第02讲 等差数列（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 等差数列 目录 01 常考题型过关练 题型01 等差数列的判断 题型02 等差中项及其应用 题型03 等差数列及其前n项和的性质及应用 题型04 等差数列的单调性 题型05 求等差数列中的最值 题型06 等差数列的证明 题型07 等差数列中的范围与恒成立问题 题型08 等差数列的应用 题型09 等差数列前n项和的最值 题型10 等差数列前项和的比值问题 题型11 等差数列的奇数项与偶数项和 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等差数列的判断 1．在集合中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是 ． 【答案】/ 【详解】在集合中任取3个不同的数，共有种， 选出三个数成等差数列有：这四种选法； 故这三个数成等差数列的概率是， 故答案为： 2．在100~200之间的正整数中，所有能被3整除的数的和为 ； 【答案】4950 【详解】这些数是以102为首项，3为公差，198为末项的等差数列，共有33项， 它们的和为． 故答案为：4950. 3．设为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，每组的4个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公差相同，则取法有 种．（用含的代数式作答） 【答案】 【详解】从项的等差数列中删除2项等价于该等差数列是由其中的项增加2项构成的， 把项按每相邻4项为一组分成组，共有个间隙， 若插入相邻2项，则有种方法；若插入不相邻项，则有种方法， 所以不同取法种数是. 故答案为： 4．将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ． 【答案】 14 49609 【详解】与的公共项为，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，35，…， 所以， 且每两个相邻的公共项之间有5项，分别求和， ，， ，…， 可以看到这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为， 所以的前202项和为． 故答案为：14，49600 5．已知数列的前项和为，且，，则 ． 【答案】0 【详解】因为，所以，所以数列为等差数列， 所以，所以，所以． 故答案为：0. 6．数列，都是等差数列，且，，.则数列的前2025项的和是 . 【答案】20250 【详解】因为数列和都是等差数列， 则与均为常数， 故为常数， 所以数列是等差数列， 又因为，，，则， 所以数列的前2025项和为 ， 故答案为：20250. 7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】正项等差数列中，，则， 则，即，数列是等差数列，充分性成立； 设等差数列的公差为，，则， 则有， 当时，，即从第二项起，数列为等差数列，公差为，要使得为等差数列，则还需满足， 即，解得，题目中并未给出相应条件，必要性不成立． 故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A 02 等差中项及其应用 8．若，a，1依次成等差数列，则（   ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 【答案】A 【详解】因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 9．在中，内角所对的边分别为.已知成等差数列，其中，若，设的面积为S，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为成等差数列，所以，又，所以， 则， 又因为，所以解得． 又因为，，且， 所以． 故选：B 10．已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知数列为等差数列， 则，解得， 故选：B. 11．已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】A 【详解】为等差数列，， 故选：A 12．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 【答案】C 【详解】由题意，， 在等差数列中，前项和为，若， ， ∴， 故选：C. 13．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】由题可得， 所以， 故选：C. 14．，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，解得， 依题意，存在使得成等差数列， 即存在使得， 即存在使得， 则， ， 设，则， 函数的开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递增， 则， 所以，而且，所以. 故选：B 03 等差数列及其前n项和的性质及应用 15．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．-4 B．-16 C．-32 D．-64 【答案】D 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得：，所以， 故选：D 16．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 【答案】D 【详解】设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列前项和公式， ，化简为， ，化简为， 联立解得，则． 故选：D． 17．已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 【答案】C 【详解】方法一：，当时，， 两式相减，得当时，， 的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为 当为奇数时，； 当为偶数时，. . 方法二： ， ， 故数列是以5为首项，4为公差的等差数列， . 故选：C 18．已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 【答案】D 【详解】由，可得，且，所以， 根据二次函数的对称性：，所以集合中元素的个数为， 故选：D． 19．已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 【答案】A 【详解】方法1：． 方法2：等差数列的前项和为， 因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 于是． 故选：A． 20．已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】①， 当时，1000，即； 当时，②． ①－②得，即． 故数列为首项是500，公比为的等比数列，则． ∴， ∵，因， 故当时，； 当时，， 即， ∴使取得最大值时的值为9． 故选：C． 21．设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差，则，故. 又因为数列为吉祥数列，所以为常数，不妨设， 则， 则，解得，所以. 故选：D 04 等差数列的单调性 22．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若递减，则 因此需要满足：且恒成立； 若，，则对所有成立， 若，，则存在使得，与矛盾 递减的充要条件是且， 即若递减，则为递增数列，充分性成立； 若为递增数列，则， ， 由于不知道的正负，故无法判断的正负， 故不能得到为递减数列，必要性不成立， 例如为以下数列：， 则为，不是递减数列， 所以“为递减数列”是“为递增数列”的充分也不必要条件. 故选：A. 23．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】因为为等差数列，， 所以等差数列的前8项为负数，从第9项开始为正数， 所以取得最小值时为8. 故选：A. 24．已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】由，则，可得，即， 所以，又，即为递减数列， 当，，当，，又， 所以使的最大值为10. 故选：B. 25．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 【答案】8 【详解】由已知数列为等差数列，则，又，所以， 所以，数列为递增数列， 则当时，，当时，， 所以当时，取得最小值. 故答案为：. 26．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 【答案】 【详解】，， 且，，故等差数列为递减数列，即公差为负数， ，且，，，所以数列中最小的项是第项. 故答案为：． 27．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 . 【答案】/ 【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称， 得， 两式相减得，所以， 由时，由，得； 由时，由，得； 又由，结合，， 所以成首项为，公差为的等差数列， 所以，且此等差数列为递增数列， 所以的中位数为：. 故答案为：. 28．写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式= . ①{}是递减数列；②对任意m，，都有. 【答案】（答案不唯一） 【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d， 由性质②可得： ，所以， 再根据①{}是递减数列，可知，取，则， 此时，满足题意. 故答案为：.（答案不唯一） 05 求等差数列中的最值 29．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 30．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 31．已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设， 令得， 所以当为正整数时，由等差数列的通项公式， 得． 由题意知， 解得． 故答案为：. 32．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得. 两式相减，可得，所以数列为等差数列. 因为，，所以，所以，， 则.令，则. 当时，，数列单调递减， 而，，， 所以数列中的最大项为1，故， 即实数的取值范围为. 故答案为: . 33．已知是等差数列的前n项和，且，下列四种说法中， ①； ②； ③数列的最大项为； ④. 正确的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】∵，∴， ∵，∴，∴，∴，①正确. ，故②正确. ∵，，， ∴中最大项为，③不正确. ∵，，， ∴，∴，④正确. 故正确的序号是①②④. 故答案为:①②④. 34．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由题意，可得， 所以，且， 又由等差数列的公差， 所以数列是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列的最大项为，是数列中的最小项，且， 所以数列中最大的项为，即第6项. 故选：C. 35．设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 【答案】C 【详解】因为，，所以，， 故，， 故，且， 可知等差数列的公差，且， 故，， 结合，可得：最小. 综上：的值为1010. 故选：C. 06 等差数列的证明 36．设数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数，设函数，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在数列中，， ， 即 是以为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）知数列是首项为3，公差为1的等差数列. ，即， 在中，， ， 当且时， ， ， 当时， . 37．已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析，； (3) 【详解】（1），，； （2），∴，， 即，又， ∴数列是等差数列，且该数列首项为，公差为， ∴，，∴． （3）① ①－②得：， ∴． 38．已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：将  两边同时除以，得，当 时， ， 所以  是以 1 为首项，为公差的等差数列． （2）由（1）得 ，则，① 当 时，，② －②，得  ，整理得，则 ， 也符合 ，所以 ． 39．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【详解】（1）依题意，，当时，得，则， 由，得，则，即， 当时，，于是，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）得， 则， 所以 . 40．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项和为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）依题意，， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，，则， 则， 于是得， 两式相减得 ， 所以. 41．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知，当时， ， 当时，不适合上式， 故 42．设数列满足 (1)证明：为等差数列并求； (2)设，求． (3)求 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， 所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1，所以，即， 在中，， 所以，所以， 当且时，两式相减得， 所以； 当时，； 当时，； 综上，； （3）当时， . 07 等差数列中的范围与恒成立问题 43．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意令， 显然为常数； 所以为等差数列，首项为， 由对任意的恒成立,可知数列为递减数列，且从第11项起开始小于等于0， 所以，即，解得， 故选：A 44．对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，， 当时，，时，由， 得， ，， 而满足，故对任意的，. 数列的前项和为 ， 对任意的恒成立，， 则，化简整理得， 即，则， 得到， 左右两侧同除化为， 当时，，， 当时恒成立，当时，，， 综上可得实数的取值范围为，故A正确． 故选：A． 45．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．是等差数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，在数列中，对于任意，，满足， 则，即，且， 因此数列不是等差数列，也不是等比数列，A B错误； 对于C，当时，，则， 因此，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 46．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设，则，又为等差数列，则其公差， 所以，故， 所以，而不等式恒成立， 所以，即实数的最小值为. 故选：B 47．已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D 48．定义：设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为“和公比”.已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设数列的公差为，， ∵是“和等比数列”，且，∴，， ∴故，解得或（舍）， ∴，， ∴，， 两式相减得， ∴， ∴， 若不等式对任意的恒成立， 则，化简得恒成立， 令，当时，， ∴，， ∴是递减数列，故在上单调递增， 当为奇数时，，解得， 当为偶数时，，解得， ∴的取值范围是. 故选：D. 49．在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，依题意，，即， 又，则，化简得，因为， 所以，解得，所以. 因此，. 当为偶数时，由，得，又， 所以对任意的偶数都成立， 因为单调递减，所以当时有最大值， 故； 当为奇数时，由，得，又， 所以对任意的奇数都成立， 因为单调递增，且当时，，故， 综上所述，. 故选：B. 08 等差数列的应用 50．“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还， 每期还款金额． ． 【答案】 【详解】设贷款本金为,还款期数为，利率为，第其还款金额， 由概念可得：， 故答案为： 51．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    【答案】2 【详解】设向外每层雕孔依次增加固定的数量为，所以每层雕孔数为等差数列， 所以由6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，得出，所以， 所以，所以，因为6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，所以或， 当时，，不合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不合题意； 故答案为：2. 52．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了 小时. 【答案】 【详解】因为每间隔分钟小时发出一辆车， 则最后一辆车出发的时间为时， 故最后一辆车行驶了小时. 故答案为：. 53．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片 块. 【答案】 【详解】设第层铺了块瓦片，为前项和， 由题意可得，且为公差为的等差数列， 则，. 故答案为：. 54．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为 ，春分时节的日影长为 尺. 【答案】 / 【详解】冬至､小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长构成等差数列，设公差为d，由题意得： ， 解得： 所以， 所以， 即春分时节的日影长为. 故答案为：. 55．“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有 项. 【答案】 【详解】由题意可知，既是的倍数，又是的倍数， 即，所以， 令，即，解得， 因为，所以， 故该数列共有项， 故答案为：. 56．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 【答案】120 【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 09 等差数列前n项和的最值 57．记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为，由，成等比数列，得，， 即，解得，即， 因此 所以当或时，有最小值. 故答案为： 58．已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是 . 【答案】 【详解】由于数列的前项和，是关于的开口向上的二次函数，并且当且仅当时，取得最小值， 则，可得，解得， 则的取值范围是. 故答案为：. 59．在数列中，若，前项和，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由数列中，因为，且， 可得，解得，所以， 则为的二次函数，对称轴为，故当或6时取得最大值， 又由，所以的最大值为. 故答案为：. 60．设等差数列的前n项和为，若，，则n＝ 时，有最小值为 ． 【答案】 4或5 －10 【详解】因为等差数列中，，，则d＝1， 所以， 根据二次函数的性质可知，当n＝4或5时，有最小值－10． 故答案为：4或5，－10． 61．在数列中，若，前项和，则的最大值为 ． 【答案】66 【详解】=21，解得，故，属于二次函数， 对称轴为，故当或时取得最大值， ，，， 故的最大值为66. 故答案为：66. 62．在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】5或6 【详解】因为数列是递减数列，所以. 又，是方程的两根，解得. 所以，解得或（舍去），得， 则， 则当或6时，最大． 63．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由是与的等比中项， 得，即， 即，又，所以， 所以， 所以， 所以当或时，取得最大值. 故答案为：. 10 等差数列前n项和的比值问题 64．设两个等差数列的前项和分别为，则 . 【答案】 【详解】因为数列为等差数列， ， ， 即. 故答案为：. 65．等差数列，的前项和分别为与，且，则 ． 【答案】 【详解】数列，均为等差数列，． ，， 根据等差数列前项和，可设， ， 对于数列，当时，， 当时，， 显然当时，也满足，故， 同理可得， 故． 故答案为：． 66．等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】在等差数列中，， 在等差数列中，同理，而， 所以． 故答案为： 67．已知等差数列的前n项和分别为，且，则 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，， 则. 故答案为： 68．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 【答案】 【详解】因为 为等差数列，所以 ． 故答案为：. 69．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则 ． 【答案】4 【详解】由题意知， 由， 所以， 故答案为：4 70．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 【答案】 【详解】因为，所以. 故答案为：. 11 等差数列的奇数项与偶数项和 71．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列的项奇数项之和为140，偶数项之和为120， 所以有， 故答案为： 72．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 【答案】2191 【详解】数列是以公差的等差数列; . ,数列是以公比的等比数列; . . 故答案为：2191. 73．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 74．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 75．已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数是（   ） ①；②当为奇数时，；③. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【详解】因为，故，即， 当时，，解得，故①正确； 当时，， ， 即，又，所以， 则数列的奇数项是以3为首项，6为公差的等差数列， 偶数项是以5为首项，6为公差的等差数列， 则当为偶数时，， 则当为奇数时，，故②正确； ，故③正确. 故选：D 76．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】A 【详解】设， 因为数列是等差数列，且公差，， 所以，解得， 所以. 故选：A. 77．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】项数为的中奇数项共有项, 其和为 项数为的中偶数项共有项, 其和为 所以解得 故选: A. 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)1 (3)存在， 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. （3）∵， ∴， 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 2．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，则有， 所以， 所以，又，所以， 所以， 所以； （2）令， 所以； （3）由已知有， 所以①， ②， 所以①②有：，解得， 由有，即，令， 所以， 所以当时，，即，所以当时，数列单调递减，又，所以， 所以. 3．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 【答案】 【详解】由条件可知，前20项有4个1，2的个数为个， 所以数列的前20项的和为； 前个1之间有个2， 所以个1和个2的个数为，令，满足条件的最大为， 当时，个数，第45个1后面有个2， 所以 故答案为：； 4．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 5．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）设首项为，公差为， 由题意得解得， 所以． （2）（ⅰ）由（1）知， 因为， 所以 ， 所以． 所以， 所以． （ⅱ）因为 ， 所以 ． 6．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 【答案】(1)，. (2) (3)最大值为1，最小值为. 【详解】（1）假设等差数列的公差为，由题意得，所以， 所以， . （2）当数列为等差数列时，由（1）知，显然在不单调； 当数列为等比数列时，假设公比为，，解得或， 当时，，易知在单调递增； 当时，，易知在不单调， 所以， 所以， . （3）当数列为等比数列时，由（2）知或， 又为摆动数列，所以，， 所以， 当为奇数时，单调递减，，当时取得最大值1， 当为偶数时，单调递增，，当时取得最小值， 所以的最大值为1，最小值为. 7．（2024·天津·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A．3032 B．3035 C．3038 D．3041 【答案】C 【详解】因为，所以， 两式相减得：， 令得， 所以，所以， 当时， . 故选：C. 8．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 9．（2025·天津·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【详解】令数列公差为，则，即，作差可得， 所以，则，故， 当得，当得，当得， 显然，当时，时，所以有最小值， 且，当或4时，有最大值. 故选：D 10．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【详解】设等差数列公差为，∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴． 故选：D． 11．（2024·天津北辰·模拟预测）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 【答案】 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 12．（2024·天津·模拟预测）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【详解】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 13．（2024·天津武清·模拟预测）在等差数列中，公差，若，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【详解】因为，可得， 所以，即， 又因为，所以. 故选：D． 14．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 【答案】(1)，； (2)证明见详解. 【详解】（1）记数列的公差为，数列的公比为，， 由题知，，解得，所以. 由，解得或（舍去），所以. （2）由（1）可知， 则， ， 两式相减得， 所以， 记，则， 所以单调递减，所以，且， 所以，即. 15．（2024·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（    ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 令， 得，即是中的第30项. 故选：C. 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列 目录 01 常考题型过关练 题型01 等差数列的判断 题型02 等差中项及其应用 题型03 等差数列及其前n项和的性质及应用 题型04 等差数列的单调性 题型05 求等差数列中的最值 题型06 等差数列的证明 题型07 等差数列中的范围与恒成立问题 题型08 等差数列的应用 题型09 等差数列前n项和的最值 题型10 等差数列前项和的比值问题 题型11 等差数列的奇数项与偶数项和 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等差数列的判断 1．在集合中任取3个不同的数，按照从小到大排列，则这三个数成等差数列的概率是 ． 2．在100~200之间的正整数中，所有能被3整除的数的和为 ； 3．设为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，每组的4个数都能构成等差数列，且公差与原数列的公差相同，则取法有 种．（用含的代数式作答） 4．将数列与中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列，则 ，的前202项和为 ． 5．已知数列的前项和为，且，，则 ． 6．数列，都是等差数列，且，，.则数列的前2025项的和是 . 7．记，分别为正项数列的前n项和与首项，设甲：是公差为的等差数列；乙：为等差数列，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 02 等差中项及其应用 8．若，a，1依次成等差数列，则（   ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 9．在中，内角所对的边分别为.已知成等差数列，其中，若，设的面积为S，则（   ） A． B． C． D． 10．已知等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知等差数列，，，则（   ） A． B．3 C．4 D． 12．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．21 B．23 C．28 D．30 13．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 14．，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 03 等差数列及其前n项和的性质及应用 15．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．-4 B．-16 C．-32 D．-64 16．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 17．已知数列的前项和为.若，则（    ） A．80 B．85 C．90 D．95 18．已知等差数列的公差不为0，设为其前项和，若，则集合中元素的个数为（    ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2013 19．已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 20．已知数列的前项和为，前项积为，若，则使取得最大值时的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 21．设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 04 等差数列的单调性 22．设是所有项都不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知等差数列的前n项和为，则取得最小值时，n的值为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 24．已知等差数列的前项和为且，则使的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 25．已知等差数列的前项和为，若，，则取得最小值时的值为 ． 26．已知等差数列的前项和是，则数列中最小的项为第 项. 27．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 . 28．写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式= . ①{}是递减数列；②对任意m，，都有. 05 求等差数列中的最值 29．已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 30．已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 31．已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 32．已知数列的前项和为，（），且，.若恒成立，则实数的取值范围为 . 33．已知是等差数列的前n项和，且，下列四种说法中， ①； ②； ③数列的最大项为； ④. 正确的序号是 ． 34．设等差数列的前项和为，满足，数列中最大的项为第（   ）项． A．4 B．5 C．6 D．7 35．设为等差数列的前n项和，且满足，，对任意正整数n，都有，则k的值为（    ） A．1008 B．1009 C．1010 D．1011 06 等差数列的证明 36．设数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)给定正整数，设函数，求． 37．已知数列满足，且． (1)求的值； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式； (3)求数列的前项和． 38．已知数列的前项和为，，，且. (1)证明：数列是等差数列. (2)求的通项公式. 39．已知正项数列的前n项之积为，且. (1)求证：数列是等差数列； (2)设，求的前2n项和. 40．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项和为，求． 41．若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式 42．设数列满足 (1)证明：为等差数列并求； (2)设，求． (3)求 07 等差数列中的范围与恒成立问题 43．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44．对于数列，定义为数列的 “优值”.已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 45．已知数列的前项和为，，，且对于任意，，恒成立，则下列说法正确的是（   ） A．是等差数列 B．是等比数列 C． D． 46．已知数列是等差数列，，且，，数列的前n项和为，若不等式恒成立，则实数的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 47．已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．定义：设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为“和公比”.已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 49．在等比数列中，，，，成等差数列.若，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 08 等差数列的应用 50．“等额本金还款法”是将本金平均分配到每一期进行偿还， 每期还款金额． ． 51．鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层空心球.最内层的空心球上有2个雕孔，向外每层雕孔依次增加固定的数量.制作3个层数分别为3，6，m的鬼工球，其中6层的鬼工球比3层的鬼工球多出30个雕孔，3个鬼工球之间的雕孔数相差最多为36，则 .    52．一支车队有辆车，某天下午车队依次出发执行运输任务，第一辆车于时出发，以后每间隔分钟发出一辆车.假设所有的司机都连续开车，并都在时停下来休息，则截止到时，最后一辆车行驶了 小时. 53．一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺了瓦片10块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了瓦片20层，共铺瓦片 块. 54．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，前三个节气日影长之和为28.5尺，最后三个节气日影长之和为1.5尺，则该数列的公差为 ，春分时节的日影长为 尺. 55．“物不知数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”此即著名的“孙子问题”，最早载于《孙子算经》，研究的是整除与同余的问题.现有这样一个问题：将到这个数中，被除余且被除余的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有 项. 56．《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 . 09 等差数列前n项和的最值 57．记为公差不为0的等差数列的前n项和，已知，且，，成等比数列，则的最小值为 . 58．已知数列的前项和，当且仅当时，取得最小值，那么的取值范围是 . 59．在数列中，若，前项和，则的最大值为 . 60．设等差数列的前n项和为，若，，则n＝ 时，有最小值为 ． 61．在数列中，若，前项和，则的最大值为 ． 62．在递减等比数列中，，是方程的两根，若数列前项积为，则当取得最大值时，的值为 ． 63．已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为 . 10 等差数列前n项和的比值问题 64．设两个等差数列的前项和分别为，则 . 65．等差数列，的前项和分别为与，且，则 ． 66．等差数列，的前n项和分别为，，已知，则的值为 ． 67．已知等差数列的前n项和分别为，且，则 . 68．设两个等差数列的前项和分别为，若对任意正整数都有，则的值为 . 69．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则 ． 70．设等差数列的前项和分别为，若，则 . 11 等差数列的奇数项与偶数项和 71．已知等差数列的项数为，其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则数列的项数是 . 72．数列满足：，数列的前项和记为，则 ． 73．等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 74．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 75．已知正项数列前项和为，首项且，则以下说法中正确的个数是（   ） ①；②当为奇数时，；③. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 76．设为等差数列的前项和.若公差，且，则的值为（    ） A．60 B．70 C．75 D．85 77．已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则(    ) A． B． C． D． 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 2．（2025·天津·二模）已知等差数列和等比数列满足：，，， (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)已知，数列的前项和，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 3．（2025·天津·二模）数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：.记数列的前项和为，则 ： . 4．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 5．（2025·天津南开·二模）已知等差数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)记，其中为二项式系数． （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）求． 6．（2025·天津河西·二模）已知数列为等差数列或等比数列，前项和为，且满足，. (1)当数列为等差数列时，求的通项公式及； (2)当在单调递增时，设，求的值； (3)当数列为等比数列且为摆动数列时，设，求的最大值和最小值. 7．（2024·天津·模拟预测）已知数列对任意满足，则（    ） A．3032 B．3035 C．3038 D．3041 8．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·天津·模拟预测）设等差数列的前项和是，前项积是，若，，则（    ） A．无最大值，无最小值 B．有最大值，无最小值 C．无最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 10．（2024·天津滨海新·三模）已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 11．（2024·天津北辰·模拟预测）在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则 . 12．（2024·天津·模拟预测）已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 13．（2024·天津武清·模拟预测）在等差数列中，公差，若，则（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 14．（2024·天津·模拟预测）数列是等差数列，其前n项和为，数列是等比数列，，，，，． (1)求数列、的通项公式； (2)的前n项和，求证：． 15．（2024·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（    ） A．第28项 B．第29项 C．第30项 D．第32项 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$