第03讲 等比数列（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等比数列 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等比数列的相关概念 4 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 5 知识点3 等比数列的性质 5 知识点4 等比数列的判定与证明 6 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 6 知识点6 等比数列前n项和的性质 7 题型破译 7 题型1 等差数列概念的理解 7 题型2 等比数列的基本运算 8 题型3 等比数列的通项公式及其应用 9 题型4 等比数列的判定与证明 10 题型5 等比中项及应用 11 题型6 等比数列性质的应用 12 题型7 等比数列的实际应用 13 题型8 等比数列中的单调性问题 14 题型9 等比数列前n项和的性质 14 题型10 等比数列中与的关系 15 04真题溯源·考向感知 16 05课本典例·高考素材 17 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）等比数列的通项公式及其应用 （2）等比数列性质的应用 （3）等比数列前n项和的性质 （4）等比数列中与的关系 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第19题，15分 天津卷，第19题，15分 天津卷，第19题，15分 考情分析： 高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标： 1.理解、掌握等比数列的概念 2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式 3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题 4.会解等比数的通项公式与前n项和问题 知识点1 等比数列的相关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于 ，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：（1）定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)； （2）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项； （3）比必须是同一个常数； （4）等比数列中任意一项都不能为0； （5）公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为： （an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒ ． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． 自主检测“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即 ． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . 注意点：(1）a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列； (2）a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列； (3）a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列； (4）a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列； (5）q＝1时，数列{an}为常数列； (6）q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 自主检测记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 知识点3 等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则 ，特别地，当时， ． 2、①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 3、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 4、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 自主检测在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B． C．5 D． 知识点4 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝ (n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝ (n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝ . 注：用定义法证明时，和中的n的范围不同 自主检测数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 1、如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成 ． 2、如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成 ． 3、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的 ． 4、如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 自主检测 甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷．第一次由甲开始，若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷4次的情况下，则甲为“幸运儿”的概率是 ；设第次由甲投掷的概率为，则 ． 知识点6 等比数列前n项和的性质 1、数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 2、{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3、若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝ (n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 4、若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 自主检测 记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 题型1 等比数列概念的理解 例1-1（24-25高二下·天津·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 例1-2若函数，数列满足，则的前n项和（   ） A． B． C． D． 方法技巧 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 【变式训练1-1】在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】设等比数列的公比，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 题型2 等比数列的基本运算 例2-1（24-25高二下·天津·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 例2-2已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 方法技巧 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量. （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． （3）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 【变式训练2-1】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【变式训练2-2】已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 【变式训练2-3·变载体】前已知等比数列的公比为，其前项和为，前n项积为，则（    ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递增数列 C．为等比数列 D．为等比数列 题型3 等比数列的通项公式及其应用 例3-1（24-25高一上·天津·期末）已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①当时，数列是递增数列， ②当时，数列是递减数列； ③存在，数列是等比数列； ④存在，数列是等差数列. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 例3-2若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（    ） A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 方法技巧 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式训练3-1】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论： ①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3-2】设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．如图所示的阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为，分别取正方形各边的四等分点，作第个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为，直角三角形的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则下列说法错误的是（    ）    A．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为 B． C．使得成立的正整数的最大值为4 D．设数列的前项和为，则 题型4 等比数列的判定与证明 例4-1（2025·天津·调研）已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)求的数学期望． 例4-2已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列． 方法技巧 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 【变式训练4-1】已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【变式训练4-2】已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【变式训练4-3·变载体】已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型5 等比中项及应用 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 例5-2已知非零实数a，1和b依次成等比数列，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则a的最大整数值为 ． 方法技巧 1、由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2、在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． 3、a，G，b成等比数列等价于． 【变式训练5-1】已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则 ． 【变式训练5-2】若x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的取值范围是 ． 【变式训练5-3】下列四个结论，其中所有正确结论的序号为 . ①已知数列为等差数列.若，则 ②若a、b、c成等差数列，则、、成等比数列 ③若a、b、c成等比数列，则、、成等差数列 ④若数列是等比数列，则，，成等比数列； 题型6 等比数列性质的应用 例6-1在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为 ． 例6-2设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 方法技巧 等比数列项的性质应用 1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用。 【变式训练6-1】（2024·天津河北·一模）已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为 ． 【变式训练6-2】设等比数列的公比为，其前项积为，并且满足以下条件：，，．给出下列结论： ①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【变式训练6-3】已知正项等比数列，，则 ． 题型7 等比数列的实际应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 例7-2已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 方法技巧 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式训练7-1】我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【变式训练7-2】某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【变式训练7-3】已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为 ． 题型8 等比数列中的单调性问题 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例8-2已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要 方法技巧 判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 【变式训练8-1】设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练8-2】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【变式训练8-3】设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型9 等比数列前n项和的性质 例9-1记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 例9-2（24-25高二下·天津·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 方法技巧 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式训练9-1】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【变式训练9-2】已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【变式训练9-3】记为等比数列的前项和，若，，则 . 题型10 等比数列中与的关系 例10-1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 例10-2（24-25高二下·天津·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 【变式训练10-1】记为数列的前项和．下列说法正确的是（   ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 【变式训练10-2】等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【变式训练10-3】已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 2．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 1．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 2．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 3．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8844.43m，是世界第一高峰.但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看． 4．如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． (1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列； (2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和； (3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？ 5．（1）若数列，都是等比数列，则数列，是等比数列吗？ （2）已知数列是等比数列，且，试比较与的关系． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等比数列 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等比数列的相关概念 4 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 5 知识点3 等比数列的性质 6 知识点4 等比数列的判定与证明 7 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 8 知识点6 等比数列前n项和的性质 9 题型破译 10 题型1 等差数列概念的理解 10 题型2 等比数列的基本运算 13 题型3 等比数列的通项公式及其应用 15 题型4 等比数列的判定与证明 19 题型5 等比中项及应用 23 题型6 等比数列性质的应用 26 题型7 等比数列的实际应用 29 题型8 等比数列中的单调性问题 31 题型9 等比数列前n项和的性质 34 题型10 等比数列中与的关系 36 04真题溯源·考向感知 38 05课本典例·高考素材 43 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）等比数列的通项公式及其应用 （2）等比数列性质的应用 （3）等比数列前n项和的性质 （4）等比数列中与的关系 单选题 多选题 填空题 解答题 天津卷，第19题，15分 天津卷，第19题，15分 天津卷，第19题，15分 考情分析： 高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查． 复习目标： 1.理解、掌握等比数列的概念 2.能掌握等比数的通项公式与前n项和公式 3.具备类比的思想，会借助函数的图像与特征求解数列的最值与单调性问题 4.会解等比数的通项公式与前n项和问题 知识点1 等比数列的相关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：（1）定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)； （2）定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项； （3）比必须是同一个常数； （4）等比数列中任意一项都不能为0； （5）公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． 自主检测“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 知识点2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 注意点：(1）a1>0，q>1时，数列{an}为正项的递增等比数列； (2）a1>0,0<q<1时，数列{an}为正项的递减等比数列； (3）a1<0，q>1时，数列{an}为负项的递减等比数列； (4）a1<0,0<q<1时，数列{an}为负项的递增等比数列； (5）q＝1时，数列{an}为常数列； (6）q<0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同． 自主检测记等比数列的前项和与前项积分别为，，若，则（   ） A．为单调数列 B．为递增数列 C．有最大值 D．有最小值 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 因为，所以，且或， 即或. 当时，为正负交替的摆动数列，不单调，A错误； 因为，所以， 所以当时，为正负摆动的数列，故不单调，B错误； 又，且， ①当时，由于， 则，， 所以有最小值，最大值； ②当时，， 所以为递增数列，所以其有最小值，无最大值； 综上所述，有最小值，C错误，D正确． 故选：D. 知识点3 等比数列的性质 1、等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． 2、①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． 3、等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． 4、其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 自主检测在等比数列中，是函数的两个零点，则（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【详解】因为是函数的两个零点， 所以是方程的两个根，则，， 所以都为负数，又因为是等比数列，, 所以，则， 故选：B 知识点4 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 注：用定义法证明时，和中的n的范围不同 自主检测数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 即， ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴，即（）， ∴， ， ∴数列是单调递增数列. （2）由题意及（1）证明如下，， 在数列中，， ∴，，， ∴ ∴ ∴不可能成等比数列. （3）由题意（1）及（2）证明如下，， 在数列中，，单调递增， 且当时，， ∴不存在正的常数M，使对所有的成立. 知识点5 等差数列与等比数列的区分与联系 1、如果数列成等差数列，那么数列(总有意义)必成等比数列． 2、如果数列成等比数列，且，那么数列 (，且)必成等差数列． 3、如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列．数列是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件． 4、如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，构成什么样的新数列． 自主检测 甲、乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷．第一次由甲开始，若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷4次的情况下，则甲为“幸运儿”的概率是 ；设第次由甲投掷的概率为，则 ． 【答案】 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种． 则点数之和大于6的概率为，小于等于6的概率为． （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种： ①第一、第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，其概率为， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三、四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为，甲为“幸运儿”的概率为； （2）第次由甲投掷这一事件，包含两类： ①第次由甲投掷，第次由甲投掷，其概率为， ②第次由乙投掷，第次由甲投掷，其概率为， 从而有，． ，．数列是以为首项，为公比的等比数列． ，． 故答案为：①；②. 知识点6 等比数列前n项和的性质 1、数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 2、{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3、若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 4、若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 自主检测 记为等比数列的前项和，若，则的公比为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 根据等比数列前项和的性质，成等比，且公比为， 又，即，所以， 解得. 故选：D. 题型1 等比数列概念的理解 例1-1（24-25高二下·天津·期中）已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，，成等比数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以， 化简可得 ，所以， 所以， 故选：D. 例1-2若函数，数列满足，则的前n项和（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则， 又因为，可得， 可知数列是以首项，公比的等比数列， 所以. 故选：A. 方法技巧 判断一个数列是否为等比数列的方法 定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． 【变式训练1-1】在中，角所对的边分别为．已知成等差数列，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在中，成等差数列，所以， 又，所以， 设所成等比数列得公比为，则 ，， 由正弦定理可得， 整理可得，， 又，即， 整理可得， 所以解得，故，于是，所以， 故选：D. 【变式训练1-2】设等比数列的公比，前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得. 故选：B 【变式训练1-3】我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（   ） A．700 B．800 C．900 D．1000 【答案】C 【详解】记第天在一楼餐厅用午餐的学生人数为，则在二楼餐厅用午餐的学生人数为， 由题意可得，整理得， 当时，可得； 当时，数列是以为公比的等比数列， 所以， 一学期后足够大，此时趋近于0，此时趋近于900. 故选：C 题型2 等比数列的基本运算 例2-1（24-25高二下·天津·期末）已知为等比数列前n项和，若，则（    ） A．10 B．9 C．6 D．4 【答案】A 【详解】设公比为，,则， 又，故，解得， 所以. 故选：A 例2-2已知是公比不为1的等比数列，为其前n项和，满足，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为， 由可得：， 由于，所以，整理得，解得或（舍）， 则有， 于是， 对于A，， ，所以，故A不正确； 对于B，， ，所以，故B正确； 对于C，， ，所以，故C不正确； 对于D，， ，所以，故D不正确； 故选：B. 方法技巧 等比数列基本量运算的解题策略 （1）等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量. （2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． （3）特殊设法:三个数成等比数列，一般设为；四个数成等比数列，一般设为. 这对已知几数之积,求数列各项,运算很方便. 【变式训练2-1】记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A．512 B．-512 C．1024 D． 【答案】C 【详解】设等比数列的公比为，则，， ∴，∴， ∴. 故选：C. 【变式训练2-2】已知数列的前项和为且，则（    ） A． B． C． D．17 【答案】A 【详解】因为，且，所以，所以为等比数列． 因为，所以， 因为，所以，即的公比． 所以． 故选：A． 【变式训练2-3·变载体】前已知等比数列的公比为，其前项和为，前n项积为，则（    ） A．若，则为递减数列 B．若，则为递增数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】D 【详解】对于A，由题意得，则由等比数列性质得当， 且时，为递增数列，故A错误； 对于B，令，时， 由前项和公式得， 而，， 此时为递减数列，故B错误； 对于C，因为，所以， 又，故不为定值，故C错误； 对于D，由等比数列定义得， 得到是等比数列，故D正确． 故选：D 题型3 等比数列的通项公式及其应用 例3-1（24-25高一上·天津·期末）已知无穷数列满足，，给出下列四个结论： ①当时，数列是递增数列， ②当时，数列是递减数列； ③存在，数列是等比数列； ④存在，数列是等差数列. 其中所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】对于①，由题，则， 令，则当，，， 从而在上单调递减，则，其中. 因，则. 注意到，则， 注意到，则， 从而类似可得，，即数列是递增数列，故①正确； 对于②，，. 又注意到，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 又注意到，则，其中. 因，则， 又，则，从而， 从而类似可得，，即数列是递减数列，故②正确； 对于③，假设存在，使数列是等比数列， 则，注意到当时， 函数的增长速度远大于函数的增长速度， 又，则时，方程无解，则不存在，使数列是等比数列，故③错误. 对于④，考虑数列为常数列，则，注意到时，满足条件. 则取，可使为等差数列.故④正确. 故选：D 例3-2若一数列为，1，，，，…，其中，则是这个数列的（    ） A．不在此数列中 B．第337项 C．第338项 D．第339项 【答案】D 【详解】数列为，1，，，，…，记此数列为，则它是首项为，公比为的等比数列， 于是得数列通项为：，由得：， 所以是这个数列的第339项. 故选：D 方法技巧 等比数列的通项公式涉及4个量，，，，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解． 【变式训练3-1】已知数列的各项均为正数，其前n项和为，满足，给出下列四个结论： ①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项 其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】当时，， 因为数列的各项均为正数，所以， 当时，， 由数列的各项均为正数，解得：，①正确； 若为等比数列，则，解得：， 将代入， 故不是等比数列，②错误； 因为数列的各项均为正数，故必单调递增，而， 所以单调递减，③正确； 假设的所有项大于等于，取，则，， 则与已知矛盾，故④正确. 故选：C 【变式训练3-2】设等比数列的前项和为，公比为.若， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故可得， 又数列是等比数列，公比为，则，即，解得或； 若，则； 若，则不满足题意，舍去. 故. 故选：C. 【变式训练3-3】螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”．如图所示的阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形的边长为，分别取正方形各边的四等分点，作第个正方形，然后分别取正方形各边的四等分点，作第3个正方形，依此方法继续下去，就可以得到阴影部分的图案．设正方形的边长为，后续各正方形的边长依次为，直角三角形的面积为，后续各直角三角形的面积依次为，则下列说法错误的是（    ）    A．从正方形开始，连续个正方形的面积之和为 B． C．使得成立的正整数的最大值为4 D．设数列的前项和为，则 【答案】C 【详解】由题可得，，， 则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，则，B正确； 由题意可得：，即， 于是，为等比数列， 连续三个正方形面积之和，A正确； 令，则，而，C错误； ，D正确. 故选：C. 题型4 等比数列的判定与证明 例4-1（2025·天津·调研）已知有两个盒子，各装有1个黑球、1个黄球和1个红球，现从两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行次这样的操作后，记盒子中红球的个数为，恰有1个红球的概率为，恰有2个红球的概率为． (1)证明是等比数列，并求的通项公式； (2)求的数学期望． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时， 因为， 所以，又， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 得到，即． （2）当时，，① ，② 由①－②得，， 而，可得， 结合题意得到，故， 则，递推可得，则， 而的可能取值为， 则，， 则的分布列为： 0 1 2 故． 例4-2已知数列满足，点在函数的图象上，其中，，，求证：数列是等比数列． 【答案】证明见解析 【详解】由已知得， 所以， 因为， 所以，两边同时取对数得 ，即，所以是以为首项，公比为2的等比数列． 方法技巧 定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 中项公式法 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 通项公式法 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 前n项和公式法 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为非零常数，q≠0,1)，则{an}是等比数列 【变式训练4-1】已知数列满足. (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 则． 又因为，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）的结论，可知，即， 则 ．   【变式训练4-2】已知数列满足，，． (1)判断数列是否为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)是 (2) 【详解】（1）由题意得， 且， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 于是． （2）由于， 把，，，，代入，得 ， ， ， … ， 把以上各式相加，得 ． 所以． 【变式训练4-3·变载体】已知数列满足，且对任意正整数有，数列满足 (1)证明：数列是等比数列； (2)设，数列的前项和； ①求； ②若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② 【详解】（1）证明：因为， 所以． 因为，所以． 又，所以，即证得是首项为1，公比为2的等比数列． （2）①由（1）可得，则， ， ， 两式相减得：， 即， 所以，则． ②因为不等式对任意的正整数恒成立， 即对任意的正整数恒成立， 当为偶数时，因为在为增函数， 所以； 当为奇数时，对任意的正整数恒成立， 所以，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型5 等比中项及应用 例5-1（24-25高一上·天津河西·期末）已知是椭圆上一点，若是点到左准线的距离与的等比中项，则离心率的取值范围是 ． 【答案】 【详解】如图，结合椭圆第二定义可得点到左准线的距离， 依题意，，即， 设点的横坐标为， 故，解得， 由知， 故，即，，解得或（舍）， 结合椭圆离心率的范围，得到的取值范围是. 故答案为：. 例5-2已知非零实数a，1和b依次成等比数列，直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则a的最大整数值为 ． 【答案】1 【详解】由题可得，所以直线方程为，即， 联立，消得， 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负两根， 所以，整理得，解得， 则实数的最大整数值为1. 故答案为：1 . 方法技巧 1、由等比中项的定义可知，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项． 2、在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项． 3、a，G，b成等比数列等价于． 【变式训练5-1】已知数列为公差为的等差数列，且、、依次成等比数列，则 ． 【答案】 【详解】因为数列为公差为的等差数列，由题意可得，即， 解得，故. 故答案为：. 【变式训练5-2】若x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知，，则． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 综上，的范围为． 【变式训练5-3】下列四个结论，其中所有正确结论的序号为 . ①已知数列为等差数列.若，则 ②若a、b、c成等差数列，则、、成等比数列 ③若a、b、c成等比数列，则、、成等差数列 ④若数列是等比数列，则，，成等比数列； 【答案】①② 【详解】①为等差数列， 则 即，①正确 ②若a、b、c成等差数列，则。即 所以、、成等比数列，②正确 ③当a、b、c中有负数值时，、、存在不成立的式子，③错误 ④举例：时，,, 此时，，，不成等比数列，④错误 故，正确结论的序号为①②. 题型6 等比数列性质的应用 例6-1在正项等比数列中，，，记数列的前n项积为，，则n的最小值为 ． 【答案】5 【详解】设正项等比数列公比为q，则. 根据等比数列性质：. 因，所以，解得， 因此， 故， 由，得， 从而得，即， 解得或，而，故， 又，则n的最小值为5． 故答案为：5 例6-2设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，，，给出下列结论：①；②；③是数列中的最大项；④使成立的最大自然数等于198，其中正确的结论是 . 【答案】①③④ 【详解】，， ，， 假设，那么，， 与题干不符，假设不成立，，故①正确. 由等比数列的性质可得，，由上可知，， ，，，，，故②错误. 等比数列的前项之积为，，又，， 又，，，，故③正确. ，又，， ， ， ，，故④正确. 故答案为：①③④. 方法技巧 等比数列项的性质应用 1．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度． 2．在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用。 【变式训练6-1】（2024·天津河北·一模）已知数列为等比数列，，若的前9项和为，则数列的前9项和为 ． 【答案】/0.6 【详解】显然等比数列公比不是，否则 记数列的公比为，且，则，故， 注意到的公比也为， 则的前项和. 故答案为：. 【变式训练6-2】设等比数列的公比为，其前项积为，并且满足以下条件：，，．给出下列结论： ①； ②； ③的值是中最大的； ④使成立的最大自然数等于198． 其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①④ 【详解】由，得，即，又且， 所以，，即，故①正确． 由，且得，从而，故②错误． 由且得，故③错误． ， ， 故④正确． 故答案为：①④ 【变式训练6-3】已知正项等比数列，，则 ． 【答案】58 【详解】是正项等比数列，则，， 所以， 故答案为：58. 题型7 等比数列的实际应用 例7-1（2025·天津·模拟预测）按国际标准，复印纸幅面规格分为A系列和B系列，其中A系列以A0，A1，...来标记纸张的幅面规格，具体规格标准为：①A0规格纸张的幅宽和幅长的比例关系为；②将纸张平行幅宽方向裁开成两等份，便成为规格纸张（如图）.某班级进行社会实践活动汇报，要用A0规格纸张裁剪其他规格纸张.共需A4规格纸张40张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张.为满足上述要求，至少提供A0规格纸张的张数为 . 【答案】8 【详解】依题意1张A0规格的纸张可以裁剪出2张A1规格的纸张，或4张A2规格的纸张，或16张A4规格的纸张, 设一张A0规格的纸张的面积为， 则一张A1规格的纸张的面积为，一张A2规格的纸张面积为，一张A4规格的纸张面积为； 依题意共需要的纸张面积为， 所以至少提供8张A0规格的纸张， 其中将3张A0规格的纸张裁成5张A1和2张A2，将2张A0规格的纸张裁成8张A2， 将剩下的3张A0规格的纸张裁成48张A4规格， 共可以裁出A4规格纸张48张，A2规格纸张10张，A1规格纸张5张. 故答案为：8 例7-2已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个3（），得到新的数列，记的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ． 【答案】30 【详解】由题意得数列的前项依次为： ，3，，，3，3，3，，，个，，个，，， 当时，， 当时，， 因，则数列为递增数列， 所以使成立的的最小值为. 故答案为： 方法技巧 等比数列实际应用问题的关键是：建立数学模型即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题． 【变式训练7-1】我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问次日织几问？其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布5尺，请问第二天织布的尺数是 . 【答案】 【详解】由题可得该女子每天织布的尺数成等比数列，设其首项为，公比为， 则，解得 所以第二天织布的尺数为. 故答案为：. 【变式训练7-2】某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新建设了 万个充电桩；从第1年起，约 年内，可使该城市市区公共区域的充电桩总量达到30万个（结果保留到个位）. （参考数据：，） 【答案】 2.88 8 【详解】由题意可知第3年新建设万个充电桩； 假设第年后充电桩总量达到30万个， 则， 即， 取对数得， 即约8年内，可达到要求. 故答案为：2.88，8 【变式训练7-3】已知数列的通项公式，在其相邻两项，之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为 ． 【答案】28 【详解】由题意得数列的前项依次为： 1，2个3，3，个3，7，个3，15，个3，31，⋯⋯， 当时，， 当时，， 所以使得成立的的最小值为28. 故答案为：28. 题型8 等比数列中的单调性问题 例8-1（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立； 若，，则数列为递减数列，所以必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 例8-2已知数列为等比数列，则“数列为单调递增数列”的_____条件是“对任意有恒成立”．（   ） A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．非充分非必要 【答案】C 【详解】设的公比为且，， 若为递增数列，则恒成立； 若对任意有恒成立，则，所以， 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 时，或，显然时，不符； 所以，此时，则为递增数列； 综上，“对任意有恒成立”是“数列为单调递增数列”的充要条件. 故选：C 方法技巧 判断等比数列的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列． (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列． (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，{an}是摆动数列． 【变式训练8-1】设无穷等比数列的前和为，则“为递增数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】设无穷等比数列的公比为， 则，， 若“为递增数列”，则且，或且， 当且时，即； 当且时，即. 所以充分性成立； 若“”，则恒成立， 当时，得恒成立，则且，此时为递减数列； 当时，得恒成立，则且，此时为递增数列； 当时，得即恒成立， 则，此时不具有单调性. 所以必要性不成立. 所以“为递增数列”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练8-2】设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 【变式训练8-3】设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】充分性，由为递减数列，则有2种情况①，此时， ②，此时，综上，充分性不成立， 必要性，因为无穷等比数列，，则， 所以且，即为递减数列，故必要性成立， 综上，为递减数列是的必要不充分条件， 故选：B. 题型9 等比数列前n项和的性质 例9-1记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为是等比数列，所以成等比数列， 因，则，故，解得. 故选：B 例9-2（24-25高二下·天津·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A． B．216 C． D．728 【答案】D 【详解】解法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，①，②， 由①②可得，，所以. 解法二：因为，，成等比数列，即，解得：. 故选：D. 方法技巧 处理等比数列前项和有关问题的常用方法 （1）运用等比数列的前项和公式，要注意公比和两种情形，在解有关的方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进行消元． （2）灵活运用等比数列前项和的有关性质． 【变式训练9-1】已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 【变式训练9-2】已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 【变式训练9-3】记为等比数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【详解】因为，， 又数列为等比数列，由等比数列的性质知，成等比数列， 则，得到， 所以， 故答案为：. 题型10 等比数列中与的关系 例10-1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 例10-2（24-25高二下·天津·期中）若等比数列的前n项和为（p为常数），且的公比为q，则（   ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】在等比数列中，由，得， ，， 因此公比，，解得， 此时，符合题意，所以. 故选：C. 由Sn求通项公式an的步骤 (1)令n＝1，则a1＝S1，求得a1. (2)令n≥2，则an＝Sn－Sn－1. (3)验证a1与an的关系： ①若a1适合an，则an＝Sn－Sn－1， ②若a1不适合an，则an＝ 【变式训练10-1】记为数列的前项和．下列说法正确的是（   ） A．数列成等差数列的充要条件是对于任意的正整数，都有 B．数列成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数，都有 C．已知数列的前项和，则数列是等差数列的充分不必要条件是实数 D．已知数列的前项和，则数列是等比数列的充要条件是 【答案】A 【详解】是等差数列，A选项正确； 若对都成立，满足，但不是等比数列，充分性不成立，B选项错误； 若是等差数列，则， ，因为是等差数列，所以，得 必要性成立，C选项错误； 若，则，当时，，当时，，不适合上式， 不是等比数列，充分性不成立，D选项错误， 故选：A． 【变式训练10-2】等比数列的前n项和，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在等比数列中，由前n项和，则， 当时，由， 所以，即. 故选：D 【变式训练10-3】已知是等比数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；. 故选：B 1．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设， 所以， 所以， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 2．（2024·天津·高考真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且． (1)求的通项公式及； (2)设数列满足，其中． （ⅰ）求证：当时，求证：； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)①证明见详解；② 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，即， 可得，整理得，解得或（舍去）， 所以. （2）（i）由（1）可知，且， 当时，则，即 可知， ， 可得， 当且仅当时，等号成立， 所以； （ii）由（1）可知：， 若，则； 若，则， 当时，，可知为等差数列， 可得， 所以， 且，符合上式，综上所述：. 3．（2023·天津·高考真题）已知是等差数列，． (1)求的通项公式和． (2)设是等比数列，且对任意的，当时，则， （Ⅰ）当时，求证：； （Ⅱ）求的通项公式及前项和． 【答案】(1)，； (2)(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)，前项和为. 【详解】（1）由题意可得，解得， 则数列的通项公式为， 求和得 . （2）(Ⅰ)由题意可知，当时，， 取，则，即， 当时，， 取，此时， 据此可得， 综上可得：. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：， 则数列的公比满足， 当时，，所以， 所以，即， 当时，，所以， 所以数列的通项公式为， 其前项和为：. 4．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（    ） A．16 B．32 C．54 D．162 【答案】C 【详解】当时，，所以，即， 当时，， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 则. 故选：C. 5．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且． (1)求与的通项公式； (2)设的前n项和为，求证：； (3)求． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）证明：因为所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 ， 设 所以， 则， 作差得 ， 所以， 所以. 1．求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）和的等比中项为. （2）和的等比中项为 （3）和的等比中项为 2．将公比为q的等比数列，，，，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列，，，…．此数列是（    ）． A．公比为q的等比数列 B．公比为的等比数列 C．公比为的等比数列 D．不一定是等比数列 【答案】B 【详解】设新数列为，则， 因为为等比数列，故，故， 而，故为等比数列且公比为， 故选：B. 3．被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰，海拔8844.43m，是世界第一高峰.但一张报纸却不服气，它说：“别看我薄，只有0.01cm厚，但假如把我连续对折30次后，我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度．”你认为这张报纸是不是在吹牛？你不妨算算看． 【答案】这张报纸不是在吹牛，理由见解析 【详解】这张报纸不是在吹牛，理由如下： 根据题意，对折一次后的厚度为， 对折次后的厚度为，设对折次后的厚度为， 显然数列是等比数列，， 当连续对折30次后，报纸的厚度为， 利用计算器可计算出， 所以这张报纸不是在吹牛. 4．如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列． (1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列； (2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和； (3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？ 【答案】(1)数列、证明见解析； (2)； (3)2. 【详解】（1）原正方形面积为，由题意新正方形面积依次为，…，， 故数列为， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）知：这10个正方形面积的和. （3）同（2），，当趋向正无穷时趋向0， 所以无限接近于2， 故全部正方形面积相加“最终”会达到2. 5．（1）若数列，都是等比数列，则数列，是等比数列吗？ （2）已知数列是等比数列，且，试比较与的关系． 【答案】都是等比数列；两式相等. 【详解】（1）由题意不妨设数列，的公比分别为，显然， 则是常数，故也是等比数列； 同理有，也是常数，故是等比数列； （2）由题意不妨设数列的公比为，则， ，， 又，所以. 2 / 50 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$