重难点培优02 由Sn求通项（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 由Sn求通项 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 用，得到（★★） 2 题型二 用替换（★★★） 3 题型三 已知等式中左侧含有：（★★★★） 5 题型四 已知（积）和的关系（★★★★）..............................................................................................6 题型五 已知（积）和的关系（★★★★）.............................................................................................8 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一、对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 类型1：已知与的关系；或与的关系 第一步：用，得到 第二步：已知，求用求通项的八大方法求解 类型2：已知与的关系；或与的关系 第一步：替换题目中的 第二步：已知；已知用求通项的八大方法求解 类型3：已知等式中左侧含有： 第一步：作差法（类似） 第二步：已知求用求通项的八大方法求解 二、对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 类型1：已知和的关系 第一步：用，得到 第二步：的前项之积.用求通项的八大方法求解 类型2：已知和的关系 第一步：用替换题目中 第二步：已知数列的前n项积为，且.用求通项的八大方法求解 题型一 用，得到 【技巧通法·提分快招】 已知与的关系；或与的关系 第一步：用，得到 第二步：已知，求用求通项的八大方法求解 1．（2025·天津·调研）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 3．（2025·天津·调研）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·天津·调研）若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 5．（2025·天津·开学考）已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列是等比数列 6．（2025·天津·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 7．（2025·天津·联考）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 8．（2025高三·全国·调研）已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 9．（2024·天津·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 10．（2024·天津·三模）设为数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 题型二 用替换 【技巧通法·提分快招】 已知与的关系；或与的关系 第一步：替换题目中的 第二步：已知；已知用求通项的八大方法求解 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·天津·期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·调研）若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 4．（23-24高一下·天津和平·期末）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 6．（2023·天津·三模）已知数列的前项和为，若满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·联考）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（    ） A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项 9．（2023·天津·一模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 10．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（    ） A．46 B．49 C．52 D．55 题型三 已知等式中左侧含有： 【技巧通法·提分快招】 已知等式中左侧含有： 第一步：作差法（类似） 第二步：已知求用求通项的八大方法求解 1．（24-25高二上·天津和平·期末）设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 2．（2023·天津·模拟预测）数列的各项均不为0，前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（    ） A．665 B．666 C．1330 D．1332 3．（2023·天津·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津·期末）设数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·天津·期末）对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·天津·联考）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 7．（2024·天津·联考）对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·天津·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ） A．2 B．1 C． D． 9．（23-24高二下·天津·期中）已知数列是正项数列，且，则（    ） A．216 B．260 C．290 D．316 10．（2024·天津·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 题型四 已知（积）和的关系 【技巧通法·提分快招】 已知和的关系 第一步：用，得到 第二步：的前项之积.用求通项的八大方法求解 1．（23-24高二下·天津武清·开学考）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 2．（2022·天津·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求的最大值． 3．（2023·天津·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积. (1)求与的通项公式. (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 4．（2025·天津·调研）已知数列的前项和为，对任意的，都有．若是数列的前项积，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·天津·二模）数列是递增数列，其前项和为，且． (1)求； (2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 6．（2024·全国·调研）已知是数列的前项和，是数列的前项积，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津和平·期末）数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·天津·模拟预测）已知数列，满足． (1)若是数列的前n项积，求的最大值； (2)抽去数列的第3，6，9，…，，…项，余下的项顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和． 9．（2023·天津·调研）已知数列的前n项积． (1)求； (2)设，求证：． 10．（2024·天津·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型五 已知（积）和的关系 【技巧通法·提分快招】 已知和的关系 第一步：用替换题目中 第二步：已知数列的前n项积为，且.用求通项的八大方法求解 1．（2024·天津·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． (1)求的通项公式; (2)令，为数列的前项积，证明：． 2．（2024高三·天津·开学考）已知数列的前项积． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 3．（2024高三下·全国·调研）已知为正项数列的前项积，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，的前项和为，证明：． 4．（2024·天津·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 5．（2023·天津·三模）已知数列的前项的积 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求. 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 7．（2023·天津蓟州·模拟预测）记为数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项积，求的最大值. 8．（2024·天津·一模）已知正项数列中，，和分别表示的前项和与前项积，从①，②，③，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．（2023·天津蓟州·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则= （    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津蓟州·模拟预测）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ） A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ． ①存在递增数列，使得它是“超神数列”； ②存在周期数列，使得它是“超神数列”； ③存在等差数列，使得它是“超神数列”； ④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列． 2．（2023·天津·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 3．（2025·天津·三模）已知数列的前项和为，且（），给出下列四个结论： ①长度为，，1的三条线段可以围成一个内角为的三角形； ②，； ③，； ④． 其中正确结论的序号是 ． 54．（2025·天津·调研）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则整数的最大值为 . 5．（2025·天津·三模）已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且．给出下列四个结论： ①； ②，使得； ③存在一个正数，使得对任意的，都有； ④对任意的，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 6．（2025·天津·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 7．（2023·天津·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 8．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，若，求 ． 9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 10．（2025·天津·模拟预测）数列的前n项和为，满足，，则 . 11．（2025·天津·调研）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 ． 12．（2025·天津·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 13．（2025·天津·调研）已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ． 14．（23-24高二下·天津和平·开学考）数列满足，则 . 15．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 2．（2025·天津和平·模拟预测）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 3．（2025·天津河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”． (1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由； (2)若数列满足，且． （i）证明：数列具有性质“”； （ii）记数列的前n项和为，证明：． 4．（2025·天津河北·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 5．（2025·天津·模拟预测）已知数列的通项，数列的前项和为，且满足，．数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列，数列的前项和为． (1)求的值； (2)求使得成立的的最小值； (3)从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为，借鉴函数及其性质证明：． 附：（均大于0，且不全相等）成立． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 由Sn求通项 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 用，得到（★★） 2 题型二 用替换（★★★） 6 题型三 已知等式中左侧含有：（★★★★） 11 题型四 已知（积）和的关系（★★★★）............................................................................................17 题型五 已知（积）和的关系（★★★★）...........................................................................................24 03 实战检测・分层突破验成效 32 检测Ⅰ组 重难知识巩固 32 检测Ⅱ组 创新能力提升 44 一、对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 类型1：已知与的关系；或与的关系 第一步：用，得到 第二步：已知，求用求通项的八大方法求解 类型2：已知与的关系；或与的关系 第一步：替换题目中的 第二步：已知；已知用求通项的八大方法求解 类型3：已知等式中左侧含有： 第一步：作差法（类似） 第二步：已知求用求通项的八大方法求解 二、对于数列，前项积记为； ①；② ①②： 类型1：已知和的关系 第一步：用，得到 第二步：的前项之积.用求通项的八大方法求解 类型2：已知和的关系 第一步：用替换题目中 第二步：已知数列的前n项积为，且.用求通项的八大方法求解 题型一 用，得到 【技巧通法·提分快招】 已知与的关系；或与的关系 第一步：用，得到 第二步：已知，求用求通项的八大方法求解 1．（2025·天津·调研）设数列的前项和为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，， 则，即， 所以数列是公差为4的等差数列． 又，则． 所以． 故选：A. 2．（2025·全国·模拟预测）已知数列的前项和，则（   ） A．6 B．11 C．12 D．2 【答案】A 【详解】方法1：． 方法2：等差数列的前项和为， 因为，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列． 于是． 故选：A． 3．（2025·天津·调研）已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 4．（2025高三·天津·调研）若正项数列的前项和为，且，则（    ） A．20 B．100 C．200 D．210 【答案】D 【详解】解法一：将代入，得，解得. 由，得，两式相减得， 即，所以或. 若，则由，得，与为正项数列矛盾. 故有，则， 则是以1为首项、1为公差的等差数列，故. 则.（另解：将代入中得） 解法二：将代入，得，解得， 当时，，得（由为正项数列取舍）， 当时，，得， 故猜想，当时，，满足， 故，，故. 故选：D. 5．（2025·天津·开学考）已知数列的前n项和为，且，则（    ） A．数列是等比数列 B． C． D．数列是等比数列 【答案】B 【详解】对于A，由，可得， 两式相减得，所以， 所以，所以， 当时，，又，所以，所以， 所以数列不是等比数列，故A错误； 对于B，由A可知，数列去掉第一项，可构成以为首项，2为公比的等比数列， 所以，故B正确； 对于C，由A可得， 所以， 所以，故C错误； 对于D，由C可得， 所以，所以数列不是等比数列，故D错误. 故选：B. 6．（2025·天津·二模）已知数列的前项和为，满足，则下列判断正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列存在最大值 D．数列存在最大值 【答案】D 【详解】由可知，当时，， 因为，所以， 故数列是从第二项开始的等差数列，故A错误. 将的通项公式可得，故B错误. 由知，数列为递增数列，不存在最大值，故C错误. 由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确. 故选：D. 7．（2025·天津·联考）设为数列的前项和，若，则（    ） A．520 B．521 C．1033 D．1034 【答案】C 【详解】数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 而，解得，因此数列是以为首项，2为公比的等比数列， 则，即，于是，所以． 故选：C 8．（2025高三·全国·调研）已知为等比数列，为数列的前n项和，，则（   ） A．3 B．18 C．54 D．152 【答案】C 【详解】由题设得，作差可得，即， 又为等比数列，故其公比为3，且，即， 所以. 故选：C 9．（2024·天津·二模）已知数列的前项和，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】D 【详解】依题意，，， 所以. 故选：D 10．（2024·天津·三模）设为数列的前项和，若，则（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】当时，，所以， 整理得，所以. 故选：B． 题型二 用替换 【技巧通法·提分快招】 已知与的关系；或与的关系 第一步：替换题目中的 第二步：已知；已知用求通项的八大方法求解 1．（2025·天津武清·模拟预测）已知递增数列的前n项和为，若，，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，即，则. 当时，由，得， 得，则，易知，即. 又，所以是首项为1，公比为的等比数列. 又单调递增，所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二上·天津·期末）设数列的前项和为 ，，，，则数列的前项和为 （　　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，且， ，即 ，， 故数列为常数列，且， ，则， 故数列的前项和. 故选：D. 3．（2024·天津·调研）若数列的前项积为，且满足，，则（    ） A． B． C． D．7 【答案】B 【详解】由题意知，当时，． 由，得， 所以当时，，即， 又，所以是首项为、公差为的等差数列， 故． 故选：B 4．（23-24高一下·天津和平·期末）已知数列的前n项和为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，整理得， 又，则， 因此数列是首项为1，公差为1的等差数列， 则，所以. 故选：D. 5．（2023·天津·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【详解】因为，所以， 两式相减得， 即，因为， 所以， 所以数列中，从第二项起成等差数列， 所以， 所以．由得， 所以，得，所以， 故选：A． 6．（2023·天津·三模）已知数列的前项和为，若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，，，得， 当时，，，， ，又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，. 故选：C 7．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 所以，所以， 因为， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 所以． 故选：D 8．（2023·天津·联考）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（    ） A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项 【答案】D 【详解】由，得， 即，所以数列是等差数列， 设公差为d，则由和可得：， 解得，所以． 由，得n=674． 故选：D． 9．（2023·天津·一模）数列的前项和为，，若该数列满足，则下列命题中错误的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．是等比数列 【答案】C 【详解】对于A，当时，由得：， ，即，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列，A正确； 对于B，由A知：，，B正确； 对于C，当时，， 经检验：不满足，，C错误； 对于D，由B得：，，又， 是以为首项，为公比的等比数列，D正确. 故选：C. 10．（2023·天津·模拟预测）已知数列的前n项和为，，且（且），若，则（    ） A．46 B．49 C．52 D．55 【答案】B 【详解】因为当时，，即， 所以． 因为 ． 又，所以． 因为，所以，解得或（舍去）． 故选：B． 题型三 已知等式中左侧含有： 【技巧通法·提分快招】 已知等式中左侧含有： 第一步：作差法（类似） 第二步：已知求用求通项的八大方法求解 1．（24-25高二上·天津和平·期末）设数列满足，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 2．（2023·天津·模拟预测）数列的各项均不为0，前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（    ） A．665 B．666 C．1330 D．1332 【答案】B 【详解】当时,, 因为数列的前项均为正数, 所以, 设数列的前项和为, 所以①, 则②, ②-①得:, 化简得, 若,③, 则④, ③-④得, 因为数列的前项均为正数, 所以, 即数列是以为首项,为公差的等差数列, 所以, 所以为定值. 由可得:从项到项,连续两项之间有两种情况:或, 根据相反数的立方和为零可得每增加两项，可能结果增加两种；而第1358项有两种可能； 所以最后结果的个数可能为:种. 故选:B. 3．（2023·天津·三模）已知数列满足，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，有，所以， 当时，由，， 两式相减得， 此时，，也满足， 所以的通项公式为. 故选：B. 4．（23-24高二上·天津·期末）设数列满足，则数列的前10项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，则， 两式相减得，所以， 又， 所以，， 所以数列的前10项和为. 故选：C. 5．（23-24高二上·天津·期末）对于数列，若满足：，则称为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得①， 则当时，② 所以①-②得，即， 又当时，，符合， 故， 所以 令，得， 所以的最大值为. 故选：D. 6．（2024·天津·联考）已知正项数列满足，若，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】时， 时， ， 故选：D. 7．（2024·天津·联考）对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则， 即，故， 当时，，符合上式，故， 则，故， 因为对任意的恒成立， 当时，有，即，不符合要求， 当时，则有， 解得. 故选：B. 8．（22-23高三上·天津·期末）已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足，．设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】由，，又，所以， ，又，所以， 由得（）， 相减得，，， 所以，所以， 再相减得， 则，而， 所以数列是等差数列，首项和公差均为1，所以， ， 对任意，有恒成立，则恒成立， ， 即， 是奇数时，，，∴， 为偶数时，，，∴， 综上，．又是非零整数，所以． 故选：D． 9．（23-24高二下·天津·期中）已知数列是正项数列，且，则（    ） A．216 B．260 C．290 D．316 【答案】A 【详解】令，得，∴． 当时，． 与已知式相减，得． ∴，又时，满足上式， ∴． ∴，∴． 故选：A 10．（2024·天津·模拟预测）若数列满足，的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 当时，， ， ， ； 当时，，解得：，不满足，； 当时，， 又满足，. 故选：D. 题型四 已知（积）和的关系 【技巧通法·提分快招】 已知和的关系 第一步：用，得到 第二步：的前项之积.用求通项的八大方法求解 1．（23-24高二下·天津武清·开学考）设正项数列的前项之和，数列的前项之积，且． (1)求证：为等差数列，并分别求，的通项公式； (2)设数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立，求正实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）由题意知，且当时，， 所以由得， 所以，由得，即， 所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，即，所以； 当时，， 当时，也符合上式，所以． （2）由（1）得， 所以 ， 所以 ， 所以数列是单调递增数列，所以， 因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，即，又， 所以解得，所以的取值范围为. 2．（2022·天津·模拟预测）已知数列的前n项之积为，且． (1)求数列和的通项公式； (2)求的最大值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）∵①，∴②， 由①②可得，由①也满足上式，∴③， ∴④，由③④可得， 即，∴，∴． （2）由（1）可知，则， 记， ∴， ∴， ∴，即单调递减， ∴的最大值为． 3．（2023·天津·模拟预测）已知数列前项和，的前项之积. (1)求与的通项公式. (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列为，求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：（1）由， 当时， 当时，， 当时，上式也成立， 所以， 由， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以； （2）解：设 ，，为得正整数倍， 故当为奇数时，，故公共项为， ∴，，，，…构成首项为2，公比为4的等比数列， 则. 4．（2025·天津·调研）已知数列的前项和为，对任意的，都有．若是数列的前项积，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 当时，，， 两式相减得，即，又，故， 所以数列是以32为首项，为公比的等比数列， 通项公式为： 因为是数列的前项积， 所以， 当或时，有最大值15，所以当时，有最大值. 故选：C 5．（2025·天津·二模）数列是递增数列，其前项和为，且． (1)求； (2)记，数列满足：，数列的前项积与前项和分别记为．证明： ①； ②． 【答案】(1)， (2)①证明见解析 ；②证明见解析 【详解】（1）由得，． 两式相减得：，即， 因为是递增数列，所以， 由，得，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，； （2）①由已知得，， 所以，即， 所以； ②由，可得， 所以 ， 所以． 6．（2024·全国·调研）已知是数列的前项和，是数列的前项积，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，当时，，则， 显然符合上式，因此，由，得， 则，而，即有， 于是， 从而， 所以，即. 故选：B 【点睛】易错点睛：由数列前项和求通项，需按和分段求解，并且还要验证的结果是否满足时的表达式. 7．（23-24高二上·天津和平·期末）数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，，，则，当时，， 两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列， 于是，显然数列单调递减，当时，，当，， 所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为. 故选：B 8．（2023·天津·模拟预测）已知数列，满足． (1)若是数列的前n项积，求的最大值； (2)抽去数列的第3，6，9，…，，…项，余下的项顺序不变，构成一个新数列，求数列的前2023项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，． 当时， ，解得①． 因为满足①式， 所以， 则，所以为等比数列，公比为， 所以． 又因为当或时，取最大值55， 所以的最大值为． （2）方法一： ． 方法二：因为， 所以，根据已知可知，， 则，. 所以，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 是以为首项，为公比的等比数列， 所以，. 所以， ． 9．（2023·天津·调研）已知数列的前n项积． (1)求； (2)设，求证：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【详解】（1）当时,, 当1时，满足上式， 所以. （2）， 即，① 所以，② ②①得， ， ， 所以得证. 10．（2024·天津·三模）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，若，，则满足的n的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由可得，， 故为公比为2的等比数列，故， 所以，故， 因此 故， 要使，则， 当时，，时，，且在时，随着正整数的增大而增大，故的最小值为6， 故选：B 题型五 已知（积）和的关系 【技巧通法·提分快招】 已知和的关系 第一步：用替换题目中 第二步：已知数列的前n项积为，且.用求通项的八大方法求解 1．（2024·天津·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列． (1)求的通项公式; (2)令，为数列的前项积，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为是首项为、公差为的等差数列， 故， 即， 当时，， 故 ， 当时，，符合上式， 故； （2）由，， 故， 则， 因为，故. 2．（2024高三·天津·开学考）已知数列的前项积． (1)求的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，． 当时，， 当时不满足上式，所以． （2）解法一：当时，． 当时，， 故 ． 解法二：当时，． 当时，． 故 ． 3．（2024高三下·全国·调研）已知为正项数列的前项积，且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)若，的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知①， 当时，，∵，∴． 当时，②． ①－②得，适合上式， ③，则④． 得，∴， 两边同时取以为底的对数，得， 则，，又， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2）由题意及（1）知，， 则， 所以，， 两式相减得， ∴． ∵， 随的增大而减小，∴，又，∴， ∴． 4．（2024·天津·一模）设为数列的前项和，已知是首项为、公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)令，为数列的前项积，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由是首项为、公差为的等差数列， 故， 即， 当时，， 故 ， 当时，，符合上式， 故； （2）由，， 故， 则 ， 由， 故， 则. 5．（2023·天津·三模）已知数列的前项的积 (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，，即可求出答案； （2），由此可求得答案. 【详解】（1）， 当时，. 当时，，满足上式， . （2） . 6．（2025·天津武清·模拟预测）已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积. (1)求数列和的通项公式; (2)求数列的前n项和. 【答案】(1), (2) 【详解】（1）当时,, ∴, 当时,, 化简得, ∵,∴, ∴数列是首项为,公差为的等差数列, ∴. 当时,, 当时,，当时也满足， 所以. （2）, 设①, 则②, ①-②得, ∴. 7．（2023·天津蓟州·模拟预测）记为数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)记为数列的前项积，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为时，，所以，两式相减得到，化简整理得，所以，当时，， 又当，，又，解得. 所以，当时，， 又当时，，满足，当时，，不满足， 综上所述，. （2）由（1）知，当时，，得到， 又当时，，满足，所以， 令，所以， 又， 当时，， 所以当时，，又，所以，当时，， 所以时，取得最大值. 8．（2024·天津·一模）已知正项数列中，，和分别表示的前项和与前项积，从①，②，③，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：（1）选①作条件解答如下： ， 当时，，即，即， 又， 当时，， 即，即， 所以，数列是首项为1，公比为2的等比数列， ； 选②作条件解答如下： ， 当时，，即， 又， 当时，， ， ， 显然当时也满足，； 选③作条件解答如下： ，， 当时，， ，即， 显然当时也满足上式，； （2）解：由（1）知：， 由，， 则数列是首项为0，公差为1的等差数列， 所以，数列的前项和. 9．（2023·天津蓟州·模拟预测）记为数列的前项积，已知，则= （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的等式，求得的通项公式即得解. 【详解】则，代入， 化简得：，则. 故选:C. 10．（2024·天津蓟州·模拟预测）已知为数列的前n项积，若，则数列的通项公式（    ） A．3-2n B．3+2n C．1+2n D．1-2n 【答案】D 【详解】当n=1时，；当时，，于是是以-1为首项，-2为公差的等差数列，所以. 故选：D. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津·三模）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“超神数列”，下列命题中，正确的有 ． ①存在递增数列，使得它是“超神数列”； ②存在周期数列，使得它是“超神数列”； ③存在等差数列，使得它是“超神数列”； ④若为等比数列，对于任意，存在，使得为超神数列． 【答案】①②④ 【详解】对于①，当时，，， ，即，故①正确； 对于②，当周期数列为，周期为2，对任意的，都有，故②正确； 对于③设等差数列首项为，公差为，则，， ，对任意的恒成立， 当，是开口向上的二次函数， 当，故不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，也不符合题意； 综上，不存在等差数列，使得它是“超神数列”，故③错误； 对于④，设等比数列首项为，公差为，， ， 当为奇数时，，则，要使， 所以就符合题意； 当为偶数时，， ， 又，，所以，即， 综上，当，对于任意，存在，使得为超神数列，故④正确. 故答案为：①②④ 2．（2023·天津·模拟预测）已知数列的首项为1，是的前n项和，且，（），若存在，使得成立，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，（）可得， 即，因 ，当时符合题意， 故. 若存在，使得成立. 当为奇数时，，， 由，可得， 此时，存在使得， 故，即， 也即； 当为偶数时，，， 由可得， 此时，存在使得， 故，即， 也即. 综上，可得实数m的取值范围为. 故答案为：. 3．（2025·天津·三模）已知数列的前项和为，且（），给出下列四个结论： ①长度为，，1的三条线段可以围成一个内角为的三角形； ②，； ③，； ④． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【详解】对于①，长度为，，1的三条线段组成三角形， 设边长为的边对应的角为，因为，所以， 故， 又，所以，即边长为对应的角为，故①正确； 对于②，由，，则， 当时，，故②错误； 对于③④，因为， 所以，令，则， 令，为锐角， 则 ，所以，所以，又， 所以，即，所以， 所以， 所以，所以，故④正确； 所以，当时，， 又也适合，所以， 又， 即，所以，故③正确. 故答案为：①③④. 54．（2025·天津·调研）无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则整数的最大值为 . 【答案】7 【详解】当时，或或， 当时，若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 若，，所以， 所以当时，， 所以要涉及最多的不同的项数列可以为：， 所以整数的最大值为7. 故答案为：7. 5．（2025·天津·三模）已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且．给出下列四个结论： ①； ②，使得； ③存在一个正数，使得对任意的，都有； ④对任意的，都有． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【详解】解法一：对于①，由，令，则，所以， ∵是各项均为正数的无穷数列，其前项和为， ∴恒成立，且，， 又， ，即， 故随着的增大而减小， 其中， ， 随着的增大而增大， ，，， ∵随着的增大而减小， ，，， ， ，， ，，故①正确； 对于②，， 要判断，即判断， 因为恒成立，所以， 即证明，即证明， 当时，，满足要求， 当时， ， 对任意的都成立， 对任意的，都有，故有，即②正确； 对于④，随着的增大而减小，，时，， ，故④正确. 对于③，由以上分析，数列中，，且随着的增大，趋向于1， 又，故无限趋向于正无穷大， 所以不存在一个正数，使得对任意的，都有，故③错误． 解法二：解法二：由，令，则，所以， 是各项均为正数的无穷数列，其前项和为， ， ，， ，， ，（1） 对于③，取为大于的第一个整数，记为，则，所以（3）错误. 对于②，由，解得， 代入（1）得， 解得，取代入，得。所以②正确. 对于④，由（2）得， 所以， 即，也就是， 所以成立，故④正确. 对于①，由得， ， ， ， ，即，故①正确. 故答案为：①②④ 6．（2025·天津·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且．若为递增数列，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题设， 又各项均不为零，则， 由，则， 又为递增数列，则， 而，即，则， 综上，，即的取值范围是. 故答案为： 7．（2023·天津·模拟预测）已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 8．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，若，求 ． 【答案】64 【详解】由有，当时，得， 当时，， 所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列， 所以，所以. 故答案为：. 9．（2025·河北秦皇岛·三模）已知数列的前项和为，数列是首项为1、公差为1的等差数列，若，则 . 【答案】 【详解】因为是首项为1、公差为1的等差数列，故， 而，故， 故，而，故，符合该式， 故， 故，所以， 所以， 故， 故答案为： 10．（2025·天津·模拟预测）数列的前n项和为，满足，，则 . 【答案】10100 【详解】当时，，解得， 当时，， 即，则，即， ∴或， 当时，，则与矛盾，∴舍去， ∴，即数列是首项，公差的等差数列， 即， ∴数列的前项和，即. 故答案为：10111. 11．（2025·天津·调研）记为正项数列的前项和，，为等比数列，则 ． 【答案】 【详解】由题设，可得，即， 又为等比数列，若公比为，则，故， 所以，则， 所以. 故答案为： 12．（2025·天津·模拟预测）已知各项均不为零的数列，其前项和是，且.给出如下结论： ①； ②若为递增数列，则的取值范围是； ③存在实数，使得为等比数列； ④，使得当时，总有. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②④ 【详解】由得，相减可得， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于①，，故正确； 对于②，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以， 若，则需要，则，故正确， 对于③，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，进而可得数列的项为显然这不是等比数列，故错误， 对于④，若，只要足够大，一定会有 ， 则，只要足够的大， 趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故答案为：①②④ 13．（2025·天津·调研）已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 当时，， 故， 化简可得，（）， 故为等差数列，且公差为1，故， ，故， 故， 故为等比数列且公比为，首项为， 故， 故答案为：， 14．（23-24高二下·天津和平·开学考）数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 15．（2025·天津·模拟预测）记为数列的前n项和，已知. (1)求的通项公式； (2)设递增的等差数列满足，且成等比数列.设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 两式相减可得， 即，则， 由，可得， 所以当时，，即， 因为不满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）设数列的公差为，因为成等比数列，且， 所以，即，整理得， 解得或， 因为，所以，又因为，所以数列的通项公式为. 可得 综上可得，对于任意，都有. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·天津·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若正整数成等差数列，且，试判断能否构成等比数列，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能构成等比数列，理由见解析. 【详解】（1）由数列的前项和为，且， 当时，可得，解得； 当时，可得， 整理得，即，所以， 所以数列是首项，公比为的等比数列，则， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 设， 则 两式相减，可得 ， 所以， 又由，所以. （3）由题意，正整数成等差数列，则， 若构成等比数列，则满足， 因为，可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以，即 两边同除，可得， 因为，且，所以， 所以与均为偶数，则为奇数，为偶数， 所以等式不成立，所以不能构成等比数列. 2．（2025·天津和平·模拟预测）已知数列的前项和为，，且. (1)证明：数列为等差数列； (2)设， （i）求数列的前项和； （ii）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）由，，则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以， 所以； （ii）当时，，与矛盾，所以， 当时，，与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 3．（2025·天津河北·模拟预测）设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”． (1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由； (2)若数列满足，且． （i）证明：数列具有性质“”； （ii）记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)具有，理由见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）数列中，，当时，，则， 而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列， 则，，， 正项数列满足，所以数列具有性质“”. （2）（i）函数，令函数，求导得， 函数在上单调递减，则，即，， 任意，，而，，则，， 于是， 令，求导得， 函数在上单调递增，， 当时，，，而， 则，因此； 依题意，， 令， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 当时，，，函数在上单调递增， 当时，，即当时，，， 因此当时，，又，则， 于是，，则， 所以数列具有性质“”. （ii）由（i）知，，则， 当，时，， 当时，， 当时，， 所以. 4．（2025·天津河北·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”． (1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由； (2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围； (3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）． 【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析 (2)； (3)3470 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，也成立，所以， 所以， 所以， 所以， 所以与是“2级相邻数列” （2）已知，化简可得. 设，则. 因为，所以，（当时取等号）， 所以单调递减，所以的最大值为， 所以， 所以，， 所以，即的取值范围为. （3）已知， 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”， 因为与为“1级相邻数列”，所以， 当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择； 时，有3种不同选择，时，有2中不同选择． 由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素， 所以有，，，，，共6种不同的情况． 当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）． 1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列， 3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况， 总共个不同的数列； 同样，，时也各贡献528个不同的数列； 时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）； 也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）； 还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列）， 总共个不同的数列； 时，总共个不同的数列； 共计有个不同的数列组； 即满足条件的数列组的个数为3470． 5．（2025·天津·模拟预测）已知数列的通项，数列的前项和为，且满足，．数列和的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列，数列的前项和为． (1)求的值； (2)求使得成立的的最小值； (3)从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次，设这20次抽取的项互不相同的概率为，借鉴函数及其性质证明：． 附：（均大于0，且不全相等）成立． 【答案】(1)63 (2)8 (3)证明见解析 【详解】（1）， ， ，即， 是首项为2，公比为2的等比数列，即， ，，，，，，， ，，，，，，， 数列的前10项为1，2，3，4，5，7，8，9，11，13， ． （2）由（1）知， 等价于， ，，显然和不符合题意. 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，不符合题意； 当时，，，，符合题意， 使得成立的的最小值为8． （3）从数列的前100项中每次随机抽取一项，有放回地抽取20次， 设这20次抽取的项互不相同的概率为， 由（1）知数列的前100项中无重复的项， ， ， 由函数， 得， 在上单调递增， 当时，，即， ， ，即， ． 1 / 102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$