专题06 实数章末易错必刷题型专训（54题18个考点）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

专题06 实数易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 实数的分类】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 3．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，3.1415，，0.03003000，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                   …}． (2)无理数集合：{                   …}． (3)正实数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 【易错必刷二 实数的性质】 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 5．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）的相反数是 ；的倒数为 ； 6．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）已知，且，求的值． 【易错必刷三 算术平方根的相关概念】 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）的平方根是（　　） A． B． C．4 D． 8．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）的算术平方根为 ． 9．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，求的算术平方根． 【易错必刷四 平方根的相关概念】 10．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 11．（25-26八年级上·上海虹口·课前预习） 平方根． 12．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 【易错必刷五 立方根的相关概念】 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列计算或说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 14．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 15．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）求下列各数的立方根． (1)； (2)． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（24-25八年级上·上海静安·期末）估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数，1，2，3，则表示数的点应在线段 上．（填“”“”“”或“”） 18．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（24-25八年级上·上海松江·期末）下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）请写出一个比1小的无理数： ． 21．（24-25八年级上·上海静安·期中）把四个数表示在数轴上，并用“”号连接起来． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）9的平方根是（    ） A．3 B． C． D． 23．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 24．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 26．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习），则 ． 27．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，求的平方根． 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 29．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，点A、B是数轴上的两点，，若点A表示的数是，则点B表示的数是 ． 30．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【易错必刷十一 实数混合运算】 31．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 32．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 33．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算： 【易错必刷十二 新定义下的实数运算】 34．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个． 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【易错必刷十三 实数运算相关的规律题】 37．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（　　）． A．2 B．4 C．6 D．8 38．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 39．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）两个不相等的无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明． 【易错必刷十四 算数平方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·上海松江·期中）若，则中的等于（　　） A． B． C． D． 41．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 42．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 【易错必刷十五 与立方根有关的规律探索题】 43．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 44．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察规律，，，则 ． 45．（24-25八年级上·上海松江·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【易错必刷十六 实数运算的实际应用】 46．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 47．（24-25八年级上·上海普陀·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 48．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【易错必刷十七 立方根的实际应用】 49．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知正方体的体积为，则这个正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 50．（24-25八年级上·上海静安·期中）将一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块融化后制成一个正方体，则该正方体的边长为 ． 51．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【易错必刷十八 算术平方根与立方根的综合应用】 52．（2025·上海虹口·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 53．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知的平方根是的立方根是3，则的值是 54．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 实数易错必刷题型专训（54题18个考点） 【易错必刷一 实数的分类】 1．（24-25八年级上·上海杨浦·期末）在，，0，，，，13，（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，根据有理数的定义（整数和分数，包括有限小数和无限循环小数），逐一判断各数是否为有理数． 【详解】解：：整数，属于有理数； ：分数，属于有理数； 0：整数，属于有理数； ：即，分数，属于有理数； ：含无理数π，属于无理数； ：有限小数，属于有理数； 13：整数，属于有理数； （每两个3之间依次增加一个2）：虽有一定规律，但无循环节，属于无理数． 综上，有理数有6个（、、0、、、13）， 故选：B． 2．（24-25八年级上·上海松江·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了估算无理数，实数的大小比较，根据无理数是无限不循环小数，再根据题意，可得答案． 【详解】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 3．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）把下列各数填入相应的集合内： ，，0，，3.1415，，0.03003000，0.5353353335…（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (1)有理数集合：{                   …}． (2)无理数集合：{                   …}． (3)正实数集合：{                   …}． (4)负实数集合：{                   …}． 【答案】(1)有理数集合：． (2)无理数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (3)正实数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． (4)负实数集合：． 【分析】本题考查实数的分类，根据实数的分类方法，逐一进行判断即可． 【详解】（1）解：有理数集合： （2）无理数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （3）正实数集合：（相邻两个5之间3的个数逐次加1）． （4）负实数集合： 【易错必刷二 实数的性质】 4．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据相反数的意义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 5．（24-25八年级上·上海崇明·开学考试）的相反数是 ；的倒数为 ； 【答案】 【分析】本题考查实数的相反数，倒数，绝对值，根据只有符合不同的两个数互为相反数，乘积为的两个数互为倒数，负数的绝对值是它的相反数解答即可． 【详解】解：的相反数，的倒数为， 故答案为：，，． 6．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）已知，且，求的值． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了根据算术平方根求原数，实数的性质，根据题意可得或，据此分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴或， 当时，； 当时，． 综上所述，的值为2或． 【易错必刷三 算术平方根的相关概念】 7．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）的平方根是（　　） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是算术平方根、平方根．依据平方根的定义、算术平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是，故A正确； 故选：A． 8．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵，的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，求的算术平方根． 【答案】3或或 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根．如果一个数的立方等于，那么这个数就叫做的立方根．先根据平方根、立方根的定义得到关于的一元一次方程，解方程组即可求出的值，进而得到的平方根． 【详解】解：∵， ∴，解得， ，解得， 或，解得， 或，解得， 故或8或7， 则的算术平方根为3或或． 【易错必刷四 平方根的相关概念】 10．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A． B．2的算术平方根是4 C．1的平方根是 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题主要考查的是算术平方根和平方根，依据平方根和算术平方根的性质求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A. ，原说法错误； B. 2的算术平方根是，原说法错误； C. 1的平方根是，说法正确； D. 0的平方根是0，原说法错误； 故选：C． 11．（25-26八年级上·上海虹口·课前预习） 平方根． 【答案】没有 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：， 没有平方根， 故答案为：没有． 12．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，求这个正数． 【答案】49 【分析】本题考查平方根，熟练掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数是解答的关键．根据平方根定义得到，然后解方程求得a值即可解答． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是与， ∴，解得， ∴， 故答案为：49． 【易错必刷五 立方根的相关概念】 13．（24-25八年级上·上海长宁·期末）下列计算或说法正确的是（   ） A．0没有平方根 B．的相反数是 C．2的立方根是8 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平方根、算术平方根和立方根，解题关键是利用平方根和立方根的意义解题．逐一分析各选项的正确性，依据平方根、相反数、立方根及算术平方根的定义进行判断． 【详解】解：A、0的平方根是0，因此0有平方根，故本选项不符合题意； B、的相反数是，而非本身，故本选项不符合题意； C、2的立方根是（），而8是2的立方（），C混淆了立方与立方根，故本选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义，表示4的非负平方根，即2，故本选项符合题意； 故选：D． 14．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）0的立方根是 ，立方根等于它本身的数是 ． 【答案】 0 ，0 【分析】本题考查了立方根的知识，掌握立方根的概念是解题关键． 本题根据立方根的概念，进行作答，即可求解． 【详解】解：0的立方根是0，立方根等于它本身的数是0，； 故答案为：0；，0 15．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）求下列各数的立方根． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立方根的性质和概念，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； （2）根据，再结合立方根的知识进行作答，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴的立方根为， 即； （2）解：∵， ∴的立方根为， 即． 【易错必刷六 无理数及其大小估算】 16．（24-25八年级上·上海静安·期末）估计的值在（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】A 【分析】本题主要考查的是无理数的估算，掌握有理数的意义是解题的关键．首先求出在和之间，从而得出的在华润之间，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 17．（25-26八年级上·上海虹口·期中）如图，若数轴上的点A、B、C、D表示数，1，2，3，则表示数的点应在线段 上．（填“”“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算及实数与数轴．由可求，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 表示数的点在之间； 故答案为：． 18．（25-26八年级上·上海长宁·随堂练习）设的整数部分为a，的小数部分为b，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定以及代数式求值，解题的关键是先确定与的整数部分和小数部分． 先估算的范围，进而确定与的整数部分和小数部分，得到、的值，再代入代数式计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 的整数部分为a， ， ， ， ， ， 的整数部分为3， 的小数部分为b， 原式 ． 【易错必刷七 实数大小比较】 19．（24-25八年级上·上海松江·期末）下列实数中最小的是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵，约为1.414，是正数；，约为3.1416，是正数， ∴， ∴最小的数是：． 故选：A． 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）请写出一个比1小的无理数： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据实数的大小比较法则计算即可． 本题考查了实数的大小比较，解题的关键是明确无理数的取值范围． 【详解】解：， ． 又∵ 是无理数， ∴是无理数，故一个比1小的无理数可以是 故答案为：（答案不唯一）． 21．（24-25八年级上·上海静安·期中）把四个数表示在数轴上，并用“”号连接起来． 【答案】数轴见详解， 【分析】本题考查了数轴和实数的大小比较，先根据绝对值、立方根、算术平方根化简各个数字，再在数轴上表示出来，再按在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示如下： ∴． 【易错必刷八 平方根的计算】 22．（24-25八年级上·上海松江·开学考试）9的平方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，会求一个正数的平方根是解题的关键． 根据平方根的定义进行解题即可． 【详解】解：9的平方根是， 故选：D． 23．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 /4和 【分析】本题考查了平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键； 根据平方根，算术平方根的定义解答即可． 【详解】解：， 16的平方根是：， 6的算术平方根是：， 故答案为：，． 24．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是2． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是熟知平方根，算术平方根的定义． （1）根据平方根，算术平方根的定义，求解即可； （2）根据平方根定义，求解即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的算术平方根是2． ∴，， 解得，； （2）解：当，时，， 而16的平方根为， ∴的平方根为． 【易错必刷九 算术平方根的非负性】 25．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）已知，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出x和y的值是解答本题的关键．先根据非负数的性质求出x和y的值，然后代入所给代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 26．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习），则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，非负数的性质．由非负数的和为零得，即可求解． 【详解】解：， ， 解得：， ， 故答案为：． 27．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，求一个数的平方根，熟知算术平方根与绝对值均为非负数是解答此题的关键． 先利用算术平方根和绝对值的非负性求出x、y的值，再由平方根的定义即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴的平方根为． 【易错必刷十 实数与数轴】 28．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，顺顺借助刻度尺画了一条数轴，则这条数轴上点A对应的实数为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴，观察数轴可知：数轴上的一个单位长度在刻度尺上表示，然后在刻度尺上观察点A到表示0的点的距离，再列出算式计算数轴上点A距离0表示的数的点是几个单位长度，从而求出答案． 【详解】解：观察数轴可知：数轴上一个单位表示， 表示3个单位， 点A表示的数是， 故选：A 29．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，点A、B是数轴上的两点，，若点A表示的数是，则点B表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示实数，数轴上两点之间的距离．根据题意可知，再由数轴上点的表示实数，即可得到答案． 【详解】解：∵点A表示的数是， ∴， ∵， ∴， ∴点B表示的数为， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·上海虹口·期末）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根的性质以及绝对值的性质．观察数轴可得，从而得到，再根据算术平方根的性质以及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 【易错必刷十一 实数混合运算】 31．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）现对实数，定义一种运算：，则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查实数的混合运算，掌握规定的运算方法是解决问题的关键．根据给出的运算方法把式子转化为实数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选B． 32．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查实数的混合运算，先去绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：1． 33．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算： 【答案】4 【分析】根据立方根，绝对值，平方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，绝对值，平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【易错必刷十二 新定义下的实数运算】 34．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）定义一种新运算：则的值是（    ） A．27 B．8 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义下的实数运算，立方根的定义，利用题中的新定义计算即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）对于一个自然数n，如果能找到正整数x、y，使得，则称n为“好数”，例如：，则3是一个“好数”，在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义下的实数运算；根据题意，由，可得，所以，因此如果是合数，则n是“好数”，据此判断即可． 【详解】解：根据题意， ∵， ∴8是好数； ∵， ∴9是好数； ∵，11是一个质数， ∴10不是好数； ∵， ∴11是好数； ∵，13是一个质数， ∴12不是好数． 综上，可得在8，9，10，11，12这五个数中，“好数”有3个：8、9、11． 故答案为：． 36．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这个三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数被称为“最小算术平方根”，最大的整数被称为“最大算术平方根”．例如：1、4、9这三个数，，，，2、3、6都是整数，所以1、4、9这三个数被称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2、18、8这个三个数是“和谐组合”，并求出最大算术平方根； (2)已知16、a、25这三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的3倍，求a的值． 【答案】(1)证明见解析，最大算术平方根是12 (2)a的值为81 【分析】本题主要考查了新定义问题，算术平方根， 对于（1），根据新定义解答即可； 对于（2），分三种情况讨论得出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴2、18、8这个三个数是“和谐组合” ∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况：①当时，，得：（舍去）； ②当时，，得：（舍去）； ③当时，，得：． 综上所述，a的值为81． 【易错必刷十三 实数运算相关的规律题】 37．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22022的末位数字是（　　）． A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】观察发现此列数的末尾数是2，4，8，6的循环，据此规律可推断22022的尾数． 【详解】解：观察21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…， 发现尾数是2，4，8，6的循环， ∵2022÷4＝505……2， ∴22022的尾数是循环中的第2个数，即为4， ∴22022的尾数是4， 故选：B． 【点睛】本题考查了数字的规律问题，根据题意找出末位数的规律是解答此题的关键． 38．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）在草稿纸上计算：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： ． 【答案】210 【分析】先分别求出①②③④的结果，发现的规律并用规律进行求解即可． 【详解】解：＝1， ， ， ＝10， … ∴＝1+2+3+4+…+20＝210． 故答案为：210． 【点睛】此题主要考查了学生的计算、分析、总结归纳的能力，解题关键是从题中数据的特点找到规律，并利用规律解题． 39．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）两个不相等的无理数相加、相减、相乘、相除，结果一定还是无理数吗？请举例说明． 【答案】两个不相等无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数，举例说明见解答（举例不唯一）． 【分析】本题考查了实数的运算，根据实数的加、减、乘、除运算法则，举的例子，应该是两个不相等无理数相加、相减、相乘、相除，结果为有理数即可解答． 【详解】解：两个无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数， 例如：，与相加为有理数， ，与相减为有理数， ，与相乘为有理数， ，与相除为有理数， 两个不相等无理数相加、相减、相乘、相除，结果不一定还是无理数（举例不唯一）． 【易错必刷十四 算数平方根有关的规律探索题】 40．（24-25八年级上·上海松江·期中）若，则中的等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根定义与性质，由条件得到，根据平方根定义即可得到答案，熟记平方根性质及定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴，即， ∴当时，， 故选：C． 41．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）有一列数按如下规律排列：，，，，，，…则第10个数是 ，第个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字规律问题，先判断序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根，即可得出第10个数，进而得出第n个数． 【详解】解：∵一列数按如下规律排列：，，，，，，…， ∴序号数为奇数的是负数，序号数为偶数的是正数，且分子为2的序号数次方，分母为序号数加上1的算术平方根， 则第10个数是，第个数是． 故答案为：，． 42．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 【答案】（且n为整数） 【分析】根据题目中给出的三个等式，即可得出第n个等式是（且n为整数）. 【详解】解：∵第一个等式是， 第二个等式是， 第三个等式是， 第四个等式是， ……， ∴第n个等式是（且n为整数）. 【点睛】本题考查了与算术平方根有关的等式变形，正确理解题意、归纳出第n个等式是关键. 【易错必刷十五 与立方根有关的规律探索题】 43．（24-25八年级上·上海宝山·期中）已知，，则（   ） A．7.937 B．79.37 C．17.100 D．171.00 【答案】A 【分析】本题考查了与立方根有关的规律探索，结合，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A 44．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察规律，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据已知等式确定出所求式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 45．（24-25八年级上·上海松江·期末）【观察】 ①； ②； ③； ④． 【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________； （2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立； 【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根． 【答案】[发现]（1），（2）；[应用] 【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义； （1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式； （2）由归纳可得当时，则； （3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案. 【详解】解：（1）（答案不唯一） （2）归纳可得：当时，则； （3）由（2）知， ∵与的值互为相反数， ∴， 解得， ∴， ∴. 【易错必刷十六 实数运算的实际应用】 46．（24-25八年级上·上海闵行·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 47．（24-25八年级上·上海普陀·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v 100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 48．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T＝2π，其中T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g＝9.8米/秒2．假如一台座钟摆长为0.5米，它每摆动一个来回发生一次滴答声，那么在1分钟内，该座钟大约发出了多少次滴答声？(π≈3.14) 【答案】42次 【分析】根据题意可知，直接把数值代入公式中进行计算即可． 【详解】解：T＝2π≈1.42，≈42(次)． 答：在1分钟内，该座钟大约发出了42次滴答声． 【点睛】本题考查了实数的应用.认真审题找准数值是关键． 【易错必刷十七 立方根的实际应用】 49．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知正方体的体积为，则这个正方体的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：正方体的体积为，则这个正方体的棱长为， 故选：D． 【点睛】本题考查立方根的应用，掌握求一个数的立方根是解题的关键． 50．（24-25八年级上·上海静安·期中）将一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块融化后制成一个正方体，则该正方体的边长为 ． 【答案】 【分析】设正方形的边长为xcm，根据题意列出算式即可． 【详解】解：设正方形的边长为xcm， 由题意可得：9×8×3=x3， 解得x=6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了几何体的体积，根据题意列出方程是解题关键． 51．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）已知甲正方体纸盒的底面积为，乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大，丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的． (1)求乙正方体纸盒的体积． (2)求丙正方体纸盒的棱长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根和立方根定义，是解题的关键． （1）先求出甲正方体的边长，然后求出甲正方体的体积，再求出乙正方体的体积即可； （2）先求出丙正方体的体积，再求出其棱长即可． 【详解】（1）解：∵甲正方体纸盒的底面积为， ∴甲正方体纸盒的边长为， ∴甲正方体纸盒的体积为：， ∵乙正方体纸盒的体积比甲正方体纸盒的体积大， ∴乙正方体纸盒的体积为． （2）解：∵丙正方体纸盒的体积是乙正方体纸盒体积的， ∴丙正方体的体积为：， ∴丙正方体纸盒的棱长为． 【易错必刷十八 算术平方根与立方根的综合应用】 52．（2025·上海虹口·模拟预测）一般地，如果（n为正整数，且），那么x叫做a的n次方根，下列结论中正确的是（    ） A．16的4次方根是2 B．32的5次方根是 C．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小 D．当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而增大 【答案】C 【分析】根据题意n次方根，列举出选项中的n次方根，然后逐项分析即可得出答案． 【详解】A. ，16的4次方根是，故不符合题意； B.，，32的5次方根是2，故不符合题意； C.设 则 且 当n为奇数时，2的n次方根随n的增大而减小，故符合题意； D.由的判断可得：错误，故不符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了新概念问题，n次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键． 53．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知的平方根是的立方根是3，则的值是 【答案】14 【分析】根据题意找出关于x，y的二元一次方程组，解出方程组即可求出x，y的值，带入求解即可； 【详解】根据题意可得， 解得， ∴． 故答案是14． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的性质，准确计算是解题的关键． 54．（24-25八年级上·上海金山·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是3． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)14 (2)10 【分析】（1）根据已知条件，求出、的值，即可求出最终答案； （2）把x、y的值代入，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是2， ∴， 解得：， 又∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵， ∴的值为14. （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴的算术平方根是10． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、立方根的概念，掌握算术平方根、立方根的概念是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$