比数列，所以， 又同号，所以. 故选：C. 32．在等比数列中，，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【详解】因为是等比数列，所以， 又，所以. 故答案为：D. 33．已知正项等比数列中，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意，所以，. 所以. 故选：B 34．设等比数列的公比为，若，则（  ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，所以，所以，所以. 故选：A 35．在等比数列中，若，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】. 故选：C 06 等比数列的单调性与最值问题 36．已知等比数列中，，，设数列的最大项为，最小项为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，由，解得， 所以，， 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以，数列的奇数项单调递增，偶数项单调递减， 故，，， 故选：D． 37．已知，，成等比数列，且，，等差数列满足，，则当数列的前项和取最小值时，的值为（   ） A．5 B．7 C．6或7 D．5或7 【答案】D 【详解】解：设等比数列，，的公比为, 由，， 即，解得， 由，解得，所以， 又因为为等差数列，且，， 所以公差，则， 所以， 当时，；当时，， 又因为，，， 所以当或时，的前项和最小. 故选：D. 38．已知首项为1的等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，若恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，成等差数列，所以， 又因为的首项为1，各项均为正数的等比数列， 所以，解得或（舍去），所以. 若恒成立，所以. 设，令，解得， 所以在为减函数，在为增函数. 而当时，即时，， 所以当时，即时，取得最小值为， 所以. 故选：B 39．等比数列满足，公比为2，数列满足，下列说法错误的是（    ） A．为递增数列 B．为递增数列 C．中最小项的值为1 D． 【答案】C 【详解】A选项，由题意可知，， 且公比，故为递增数列，A正确； B选项，，， 则为递增数列，故B正确； C选项，当时，取得最小值，故C错误； D选项，， 当时，， 当时，， 故，故D正确． 故选：C． 40．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，则下列结论中不正确的是（   ） A． B． C．是数列中的最大值 D．若，则最大为 【答案】C 【详解】对A，∵，，，且数列为等比数列， ∴，，∴， 因为，∴，故A正确； 对B，∵，∴，故B正确； 对C，因为等比数列的公比，，所以数列是递减数列， 因为，，所以是数列中的最大项，故C错误； 对D，， 因为，，， 故，，，故，即， 故最大为，故D正确． 故选：C． 41．在无穷项等比数列中，为其前n项的和，则“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【详解】设公比为，当，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最大值， 当，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最大值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递减数列，此时无最小值， 无最小值， 当时，时，， 此时， 故，所以为单调递增数列，此时无最大值， 无最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于0， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 若且，， ，当为奇数时，，当为偶数时，， 且随着的增大，趋向于， 其中，， 故且， 故有最大值，也有最小值， 当时，，为摆动数列， 且， 故，所以随着的增大，趋向于正无穷或负无穷， 故无最大值，也无最小值， 此时无最大值，无最小值， 当时，为常数列，此时有最大值，也有最小值， 此时无最大值或无最小值，故充分性不成立， 当时，有最大值，也有最小值， 此时有最大值和最小值， 综上，当既有最大值，又有最小值时，既有最大值，又有最小值， 必要性成立， 故“既有最大值，又有最小值”是“既有最大值，又有最小值”的必要不充分条件. 故选：B 42．设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【详解】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 07 等比数列的实际应用 43．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 44．如图的工艺品是由九个圆柱焊接而成.这些圆柱具有共同的轴，最下边的圆柱的高为10cm、底面半径为5cm.从由下至上第二个圆柱开始，每个圆柱的底面半径与高都分别是其下面一个圆柱的底面半径与高的0.8倍，则这个工艺品的表面积（含最下边圆柱的下底面积）约为 （精确到） 【答案】 【详解】由题设，第个圆柱的高，底面半径， 所以，第个圆柱的侧面积为，底面积为， 则侧面积之和为， 底面积之和为， 所以工艺品的表面积为. 故答案为： 45．数学史上著名的“康托三分集”，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段，操作过程不断地进行下去.若使前次操作后剩余所有区间长度之和不超过，则需要操作的次数的最小值为 ，该次操作完成后依次从左到右第四个区间为 . 【答案】 【详解】第一次操作去掉了区间长度的，剩下、 第二次操作去掉个长度为的区间即长度和为， 剩下的区间从左到右依次为、、、， 以此类推，第次操作将去掉个长度为的区间， 则第次操作去掉的长度和为， 设，则， 所以，数列为等比数列，其首项为，公比为， 的前项和， 由题意令，则， 所以，即， 所以，所以， 第次操作后第个区间；第次操作后，第、个区间、， 第次操作后第、、、个区间分别为、、、 所以从左到右第个区间为. 故答案为：；. 46．我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16改造为绿洲，同时原有绿洲的4被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米．至少经过 年，绿洲面积可超过60？（） 【答案】6 【详解】由题意得 ， 所以， 则， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， 所以， 所以至少经过6年，绿洲面积可超过60%． 故答案为：6. 47．从盛满纯酒精的容器里倒出，然后填满水，再倒出混合溶液后又用水填满，依次继续下去，要使酒精浓度低于，至少倒 次． 【答案】 【详解】由题意知：每次倒出混合液加上水后的容器里的酒精浓度依次成等比数列，公比为， 设共倒出次，则，，即至少倒次. 故答案为：. 48．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 49．如图是瑞典数学家科赫在年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形(如图1)的边长为，把图2，图3，图4中图形依次记1级、2级、3级雪花曲线，则级雪花曲线的边长为 ，级雪花曲线的周长为 ． 【答案】 / 【详解】设级雪花曲线的边长为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边长为； 设级雪花曲线的边数为，则数列是首项为，公比为的等比数列， 故级雪花曲线的边数为，则级雪花曲线的周长为， 故答案为：；． 08 等比数列前n项和的性质及应用 50．设等比数列的前项和为．若，则 ． 【答案】93 【详解】由题意公比，所以，解得， 所以. 故答案为：93. 51．数列的通项公式是，则其前n项和为 ． 【答案】 【详解】当时，； 当时，数列是首项为，公比为的等比数列， 由等比数列求和公式可知： 故答案为： 52．已知等比数列的前n项和为，则 ． 【答案】/ 【详解】方法一：当时，； 当时，， 又为等比数列，所以，则． 方法二：等比数列的前n项和为的形式，因为，则． 故答案为：. 53．等比数列的前项和为，且，则 ． 【答案】306 【详解】设等比数列的公比为，由于，所以，解得：，所以 故答案为： 54．已知正项等比数列的前n项和为，且，若恒成立，则m的一个可能取值为 ． 【答案】6（答案不唯一） 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，， 即，， 两式相除得（负值舍去），则， 所以，， 由，得，所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，故m的一个可能取值为6. 故答案为：6（答案不唯一） 55．设等比数列的各项均为正数，其前项和为，则“”是“数列是递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由得，所以， 又，所以是递增数列， 反之，等比数列的各项均为正数，且数列是递增数列，所以，即有， 所以，即， 所以是数列是递增数列的充要条件． 故选：C． 56．已知函数，记为从小到大的第个极值点，数列满足，其前项和为，则（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， 令，则， 所以，解得． 由函数图象可知，是的极值点， 又，所以是以为首项、为公差的等差数列， 所以， 当时，设， 当，时，设， 从而． 故选：C． 09 公共项与插项问题 57．已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d， 则由题，即或（舍去）， 所以. 故选：B 58．则（   ） A．7 B．11 C．18 D．1 【答案】A 【详解】设正项等差数列公差为， 又，所以，， 因为，，成等比数列， 所以，则，解得或（舍去）， 则，故． 故选：A 59．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（   ） A．17 B．16 C．6 D．5 【答案】D 【详解】已知恰为和的等差中项，可得. 设等比数列的公比为，根据等比数列通项公式，将，，，代入可得： 因为等比数列中，等式两边同时除以，得到，即，进一步因式分解可得. 则或，解得或. 当时，，因为分母不能为，所以这种情况舍去. 当时，，将代入可得，把代入得.   故选：D. 60．已知等差数列的首项为1，若，，成等比数列，则的第5项为（   ） A．1 B． C．或1 D．或1 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 又，所以，解得， 所以. 故选：A. 61．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由等差数列的性质，， 由等比数列的性质，，解得， 又因为等比数列奇数项符号相同，所以， 所以． 故选：D. 62．已知是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，则等于（   ） A．63 B．72 C．81 D．90 【答案】C 【详解】由是公差为2的等差数列，且，，成等比数列，可得， 即，解得，代入，故. 故选：C. 63．等差数列的首项为1，公差不为0.若成等比数列，则的公差为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即， 整理可得， 因为，，所以解得. 故选：A 10 等比数列中与的关系 64．已知等比数列的前项和（是常数），则的值为 ． 【答案】 【详解】因为等比数列的前项和， 当时，， 当时，， 满足，即，解得，故， 故对任意的，，即数列为等比数列，故. 故答案为：． 65．已知数列的前项和为则 . 【答案】 【详解】由，， 可得数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列； 偶数项是以2为首项，公比为2的等比数列． 对任意正整数k，；． 数列的通项公式． 则 ，． 故答案为： 66．已知等比数列的前项和（是常数），则 . 【答案】 【详解】因为等比数列的前项和（是常数）， 当时，， 当且时，， 因为数列是等比数列，则也满足， 即，解得，故， 且对任意的，，即数列为等比数列，故， 故答案为：. 67．已知等比数列的前项和是，则 . 【答案】 【详解】因，当时， 当时，， 因数列为等比数列，故当时，，解得. 故答案为： 68．已知等比数列满足，其前项和满足，则符合条件的一个数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）. 【详解】等比数列满足，即，数列为单调递增的等比数列， 又，即， 则符合上述条件的数列只要满足，且即可， 令，，故. （答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）. 故答案为：.（答案不唯一，只要填写满足，且的通项公式即可）. 69．已知等比数列的前项和为，则的公比为 ；记，则的最小值为 ． 【答案】 2 / 【详解】因为，故，而， 故公比，故，故， 故的最小值为， 故答案为： 70．已知等比数列的前项和为，则的值为 ． 【答案】 【详解】由等比数列的前项和为， 可得，，， 所以，解得，经检验符合题意. 故答案为：. 11 等比数列前项和的有关计算 71．已知等比数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由且，所以公比，故等比数列是首项大于零的递增数列， 所以，，所以A错误； ，所以B错误； ， 而，所以C正确； ，，不能判断与的大小，所以D错误. 故选：C． 72．已知正项等比数列的前n项和为，若且，则（   ） A．40 B．84 C．121 D．364 【答案】D 【详解】设公比为q，由，得或（舍）， 则，解得， 故． 故选：D. 73．设等比数列的公比，其前n项和为，则下列等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在等比数列，首项为，公比为， 则，，，， 对于，，错误； 对于， ，错误； 对于， ，错误； 对于，因为等比数列的公比，则， ， ， 综上可得：等比数列中，，正确. 故选：. 74．记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 75．在正项等比数列中，，，记，若取最大值时，则n的值为（   ） A．3 B．4 C．3或4 D．4或5 【答案】C 【详解】，解得或， ∵数列是正项等比数列，， 令，则时，取得最大值. 又∵，或时，取得最大值，此时最大. 故选：C 76．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】D 【详解】设公比为，，，故， ， 两式相除得，故. 故选：D 77．已知等比数列的前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的公比为q， 因为， 所以，所以． 故选：A． 12 等差数列与等比数列的综合应用 78．已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 【答案】D 【详解】由题意可得， ， 所以的值为2或4. 故选：D. 79．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【详解】设等比数列的等比为， 由，为与的等差中项得， 所以，， 故. 故选：D. 80．设等比数列的前项和为，前项积为，，且和的等差中项为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为． 若，则，不符合题意， 所以，解得． 又因为和的等差中项为，所以，则，解得． 所以，， 当时，，当时，，当时，， 所以的最大值为． 故选：B. 81．在等比数列中，是和的等差中项，则的公比为（   ） A．1 B． C．1或 D．1或 【答案】C 【详解】在等比数列中，是和的等差中项， 设公比为，所以，所以， 因为，所以， 解得：1或， 故选：C. 82．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且与的等差中项为4，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 因为与的等差中项为4，所以， 又，所以，所以，解得或（舍去）， 所以的通项公式为， 所以. 故选：B. 83．设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A．4 B．5 C．16 D．17 【答案】B 【详解】因为恰为和的等差中项， 所以，则， 所以， 故选：B 84．已知等比数列的前项和为，若，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等比数列的前项和为，设其公比为， 由已知，故，所以，，则， 故，所以，，故. 故选：D. 1．（2025·天津·二模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，，，，且的公比是公差的倍． (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，，且当，. （i）求证：； （ii）求数列的前项的和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设等差数列的公差为，则等比数列的公比为， ，， ，，解得：， ，，，. （2）（i）由（1）得：，， ， ， 令，又，，则， 即，. （ii）记， 则，； 当时，， ； 经检验：，满足， 综上所述：. 2．（2025·天津北辰·三模）已知等比数列的首项为1，公比为，则数列的前10项和为（    ） A．15 B．35 C．45 D．55 【答案】C 【详解】等比数列的首项为1，公比为，， ，，，且， 是首项为，公差为的等差数列， 数列的前10项和为. 故选：C. 3．（2025·天津河西·模拟预测）已知数列的前项和，数列满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)数列满足，若对于一切恒成立，求实数的取值范围； (3)设，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；以此类推，在和之间插入个数，，…，，使，，，…，，成等差数列．若，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意，， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 因为，所以． （2）由（1）可得， 因为，所以， 所以数列的最大项为和，且， 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． （3）因为， 设， 则 设， 所以， 两式相减得， 所以，故， 设， 所以． 4．（2025·天津和平·三模）已知，等差数列的前项和，正项等比数列的前项和为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)若． （ⅰ）不等式恒成立，求实数的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）对任意的，，当时，， 当时，. 也满足，故对任意的，， 所以，即数列为等差数列，合乎题意， 设等比数列的公比为，则，， ， 所以，，因此，. （2）（i）， ，故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 显然为递减数列，且，所以； 当为偶数时，恒成立，显然外递减数列， 所以，所以， 因此，实数的取值范围是. （ii）因为， 设， 所以， 上述两个等式作差可得①， 设， 所以， 两式作差得 ，即， 代入①式可得， 故，故结论得证. 5．（2025·天津红桥·二模）已知函数，其中为自然对数的底数， (1)当时，求函数在点处的切线方程; (2)证明:恒成立； (3)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【详解】（1）当时，可得，所以； 可得，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2）易知，要证明， 可得， 构造函数，可得， 可知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时，等号成立； 下面证明， 令，所以； 易知当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减； 因此函数在处取得极小值，也是最小值， 即可得恒成立，即； 当且仅当时等号成立， 综上可得，，恒成立，但等号不在同一点处取得， 所以，即. （3）由（2）中结论可知； 所以， 因此； 可知 所以. 6．（2025·天津河北·二模）设数列的前n项和，若，则（    ） A．3059 B．2056 C．1033 D．520 【答案】C 【详解】由题设，则， 所以，则 又，则， 所以是首项、公比均为的等比数列，则， 所以，则. 故选：C 7．（2025·天津·一模）已知是各项均为正数的等比数列，且，，成等差数列，则的值是（   ） A． B． C．9 D．16 【答案】A 【详解】设正项等比数列的公比为，由，，成等差数列， 可得，即，所以，解得（舍去）或， 所以. 故选：A 8．（2025·天津·模拟预测）记为等比数列的前项和．若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，由得，可得， 所以，， 所以，. 故选：C. 9．（2024·天津河西·模拟预测）甲、乙、丙三个人去做相互传球训练，训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．如果第一次由甲将球传出，设次传球后球在甲手中的概率为，则 ； ． 【答案】 /0.25 【详解】设“经过次传球后，球在甲的手中”，则事件的概率即，则 依题意，，则 ， 即，(*) 因代入解得，，； 由（*）可得，，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是，，则得，. 故答案为：；. 10．（2024·天津和平·二模）已知数列满足，则数列的通项公式为 ，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第 项． 【答案】 【详解】因为， 当时，，解得； 当时，， 两式相减得，即， 经检验当时也成立，所以； 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号． 所以数列的最大项为第项. 故答案为：；． 11．（2024·天津北辰·三模）已知在等比数列中，，等差数列的前项和为，且，则（    ） A．60 B．54 C．42 D．36 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可知，因为，所以，， 所以. 故选：C 12．（2024·天津河西·三模）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以， 故选：C. 13．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 14．（2024·天津河西·模拟预测）已知桶中盛有3升水，桶中盛有1升水.现将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；然后将桶中的水的和桶中的水的倒入桶中，再将桶与桶中剩余的水倒入桶中；如此继续操作下去. (1)求操作1次后桶中的水量； (2)求操作次后桶中的水量； (3)至少操作多少次，桶中的水量与桶中的水量之差小于升？（参考数据：，） 【答案】(1) (2) (3)5次 【详解】（1）记桶中的水量为，桶中的水量为，， 所以. （2）根据题意可得：，， 所以，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， ，所以. （3），， 令，得，两边取对数， 得， 所以至少经过5次操作，才能使桶中的水量与桶中的水量之差小于. 15．（2024·天津红桥·二模）某同学于2019年元旦在银行存款1万元，定期储蓄年利率为，以后按约定自动转存，那么该同学在年元旦可以得到本利和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记年后得到的本利和为，根据题意知， 即数列是一个首项为，公比为的等比数列， ∴该同学年元旦在银行存款万元，年元旦即年后得到的本利和为： （元）. 故选：A 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$