第三单元：分数除法（知识清单）数学人教版六年级上册

人教版六年级数学上册第三单元：分数除法（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：倒数的认识 1、倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 2、特殊数的倒数 （1）1的倒数是它本身。 （2）0没有倒数。 （3）真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1。 3、求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【名师点拨】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1、分数除以整数 （1）定义：分数除以整数（0除外），表示把这个分数平均分成若干份，求其中一份是多少。 （2）计算方法： 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【名师点拨】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2、一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【名师点拨】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3、被除数与商的变化规律 在分数除法中（除数不为0），被除数、除数与商的关系遵循以下规律： （1）除数大于1时：商小于被除数。 （2）除数等于1时：商等于被除数。 （3）除数小于1（且不为0）时：商大于被除数。 【名师点拨】 （1）规律的前提是“除数不为 0”。 （2）避免忽略“除数的大小范围”直接判断商与被除数的关系，如误认为“分数除法的商一定大于被除数”（实际当除数大于1时，商小于被除数）。 知识点03：分数四则混合运算 1、运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2、简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【名师点拨】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒 “先乘除后加减” 的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 解题思路：先找准单位“1”（“的几分之几”前面的量），设单位“1”为未知数x，根据“单位‘1’的量×几分之几=已知量” 列方程求解；或直接用“已知量÷几分之几”计算（对应分数除法的意义）。 【名师点拨】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【名师点拨】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率） =已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【名师点拨】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： 工作总量=工作效率×工作时间。 工作时间=工作总量÷工作效率。 合作工作时间=工作总量÷（甲工作效率+乙工作效率）（多人合作时，效率相加）。 【名师点拨】 （1）工作总量默认看作“1”，无需考虑实际具体工作量，若题目给出具体工作量，则用具体量计算，避免机械套用“单位1”。 （2）合作效率是“各效率之和”，不是“效率之积”，需牢记“合作时效率相加”。 （3）结果若为分数，需根据题目要求判断是否化为带分数或小数，若无要求，保留最简分数即可。 考点1：倒数的认识 【典型例题】的倒数与的积是（ ），与0.25的和的倒数是（ ）。 【练习1】的倒数是（ ），（ ）的倒数是0.25，和（ ）互为倒数。 【练习2】如果a、b互为倒数，那么×＝（     ）。 A． B． C． D． 考点2：分数除法 【典型例题1】粗心的小虎计算一个数除以时，错算成乘，得到的结果是10，正确的结果应该是多少？ 【典型例题2】计算。 ＝                                ＝                              【练习1】下面可以表示÷2的是（    ）。 A． B． C． D． 【练习2】六年级有两个班，一班男生有21人，是二班男生数的，二班有多少男生？ 考点3：被除数与商的变化规律 【典型例题】下面各题的商大于被除数的是（     ）。 A． B． C． D． 【练习】下面三个除法算式中，商比被除数大的是（     ）。 A．÷3 B．9÷ C．6÷ 考点4：分数方程 【典型例题】妈妈买了一件上衣和一条裤子共花了620元，裤子的单价是上衣的，上衣和裤子的单价各是多少元？ 【练习】求未知数。                            考点5：分数四则混合运算 【典型例题】有30本故事书，故事书比连环画少，连环画有（     ）本。 A．36 B．30 C．25 D．20 【练习】计算下面各题，能简算的要简算。            考点6：解决问题 【典型例题1】运动场上踢足球与打篮球的学生共有32人，打篮球的人数是踢足球的，足球场上踢足球的与打篮球的各有多少人？ 【典型例题2】淘气读一本540页的书，第一周看了全书的，比第二周多看全书的，第二周看了多少页？ 【典型例题3】红星小学六年级（1）班全体学生参加劳动实践教育，其中的同学去植树，剩下的24名同学浇水。六年级（1）班一共有多少名学生？ 【典型例题4】铺设一条城市雨水管道，甲队单独铺设需要15天完成，乙队单独铺设需要12天完成。如果两队合作，多少天能铺设这条雨水管道的？ 【练习1】中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天北京的黑夜时间比白昼时间短。白昼和黑夜分别是多少小时？ 【练习2】要做80朵花布置会场，王丽单独做需要5小时，小敏单独做需要8小时，他们合作完成，需要几小时？ 【练习3】张叔叔四、五月两月送快递约12000件，四月份是五月份的，张叔叔四月份送快递多少件？（列方程解答） 一、选择题 1．下面一组数互为倒数的是（     ）。 A．和 B．和0 C．和0.6 2．一个数的是5，这个数的是（     ）。 A．14 B．11 C．10 3．a、b、c是自然数。，下面排列顺序正确的是（     ）。 A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c 4．一袋土豆，吃了它的，还剩30千克，这袋土豆原有（     ）千克。 A．20 B．50 C．75 5．如果甲数的等于乙数的（甲数不为0），那么（     ）。 A．甲数＝乙数 B．甲数＞乙数 C．甲数＜乙数 二、填空题 6．（ ）和0.5互为倒数，是（ ）的倒数。 7．（ ）          （ ） 8．（ ）吨比24吨多，24米是（ ）米的。 9．王大爷共养山羊和绵羊480只，绵羊只数是山羊的。山羊有（ ）只，绵羊有（ ）只。 10．王师傅小时做16个零件，他小时可做（ ）个零件。 11．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）  （ ）       （ ） 12．已知a和b互为倒数，那么（ ），（ ）。 13．a和b是两个不为0的自然数，a×＝b×，那么a（ ）b。（填“＞”“＜”或“＝”。） 14．一项工程，甲队单独做需要10小时，乙队单独做需要8小时，甲、乙合作（ ）小时能完成这项工程的。 15．60米比80米少；46小时的是（     ）小时；350吨比（     ）多。 16．小芳看一本故事书，第一天看了全书的，第二天接着从第58页往后看。第一天看了（ ）页，这本书共（ ）页。 三、判断题 17．的倒数是。（ ） 18．因为1的倒数是1，所以0的倒数是0。（ ） 19．。（ ） 20．一个数（0除外）除以假分数，商一定比这个数小。（ ） 21．篮球的个数是足球的，那么篮球的个数比足球少。（ ） 四、计算题 22．直接写出得数。                                          23．脱式计算。                  五、解答题 24．甲堆货物的与乙堆货物的相等。已知乙堆货物重280千克，那么甲堆货物有多少吨？ 25．在一次庆国庆长跑拉练赛中，一位运动员小时跑了25千米，正好跑了全程的。本次长跑拉练赛全程多少千米？ 26．一张课桌比一把椅子贵40元，如果椅子的单价是课桌单价的，课桌和椅子的单价各是多少元？（列方程解答） 27．小红读一本故事书，已读的页数是未读页数的，如果再读10页，这时已读的页数占全书页数，这本书共有多少页？ 28．一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，离中点还有15千米，从甲地到乙地的路程是多少千米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版六年级数学上册第三单元：分数除法（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：倒数的认识 1、倒数的定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。 2、特殊数的倒数 （1）1的倒数是它本身。 （2）0没有倒数。 （3）真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1。 3、求倒数的方法 （1）分数的倒数：交换分子和分母的位置。 （2）整数（0 除外）的倒数：先把整数看成分母是1的分数，再交换分子和分母。 （3）小数的倒数：先把小数化成分数，再求倒数。 【名师点拨】 （1）避免混淆“互为倒数”的表述，强调“互为”，即若a×b=1，则a是b的倒数，b也是a的倒数，不能单独说“某数是倒数”。 （2）0 没有倒数，这是高频易错点，需重点记忆；1的倒数容易误写成其他数，要明确1的倒数是自身。 （3）求带分数的倒数时，必须先把带分数化成假分数，再交换分子分母，不能直接对带分数的整数部分和分数部分颠倒。 知识点02：分数除法运算 1、分数除以整数 （1）定义：分数除以整数（0除外），表示把这个分数平均分成若干份，求其中一份是多少。 （2）计算方法： 方法一（平均分思路）：用分子除以整数，分母不变（仅适用于分子能被整数整除的情况）。 方法二（通用思路）：转化为乘法，即分数除以整数（0除外），等于分数乘这个整数的倒数。 【名师点拨】 （1）整数必须不为0，因为0不能作除数，这是除法的基本规则，需始终牢记。 （2）方法一有局限性，当分子不能被整数整除时，必须用方法二，因此优先掌握 “乘倒数” 的通用方法。 （3）计算时要注意约分时机：可先约分再计算，避免计算后分子分母过大导致结果不是最简分数。 2、一个数除以分数 （1）定义：一个数除以分数，表示已知一个数的几分之几是多少，求这个数；或表示求一个数里包含几个另一个分数。 （2）计算法则：一个数除以一个不为0的分数，等于这个数乘该分数的倒数。 【名师点拨】 （1）必须确保除数（分数）不为0，且转化为乘法时，是“乘除数的倒数”，不是“乘被除数的倒数”。 （2）计算过程中，能约分的要先约分，最后结果需化为最简分数或整数。 （3）小数除以分数时，若小数能和分数的分母直接约分，也可直接计算，但优先推荐将小数化成分数，避免小数与分数约分出错。 3、被除数与商的变化规律 在分数除法中（除数不为0），被除数、除数与商的关系遵循以下规律： （1）除数大于1时：商小于被除数。 （2）除数等于1时：商等于被除数。 （3）除数小于1（且不为0）时：商大于被除数。 【名师点拨】 （1）规律的前提是“除数不为 0”。 （2）避免忽略“除数的大小范围”直接判断商与被除数的关系，如误认为“分数除法的商一定大于被除数”（实际当除数大于1时，商小于被除数）。 知识点03：分数四则混合运算 1、运算顺序：与整数四则混合运算顺序一致，遵循 “先算乘除，后算加减；有括号的先算括号里的，再算括号外的；同级运算（只有乘除或只有加减）从左往右依次计算”。 2、简便运算：整数的运算定律（加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律）同样适用于分数四则混合运算。 【名师点拨】 （1）严格遵循运算顺序，不可随意颠倒 “先乘除后加减” 的规则。 （2）运用运算定律简便计算时，要注意符号和数字的对应。 （3）计算过程中，分数的加减需先通分，乘除需注意约分，最后结果要化为最简分数，避免出现“假分数未化带分数”“分数未约分”等问题。 知识点04：解决问题 类型1：已知一个数的几分之几是多少，求这个数 解题思路：先找准单位“1”（“的几分之几”前面的量），设单位“1”为未知数x，根据“单位‘1’的量×几分之几=已知量” 列方程求解；或直接用“已知量÷几分之几”计算（对应分数除法的意义）。 【名师点拨】 （1）找单位“1”是关键，常见的单位“1” 标志词有“是”“占”“比”“相当于” 等，其后的量通常是单位“1”。 （2）避免将“已知量”与“几分之几”的位置颠倒。 类型2：已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数 解题思路：先确定单位“1”（“比” 后面的量），明确“多（或少）几分之几”是“比单位‘1’多（或少）单位‘1’的几分之几”，即已知量对应的分率是“1 +几分之几”（多）或“1－几分之几”（少），再用方程或算术法求解。 【名师点拨】 （1）区分“多（或少）几分之几”与“多（或少）具体数量”：前者是分率（无单位），需用“1±分率”找对应关系；后者是具体量（有单位），直接用“已知量±具体量”计算，避免混淆。 （2）列方程时，需明确“单位‘1’的量×（1 ±分率） =已知量”，不可漏“1”。 类型3：已知一部分量占总量的几分之几及另一部分量，求总量 解题思路：总量是单位“1”，先求出“另一部分量”占总量的对应分率（用单位“1”减去“已知部分量的分率”），再根据 “分数除法的意义”——“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用“另一部分量的具体值÷对应分率=总量”。 【名师点拨】 （1）找准单位“1”：单位“1”一定是“总量”（如绳子原长、总人数、工程总长），不能将“部分量”当作单位“1”。 （2）分率与具体量必须对应：必须确保“另一部分量的具体值”和“它对应的分率” 匹配。 类型4：工程问题 （1）基本模型：工程问题通常将工作总量看作单位“1”，工作效率表示为“单位时间内完成工作总量的几分之几”。 （2）核心公式： 工作总量=工作效率×工作时间。 工作时间=工作总量÷工作效率。 合作工作时间=工作总量÷（甲工作效率+乙工作效率）（多人合作时，效率相加）。 【名师点拨】 （1）工作总量默认看作“1”，无需考虑实际具体工作量，若题目给出具体工作量，则用具体量计算，避免机械套用“单位1”。 （2）合作效率是“各效率之和”，不是“效率之积”，需牢记“合作时效率相加”。 （3）结果若为分数，需根据题目要求判断是否化为带分数或小数，若无要求，保留最简分数即可。 考点1：倒数的认识 【典型例题】的倒数与的积是（ ），与0.25的和的倒数是（ ）。 【答案】 / 【分析】互为倒数的两个数的乘积是1，先求出的倒数，再乘求它们的积即可；先求出与0.25的和，再求出倒数即可解答。 【详解】的倒数是； ×＝ 的倒数与的积是。 ＋0.25＝ 的倒数是。 【练习1】的倒数是（ ），（ ）的倒数是0.25，和（ ）互为倒数。 【答案】 4 / 【分析】将带分数化成假分数，小数化成最简分数，交换假分数和真分数分子和分母的位置，即可得到它的倒数，据此分析。 【详解】， 0.25＝ 的倒数是，4的倒数是0.25，和互为倒数。 【练习2】如果a、b互为倒数，那么×＝（     ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】乘积是1的两个数互为倒数。 如果a、b互为倒数，则ab＝1；然后根据分数乘分数的计算法则进行×的计算，并把ab＝1代入式子中计算出结果即可。 【详解】因为a、b互为倒数，则ab＝1； ×＝＝＝ 故答案为：A 考点2：分数除法 【典型例题1】粗心的小虎计算一个数除以时，错算成乘，得到的结果是10，正确的结果应该是多少？ 【答案】 【分析】这个数乘积是10，可以计算出这个数，最后计算这个数除以的商即可。 【详解】 ＝ ＝ 答：正确的结果应该是。 【典型例题2】计算。 ＝                                ＝                              【答案】；；；； ；；；； 【练习1】下面可以表示÷2的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】÷2”表示求的一半是多少，据此一一分析各个选项，找出正确答案。 【详解】A．是求整体的一半，而不是求的一半，不能表示“÷2”； B．是求的是多少，可以表示×，不能表示“÷2”； C．是求的一半，能表示“÷2”； D．表达不明确，不能表示“÷2”； 故答案为：C 【练习2】六年级有两个班，一班男生有21人，是二班男生数的，二班有多少男生？ 【答案】24人 【分析】把二班男生的人数看成单位“1”，它的就是一班男生的人数21人，根据分数除法的意义，用21人除以即可求出二班男生的人数。 【详解】21÷＝21×＝24（人） 答：二班男生有24人。 考点3：被除数与商的变化规律 【典型例题】下面各题的商大于被除数的是（     ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； 一个数（0除外）除以1，商等于原来的数。 【详解】A．2＞1，所以，商小于被除数，不符合题意； B．，所以，商小于被除数，不符合题意； C．，所以，商大于被除数，符合题意； D．，商等于被除数，不符合题意。 故答案为：C 【练习】下面三个除法算式中，商比被除数大的是（     ）。 A．÷3 B．9÷ C．6÷ 【答案】B 【分析】根据“商与被除数的大小关系”解答。 一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大。 【详解】A．3＞1，所以÷3＜，商比被除数小； B．＜1，所以9÷＞9，商比被除数大； C．＞1，所以6÷＜6，商比被除数小； 所以，这三个除法算式中，商比被除数大的是9÷。 故答案为：B 考点4：分数方程 【典型例题】妈妈买了一件上衣和一条裤子共花了620元，裤子的单价是上衣的，上衣和裤子的单价各是多少元？ 【答案】上衣465元；裤子155元 【分析】根据“裤子的单价是上衣的”，可以设上衣的单价是元，则裤子的单价是元。 根据“买一件上衣和一条裤子共花了620元”可得出等量关系：一件上衣的价钱＋一条裤子的价钱＝上衣和裤子的总价，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设上衣的单价是元，则裤子的单价是元。 ＋＝620 ＝620 ＝620÷ ＝620× ＝465 裤子：620－465＝155（元） 答：上衣的单价是465元，裤子的单价是155元。 【练习】求未知数。                            【答案】；； 【分析】根据等式的性质解方程。 （1）方程两边同时乘，求出方程的解； （2）方程两边同时除以，求出方程的解； （3）方程两边同时加上，求出方程的解。 【详解】（1） 解： ， （2） 解： ， ， （3） 解： ， ， 考点5：分数四则混合运算 【典型例题】有30本故事书，故事书比连环画少，连环画有（     ）本。 A．36 B．30 C．25 D．20 【答案】A 【分析】把连环画的本数看作单位“1”故事书是连环画的（1－），对应的是30本，求单位“1”，用故事书的本数÷（1－），即可求出连环画的本数，据此解答。 【详解】30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝36（本） 有30本故事书，故事书比连环画少，连环画有36本。 故答案为：A 【练习】计算下面各题，能简算的要简算。            【答案】；； 【分析】（1）把变成，再利用乘法分配律简便计算； （2）除以变成乘，再利用乘法分配律简便计算； （3）先计算小括号里的分数除法，再计算小括号外的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ 考点6：解决问题 【典型例题1】运动场上踢足球与打篮球的学生共有32人，打篮球的人数是踢足球的，足球场上踢足球的与打篮球的各有多少人？ 【答案】踢足球的有22人，打篮球的有10人。 【详解】以踢足球的人数为单位“1”，32人对应的分率是（），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数（单位“1”的量）用除法计算，可列式，从而求得单位“1”的量，进而求得打篮球的人数。据此解答。 【点睛】 ＝ ＝ ＝22（人） 32－22＝10（人） 答：踢足球的有22人，打篮球的有10人。 【典型例题2】淘气读一本540页的书，第一周看了全书的，比第二周多看全书的，第二周看了多少页？ 【答案】90页 【分析】求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用540乘即可得到第一周看的页数；把第二周看的页数看作单位“1”，则第一周看的页数是第二周的（1＋），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用第一周看的页数除以（1＋）即可求出第二周看了多少页。 【详解】540×＝108（页） 108÷（1＋） ＝108÷ ＝108× ＝90（页） 答：第二周看了90页。 【典型例题3】红星小学六年级（1）班全体学生参加劳动实践教育，其中的同学去植树，剩下的24名同学浇水。六年级（1）班一共有多少名学生？ 【答案】40名 【分析】首先，把六年级（1）班全体学生人数看作单位“1”，其中的同学去植树，那么剩下浇水的同学占比为1－＝。已知浇水的同学有24名，而这24名同学占全班人数的。这里运用了分数的概念，求出浇水同学占全班的比例，然后根据这个比例来计算全班人数。 【详解】24÷（1） ＝24÷ ＝24× ＝40（名） 答：六年级（1）班一共有40名学生。 【典型例题4】铺设一条城市雨水管道，甲队单独铺设需要15天完成，乙队单独铺设需要12天完成。如果两队合作，多少天能铺设这条雨水管道的？ 【答案】天 【分析】把这条管道的全长看作单位“1”，甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，甲、乙两队工作效率的和是（＋），工作总量是。根据工作总量÷工作效率的和＝工作时间，用÷（＋）可求出铺设这条雨水管道的所用的时间。 【详解】÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（天） 答：天能铺设这条雨水管道的。 【练习1】中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天北京的黑夜时间比白昼时间短。白昼和黑夜分别是多少小时？ 【答案】15小时；9小时 【分析】一天有24小时，将白昼时间看作单位“1”，黑夜时间是白昼时间的（1－），全天时间是白昼时间的（1－＋1），全天时间÷对应分率＝白昼时间，全天时间－白昼时间＝黑夜时间，据此列式解答。 【详解】24÷（1－＋1） ＝24÷ ＝24× ＝15（小时） 24－15＝9（小时） 答：白昼和黑夜分别是15小时，9小时。 【练习2】要做80朵花布置会场，王丽单独做需要5小时，小敏单独做需要8小时，他们合作完成，需要几小时？ 【答案】小时 【分析】把这项工作看作单位“1”，王丽单独做需要5小时，则王丽的工作效率为；小敏单独做需要8小时，则小敏的工作效率为，再根据工作时间＝工作总量÷工作效率求得他们合作完成所需要的时间。据此解答即可。 【详解】1÷（＋） ＝1÷（） ＝1÷ ＝1× ＝（时） 答：他们合作完成，需要小时。 【练习3】张叔叔四、五月两月送快递约12000件，四月份是五月份的，张叔叔四月份送快递多少件？（列方程解答） 【答案】5000件 【分析】由题可得：四月份送的快递件数＋五月份送的快递件数＝12000件，设张叔叔五月份送快递件，因为四月份是五月份的，则四月份送快递件，根据等量关系式可列方程：，解出方程后，即可求出张叔叔四月份送快递多少件。 【详解】解：设张叔叔五月份送快递件，则四月份送快递x件。 ， ， ， ， ×7000＝5000（件） 答：张叔叔四月份送快递5000件。 一、选择题 1．下面一组数互为倒数的是（     ）。 A．和 B．和0 C．和0.6 【答案】C 【分析】根据倒数的意义，乘积是一的两个数互为倒数。据此解答。 【详解】A．，，不符合题意； B．，，不符合题意； C．，符合题意，和0.6互为倒数。 故答案为：C 2．一个数的是5，这个数的是（     ）。 A．14 B．11 C．10 【答案】A 【分析】已知一个数的是5，把这个数看作单位“1”，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算； 再求这个数的是多少，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。 【详解】5÷× ＝5×× ＝18× ＝14 这个数的是14。 故答案为：A 3．a、b、c是自然数。，下面排列顺序正确的是（     ）。 A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．b＞a＞c 【答案】B 【分析】令算式，分别求出a、b、c的值，再比较大小即可。 【详解】令 那么：a×＝1 a＝1÷ ＝1× ＝ b＝1÷ ＝1× ＝ c＝1÷ ＝1×1 ＝1 因为＞1＞，所以b＞c＞a。 故答案为：B 4．一袋土豆，吃了它的，还剩30千克，这袋土豆原有（     ）千克。 A．20 B．50 C．75 【答案】B 【分析】将原有质量看作单位“1”，吃了它的，还剩（1－），剩下的质量÷对应分率＝原有质量，据此列式计算。 【详解】30÷（1－） ＝30÷ ＝30× ＝50（千克） 这袋土豆原有50千克。 故答案为：B 5．如果甲数的等于乙数的（甲数不为0），那么（     ）。 A．甲数＝乙数 B．甲数＞乙数 C．甲数＜乙数 【答案】C 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法，假设甲数的等于乙数的＝1，根据积÷因数＝另一个因数，分别计算出甲数和乙数，比较即可。 【详解】假设×甲数＝×乙数＝1 甲数＝1÷＝1×＝ 乙数＝1÷＝1×＝ ＜，所以甲数＜乙数。 故答案为：C 二、填空题 6．（ ）和0.5互为倒数，是（ ）的倒数。 【答案】 2 6 【分析】如果两个数的乘积为1，我们就说这两个数互为倒数，或者说一个数是另一个数的倒数，1的倒数还是1，0没有倒数，据此解答。 【详解】0.5×2＝1 ×6＝1 所以，2和0.5互为倒数，是6的倒数。 7．（ ）          （ ） 【答案】 8 【分析】分数除法：除以一个不为0的数，就等于乘这个数的倒数。乘积是1的两个数互为倒数，分数的倒数将分子和分母交换位置即可。 【详解】； 1÷0.125＝8，所以。 8．（ ）吨比24吨多，24米是（ ）米的。 【答案】 42 64 【分析】把24吨看作单位“1”，求它的（1＋）是多少吨，用24×（1＋）解答； 把要求的米数看作单位“1”，它的对应的是24米，求单位“1”，用24÷解答。 【详解】24×（1＋） ＝24× ＝42（吨） 24÷ ＝24× ＝64（米） 42吨比24吨多，24米是64米的。 9．王大爷共养山羊和绵羊480只，绵羊只数是山羊的。山羊有（ ）只，绵羊有（ ）只。 【答案】 280 200 【分析】根据题意，山羊和绵羊共480只，绵羊只数是山羊的，把山羊只数看作单位“1”，则羊的总只数是山羊只数的（1＋），单位“1”未知，用羊的总只数除以（1＋），求出山羊的只数；再用羊的总只数减去山羊的只数，求出绵羊的只数。 【详解】山羊：480÷（1＋） ＝480÷ ＝480× ＝280（只） 绵羊：480－280＝200（只） 所以，山羊有280只，绵羊有200只。 10．王师傅小时做16个零件，他小时可做（ ）个零件。 【答案】48 【分析】根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用16÷求出1小时做的零件个数（工作效率），再用工作效率×即可求出小时可做零件个数。 【详解】16÷× ＝16×4× ＝48（个） 他小时可做48个零件。 11．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 （ ）        （ ）  （ ）       （ ） 【答案】 ＝ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）先根据分数乘分数的计算法则分别算出两个算式的得数，再比较大小； （2）一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （3）一个数（0除外）乘小于1的数，积比原来的数小； 一个数（0除外）除以小于1的数，商比原来的数大； （4）一个数（0除外）除以大于1的数，商比原来的数小。 【详解】（1）， 因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，则，，所以； （4）因为，所以。 12．已知a和b互为倒数，那么（ ），（ ）。 【答案】 16 【分析】倒数的定义可知，两个数乘积是1的数互为倒数，a和b互为倒数，则。代入到算式中，利用分数乘法和分数除法的计算法则，求出结果。 【详解】a和b互为倒数，则。 已知a和b互为倒数，那么，。 13．a和b是两个不为0的自然数，a×＝b×，那么a（ ）b。（填“＞”“＜”或“＝”。） 【答案】＜ 【分析】观察发现两个乘法算式的积相等，可以设它们的积都等于1；然后根据“因数＝积÷另一个因数”，分别求出a、b的值，再比较大小，得出结论。 【详解】设a×＝b×＝1； a＝1÷＝1×＝ b＝1÷＝1×＝ ＜ 所以，a＜b。 14．一项工程，甲队单独做需要10小时，乙队单独做需要8小时，甲、乙合作（ ）小时能完成这项工程的。 【答案】/ 【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队各自的工作效率，两队的工作效率相加即是合作工效； 求两队合作几小时能完成这项工程的，根据“合作工时＝合作工作量÷合作工效”，即可求解。 【详解】甲队的工作效率：1÷10＝ 乙队的工作效率：1÷8＝ ÷（＋） ＝÷（＋） ＝÷ ＝× ＝（小时） 甲、乙合作小时能完成这项工程的。 15．60米比80米少；46小时的是（     ）小时；350吨比（     ）多。 【答案】；；300吨 【分析】用60与80的差，除以80，即可求出60米比80米少几分之几； 把46小时看作单位“1”，求它的是多少小时，用46×解答； 把要求的吨数看作单位“1”，它的（1＋）对应的是350吨，求单位“1”，用350÷（1＋）解答。 【详解】（80－60）÷80 ＝20÷80 ＝ 46×＝（小时） 350÷（1＋） ＝350÷ ＝350× ＝300（吨） 60米比80米少，46小时的是，350吨比300吨多。 16．小芳看一本故事书，第一天看了全书的，第二天接着从第58页往后看。第一天看了（ ）页，这本书共（ ）页。 【答案】 57 152 【分析】由题意可知，第二天接着从第58页往后看，说明第一天看了58－1＝57页；再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用57除以即可求出这本书共多少页。 【详解】58－1＝57（页） 57÷＝57×＝152（页） 则第一天看了57页，这本书共152页。 三、判断题 17．的倒数是。（ ） 【答案】× 【分析】乘积为1的两个数互为倒数。带分数的倒数求法：将带分数化成假分数，再将分子、分母调换位置。据此判断。 【详解】，将的分子、分母调换位置是。 的倒数是。原题说法错误。 故答案为：× 18．因为1的倒数是1，所以0的倒数是0。（ ） 【答案】× 【分析】乘积是1的两个数互为倒数；据此判断。 【详解】1×1＝1，1的倒数是1； 0乘任何数都得0，所以0没有倒数。 即1的倒数是1，0没有倒数。 原题说法错误。 故答案为：× 19．。（ ） 【答案】× 【分析】算式是分数的乘除混合运算，按照从左到右的顺序计算，据此解答。 【详解】 所以。 故答案为：× 20．一个数（0除外）除以假分数，商一定比这个数小。（ ） 【答案】× 【分析】根据假分数的意义：分子大于或等于分母的分数叫做假分数；一个非0数，除以大于1的数，商小于被除数；一个非0数，除以1，商等于被除数，据此举例解答。 【详解】假分数；＝1 7÷＝7÷1＝7；7＝7。 一个数（0除外）除以假分数，商不一定比这个数小。 原题说法错误。 故答案为：× 21．篮球的个数是足球的，那么篮球的个数比足球少。（ ） 【答案】√ 【分析】把足球的个数看作单位“1”，篮球的个数是足球的，求篮球的个数比足球少几分之几，用减法求出少的量，再除以足球的个数即可。 【详解】（1－）÷1 ＝÷1 ＝ 篮球的个数是足球的，那么篮球的个数比足球少。 原题干说法正确。 故答案为：√ 四、计算题 22．直接写出得数。                                          【答案】；；1；； ；12；；2 23．脱式计算。                  【答案】；；3 【分析】，先算乘法，再算加法，最后算除法； ，小括号里根据减法的性质，将后两个数先加起来再计算，最后算除法； ，先算乘法，再算减法，最后算除法。 【详解】 五、解答题 24．甲堆货物的与乙堆货物的相等。已知乙堆货物重280千克，那么甲堆货物有多少吨？ 【答案】448千克 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，用乙堆货物的重量乘，求出乙堆货物的是多少千克，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法解答，用乙堆货物的除以，求出甲堆货物的重量。 【详解】280×÷ ＝112×4 ＝448（千克） 答：甲堆货物有448千克。 25．在一次庆国庆长跑拉练赛中，一位运动员小时跑了25千米，正好跑了全程的。本次长跑拉练赛全程多少千米？ 【答案】35千米 【分析】把这次长跑拉练赛的全程看作单位“1”，已知一位运动员跑了25千米，正好跑了全程的，单位“1”未知，用已跑的路程除以，即可求出全程。 【详解】25÷ ＝25× ＝35（千米） 答：本次长跑拉练赛全程35千米。 26．一张课桌比一把椅子贵40元，如果椅子的单价是课桌单价的，课桌和椅子的单价各是多少元？（列方程解答） 【答案】100元；60元 【分析】由题意可知，设课桌单价为x元，则椅子的单价为x元，根据等量关系：课桌的单价－椅子的单价＝40，据此列方程解答即可。 【详解】解：设课桌单价为x元，则椅子的单价为x元。 x－x＝40 x＝40 x÷＝40÷ x＝40× x＝100 100×＝60（元） 答：课桌单价为100元，则椅子的单价为60元。 27．小红读一本故事书，已读的页数是未读页数的，如果再读10页，这时已读的页数占全书页数，这本书共有多少页？ 【答案】120页 【分析】由题意可知，已读的页数是未读页数的，即已读的页数占全书页数的，如果再读10页，这时已读的页数占全书页数，也就是10页占全书页数的（－），然后根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用10除以（－）进行计算即可。 【详解】10÷（－） ＝10÷ ＝10×12 ＝120（页） 答：这本书共有120页。 28．一辆汽车从甲地开往乙地，已经行驶了全程的，离中点还有15千米，从甲地到乙地的路程是多少千米？ 【答案】150千米 【分析】由题可知，已经行驶了全程的，距离总路程的一半还剩（－），这时离全程的中点还有15千米，也就是全程的（－）是15千米，据此解答。 【详解】15÷（－） ＝15÷ ＝15×10 ＝150（千米） 答：从甲地到乙地的路程是150千米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$