重难点培优01 平面向量题型归纳（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 平面向量题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 向量共线的理解（★★） 3 题型二 向量的线性表示（★★★） 5 题型三 向量的数量积（★★★★） 7 题型四 向量的模长（★★★★） 8 题型五 投影向量（★★★★） 10 题型六 最值与取值范围（★★★★） 11 题型七 建系法的应用（★★★★）... .13 03 实战检测・分层突破验成效 14 检测Ⅰ组 重难知识巩固 14 检测Ⅱ组 创新能力提升 17 一、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 二、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 三、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 题型一 向量共线的理解 【技巧通法·提分快招】 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【注意】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 1．（2025天津河北·联考）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 2．（2025天津·调研）下列命题错误的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若与都是单位向量，则 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 3．（2025天津武清·模拟预测）下列说法正确的是（   ）． A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 4．（2023天津·模拟预测）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024天津·联考）与向量和的夹角均相等的单位向量为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（2023天津和平·模拟预测）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 7．（2025天津·联考）已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2025天津静海·模拟预测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 题型二 向量的线性表示 【技巧通法·提分快招】 向量的线性运算 口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾； (加法平行四边形)起点相同连对角； (减法三角形)共起点，连终点，指向被减 9．（2025天津南开·模拟预测）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 10．（2024天津河东·调研）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 11．（2024天津东丽·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 12．（2024天津南开·模拟预测）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 13．（2022天津·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 14．（2017天津·调研）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 15．（2020天津河东·联考）在中，向量和满足，则为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．三边不等的三角形 16．（2022天津北辰·调研）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（    ） A． B．2 C．1 D． ，，，，，，， 题型三 向量的数量积 【技巧通法·提分快招】 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义 17．（2023天津北辰·模拟预测）在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2022天津静海·联考）已知，与的夹角为60°，则在上的投影为（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 19．（2021天津·联考）已知向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影是 20．（2021天津滨海新·调研）已知为单位向量，，当向量的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 21．（2024天津东丽·联考）已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 22．（2023天津南开·调研）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2025天津·模拟预测）已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 24．（2024天津南开·联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四 向量的模长 【技巧通法·提分快招】 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义． 25．（2025天津和平·调研）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 26．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 27．（2024天津·模拟预测）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 28．（2024天津·调研）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（2023天津·联考）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（2023天津南开·模拟预测）下列关于向量，，的运算，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 31．（2023天津红桥·模拟预测）正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，给出下列命题，则正确的命题个数为（    ） ①向量，夹角的余弦值是；②若，则；③若，则；④若，非零向量，则的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 32．（2018天津·模拟预测）已知向量的夹角是，，则的值是 A． B． C． D． 题型五 投影向量 【技巧通法·提分快招】 求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 33．（2025天津河西·模拟预测）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（    ） ①在上的投影向量为② ③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 35．（2025天津·联考）已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 36．（2025天津·调研）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 37．（2025天津·联考）下列四个命题，其中真命题是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若，，则点到直线的距离为 D．向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 38．（2025天津河东·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 39．（2024天津·联考）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 40．（2023天津·调研）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型六 最值与取值范围 【技巧通法·提分快招】 平面向量最值范围问题的常用方法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论. 41．（2023天津·联考）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 42．（2021·天津南开·二模）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．（2021天津武清·模拟预测）下列四个结论，正确的个数是（    ） ①在中，若，则； ②若，则存在唯一实数使得； ③若，，则； ④在中，若，且，则为等边三角形； A．1 B．2 C．3 D．4 44．（2020天津南开·调研）如图，在边长为2的正三角形中，D，E分别为边，上的动点，且满足 （m为定常数，且），若的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 45．（2020天津河西·模拟预测）已知梯形中，，且，，，，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 46．（2020天津武清·模拟预测）设是边长为1的等边三角形，M为所在平面内一点，且，则当取最小值时，λ的值为（    ） A． B． C．2 D．3 47．（2020天津南开·调研）四边形ABCD中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 48．（2021天津·联考）在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型七 建系法的应用 【技巧通法·提分快招】 坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解. 49．（2022天津·模拟预测）在平行四边形ABCD中，，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D． 50．（2021天津静海·模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．1 51．（2021天津南开·调研）已知是平面内两个夹角为的单位向量，设为同一平面内的两个向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 52．（2022天津·联考）已知向量.若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 53．（2020天津·联考）如图，，点是线段上的一个动点，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 54．（2020天津静海·调研）若，，则与向量同向的单位向量是 A． B． C． D． 55．（2025天津静海·调研）已知 则（ ） A． B． C． D． 56．（2025天津蓟州·模拟预测）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 4．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 5．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 6．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 7．（2024·天津北辰·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 11．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 12．（2023·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（2023·天津和平·三模）如图，在中，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．（2023·天津·二模）在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·天津·一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·天津红桥·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 5．（2021·天津河东·一模）已知圆上有三点、、，且，为中点，延长线与圆交于点，如图，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 6．（2021·天津河西·三模）在中，，，，若，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（2021·天津南开·三模）如图，已知B，D是直角C两边上的动点，，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2021·天津河西·模拟预测）在矩形中，边的长分别为2，1，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 平面向量题型归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 向量共线的理解（★★） 3 题型二 向量的线性表示（★★★） 7 题型三 向量的数量积（★★★★） 12 题型四 向量的模长（★★★★） 17 题型五 投影向量（★★★★） 22 题型六 最值与取值范围（★★★★） 26 题型七 建系法的应用（★★★★）... .33 03 实战检测・分层突破验成效 37 检测Ⅰ组 重难知识巩固 37 检测Ⅱ组 创新能力提升 47 一、平面向量的数量积 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　 （2）平面向量数量积的几何意义 ①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0． ②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积． ③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为． 二、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①； ②； ③． 三、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 四、数量积的坐标运算 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要条件 的充要条件 与的关系 （当且仅当时等号成立） 题型一 向量共线的理解 【技巧通法·提分快招】 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 【注意】证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点. 1．（2025天津河北·联考）下列说法中，正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 C．共线的单位向量必相等 D．若与不共线，则与都是非零向量 【答案】D 【分析】根据单位向量的定义，向量相等，向量共线的概念分析各个选项即可得到答案. 【详解】对选项A，根据单位向量的定义，单位向量的方向不确定，故A选项错误；对选项B，两个向量相等只需要长度相等，方向相同，但起点不一定相同，故B错误；对选项C，共线的单位向量可能方向相反，此时两向量不相等，故C错误；对选项D，因为零向量与任意向量都共线，故若与不共线，则与都是非零向量，D正确. 故选：D 2．（2025天津·调研）下列命题错误的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．若与都是单位向量，则 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】B 【分析】由相等向量的概念判断选项A即可；由单位向量与零向量，共线向量的概念即可判断选项B，C；由相等向量的传递性即可判断选项D. 【详解】对于A，若，则，反之若，则可能不等， 故“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若与都是单位向量，则，不一定有，故B错误； 对于C，若，都为非零向量，且，所以， 则与反向共线，故C正确； 对于D，，，则，故D正确； 故选：B 3．（2025天津武清·模拟预测）下列说法正确的是（   ）． A．向量的模是一个正实数 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．若，则 D．两个相等向量的起点、方向、长度必须都相同 【答案】B 【分析】利用向量的相关概念，逐项判断. 【详解】对于A，零向量的模是0，A错误； 对于B，由零向量与任意向量共线知，若与不共线，则与都是非零向量，B正确； 对于C，向量的模是非负实数，可以比较大小，而向量不能比较大小，C错误； 对于D，相等的两个向量起点是任意的，D错误. 故选：B 4．（2023天津·模拟预测）设都是非零向量，则下列四个条件中，一定使成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单位向量的含义及向量的方向相同，然后即可得出正确的选项． 【详解】由题意可知，分别表示与，同向的单位向量， 因为，所以，同向， 对于A，，，方向相反，故A错误； 对于B，，与可能方向相同或相反，故B错误； 对于C，，，方向相同，故C正确； 对于D，，不能确定，的方向，故D错误. 故选：C. 5．（2024天津·联考）与向量和的夹角均相等的单位向量为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意可得，故所求向量与共线，再根据共线向量的性质求解即可. 【详解】设所求向量为，因为，又与，的夹角均相等，由平行四边形法则可得与共线， 设，则，又，可得，解得， 故或. 故选：A. 6．（2023天津和平·模拟预测）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　） A． B．与共线 C．与共线 D． 【答案】C 【分析】利用菱形的性质及向量的定义逐一判断即可. 【详解】四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形， ，即三点共线， ，， 即，，与共线，ABD正确； 对于C：若与共线，则必有，即，该条件不一定成立， 如时，，故与共线不一定成立， 故选：C. 7．（2025天津·联考）已知，不共线，，，（），若A，B，C三点共线，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求出，，根据共线得到方程，求出答案. 【详解】， ， 因为A，B，C三点共线，所以，即， 因为不共线，故， 解得. 故选：A 8．（2025天津静海·模拟预测）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 题型二 向量的线性表示 【技巧通法·提分快招】 向量的线性运算 口诀：(加法三角形)首尾连，连首尾； (加法平行四边形)起点相同连对角； (减法三角形)共起点，连终点，指向被减 9．（2025天津南开·模拟预测）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 10．（2024天津河东·调研）在中，，则为（    ） A．直角三角形 B．三边均不相等的三角形 C．等边三角形 D．等腰非等边三角形 【答案】C 【分析】将条件，利用向量加法的几何意义及数量积的运算转化为角平分线与高线合一可得等腰三角形；再利用数量积定义求解角，即可判断形状. 【详解】由，得， 由和分别是与、方向相同的单位向量， 如图，在边上取点，使， 作平行四边形，则， 由，则平行四边形为菱形，则对角线即为的平分线； 由，可得，故， 延长交于，即，则既是高线，也是的平分线， 为等腰三角形，且； 由， 所以，由，所以， 故，即为等边三角形. 故选：C. 11．（2024天津东丽·模拟预测）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，， 所以， 又因为， 所以,， 设,则， 所以， ， 所以 ， 令， 当单调递增，单调递减， 当，取最大值为. 故选：D 12．（2024天津南开·模拟预测）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得结果. 【详解】由题设 ， 所以，即， 又，故. 故选：A 13．（2022天津·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量减法运算法则直接计算. 【详解】由题意得，， 因为，， 所以. 故选：B 14．（2017天津·调研）如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 15．（2020天津河东·联考）在中，向量和满足，则为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．三边不等的三角形 【答案】C 【解析】根据中，，代入已知式子中，化简得，所以为等腰三角形． 【详解】解：中，， ， ， ， 为等腰三角形． 故选：C． 16．（2022天津北辰·调研）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】由可得，又，结合已知得，从而可得结果. 【详解】， ∴， ，可得， ∵ ∴则. 故选：A. 题型三 向量的数量积 【技巧通法·提分快招】 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义 17．（2023天津北辰·模拟预测）在中，已知，，，若，且，则在上的投影向量为（为与同向的单位向量），则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，建系，得到，，的坐标，然后利用坐标表示，最后分，，和四种情况讨论的范围. 【详解】在中，，，，所以，，如图，以为原点，为轴建系， 则，，，所以，又，所以， 当时， ； 当时，； 当时，； 当时， ； 综上所述，. 故选：C. 18．（2022天津静海·联考）已知，与的夹角为60°，则在上的投影为（    ） A．1 B．2 C．－2 D．－1 【答案】A 【分析】直接用定义即可求出. 【详解】由题可得在上的投影为. 故选：A. 19．（2021天津·联考）已知向量，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．向量的夹角为 D．在方向上的投影是 【答案】D 【分析】选项A，C，D均可利用向量数量积求解；选项B套用模长的坐标公式求解. 【详解】因为，，所以. 因为，所以，故选项A正确； 因为，所以，故选项B正确； 记向量，的夹角为，因为， 所以，即向量，的夹角为，故选项C正确； 在方向上的投影等于，故选项D错误. 故选：D. 20．（2021天津滨海新·调研）已知为单位向量，，当向量的夹角等于时，向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量投影数量公式可求得投影数量，由此可得投影向量. 【详解】向量在向量上的投影数量为， 向量在向量上的投影向量为. 故选：A. 21．（2024天津东丽·联考）已知M是内一点且，，若，和的面积分别为，x，y，则的最小值是（   ） A．16 B．10 C．8 D．6 【答案】B 【分析】利用向量的数量积的运算求得的值，利用三角形的面积公式求得的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可． 【详解】因为，， 所以，即， ，即， ， 当且仅当 ，即时等号成立， 故选：B． 22．（2023天津南开·调研）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合余弦定理求得，从而可求得，设，则，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形， 又， ， 则，即， 设， 则 又，则时，取最小值. 故选：C 23．（2025天津·模拟预测）已知菱形的边长为，，点，分别在边，上，，．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算律可得，求解即可. 【详解】因为，， 所以 ， 即， ，， 所以，解得. 故选：C. 24．（2024天津南开·联考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，，点O是的外心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求出边，利用数量积运算律，结合圆的性质列出方程组求解即得. 【详解】在中，由余弦定理及，得， 则，由，得，即， 于是，取中点，则，，同理， 而，则，解得， 所以. 故选：A 题型四 向量的模长 【技巧通法·提分快招】 求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义． 25．（2025天津和平·调研）若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 26．（2025·天津红桥·二模）已知向量是夹角为60°的单位向量，若对任意的 且 则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的运算，求得模长，整理不等式，构造函数研究其单调性，利用导数，可得答案. 【详解】已知向量的夹角为的单位向量，则， 所以， 所以对任意的，且，则， 所以，即， 设，即在上单调递减， 又时，，解得， 所以在上单调递增； 在上单调递减，所以， 故选：A． 27．（2024天津·模拟预测）若向量，满足，，则（    ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】C 【分析】由模与数量积的关系求得，再根据数量积的性质确定与的夹角，求解投影向量即可得结论. 【详解】对于A，，则，A错误； 对于B，，，则，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，又在上的投影向量为，D错误. 故选：C 28．（2024天津·调研）如图，在中，已知，，，，分别是，边上的点，且，，且，若线段，的中点分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得，，再根据并结合且，可得关于的函数式，由二次函数的性质即可求的最小值. 【详解】解：在中，，则，分别是边的点，线段的中点分别为 ∴，， ∴， ∴两边平方得： ， ∵， ∴， 又∵， ∴当时，最小值为，即的最小值为. 故选：B. 29．（2023天津·联考）如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三点共线，结合向量的线性运算将用表示，根据共线的条件得出参数值，然后对等式两边同时平方即可. 【详解】，又，即， 由三点共线可知，，即，故. 由题知，，. 将上式两边平方可得，，即. 故选：B 30．（2023天津南开·模拟预测）下列关于向量，，的运算，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数量积的定义及运算律，对各选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A，根据平面向量数量积的分配律可知一定成立，故A正确； 对于B，由数量积的结果为数量，则表示与共线的向量，表示与共线的向量， 所以与不一定相同，故B错误； 对于C，设与的夹角为，则，因为， 所以，故C正确； 对于D，，， 由选项C知，则， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：B. 31．（2023天津红桥·模拟预测）正六角星是我们生活中比较常见的图形，如图二所示的正六角星的中心为O，A，B，C是该正六角星的顶点，给出下列命题，则正确的命题个数为（    ） ①向量，夹角的余弦值是；②若，则；③若，则；④若，非零向量，则的最小值为 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】对于①，由正六角星的性质即可判断；对于②，利用平面向量的线性运算即可判断；对于③，利用转化法即可求得，从而得以判断；对于④，利用转化法求得，再结合二次函数的性质即可得解. 【详解】对于①，由题意可知，则，故①正确； 对于②，记点关于点的对称点为点，如图， 由题意可知，则，故②错误； 对于③，因为，所以，， 则，故③正确； 对于④，因为， 所以， 则， 由二次函数的性质可知，当时，取最小值，故④正确； 综上：①③④正确，即正确的命题个数为. 故选：D. 32．（2018天津·模拟预测）已知向量的夹角是，，则的值是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量的夹角是，，所以. . . . 故选A. 题型五 投影向量 【技巧通法·提分快招】 求投影的两种方法： (1)b在a方向上的投影为|b|cos θ(θ为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos θ. (2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为. 33．（2025天津河西·模拟预测）已知向量且在上的投影向量为则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算公式求出，再由即可判断. 【详解】由可得，， ， 因在上的投影向量为，故，则， 因，则， 即与的夹角为. 故选：C. 34．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）已知两个单位向量的夹角为，则下列说法正确的有（    ） ①在上的投影向量为② ③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】对于①，根据在上的投影向量为即可判断；对于②，根据即可判断；对于③，根据即可判断；对于④，根据若，则即可判断. 【详解】对于①，在上的投影向量为，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，，故③正确；， 对于④，故④正确. 故选：D 35．（2025天津·联考）已知向量在向量方向上的投影向量的模为，向量在向量方向上的投影向量的模为1，且，则向量与向量的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量投影向量的模的定义得出与之间的关系，再利用向量垂直得到向量数量积为零建立一个方程，将关系式代入方程中，结合向量夹角的范围解出即可. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量的模为， 向量在向量方向上的投影向量的模为1， 所以，， 所以有：， 因为， 所以 ， 即 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 36．（2025天津·调研）已知，且在方向上的投影向量为单位向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知模相等平方后得，再求出在方向上的投影，由投影向量的模为可得结论． 【详解】 ∴， 因为在方向上的投影向量为单位向量， 所以， 故选：A． 37．（2025天津·联考）下列四个命题，其中真命题是（    ） A．点关于平面对称的点的坐标是 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．若，，则点到直线的距离为 D．向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 【答案】C 【分析】对于A，根据面对称点性质可判断，对于B，利用空间向量判断线面关系即可；对于C，根据向量投影坐标公式，勾股定理求解判断即可；对于D，根据向量投影坐标公式即可判断. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，故A错误； 对于B，，所以，则或，故B错误； 对于C，，所以， 则点到直线的距离为，故C正确； 对于D，根据向量投影坐标公式，故D错误. 故选：C 38．（2025天津河东·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过向量线性运算、向量平行求得参数，根据投影向量求法求解即可. 【详解】因为向量， 所以， 因为，则，解得， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 39．（2024天津·联考）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量加减法以及向量垂直的坐标表示可得，由投影向量定义可求得结果. 【详解】根据题意可知， 由可得，解得，所以； 所以向量在上的投影向量为. 故选：D 40．（2023天津·调研）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的运算法则将已知等式化简得到，进而得到为正三角形，从而得到结论. 【详解】如图，由即知O为的中点，如图：    又∵O为的外接圆圆心，，， 又，，为正三角形， 则， 在上的投影向量为. 故选：C. 题型六 最值与取值范围 【技巧通法·提分快招】 平面向量最值范围问题的常用方法 第1步：利用向量的概念及其基本运算将所求的问题转化为相应的等式关系； 第2步：运用基本不等式求其最值问题； 第3步：得出结论. 41．（2023天津·联考）在中，，，.若，分别为边，上的点，且满足，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基底法进行转化并结合数量积运算公式、二次函数相关知识求解即可. 【详解】由题意得，，， 因为，， 所以，， 所以， 因为， 所以， 函数开口向下，对称轴为， 当时，取最大值. 故选：A 42．（2021·天津南开·二模）在直角梯形中，，，，为边上一点，，为直线上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，、所在的直线分别为轴建立平面直角坐标系，可得的坐标，由得到的坐标，设，由可得答案. 【详解】以为原点，、所在的直线分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 所以， 设，则，，因为， 所以，解得，， 所以直线所在的直线方程为，设， ，， 所以 ，因为为直线上一点， 所以当时有最大值，为， 故选：C. 43．（2021天津武清·模拟预测）下列四个结论，正确的个数是（    ） ①在中，若，则； ②若，则存在唯一实数使得； ③若，，则； ④在中，若，且，则为等边三角形； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①由,则，由正弦定理可得判断；②由若且，则存在唯一实数使得可判断; ③当时不成立，从而可判断；④在中在的角平分线上，可得，由可得可判断. 【详解】①在中，若,则，由正弦定理可得：，所以正确. ②若且，则存在唯一实数使得，故当时，②不正确. ③当时，满足，，但与不平行，故不正确. ④在中，为方向的单位向量，为方向的单位向量， 设中，的角平分线交于点. 所以在的角平分线上，由 所以, 所以 又,所以，又 所以 ,所以为等边三角形，故④正确. 故选：B 44．（2020天津南开·调研）如图，在边长为2的正三角形中，D，E分别为边，上的动点，且满足 （m为定常数，且），若的最大值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以中点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，设，其中，根据题中条件，表示出，结合二次函数最值，即可求出结果. 【详解】解：以中点为坐标原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示平面直角坐标系， 因为正三角形边长为2，所以，，， 则，， 因为为边上的动点，所以设，其中， 则，所以； 又，所以，因此， 所以，， 故 ， 因为，所以，又， 所以当且仅当时，取得最大值， 即，整理得，解得或（舍）； 故选：A. 45．（2020天津河西·模拟预测）已知梯形中，，且，，，，点在上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作DM⊥AB，根据可得M为AB中点，求出DM的长，建立坐标系，设F（1，m），得出关于m的式子，从而得出答案． 【详解】∵，∴E为CD的中点，过D作DM⊥AB，垂足为M， 则cos∠ABD＝2cos∠ABD＝2， ∴cos∠ABD＝1，即BM＝1，∴M为AB的中点． 又BM∥CD，BM＝CD＝1，DM⊥AB，∴四边形MBCD是矩形． ，可得∠BAD＝，AM＝AB＝1，∴DM＝， 以D为原点，以DC，DM为坐标轴建立平面直角坐标系， 则E（，0），A（﹣1，），设F（1，m），则0≤m≤， ∴当m＝时，取得最小值， 当m＝0或m＝时，取得最大值1． 故选：C 46．（2020天津武清·模拟预测）设是边长为1的等边三角形，M为所在平面内一点，且，则当取最小值时，λ的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】由可推出，进而可得，令，则，然后，然后运用二次函数的知识可得到答案. 【详解】因为， 所以，即 所以，所以 令，则，即 所以， 所以 所以当，即时取得最小值 故选：A 47．（2020天津南开·调研）四边形ABCD中，，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数形结合分析数量积的取值范围即可. 【详解】画出图象,因为,故四点共圆.又, 易得. . 易得当在时取最小值, 当在时取最大值.故的取值范围是. 故选：C 48．（2021天津·联考）在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值. 【详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，， ，，， 因为点在线段的延长线上，设， 解得 ， 所在直线的方程为 因为点在边所在直线上，故设 当时 故选： 题型七 建系法的应用 【技巧通法·提分快招】 坐标法 第1步：根据题意建立适当的直角坐标系，并推导关键点的坐标； 第2步：将平面向量的运算坐标化； 第3步：运用适当的数学方法如二次函数、基本不等式的思想、三角函数思想等求解. 49．（2022天津·模拟预测）在平行四边形ABCD中，，则BD等于（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形的性质及余弦定理可求解. 【详解】， ， 在中，由余弦定理可得， ， ， . 故选：D. 50．（2021天津静海·模拟预测）平面向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C．4 D．1 【答案】B 【分析】由题设条件先求出向量的模，再由数量积运算公式求出的值得解. 【详解】解：，， ， 又平面向量与的夹角为，， ， 故选：B 51．（2021天津南开·调研）已知是平面内两个夹角为的单位向量，设为同一平面内的两个向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意不妨设，求出向量的坐标，设，得出点的轨迹方程，由圆的性质可解得答案. 【详解】由条件是平面内两个夹角为的单位向量，不妨设 则，设 由，得 所以点在圆上. 又表示圆上的点和点间的距离. 所以 故选：B 52．（2022天津·联考）已知向量.若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用共线向量定理求解. 【详解】解：因为向量， 所以， 因为， 所以， 解得， 故选：B 53．（2020天津·联考）如图，，点是线段上的一个动点，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意以为坐标原点，建立面直角坐标系，用坐标表示出，然后进行运算。 【详解】解： 所以可建立以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 直线的方程为 因为是线段上的一个动点，所以可设，则 ， 当时， 故选： 54．（2020天津静海·调研）若，，则与向量同向的单位向量是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】容易求出，，从而可求出与向量同向的单位向量. 【详解】解：由已知得，则， ∴与向量同向的单位向量是：. 故选：A. 55．（2025天津静海·调研）已知 则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法坐标运算、数量积坐标运算，坐标表示向量的共线判断，以及坐标求向量模长公式即可逐一判断. 【详解】因为，， 则，，故A错误，B正确； 又因为，所以与不共线，故C错误； 又因为，，所以，故D错误， 故选：B. 56．（2025天津蓟州·模拟预测）已知，且三点共线.则（    ） A． B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】根据向量共线的坐标表示，计算即可. 【详解】因为三点共线，所以与共线，则有，解得. 故选：A. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·天津河北·模拟预测）如图，在中，D是边AB上一点，且，点E是CD的中点．设，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用向量加减、数乘的几何意义用，表示出即可. 【详解】由题设，， 所以. 故选：B 2．（2025·天津红桥·模拟预测）若向量，，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果. 【详解】由，， 则. 故选：A. 3．（2025·天津红桥·模拟预测）已知，，与夹角的大小为，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的定义求两个向量的数量积. 【详解】因为. 故选：B 4．（2025·天津红桥·模拟预测）已知向量，，若，则y的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由，则，解得. 故选：D. 5．（2025·天津·二模）已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值. 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由对称性，不妨令点在第一象限，设， 则，由B在线段AD上， 得，整理得，而， 则，由P，B，F共线， 得，整理得，解得， 于是，过作于，所以. 故选：B 6．（2025·天津河西·一模）如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用四点共面中的向量关系来求解，再利用三棱锥体积变换来求比值，从而解答问题. 【详解】如图所示， 由四点共面，且四边形为正方形， 可得， 由，，设， 可得：，即， 根据四点共面，可得， 即， 设，分别是点到平面和点到平面的距离，则， 所以， ，， 同理，， ，， 则四棱锥与四棱锥的体积比为. 故选：D. 7．（2024·天津北辰·模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，两定点，满足，则点集所表示的区域的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得是等边三角形，不妨设，，且，求得，结合，分类讨论得到区域的形状，进而求得其面积. 【详解】由题意知，可得， 因为，所以，所以是等边三角形， 不妨设，，且 因为，可得， 即，所以，解得， 又因为， 可得或或或， 此时，可得可行域为矩形及其内部的区域， 其中，区域的面积为. 故选：D. 8．（2024·天津和平·二模）平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，得，，，四点共圆，从而判断点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点），根据数量积的几何意义，得出结论． 【详解】由，，， 可得，故， 又，所以， 以为直径作圆，则，，，四点共圆， 如图所示，故点的轨迹是以为弦，圆周角为的劣弧（不含，两点）， 则， 又表示在上的投影， 由图可知，，， 故（此时点在劣弧的中点位置）， 即的最小值为． 故选：D． 9．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 10．（2024·天津·二模）已知向量，其中且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据两个向量平行的充要条件，写出向量的坐标之间的关系，之后得出，利用基本不等式求得其最小值，得到结果. 【详解】∵， ，其中，且， ∴， ∴， 当且仅当即时取等号， ∴的最小值为. 故选：A. 11．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解. 【详解】在中，，， 由余弦定理，得，即，于是有. 由，得，即,于是有. 联立，得， 由，得, 将代入中，得. 由，，，知, 所以, 因为， 所以, 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故当时，取得最大值为. 故选：B. 12．（2023·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答. 【详解】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A 13．（2023·天津和平·三模）如图，在中，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将用表示，利用列方程，解方程求得的值. 【详解】依题意 ， 又. 由于，所以， 即， 即， 即， 即，解得. 故选：A. 14．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】A 【分析】求出，由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可． 【详解】，，所以，则， 又因为， 所以，所以 由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 取的中点，则， 所以， 故选：A 2．（2023·天津·二模）在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知平面四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形且边长为，由可知，即可求出相关的角度和长度，把分解为向量之和，用数量积公式化简为即可得到最大值，再由基本不等式即可得到最小值. 【详解】如图，设交于.不妨设点到点的距离大于点到点的距离. 由可知且，所以平面四边形是平行四边形. 设，因为， 所以， 所以，所以平面四边形是菱形. 又因为，即, 所以，因为，所以， 所以.， 因为，所以. 所以 当，即点在处或点在处时，有最大值， 因为， 当且仅当时等号成立，所以有最小值. 所以的取值范围为. 故选：A 3．（2023·天津·一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解. 【详解】，， 梯形为直角梯形， ， ，即， 由，同理可得， 又向量在向量上的投影向量的模为4，所以， 以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， ， 所以， 由且可得， 令，则由对勾函数单调性知， 当时单调递减，时单调递增， 故，由知，， 故， 故选：D 4．（2022·天津红桥·一模）如图，四边形ABCD中，，，，，，M，N分别是线段AB，AD上的点且，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】首先求得以及，然后结合二次函数的性质求得的最大值. 【详解】设， 由于，所以， 依题意四边形ABCD中，，，，， 设，则， 所以， 所以， 由得， 所以， 在三角形中，由余弦定理得， 依题意，设，则，其中， 所以， 当时等号成立. 所以的最大值为. 故选：A 5．（2021·天津河东·一模）已知圆上有三点、、，且，为中点，延长线与圆交于点，如图，，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】连接，设，，，则，根据三角形相似可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出，即可得解. 【详解】连接，因为是圆的直径，则， 故， 所以，， ，，则， 设，，，则， 由可得， 所以，，解得或 . 为的中点，则， 当，时，； 当，，时，. 综上所述，或. 故选：C. 具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用． 6．（2021·天津河西·三模）在中，，，，若，，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设则，在△中，由正余弦定理求、、，结合已知可得、，可求，分别在△、△中求、，而，结合向量数量积的定义有，即可求值. 【详解】设，则， 由题意知：，即， 由正弦定理知：，即，. ∵，则有，， ∴，即. 在△中，，则，故， 在△中，，则，故， ∵，而，， ∴，即. 故选：D. 7．（2021·天津南开·三模）如图，已知B，D是直角C两边上的动点，，，，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立平面直角坐标系，再由题中条件得到、分别为、的中点，求得，；点是以为直径的圆上的点，设，用坐标表示出，进而可求出其最大值. 【详解】由题意，以点为坐标原点，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系， 因为，，所以， 则，，， 又，， 所以、分别为、的中点， 因此，， 又，所以点可看作以为直径的圆上的点， 设，则，即， 又，， 所以， 令，即， 所以点为直线与圆的一个交点， 因此圆心到直线的距离小于等于半径，即， 解得， 所以的最大值为. 故选：C. 8．（2021·天津河西·模拟预测）在矩形中，边的长分别为2，1，若分别是边上的点，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立坐标系，设，根据条件，求得a,b的关系，代入数量积公式，即可求得答案. 【详解】如图建系， 所以，设，则， 因为，所以，即， 又， 所以， 故选：B. 34 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $$