重难点培优03 数列求和（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 数列求和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 公式法简单求和（★★） 6 题型二 分组转化求和法（★★★） 7 题型三 裂项相消法（★★★★） 8 题型四 错位相减法（★★★★）................................................................................................................11 题型五 倒序相加法（★★★★）................................................................................................................13 题型六 并项求和（★★★★）....................................................................................................................15 题型七 分段数列求和（★★★★）............................................................................................................16 03 实战检测・分层突破验成效 17 检测Ⅰ组 重难知识巩固 17 检测Ⅱ组 创新能力提升 21 一、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、分组转化求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 三、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 四、错位相减法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 五、倒序相加法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 六、并项求和 两两并项或者四四并项 七、分段数列求和 （1）分奇偶各自新数列求和 （2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 题型一 公式法简单求和 【技巧通法·提分快招】 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解． 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 . 2．（2025·天津江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ． 3．（2025·天津·模拟预测）在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为． ①有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和 ． ② ． 4．（2025·天津·二模）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 5．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 . 6．（2025·天津·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为 ． 7．（2025·天津·三模）已知等差数列的前n项和为，则 ． 8．（2025·天津·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 9．（2025·天津·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 10．（2025·天津·模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 题型二 分组转化求和法 【技巧通法·提分快招】 分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． 分组转化法求和的常见类型 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 2．（2025·天津··模拟预测）已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津··模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 4．（2025·天津·期中）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 5．（2025·天津··二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 6．（2025·天津·期末）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 7．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 8．（2025·天津··一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 9．（2025·天津·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 10．（2025·天津··三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 题型三 裂项相消法 【技巧通法·提分快招】 1、基本步骤 2、裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 1．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·天津·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·二模）设无穷数列的前n项和为，定义，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 7．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 8．（2024·天津·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 9．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 10．（2025·天津·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 题型四 错位相减法 【技巧通法·提分快招】 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 1．（2025·天津·模拟预测）有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量表示摸球的次数，记，则大于的最小整数为 . 2．（2025·天津·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则 ． 3．（2025·天津滨海新·期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. （1）第层的货物的价格为 万元： （2）若这堆货物总价是万元，则的值为 . 4．（2024·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则数列的则前项和 . 5．（2024·天津·模拟预测）已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ． 6．（2025·天津南开·期末）数列 满足，则 . 7．（2023·全国·模拟预测）某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：第一次1件货物，下一层比上一层多1件货物．已知最底下一层货物单价1万元，上面一层货物的单价比下面一层货物的单价多．若一共堆放层，则第层的货物的价格为 万元，这堆货物总价为 万元． 8．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 9．（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 10．（2025·天津·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 题型五 倒序相加法 【技巧通法·提分快招】 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 1．（2025·天津·开学考试）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 2．（2024·天津·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 3．（2024·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 4．（2024·全国·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 6．（2025·天津·调研）已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 7．（2024·天津·二模）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2020 D．2021 8．（2025·天津·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 9．（2024·天津·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 10．（2025·天津·开学考试）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 . 题型六 并项求和 【技巧通法·提分快招】 两两并项或者四四并项 1．（2025·山东·一模）若数列满足，，则的前2025项的和为 ． 2．（2025·天津·三模）数列满足，则的前100项和 ． 3．（2025·天津·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 4．（2024·天津·模拟预测）已知数列满足，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为，则写错的是数列中第 项. 5．（2024·天津·模拟预测）设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 6．（2024·天津·模拟预测）已知数列满足，若，则的前20项和 ． 7．（2024·天津·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ． 8．（2024·天津·二模）已知数列的通项公式为为其前项和，.则 ， . 9．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，则数列的前100项的和 . 10．（2025·天津·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 题型七 分段数列求和 【技巧通法·提分快招】 1、分奇偶各自新数列求和 2、要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 2．（2025·天津·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 3．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 5．（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 6．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若，则 ． 7．（2024·天津·模拟预测）已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 8．（2024·天津·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 9．（2024·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 10．（2024·天津红桥·二模）在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， . 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 6．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，其中，求数列的前项和为； (3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：. 7．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 8．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 9．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 10．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 11．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中．记，． （i）证明：是等差数列； （ii）求． 12．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 13．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 14．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 15．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 2．（2023·天津和平·三模）等差数列的前项和为，（且），． (1)求的通项公式与前项和； (2)记，当，时，试比较与的大小； (3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与． 3．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 4．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 5．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优03 数列求和 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 6 题型一 公式法简单求和（★★） 6 题型二 分组转化求和法（★★★） 11 题型三 裂项相消法（★★★★） 17 题型四 错位相减法（★★★★）................................................................................................................24 题型五 倒序相加法（★★★★）................................................................................................................34 题型六 并项求和（★★★★）....................................................................................................................40 题型七 分段数列求和（★★★★）............................................................................................................45 03 实战检测・分层突破验成效 53 检测Ⅰ组 重难知识巩固 53 检测Ⅱ组 创新能力提升 75 一、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 二、分组转化求和法： 一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． （1）分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． （2）分组转化法求和的常见类型 三、裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项和． 常见的裂项技巧 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （5） （6），设，易得， 于是 （7） 常见放缩公式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10） ； （11） ； （12）； （13）． （14）． 四、错位相减法 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 五、倒序相加法 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 六、并项求和 两两并项或者四四并项 七、分段数列求和 （1）分奇偶各自新数列求和 （2）要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 题型一 公式法简单求和 【技巧通法·提分快招】 针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解． 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式以及等差数列的性质可得，即可求解公比，进而可求解. 【详解】由可得，所以， 故，则， 故， 故答案为： 2．（2025·天津江西新余·模拟预测）设，函数表示不超过的最大整数．若正项数列中，，且当时，，为其前项和，则 ． 【答案】198 【分析】由题知，继而可得，利用放缩法，结合裂项相消法可得即可求. 【详解】由于当时，，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，即．又， 即， 所以． 由于， 则， ， 所以， 又由于， 所以，故． 故答案为：198. 3．（2025·天津·模拟预测）在一组互不相同的有序数组中定义：在的右边比其大的数的个数称为的“顺序数”，在的右边比其小的数的个数称为的“逆序数”，我们把有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和记为． ①有序数组的所有元素的“顺序数”与“逆序数”之和 ． ② ． 【答案】 10 【分析】①按照“顺序数”和“逆序数”的定义依次找出即可；②根据的顺序数+逆序数，求出，再利用裂项相消即可. 【详解】①对于有序数组， 3的顺序数为2，逆序数为2；5的顺序数为1，逆序数为2； 7的顺序数为0，逆序数为2；2的顺序数为0，逆序数为1； 故； ②对于有序数组，易知后由个数， 所以的顺序数+逆序数， 所以， 所以， 所以． 故答案为：10；． 4．（2025·天津·二模）已知数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】因式分解后可得，则可得数列为等差数列，再利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】因为， 化简可得， 则，即， 所以数列为等差数列，所以， 所以，所以． 故答案为：. 5．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且为等差数列，若，则 . 【答案】 【分析】根据可得公差，进而求出的通项公式可得，再利用求出通项公式，可得答案. 【详解】因为即，故， 设的公差为，则，解得，又， 所以，， 时，， 所以. 故答案为：. 6．（2025·天津·模拟预测）数列满足，，且，令，则数列的前项和为 ． 【答案】 【分析】根据可求证数列是等差数列，再利用等差数列的前项和公式计算即可. 【详解】由题意可知，则，故， 由得，，即， 故数列是以为首项，以为公差的等差数列， 故，则， 所以数列的前项和为． 故答案为： 7．（2025·天津·三模）已知等差数列的前n项和为，则 ． 【答案】8 【分析】设公差为，根据条件得到方程，求出公差，利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】设公差为，则， 故， 又，故， . 故答案为：8. 8．（2025·天津·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值. 【详解】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 9．（2025·天津·二模）等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则 . 【答案】15 【分析】先由等比数列的性质求出，再由等差中项的性质求出，然后计算公比和，再利用等比数列的公式法求和即可. 【详解】由题意可得，解得， 因为与的等差中项为，所以，则， 得到，解得，故， 由等比数列求和公式得. 故答案为：15. 10．（2025·天津·模拟预测）已知递增等比数列的前项和为，若，则 ．（请用数字作答） 【答案】63 【分析】根据已知条件和等比数列的通项公式求出首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求出. 【详解】数列为等比数列，设公比为， 因为，所以， 化简得， 解得或者. 因为数列为递增的等比数列，所以， 所以，将代入方程中解得. 所以. 故答案为：63. 题型二 分组转化求和法 【技巧通法·提分快招】 分组转化求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和． 分组转化法求和的常见类型 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的前2026项的和为（   ） A．1013 B．1014 C．2026 D．2028 【答案】C 【分析】先根据等差数列的性质求出数列的通项公式，再分析数列的规律，进而求出其前2026项的和. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则由，得 化简得，解得，， 又，故数列的通项公式为， 设数列的前项和为， 则， ， 从到共项，两两一组，可分为组， . 故选：. 2．（2025·天津··模拟预测）已知平面向量，.若，则数列的前100项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助可得，再利用等比数列求和公式与等差数列求和公式计算即可得解. 【详解】由，则有， 即，则 . 故选：A. 3．（2025·天津··模拟预测）若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【分析】先求出的公比，再求出的通项，故可求的前8项和. 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以，则， 故数列的前8项和为. 故选：C. 4．（2025·天津·期中）已知等差数列的前项和为．若表示不超过的最大整数，则（    ） A．101 B．100 C．99 D．98 【答案】A 【分析】首先根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而可求出该等差数列的通项公式和前项和，然后求出的表达式，最后判断的值. 【详解】因为数列是等差数列，所以由 可得解得， 故． 根据设问所求，可知， 故当时，， 当时，， 所以． 故选：A. 5．（2025·天津··二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 6．（2025·天津·期末）已知数列满足，且，则使不等式成立的的最大值为（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】B 【分析】利用取倒数法并构造新数列求其通项公式，再由等比数列求和公式结合数列的单调性解不等式即可. 【详解】由，可得， 易知，两侧同时除，可得，整理得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 则， 故， 故， 易知单调递增，，所以. 故选：B 7．（2025·全国·模拟预测）设数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系化简题设可得数列是首项为2，公比为3的等比数列，进而求解即可； （2）先求得，利用裂项相消法及分组求和法求和即可. 【详解】（1）令，则，即， 又①，②， ②-①得，则， 所以数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以． （2）由（1）知，数列是首项为2，公比为3的等比数列，且， 则， 则， 所以， 即． 8．（2025·天津··一模）在公差不为0的等差数列中，已知，，成等比数列， (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立方程组，求得的值，即可求得数列的通项公式； （2）由（1）得，求得的表达式，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为，所以，即，即 又因为成等比数列，所以，即，即， 联立方程组，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）解：由（1）知，，所以， 因为，即， 可得， ， 所以，所以数列的前2n项的和为． 9．（2025·天津·期末）数列中，，满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列的定义即可证明； （2）由题意，由等差、等比数列求和公式以及分组求和法即可求解. 【详解】（1）由，得，又， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得（，. 所以 . 10．（2025·天津··三模）已知数列满足，且对任意的，都有. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列表示不超过的最大整数，求的前350项和. 【答案】(1) (2)681 【分析】（1）利用已知递推公式变形，再结合等差数列的性质可得； （2）先分析的整数部分， 再分区间求和可得. 【详解】（1）由可得， 又，所以，即是以3为公差的等差数列， 又，得，， 所以，解得，故， 所以. （2）由（1）可得， 又 所以， 所以. 题型三 裂项相消法 【技巧通法·提分快招】 1、基本步骤 2、裂项原则 一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． 3、消项规律 消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 1．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足：，，令，数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，求出的值，当时，由可得，两式作差得出，利用累乘法可求出在时的表达式，结合裂项相消法可求出的值. 【详解】因为数列满足：，， 当时，， 当时，由可得， 两个等式作差得，所以，可得， 当时，，满足， 故当时，， 所以 ， 因此，. 故选：B. 2．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关系求出，再用裂项相消计算即可. 【详解】，则，则，， 而时，满足，故对，， 故. 故选：B. 3．（2025·天津·模拟预测）已知函数为函数的正零点，若（表示不超过的最大整数），则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的性质可得正零点在区间上，即可得到，再由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【详解】是关于的二次函数，其对称轴为， 因为，且在区间上单调递增， 所以正零点一定在区间上， 又因为， 所以，所以， 则，故. 故选：A． 4．（2025·天津·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由得，，得到等差数列，求出，则，得到，再裂项求和即可. 【详解】由得，，所以， 则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则， 所以， 所以， 故选：C． 5．（2025·天津·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列通项公式可得，再利用裂项求和即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为， 依题意可得，解得； 所以可得，因此， 所以 . 故选：D 6．（2025·天津·二模）设无穷数列的前n项和为，定义，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时，则 D．当时， 【答案】D 【分析】根据选项不同的通项公式，求出与，逐一验证即可. 【详解】对于A选项：当时，，不正确； 对于B选项：当时，在为奇数时为1，偶数时为0，故，不正确； 对于C选项：当时，， 又，所以 ，不正确； 对于D选项：当时，， ，正确， 故选：D. 7．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，，两式相减可得，从而求出的通项公式； （2）设数列的公差为，结合已知条件可得：，所以，利用裂项相消及不等式的性质求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 两式相减可得， 即，则， 由，可得， 所以当时，，即， 因为不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）设数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，整理得， 解得或， 因为，所以，又因为，所以数列的通项公式为. 可得 综上可得，对于任意，都有. 8．（2024·天津·模拟预测）记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据之间的关系计算； （2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； （2）由（1）可知：， 所以， 所以， 则. 9．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为． (1)求的通项公式； (2)若，且，求数列的通项公式； (3)在（2）的条件下，若，求的前项和． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由可得，， 以上两式相减可得，即， 因为，所以，即是公差为1的等差数列，从而， 由，所以是公差为1的等差数列，从而， 所以. （2）因为，所以， 因为，所以为常数列，即. （3），所以， 所以. 10．（2025·天津·模拟预测）在数列中，，对于，，，成等差数列，其公差为． (1)判断是否成等比数列？并说明理由； (2)证明：，，成等比数列； (3)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)成等比数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，令，和，依次求出，利用等比数列定义判断即可； （2）由，，成公差为的等差数列，得，即可利用累加法求出，从而可得，，，再利用等比数列定义判断即可； （3）当为奇数时，，，当为偶数时，，，利用放缩法求出数列的前项和为，即可证明. 【详解】（1）当时，成公差为1的等差数列， 则，； 当时，成公差为2的等差数列，则，； 当时，成公差为3的等差数列，则． 所以，，从而，故成等比数列. （2）由，，成公差为的等差数列，得， 可得：，，，，， 累加得 因为，，成公差为的等差数列，所以， ，又因为，，成公差为的等差数列， 所以， 所以，得，，成等比数列． （3）由，由（2）知： 当为奇数时，，， 当为偶数时，，， 故，且对一切正整数，有， 时， ， 综上，． 题型四 错位相减法 【技巧通法·提分快招】 错位相减法求数列的前n项和 （1）适用条件 若是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和． （2）基本步骤 （3）注意事项 ①在写出与的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出； ②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号． 等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 1．（2025·天津·模拟预测）有一个摸球游戏，一个不透明口袋中装有1个红球和3个白球，这些球除颜色外其他完全相同，为了增加游戏的趣味性，需先抛掷一枚质地均匀的骰子来确定摸球方式.若抛掷骰子得到的点数大于2，则一次摸出一个球，否则一次摸出2个球.摸到红球就算中奖，游戏结束.若未中奖，需要把摸到的球放回口袋，重复上述过程.用随机变量表示摸球的次数，记，则大于的最小整数为 . 【答案】3 【分析】首先计算出每次摸到红球的概率为，再写出，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可. 【详解】设每次摸到红球的概率为，则． 由题意，知的可能取值为， 则． 设①， 则②， ①②得, 所以，所以， 所以大于的最小整数为3． 故答案为：3． 2．（2025·天津·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则 ． 【答案】 【分析】由题意以及等比数列的定义，可得数列的通项，根据等差数列的定义，可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】因为，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， ， ， 则 ， 所以. 故答案为：. 3．（2025·天津滨海新·期末）“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世态丰富和发展的一类数列求和方法，有菱草垛、方垛、三角垛等等.某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件.已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. （1）第层的货物的价格为 万元： （2）若这堆货物总价是万元，则的值为 . 【答案】 【分析】利用等比数列来求通项即可；利用错位相减法来求和，最后可求解的值. 【详解】①由第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件. 已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的. 可知货物单价组成一个等比数列，首项为，公比为， 所以（万元）， 即第层的货物的价格为（万元； ②根据每一层的单价和件数可得每一层的总价为 所以总价 上面两式相减得： 整理得： 即（万元） 由于这堆货物总价是万元，所以， 故答案为：；. 4．（2024·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且，则数列的则前项和 . 【答案】 【分析】根据作差得到，再求出，即可求出的通项公式，再利用错位相减法求和. 【详解】由，得， 所以，化简得， 又当时，，解得， 所以数列是等比数列，且公比，首项， 所以， 所以， 故①， 把①得：②， ①②得：③， ③得：④， ③④得： . 故答案为：. 5．（2024·天津·模拟预测）已知数列为公差不为0的等差数列，，且成等比数列，设表示不超过的最大整数，如，记为数列的前项和，则 ． 【答案】573 【分析】求出通项公式和第100项，进而求出数列的通项公式和前项和公式，利用错位相减法即可得出的值. 【详解】解析：由数列是等差数列，设其公差为，因为成等比数列， 所以，即，解得或（舍去）， 所以，则． 当时，， 即，共有个， 因为，所以 ， 令，则， 两式相减得，则， 所以， 故答案为：573. 6．（2025·天津南开·期末）数列 满足，则 . 【答案】 【分析】由累乘法求出，再由错位相减法求出数列 的前项和为，即可求出，代入求解即可. 【详解】由可得：， 当时， ，，，……，， 所以上述式子相乘可得：，所以， 令，，所以满足，所以. 设数列 的前项和为， ①， ②， ①减②可得： 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 7．（2023·全国·模拟预测）某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：第一次1件货物，下一层比上一层多1件货物．已知最底下一层货物单价1万元，上面一层货物的单价比下面一层货物的单价多．若一共堆放层，则第层的货物的价格为 万元，这堆货物总价为 万元． 【答案】 【分析】利用错位相减法求和即可. 【详解】由题意可得第层货物的单价为万元， 故第层的货物的价格为万元， 则这堆货物总价为①, 则②, 由②－①可得: ， . 故答案为：； 8．（2025·全国·模拟预测）已知等差数列满足，且，，为等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，则，.根据题意利用基本量法列出方程组，解出公差与首项即可求解； （2）由（1）知，故，利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，. ∵，∴，即. ∵，，为等比数列，∴， 即，即，解得或. 当时，不符合题意，故舍去. ∴，，∴，. （2）由（1）知，∴， ∴， ， 将两式左右两边分别相减得， 即， 化简得. 9．（2025·全国·模拟预测）已知正项等比数列的前项和为，，.若，且数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)若对一切恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求值即可. （2）利用错位相减法求和. （3）分析数列的单调性，求的最大值，再解二次不等式即可. 【详解】（1）对数列，设公比为，由题意，因为，所以. 又. 所以. （2）由. 所以. 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. （3）由. 所以数列从第2项开始，单调递减. 所以. 由或. 所以实数的取值范围是：. 10．（2025·天津·一模）记为数列的前项和，已知，且. (1)求，，； (2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分） ①是等比数列；②是等比数列. (3)记为数列的前项和，求. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）分别令，可计算出结果； （2）选①依题意得到，然后变形可得；选②依题意（3）得到当时，，然后得到，变形即可； 选择①、②由（2）可知，然后使用错位相减法求和. 【详解】（1）（1）令，得.又，所以. . 令，得.又，所以. 故. （2）若选择①：由已知，得. 故，所以，. 故是首项和公比均为2的等比数列. 若选择②：由已知，.故当时，. 两式相减，得. 化简并整理，得（，且）. 又，，所以. 故是以1为首项，2为公比等比数列. （3）若选择①：由（2）知，，故. 若选择②：由（2）知，，故. 所以. 所以. 则. 两式错位相减，得. 所以， 题型五 倒序相加法 【技巧通法·提分快招】 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此方法）． 1．（2025·天津·开学考试）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 2．（2024·天津·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可. 【详解】， 即 设①， 则② ①+②得 ， 所以， 又， 所以. 故选：D. 3．（2024·全国·模拟预测）对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若，请你根据这一发现计算：（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】根据题意求出函数的对称中心为，可得出，用倒序相加法即可求解. 【详解】由题意可知，所以，令，则， 所以，由题意可知函数的对称中心为， 所以，即， 所以， 所以 ， 所以. 故选：C 4．（2024·全国·模拟预测）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，在数论､代数学､非欧几何､复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献.我们高中阶段也学习过很多高斯的数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法等等.已知某数列的通项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后可得，再利用倒序相加法，即可求解． 【详解】当时，， ， ， ， ， ，即. 故选：D． 5．（2023·天津·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项，则（    ） A．98 B．99 C．100 D．101 【答案】C 【分析】观察要求解的式子，根据给的数列的通项公式，计算是否为定值，然后利用倒序相加的方法求解即可. 【详解】由已知，数列通项，所以， 所以， 所以. 故选：C. 6．（2025·天津·调研）已知函数，数列满足，则（    ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4046 【答案】A 【分析】先求得，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】∵， ∴． ∵， ∴．令， 则，两式相加得， ∴． 故选:A 7．（2024·天津·二模）已知函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2020 D．2021 【答案】C 【分析】设，得到，再利用倒序相加求和得解. 【详解】解：函数，设，则有， 所以， 所以当时，， 令， 所以， 故． 故选：C 8．（2025·天津·二模）设数列是等比数列，，公比q是的展开式中的第二项（按x的降幂排列），且为的前n项和，若，则 .（用含n和x的式子表达） 【答案】 【分析】由排列组合数的性质可得，进而有，再根据二项式定理求得，且，讨论、并结合二项式展开式的应用求. 【详解】由题设，可得，故，则， 由的展开式通项为，， 所以其第二项为，故，且， 当时，，则， 即，故， 所以； 当时，，则 ， 所以. 故答案为： 9．（2024·天津·一模）设函数是的导函数，函数是的导函数，经过研究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足.已知函数，当函数图象的对称中心为时， ，当函数图象的对称中心为时， . 【答案】 【分析】根据三次函数的图象都有对称中心，且，可求出，函数图象的对称中心为，即，可得，利用倒序相加法即可求解. 【详解】因为，且图象的对称中心为， 所以，解得， 而，解得； 因为函数图象的对称中心为，即， 所以， 同理 设① ② 由①+②得，所以. 故答案为：；. 10．（2025·天津·开学考试）设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数都有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则 . 【答案】8 【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点对称，即，即可得到结论． 【详解】， ， ， 令，解得：， 而， 故函数关于点对称， ， ， ，， ， 同理可得，，， ， 故答案为：8. 题型六 并项求和 【技巧通法·提分快招】 两两并项或者四四并项 1．（2025·山东·一模）若数列满足，，则的前2025项的和为 ． 【答案】1013 【分析】利用分组并项求和，对为偶数时进行分组计算即可. 【详解】易知当为偶数时，可得，即； 所以可知的前2025项的和. 故答案为：1013 2．（2025·天津·三模）数列满足，则的前100项和 ． 【答案】 【分析】根据题意得当为偶数时，当为奇数时，进而求得奇数项与偶数项的和即可求解. 【详解】， ①当为偶数时， ，，， ，， … ， . ②当为奇数时， ，， ， ，，…，， ， 故答案为： 3．（2025·天津·期中）已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，设，数列的前项的和为，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列定义以及等比中项性质列方程组计算可得，求出数列的通项公式，再利用分组求和计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，成等比数列可得，即， 整理可得，又，解得， 所以，因此； 易知， 因此可得. 故答案为： 4．（2024·天津·模拟预测）已知数列满足，其前100项中某项正负号写错，得前100项和为，则写错的是数列中第 项. 【答案】38 【分析】计算正确的前100项和，与算错前100项和比较，可得写错的项， 后由通项公式可得答案. 【详解】，设写错项为x，则其前100项和为 . 即，某项正负号写错后得前100项和为，则 又. 故写错的数为75，令，解得.故写错的是数列中第38项. 故答案为：38 5．（2024·天津·模拟预测）设为数列的前项和，，，则 （1） ； （2） . 【答案】 / / 【分析】（1）令解方程即可求解；（2）分为奇数和偶数两种情况即可求解. 【详解】（1）令，所以， 所以，（2）因为， 所以， 当为偶数时，可得， 所以，当为奇数时，可得， 所以， 所以. 故答案为：；. 6．（2024·天津·模拟预测）已知数列满足，若，则的前20项和 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按奇偶讨论求出，再分组求的即得. 【详解】数列满足：， 当为正奇数时，，即数列是以为首项，为公差的等差数列， 于是， 当为正偶数时，，即， 则数列是以为首项，为公差的等差数列，于是， 所以的前20项和. 故答案为： 7．（2024·天津·二模）已知数列的通项公式为，为其前项和，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合并项求和，即可求解. 【详解】由题意，数列的通项公式为， 可得 . 故答案为：. 8．（2024·天津·二模）已知数列的通项公式为为其前项和，.则 ， . 【答案】 【分析】根据数列的通项公式利用分组求和可得，利用等比数列前项和公式即可得出结果. 【详解】因为， 所以； 所以 . 故答案为：； 9．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，则数列的前100项的和 . 【答案】5000 【分析】当为奇数时，，可得，，进而可求得结果. 【详解】∵，∴，，，… ∴，，，…，， ∴. 故答案为：5000. 10．（2025·天津·三模）已知数列满足，且是关于的方程的两个根． (1)求； (2)设，求数列的前21项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由韦达定理和等差数列的定义即可求解； （2）由分组求和法、裂项相消即可求解. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个根， 所以． 所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列． 因此． （2）由（1）知，对于方程， 由韦达定理得，即． 所以 ． 所以 ． 题型七 分段数列求和 【技巧通法·提分快招】 1、分奇偶各自新数列求和 2、要注意处理好奇偶数列对应的项：①可构建新数列；②可“跳项”求和 1．（2025·天津·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前项和为，求满足的的最小值； (3)若数列满足：，求数列的前14项和． 【答案】(1)； (2)8 (3) 【分析】（1）求等差数列的基本量即可求解； （2）令，利用裂项相消法即可求解； （3）由题意先求数列，利用分组求和即可求解. 【详解】（1）设公差为，所以， 所以，， （2）令， 所以， 所以，解得，所以满足的n的最小值为8； （3）由题意有，由， 所以当时，，所以， 当，时，，所以， 当时，，所以，当时，，所以， 同理得，， 设数列的前项和为， 所以 ， 所以数列的前14项和为. 2．（2025·天津·模拟预测）若数列和满足：，，且 (1)设，证明：是等比数列； (2)设，试求的前n项和． 【答案】(1)证明见详见 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明即可； （2）求数列和的通项，进而可得的表达式，分类讨论，结合等比数列的前n项和即可求解. 【详解】（1）， ， 又 构成以为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）可知， ， 又 构成以为首项，为公比的等比数列 ， ， ∴当为偶数时， 当为奇数时， 所以 3．（2025·天津·模拟预测）已知数列满足， (1)记，求，，并证明数列是等比数列； (2)记，求满足的所有正整数的值. 【答案】(1)，，证明见解析 (2)1，2，3，4. 【分析】（1）利用递推关系来证明等比数列即可； （2）利用通项公式可求等比数列前项和，然后通过赋值结合单调性可作出判断. 【详解】（1）由题意，，，， 所以，， 又因为， 所以数列是首项为5，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以， 因为单调递增， 且， 所以正整数的所有取值为1，2，3，4. 4．（2025·天津·一模）已知等差数列满足，记数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的每相邻两项间插入这两项的和，而形成新的数列，这样的过程叫做该数列的一阶“H拓展”．例如，对于数列，一阶“H拓展”得到数列；二阶“H拓展”得到数列；……设n阶“H拓展”得到数列，设，则，． （i）求数列的通项公式； （ii）设数列满足求数列的前项和． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设数列的公差为，根据列方程组可求数列的通项公式 （2）（i）根据，可得，构造等比数列可求数列的通项公式； （ii）当为奇数时，利用错位相减法求和；当为偶数时，利用裂项相消法求和，然后再将奇数项和与偶数项和相加即可得到数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公差为， 因为， 则解得 故. （2）(ⅰ)， ， 所以， 即. 又， 则是首项为12，公比为的等比数列. . (ⅱ)当为奇数时，， 记， 则， ， 两式相减，得 ， 化简，得， 得； 为偶数时， 记， 则 . 故 . 5．（2025·天津·模拟预测）已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，. (1)求，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，进而可求得，； （2）由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可求解． 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由，，，， 可得，解得：（负的舍去）， 则， （2） ∴ . 6．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且，若，则 ． 【答案】25 【分析】由已知列举的前9项，得出其规律，再计算即可. 【详解】当时，，，，，，，，，， 则数列从第6项开始，数列为周期为3的周期数列，一个周期三项的和为7． 因为；所以，由，，得， 所以，所以． 故答案为：25． 7．（2024·天津·模拟预测）已知数列是等差数列，记，分别为，的前n项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件得到关于、的二元一次方程组，解方程组，求出、，即可求出数列的通项公式，，由此可得数列的通项公式，分组求和即可求解. 【详解】设等差数列的公差为．由，得①， 由得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 所以 ． 故答案为：. 8．（2024·天津·一模）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释我国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．已知大衍数列满足，，则 ，数列的前50项和为 ． 【答案】 50 650 【分析】当时，，当时，，可推出，利用累加法可得，从而求得即可求解，根据，即可求解. 【详解】当时，①，当时，②， 由①②可得，， 所以， 累加可得，， 所以， 令且为奇数)，，当时，成立， 所以当为奇数，， 当为奇数，， 所以当为偶数，， 所以 故； 根据 所以的前项的和． 故答案为：； 9．（2024·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，记，即可得到，从而求出的通项公式，再由分组求和法计算可得. 【详解】因为， 所以，，且， 所以， 记，则，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 记的前项和为， 则 . 故答案为： 10．（2024·天津红桥·二模）在中，三边，，所对应的角分别是，，，已知，，成等比数列.若，数列满足前项和为， . 【答案】 【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出B，再分奇偶求出，分组求和即可得解. 【详解】因为，，成等比数列，所以，即, 又，所以，即， 由知，所以， ，为偶数， ，为奇数， 所以 . 故答案为： 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·一模）已知数列和的通项公式分别为，在与之间插入数列的前m项，构成新数列，即，…．记数列的前n项和为，则（    ） A．30 B．4944 C．9876 D．14748 【答案】B 【分析】由题意可得数列的前项和，数列的前项和，利用，可求解. 【详解】因为数列的通项公式为，所以数列为等差数列， 所以数列的前项和为， 数列的通项公式为，所以数列为等比数列， 所以数列的前项和为， 所以 ， ， 当时，. 故选：B. 2．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的通项公式为，其前n项和为，则数列的前2025项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列求和公式计算，再结合分组求和计算求解. 【详解】数列的通项公式为，其前n项和为， 所以， 则数列的前2025项和为 . 故选：D. 3．（2023·天津和平·三模）已知数列满足，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出，进而可求出. 【详解】因为，所以， 由于，则，所以， 所以数列是以2为公比，2为首项的等比数列， 所以， 所以， 所以 ， 故选：D 4．（2024·天津北辰·模拟预测）设数列满足，则数列的前5项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用递推关系求出，再利用裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】当时，， 当时， ， ， 两式相减可得：，所以， 又时，，所以不满足， 所以，设，数列的前项和， 所以， 设数列的前5项和为： . 故选：D. 5．（2025·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前n项和为，满足，，数列满足，，且. (1)求数列，的通项公式； (2)设，为的前n项和，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可得，即可求出，再根据两边同除以，可得，即可求出 （2）根据分组求和、裂项求和及错位相减法，即可求出答案. 【详解】（1），， ，， 又，， ，， 由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列， ， 从而数列的通项公式为 （2）由（1）知， ， ， 设， 则， 两式相减得， 整理得， . 6．（2025·天津北辰·三模）已知等差数列的前项和为，满足：，公差为整数且满足，正项等比数列满足：. (1)求数列的通项公式； (2)设，其中，求数列的前项和为； (3)定义为除数函数，即它的函数值等于的正因数的个数，例如：，记，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知不等式及等差数列的通项公式得，进而有，即可得的通项公式，由已知及等比数列的通项公式求公比，即可得的通项公式； （2）应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求； （3）根据新定义有，首先确定，再应用放缩法及等比数列前n项和公式证明时不等式成立，即可得. 【详解】（1）由题设，解得， 公差为整数，则，又，故， 正项等比数列满足， （负值舍），故. （2）， 当时，， 令. 当时， ， 令， 综上，； （3）除数函数的函数值等于的正因数的个数， ， ， ，， 当时 ， ， 综上，. 7．（2025·天津·二模）已知公差不为零的等差数列和等比数列满足，且成等比数列，成等差数列. (1)求数列和的通项公式； (2)令，去掉数列中的第3n项，余下的项顺序不变，构成新数列，求数列的前项和； (3)令，记数列的前项和为，数列的前项和为，若数列满足，且对，都有，设的前项和为，若对任意都有成立，求正整数的最小值.（参考值：，） 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）设出公差和公比，根据题意得到方程组，结合，，求出公差和公比，得到通项公式； （2），先考虑，分组求和，利用等比数列求和公式得到答案，再考考，利用进行求解，得到答案； （3）方法一：推出，错位相减得到，又时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值； 方法二：推出，错位相减得到，又时，时，，放缩得到，并得到，从而得到正整数的最小值 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意得： ， 又，， 解得， 所以； （2）由（1）得， 当时， ， 当时， ， 综上； （3）方法一：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为； 方法二：，，， 故， ， ， …… ， ， ， 又因为，， ， ， 又因为，， ， ， ， 又时， 时，， ， 又因为时，， ，又， 所以， 所以正整数的最小值为 8．（2025·天津·二模）从数列中选取第项，第项，…，第项，并按原顺序构成的新数列称为数列的“连续子列”.已知数列中，，，对，数列的“连续子列”是公比为的等比数列. (1)求，的值； (2)求； (3)证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依题意对恒成立，代入计算可得； （2）依题意可得，，再利用累乘法求出，再结合，计算可得； （3）由（2）知，则，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）由题意知，，是公比为的等比数列， 对恒成立，又，， ，，又，所以； （2）因为对恒成立， 所以，， ， 当时也成立， ， 又， ； （3）由（2）知， 故 ， 当时，； 当时， ； 综上可得. 9．（2025·天津南开·一模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，且是的等比中项． (1)求的通项公式及； (2)记为在区间内项的个数，为数列的前项和． （i）若，求的最大值； （ii）设，证明：． 【答案】(1)； (2)（i）5；（ii）证明见解析.. 【分析】（1）应用等差数列前n项和公式及等差中项的性质、通项公式求基本量，进而得到的通项公式及； （2）（i）根据已知得，即得，应用等差、等比前n项和公式及分组求和得，再由能成立求的最大值； （ii）由（i）得，判断其单调性即可得，应用基本不等式及放缩有，应用错位相减法求右侧的前n项和，即可证. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 依题意，，即①， ，即②， 将①代入②得，因为，解得， 所以． （2）（i）令，即，解得， 所以，即的通项公式为 所以． 又，所以． 由，得， 因为， 所以的最大值为5． （ii）由（i）知，则，所以． 设①， 则②， ①②得， 所以． 因为， 所以． 综上，． 10．（2025·天津河西·一模）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)已知，求数列的前项和； (3)当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件可求出等差数列的公差的值，结合等差数列的通项公式可求出的表达式，设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出等比数列的通项公式； （2）分别利用裂项求和法、错位相减法求出数列的前项中的奇数项、偶数项的和，即可得出； （3）分析可知，集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，、进行讨论，推出矛盾，可得出，然后利用不等式的基本性质可得出解的个数，即可得出数列的通项公式. 【详解】（1）因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为， 所以，， 设等比数列的公比为， 由可得，解得，则. （2）当为奇数时，， 设数列奇数项的和为， 则. 当为偶数时，，设数列的偶数项的和为， 则， 可得， 上述两个等式作差得 ， 整理可得， 所以，. （3）集合中元素个数等价于满足的不同解的个数， 若，则，与已知矛盾； 若，则，与已知矛盾，所以，， 又因为， 所以，， 即、、、、，共个解，故. 11．（2025·天津·一模）已知为等差数列，其前项和为，满足，且． (1)求的通项公式； (2)设数列满足其中．记，． （i）证明：是等差数列； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据所给条件求出，即可求出通项公式； （2）（i）由（1）可得其中，当为奇数时，，即可求出的通项公式，即可得证；（ii）令，则，利用分组求和法与裂项相消法计算可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，且， 所以，解得， 所以； （2）（i）由（1）可知，又其中， 所以其中， 当为奇数时，， 所以， 所以，则， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （ii）令， 而， ， 所以. 12．（2023·天津·一模）已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用等差数列，等比数列的通项公式可得到结果； （2）可转化为等差乘等比类型，利用错位相减法可解； （3）数列的前项和可利用裂项相消，然后用放缩可证. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 13．（2023·天津滨海新·三模）设是等差数列，是各项都为正数的等比数列. 且 ， (1)求的通项公式； (2)记为的前项和，求证：； (3)若，求数列的前项和. 【答案】(1) ， (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）由已知条件列出方程组，求解出，根据等比和等差数列的通项公式求解即可； （2）利用等比数列前n项和公式求出，求出，得证； （3）利用错位相减法和裂项相消法，分奇偶项两组求和即可. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，化简，得， 整理，得， 解得(舍去)，或，则， ，. （2）由 (1) 可知，， 则， ， . （3）由 (1) 可得， ， ， 令， 两式相减，可得 ， ， 令 , . 14．（2023·天津和平·二模）已知等差数列的前n项和为，数列满足：． (1)证明：是等比数列； (2)证明：； (3)设数列满足：．证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用等比数列的定义构造推理得证. （2）由（1）及已知求出和，再代入不等式，利用作差法，即可化简证明. （3）根据数列的通项公式，分别求奇数项和偶数项的和，再分别利用裂项相消法和错位相减法求和，即可证明. 【详解】（1）由，得，而， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，，设等差数列的公差为，则，得， 于是，， ，， ， 所以. （3）当n为奇数时，， ； 当n为偶数时，，， 设，则， 两式相减得， 因此，即， 所以. 15．（2024·天津河西·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （ⅰ）求数列的通项公式及； （ⅱ）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ），；（ⅱ）不存在，理由见解析 【分析】（1）当时，由可得，两式作差可得出，再由可得出，求出的值，确定等比数列的公比，即可求得数列的通项公式； （2）①求得，利用错位相减法可求得； ②假设在数列中是否存在三项、、（其中、、成等差数列）成等比数列，由等比数列的定义结合已知条件化简得出，结合以及可得出结论. 【详解】（1）（1）方法一： 当时，， 则， 为等比数列，等比数列的公比为3， 当时， 解得：． 方法二： 设公比为为等比数列 解得或3 ，，， （2）（2）（ⅰ） 设 两式相减得 方法二： 设 两式相减得 （ⅱ）假设存在满足题意的3项， 成等比数列，，即 成等差数列，， 整理可得：，又， 即，解得：，则，与题设矛盾。 假设错误，即不存在满足题意的3项． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2024·天津河西·三模）已知递增数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据的关系式，采用相减的方法，结合数列性质，即可求得答案； （2）（i）根据已知等式，结合组合数性质，利用倒序相加法，即可求得答案；（ii）求出的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案. 【详解】（1）因为，当时，，则； 当时，，则，即， 而为递增数列，故， 即为首项为2，公差为2的等差数列， 故； （2）（i）， 所以， ， 两式相加可得， 故数列的通项公式为； （ii）， 故. 2．（2023·天津和平·三模）等差数列的前项和为，（且），． (1)求的通项公式与前项和； (2)记，当，时，试比较与的大小； (3)若，正项等比数列中，首项，数列是公比为4的等比数列，且，求的通项公式与． 【答案】(1)， (2)当时，；当时， (3)； 【分析】（1）由已知，根据公式，，即可得到结果； （2）由，求得，由，求得，又时，，所以，当时，；当时，； （3）由，得，由首项，数列是公比为4的等比数列，可得，则，用错位相减法可求得，则可得． 【详解】（1）设数列公差为，由公式，， 又，有，所以．则，． （2）因为，所以有 ，， ，，， 当，时，，即， 所以，当时，；当时，． （3）因为，所以，设正项等比数列的公比为， ，所以，因为，所以， 又， ， 设①，则②， ①式-②式得， ， 所以，， 所以，. 3．（2024·天津河北·二模）已知是等差数列，其前项和为是等比数列，已知，是和的等比中项. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)记，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由求出，利用又是和的等比中项、求出； （2）利用错位相减法求出； （3）利用放缩法求和可得答案. 【详解】（1）由题意， ， 又是和的等比中项，得， 又，解得， ； （2）， 设， 则， 将以上两式相减得 ， ； （3） ， ， . 结论得证. 4．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式； （2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和； （ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意. 【详解】（1）因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． （2）（i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 5．（2024·天津南开·二模）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)证明：对，恒成立（为的导数）； (3)设，证明：（）. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由处的导数得到切线的斜率，由处的函数值得到切线上的点，由直线的点斜式方程得到切线方程； （2）构造新函数，求导之后对导数再求导，得到在上单调递增，从而，从而恒成立得证； （3）利用进行放缩，再结合（2）中的得到，乘公比错位相减法求和. 【详解】（1），可得，又， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）令，，则，， 令，则在上恒成立，故在单调递增， 其中，故在上恒成立，故在上单调递增， 故，即恒成立． （3）设，证明． 令，， 因为，所以在上单调递减， 所以，从而，． 由于， 所以． 由（2）知，（），所以． 设，①，则，② ①－②得， 所以． 1 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$