精品解析： 湖南省长沙市长沙县石常中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年湖南省长沙市长沙县石常中学七年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 5. 下列说法中，正确的个数是（　　） 实数包括有理数、无理数和零； 三角形的三边之比为，则三角形为等腰直角三角形； 幂的乘方，底数不变，指数相加； 平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 7. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果是________________． 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 13. 如图，可以看作是沿直线平移得到的．若，两点之间的距离为，，则的长为______． 14. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________． 15. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为___________． 16. 如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的度数是 ________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩 人数 24 14 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 18. （1）计算： （2）解方程组 19. 计算． 20. 若关于x，y的方程组的解是，则= ． 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______； （4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____． 22. 先化简，再求值：，其中 23. 综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． （1）如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． （2）如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． （3）如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 24. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． （1）请你运用上述方法解方程组：； （2）方程组的解是______； （3）猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 25. 【探究】 某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，最大高度为，在飞行到点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． （1）求、、的值； （2）在整个飞行期间，飞行器的高度为时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离． 【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线中的值保持不变，当飞行器的水平距离为时，飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年湖南省长沙市长沙县石常中学七年级（下） 第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：由无理数的定义可知，四个数中，只有是无理数， 故选：D． 2. “水是生命之源，滋润着世间万物”国家节水标志由水滴，手掌和地球变形而成．寓意：像对待掌上明珠一样，珍惜每一滴水!以下通过平移节水标志得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动，据此判断即可． 【详解】解：只通过平移能与上面的图形重合． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的定义，平移时移动过程中只改变图形的位置，而不改变图形的形状、大小和方向，掌握平移的定义是解题的关键． 3. 为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为Flops（Flops是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到Flops，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】， 故选D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，若点E的坐标为，则对应的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，各象限内点的坐标特征，关于y轴对称 点的坐标特征，解题的关键是得到点的坐标变换规律． 先由图可知点在第一象限，得到，，则点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到点，即可由图得出答案． 【详解】解：由图可知点在第一象限， ∴，， ∴， ∴点是点关于y轴对称点，再向下平移一个单位得到的， ∴对应的点可能是点P， 故选：C． 5. 下列说法中，正确的个数是（　　） 实数包括有理数、无理数和零； 三角形的三边之比为，则三角形为等腰直角三角形； 幂的乘方，底数不变，指数相加； 平方根与立方根都等于它本身的数为0和1． A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的定义以及等腰直角三角形的判定和幂的乘方运算、平方根的定义，熟练应用相关定理是解决问题的关键，根据实数的定义以及等腰直角三角形的判定和幂的乘方运算、平方根的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：①根据实数的定义得出实数包括有理数、无理数，故此选项错误； ②三角形的三边之比为，则三角形为等腰三角形， 设三角形的三边长分别为， ， 三角形为直角三角形， 则三角形为等腰直角三角形，故此选项正确； ③根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，故此选项错误； ④平方根等于它本身的数为0，立方根等于它本身的数为0和1和，故此选项错误； 则正确的有1个． 故选：D． 6. 估计的值在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法计算，无理数的估算，先根据二次根式乘法计算法则求出的结果，再根据无理数的估算方法求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7. 如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 8. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 9. 下列命题的逆命题是真命题的有（ ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 10. 如图，是某学校甲、乙两位同学的综合素质评价结果网状图，以为圆心的五个同心圆分别代表5个维度的五个等级，由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述该生的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习能力是甲的不足之处；③与甲相比，乙需要加强沟通合作能力；④乙的各项评分之和比甲要高．其中合理的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了统计图表，根据统计图表中的数据对各个选项的问题进行分析即可，根据统计图表及其所反映的信息对各个选项作出分析是解题的关键． 【详解】解：由图形可知： 甲和乙的动手操作能力都是5分，即最高等级，故①合理； 甲的探索学习的能力为1分，故缺少探索学习能力是甲的不足，故②合理； 甲与他人的沟通和合作能力为5分，乙与他人的沟通和合作能力为3分，故与甲相比，乙需要加强沟通合作能力，故③合理； 乙的各项评分之和为：，甲的各项评分之和为：，因此乙的各项评分之和比甲要高．故④合理； 综上，合理的选项有①②③④． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果是________________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质：．根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为：4． 12. 若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 13. 如图，可以看作是沿直线平移得到的．若，两点之间的距离为，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质，关键是利用了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．根据平移的性质，结合图形可直接求解． 【详解】解：观察图形可知：是由沿向右移动的长度后得到的，根据对应点所连的线段平行且相等，得． 所以． 故答案为：． 14. 已知为正整数，点在第一象限中，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点在第一象限，则，根据为正整数，则，即可． 【详解】∵点在第一象限中， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握点的坐标的性质． 15. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，则叶杆“底部”点C的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标．根据，两点的坐标分别为，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故答案为：． 16. 如图①是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图②，再沿折叠成图③，则图③中的度数是 ________． 【答案】##15度 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质及平行线的性质，由题意易得图①中，，然后根据折叠的性质及角的和差关系可进行求解． 【详解】解：图①中，，， ，， 图②中的， 图③中， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 内江，东汉建县，古称汉安，是一座依江而生、因水得名的城市．“成渝之心、大千故里、甜蜜之城”是新时代内江的三张靓丽名片，也是“心里甜”的由来，为弘扬内江传统文化，我市将举办中小学生“知内江、爱内江、兴内江”知识竞赛活动．某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩 人数 24 14 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中______；扇形统计图中，表示成绩等级为D的扇形圆心角为______度． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）12，60 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题考查了从扇形统计图获取信息，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由等级人数除以占比求出抽取的人数，再由抽取的人数减去等级的人数即可求解；用乘以等级的占比即可求解成绩等级为D的扇形圆心角； （2）用样本估计总体的方法即可求解； （3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：抽取的人数：（人）， 则， 成绩等级为D的扇形圆心角：， 故答案为：12，60； 【小问2详解】 解：（人）， 答：成绩等级为A的学生大约有人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙两人同时被选中的结果数有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率是． 18. （1）计算： （2）解方程组 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先利用绝对值、立方根和二次根式的性质化简，再计算即可； （2）方程组整理后利用加减消元法求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）方程组整理得：， ①＋②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以方程组的解为． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的化简，解二元一次方程组，熟练掌握绝对值、立方根和二次根式的性质以及加减消元法是解题的关键． 19. 计算． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，零指数幂，先进行乘法，开方，零指数幂的运算，再进行加减运算即可，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． 【详解】解：原式． 20. 若关于x，y的方程组的解是，则= ． 【答案】2 【解析】 【分析】将x=2和y=1代入方程组求出m和n的值，然后进行计算. 【详解】把代入中 由①得：m=3 把m=3代入②得：2+3=n n=5 故答案为2. 21. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______； （4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2） 如图，即为所求， ； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换、作图—平移变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （3）作出旋转中心，即可得出答案； （4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： ， 旋转中心的坐标为； 【小问4详解】 解：如图： ， 点的坐标为． 22. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则进行化简，再代数求值． 【详解】解：原式 ， 将代入， 原式． 23. 综合与探究 如图，，点，分别在直线，上． （1）如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明． （2）如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数． （3）如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图，过点作 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2） （3） ，理由如下： ∵平分，平分， ∴， 由（1）可得， ∴ 即． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论； （2）由（1）可得，代入数据，即可求解． （3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵， 由（1）可得 【小问3详解】 略 24. 阅读下列解方程组的方法，然后解答问题． 解方程组时，由于x，y的系数及常数项的数值较大，如果用常规的代入消元法、加减消元法求解，计算量大，且易出现运算错误，而采用下面的解法，则比较简单． ，得，所以． ，得． ，得． 将代入，得． 所以原方程组的解是． （1）请你运用上述方法解方程组：； （2）方程组的解是______； （3）猜测关于x，y的方程组的解是什么？并用方程组的解加以验证． 【答案】（1） （2） （3） 方程组的解是， 证明：把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， 把，代入方程， ∵左边右边， ∴是方程的解， ∴原方程组的解是． 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组解的定义和解二元一次方程组的一般步骤 （1）（2）小题均根据验证条件中的解题方法解方程组，求出方程组的解即可； （3）根据（1）（2）两个小题的方程，直接写出方程组的解，再代入每个方程进行验证即可． 【小问1详解】 解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解是； 【小问2详解】 解：， 得：， ∴③， 得：④， 得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：， 故答案为：； 【小问3详解】 略 25. 【探究】 某校人工智能科技小组，用电脑模拟飞行器实验，以点为原点，以水平直线为轴，以过点且垂直的直线为轴建立如图所示平面直角坐标系，从点向右上方发射飞行器，飞行器的飞行路线是抛物线，在离点水平距离为时，飞行器达到最大高度，最大高度为，在飞行到点时，智能科技小组控制飞行器变轨，飞行器的飞行路线变为直线，直至落在轴上的点处． （1）求、、的值； （2）在整个飞行期间，飞行器的高度为时有两个位置，求这两个位置之间的水平距离． 【拓展】在上述情境中，从点继续发射飞行器，调整飞行器的参数，使抛物线中的值保持不变，当飞行器的水平距离为时，飞行器的飞行路线变轨为直线，此时的值不变，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；【拓展】 【解析】 【分析】探究： （1）对于抛物线，已知其顶点坐标，利用顶点式设抛物线方程，将原点坐标代入可求出的值，进而得到抛物线表达式确定值．再根据抛物线与直线的交点坐标，代入直线方程求出值． （2）分别将高度值代入抛物线方程和直线方程求出对应的横坐标，然后计算横坐标差值得到水平距离． 拓展：先根据抛物线表达式求出特定点坐标，再结合直线过的两个点列出方程组，求出的值，最后根据的范围确定的取值范围． 【详解】解：探究：（）设抛物线为 点在抛物线上， ， ， ． 时， ， 点在直线上， ， ． （），整理得：． 解得：（不合题意，舍去），． ． 解得：， ． 答：这两个位置之间的距离为． 拓展： 当时，， 经过点， ， 时，． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点式、抛物线表达式的确定、直线方程的应用、方程的求解以及函数与方程的综合运用．熟练掌握二次函数顶点式的运用来确定抛物线表达式，准确利用函数图象上点的坐标满足函数方程这一性质，通过代入点的坐标求解方程中的未知参数是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $