专题05 实数章末50道压轴题型专训（5大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（沪教版2024）

专题05 实数章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 平方根、立方根的规律探究 题型五 平方根、立方根的实际应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ， ， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 【答案】（1）成立，验证见解析；（2） 【分析】本题主要考查了规律探索，二次根式性质，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，验证即可； （2）根据， ，得出一般规律，写出答案即可． 【详解】解：（1）成立． 验证如下： ， ， ， ∴各式都成立； （2）∵， ， ∴用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：． 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 【答案】等式成立. 【分析】仔细观察各式的结构特征，不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和，右侧是它们的乘积与1的和的平方．然后，证明结论． 【详解】解:第 n行的式子为： 左式=     =     = = 右式= = =… ∴左式=右式     ∴等式成立. 【点睛】完全平方公式． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查的是运算规律的探究，分式的加减运算； （1）由已知等式总结归纳可得； （2）先计算等式的右边括号内分式的减法运算，再乘以，再结合运算结果可得结论. 【详解】（1）解：由题意可得：（n为正整数）； （2）证明： ∴这个结论是正确的． 4．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数的整数部分，例如：，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算得到，结合题意即可求解； （2）根据题意可得，，，由此得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵规定符号表示实数的整数部分， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 5．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数以及整式比较大小，解题的关键是掌握作差法比较大小的方法和依据． （1）运用作差法进行比较大小即可，即计算，再比较和的大小； （2）运用作差法进行比较大小即可，计算，然后发现的符号即可． 【详解】（1）解： ， ， ， 故答案为：< （2），， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)5；2 (2)1 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键． （1）根据题目先判断及整数部分，再根据加减法即可得结果； （2）根据无理数的整数部分把小数部分分别表示出来，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；2； （2）解： ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1) (2) (3)是，理由见详解 【分析】该题考察了平方差公式的应用和实数运算规律以及整式混合运算的知识. （1）观察发现，每个奇数都可以表示为相邻两个整数的平方差，且较大的数为较小的数加1．奇数可以表示为：，则2025可以表示为． （2）根据观察到的规律，可知，然后验证即可． （3）相邻两个奇数的平方差可以表示为，利用平方差公式展开后得到 ．由于n为正整数，因此一定是8的倍数． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， …… ∴， ∴ （2）解：由（1）可知， 方程右边为： ， 方程左边为：， ∴方程左边等于方程右边， ∴等式成立． （3）解：设两个相邻的奇数分别为：和， 相邻两个奇数的平方差可以表示为， ∴ ， ∴n为正整数， ∴一定是8的倍数． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 【答案】（1）10；（2）；（3）①5050；②41075 【分析】（1）观察可得，每个式子的结果都等于被开放数中所有加数的底数之和； （2）所有自然数相加的和等于首项＋尾项的和再乘以自然数的个数，最后除以2即可； （3）利用（1）（2）中的规律综合运用即可求解． 【详解】解：（1）； （2）根据以上等式的规律可得，； （3）① ； ② ． 【点睛】主要考查了二次根式的基本性质与化简、探寻数列规律，掌握这三个知识点的应用，其中探求规律是解题关键 9．（2025·上海松江·模拟预测）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了数字类规律的探索，与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键． （1）仿照题干即可求解； （2）仿照题干即可求解； （3）将原式变形为，再运用结论求解． 【详解】解：（1）∵第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， ∴第5个等式： （2）根据规律可得：； （3）解：原式 ． 10．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【答案】(1)；； (2)见详解 【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键； （1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根； （2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解． 【详解】（1）解：∵， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． ， ∴的平方根是． （2）解：∵， ， ， ， ， ， 规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1； 若指数除以4余1，值为； 若指数除以4余2，值为； 若指数除以4余3，值为． 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)-3 (2)1 【分析】（1）令代入新运算的定义式即可得解； （2）首先令可以求出的值，再令代入新运算的定义式可以求出答案． 【详解】（1）解：令可得： ； （2）解：由题意可得： = =1 ． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，找出具体问题中与新定义运算公式字母对应的数值是解题关键． 12．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： ． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)6 (2)24 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）先算，再将运算结构与3进行新定义运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解： 故原式 【点睛】本题考查新定义运算．正确理解材料内容即可． 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 【分析】此题考查了新定义下实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用已知的新定义列出算式，计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义分步列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新运算代入求解即可得到答案； （2）根据新运算代入求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得， ； （2）解：由题意可得， ； 【点睛】本题考查新运算，解题的关键是读懂新运算代入求解． 15．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知为有理数，定义一种新运算，其意义是,试根据这种运算完成下列各题 (1)求①23；②(43)(-2)       (2)任意选择两个有理数，分别代替与，并比较和两个运算的结果，你有何发现； (3)根据以上方法，探索的关系，并用等式把它们表示出来． 【答案】（1）①10；②-21；（2）x△y=y△x；（3）a△b+a△c－a△(b+c) =a－1 【分析】(1)①根据新运算法则计算即可;②先算43的结果,再用结果和进行计算 (2)将x,y代入新运算计算即可. (3)分别对两个式子进行计算,得出结果作差即可. 【详解】(1)①23=2×3+(2+3)-1=10;②43=4×3+(4+3)-1=18,18× (2)因为 x△y=xy +（x+y)－1，y△x=yx +（y+x)－1， 发现有 x△y=y△x (3)因为 a△b+a△c= ab (a b) 1 ac (a c) 1 = ab ac+2a a b c 2 , a△(b+c) = a(b c) a (b c) 1 = ab ac a b c 1 所以有 a△b+a△c－a△(b+c) =a－1 【点睛】本题考查新定义的运算下的代数计算,关键在于理解题意,熟练运用代数计算方法. 16．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义一种新运算，观察下列各式：，，，． （1）请你想一想：________； （2）若，那么与是否相等，请说明理由； （3）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）4a+b；（2）与不相等，理由见详解；（3）0 【分析】(1)根据新定义的运算规则，即可得到答案； (2)根据新定义的运算规则，分别得出与所对应的代数式，进而即可判断； (3)根据新定义的运算规则，先化简，再代入求值，即可得到答案． 【详解】（1）由题意得：=4a+b， 故答案是：4a+b； （2）与不相等，理由如下： ∵=4a+b，=4b+a， ∵a≠b， ∴≠； （3）=4(a-b)+(2a+b) =4a-4b+2a+b =6a-3b， 当，时，原式=6×1-3×2=0． 【点睛】本题主要考查新定义下的整式的加减运算，掌握去括号法则与合并同类项法则，是解题的关键． 17．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：． (1)根据上述的定义填空：　　， 　； (2)数对的“真诚值”，求的值． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据“真诚值”的定义，应用的是计算，应用的是计算，由此即可求解； （2），根据“真诚值”的定义，分类讨论，当时，当时，运用不同的计算式子，即可求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：；． （2）解：当时，，解得，；             当时，，则， ∴， ∵， ∴； 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查定义新运算，掌握分类讨论，有理数的计算是解题的关键． 18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了平方根、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“青一区间”的定义求解即可； （2）根据“青一区间”的定义求解得出，结合题意即可得解； （3）先根据平方根的定义求出，再根据“青一区间”的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“青一区间”为； ∵， ∴的“青一区间”为， ∴的“青一区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为， ∴，， ∴， ∵为正整数， ∴的值为或， ∴或； （3）解：∵实数，分别为一个正数的两个平方根， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的“青一区间”为． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）某数学学习小组在学习《算术平方根》之后进行了拓展研究，新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值； (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析； (2)的值为； (3)，，；，，． 【分析】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是理解“组合平方数”的定义，利用分类讨论的思想进行求解，注意检验． （1）根据题目所给“组合平方数”的定义，进行判断即可； （2）根据题目所给“组合平方数”的定义，得出或，再根据，，互不相等，即可求解； （3）根据题目所给“组合平方数”的定义， 符合条件的数即可． 【详解】（1），，， ，，这三个数是“组合平方数”； （2），，是“组合平方数”， ，，都是整数， 或， ①当时，， 则，符合题意； ②当时，， ，，互不相等， 不符合题意， 综上：； （3）①，，， ，，， ，，是“组合平方数”； ②，，， ，，， ，，是“组合平方数”． 20．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【答案】(1)1； (2) 【分析】本题考查实数的新定义运算，根据题意解答是解题的关键． （1）根据，分别求出、的值即可； （2）把与的实部、虚部分别相加，求出的值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1；i． （2）解：原式． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 21．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）定义新运算：对于任意a，b，都有a※b＝a（a﹣b）+1．比如2※5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5．若3※x的值小于13．求x的取值范围，并在数轴上把解集表示出来． 【答案】x＞﹣1，图见解析 【分析】先解不等式，再在数轴上表示解集． 【详解】解：∵a※b＝a（a﹣b）+1， ∴3※x的值小于13可以表示为：3（3﹣x）+1＜13， ∴9﹣3x+1＜13， ∴3x＞﹣3， ∴x＞﹣1， 将不等式的解集在数轴上表示出来为： 【点睛】本题考查用新定义解题，一元一次不等式．理解新定义建立一元一次不等式是解题的关键． 22．（24-25八年级上·上海金山·期中）在实数范围内，定义一种新运算：，例如：．已知，求x的取值范围． 【答案】． 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，根据新定义运算可得，再解不等式即可． 【详解】解：， ， ，即为， 解得． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数a与b满足． (1)直接写出a和b的取值范围； (2)若a是正整数，是有理数，求b的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查算术平方根的非负性，实数的运算： （1）根据非负性进行求解即可； （2）根据为正整数，得到的值，再根据是有理数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）∵a是正整数，且， ∴， ∴， ∵是有理数， ∴或． 24．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）判断下面各式是否成立． ①；②；③ (1)根据上述规律，请写出第6个等式； (2)用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用已知即可得出命题正确，同理即可得出其他正确性，根据给出的式子，总结得出规律，写出第6个等式即可； （2）利用①的方法，可以得出规律，并加以证明即可． 【详解】（1）解：①； ∴正确； ②； ∴正确； ③， ∴正确； 综上分析可知，上面三个式子都成立； 第6个等式为； （2）解：根据上面规律可知：， 证明：． 【点睛】此题主要考查了平方根的性质，利用已知得出数字之间的规律是解决问题的关键． 25．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： (1) ； ； (2)，则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； (3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 【答案】(1)，5 (2)； (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴， ∵是大于的最小整数， ∴； （2）解：∵表示大于x的最小整数是，，， ∴， ∵表示不大于的最大整数是4，，， ∴； （3）解：解方程组得， 表示不大于y的最大整数是． ∵，， ∴． 表示大于x的最小整数是． ∵，， ∴． 26．（24-25八年级上·上海长宁·期中）苏科版七年级课本在引入无理数概念时，提到了：若一个面积为2的正方形的边长为a，那么a是一个无理数，并采用“逼近法”对a的大小进行探究即先判断出a是大于1且小于2的数再近一步得到终得到 (精确到2位小数似的，若一个面积为10 的正方形的边长为b，请你逐步探索出b的取值范围(精确到2位数即可)． 【答案】 【分析】根据题意得，然后根据，得出，然后根据夹逼法的一般步骤进行解答即可. 【详解】解：由题意可知，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查了逼近法的应用，用有理数逼近无理数，从而求无理数的近似值的方法是夹逼法． 27．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据进行了一次运算，列出不等式，解之即可； （2）根据运行了两次，可得第一次没有停止，第二次停止，分别列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由题意可列不等式为， 解得：； （2）当时， 第一次没有停止，则可列式为：， 解得：， 则第二次输入的值为， 第二次停止了，输出结果，则可列式为， 解得：， 故的取值范围为． 【点睛】本题考查一元一次不等式（组）的应用，通过给出的操作过程来列一元一次不等式并求出对应的解． 28．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作 例如，，，．那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么的取值范围是______； (3)如果，其中，且，直接写出的值． 【答案】(1)4， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[x]的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． （1）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中的条件可得，由，可求得[x]的范围，根据[x]为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，． （2）∵， ∴x的取值范围是． 故答案为：． （3）∵，其中， ∴， ∵， ∵， ， ∴， ∴[x]=1，2． 当[x]=1时，，； 当[x]=2时，，； 或． 29．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 【答案】(1)3， (2)4 (3)①；② 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，平方根的估算，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）估算的范围后求解即可； （2）估算和，求出和的值后代入运算即可； （3）①根据题意可得的整数部分是5，即可得到；②根据是6的倍数，结合①可得，代入，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是3，小数部分是； （2）解：， 的整数部分是， ∴， ， 的整数部分是，即， ； （3）解：①∵是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分， ∴的整数部分是5， ∴； ②是6的倍数，且， ， ， ， ． 30．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 【答案】(1)； (2)，全体实数 (3)①；② 【分析】本题考查新定义——四次方根与五次方根的定义．求解时注意正数的四次方根有2个． （1）根据四次方根、五次方根的定义即可解答； （2）根据四次方根、五次方根的意义即可解答； （3）①根据四次方根的定义即可求解；②根据五次方根的定义即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴81的四次方根是． ∵， ∴的五次方根是． 故答案为：， （2）若有意义，则， ∴a的取值范围为：． 若有意义，则a的取值范围为全体实数． 故答案为：，全体实数 （3）①∵，又 ∴； ②∵ ∴， ∵， ∴． 【经典例题四 平方根、立方根的规律探究】 31．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 【答案】（且n为整数） 【分析】根据题目中给出的三个等式，即可得出第n个等式是（且n为整数）. 【详解】解：∵第一个等式是， 第二个等式是， 第三个等式是， 第四个等式是， ……， ∴第n个等式是（且n为整数）. 【点睛】本题考查了与算术平方根有关的等式变形，正确理解题意、归纳出第n个等式是关键. 32．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长是原来的多少倍？如果体积变为原来的27倍呢？体积变为原来的1 000倍呢？利用你发现的规律解决下列问题： 若，．，求x和y的值． 【答案】2倍，3倍，10倍，x≈5 260，y≈-1. 739． 【详解】试题分析：由于正方体的棱长是其体积的立方根，所以当被开方数扩大8倍，相应的立方根就扩大两倍，被开方数扩大1000倍，相应的立方根就扩大10倍，观察已知式子 ，，找出被开方数或立方根的小数点的关系即可求解． 解：一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长是原来的2倍； 体积变为原来的27倍，它的棱长变为原来的3倍； 体积变为原来的1000倍，棱长是原来的10倍； 由0.01739到17.39小数点向右移动3位，则被开方数向右移动9位，则x=5260； 由0.00000526到5.26小数点向右移动6位，则对应的立方根的小数点向右移动2位，则y=-1.739. 点睛：本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的关系．解题关键是根据所给式子的特征得到被开方数与其立方根的小数点变化规律． 33．（24-25八年级上·上海虹口·期中）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 【答案】（1）0.1，100；（2）①31.6；②36800；（3）2000． 【分析】（1）直接根据算术平方根的定义填空即可； （2）①首先确定，然后根据的近似值求解即可； ②由两个近似值确定扩大的倍数，然后结合①的思想进行反推求解即可； （3）仿照②的求解过程即可得出结论． 【详解】解：（1）；； 故答案为：0.1；100； （2）①∵，， ∴； 故答案为：31.6； ②∵， ∴， ∴， 故答案为：36800； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：2000． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根和立方根，以及拓展应用，理解算术平方根以及立方根的定义与性质是解题关键． 34．（24-25八年级上·上海青浦·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 【答案】(1)6，6，20，20 (2)①14，②4 (3) 【分析】（1）按算术平方根的定义进行计算即可解答； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，·=，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合，即可解答． 【详解】（1）解：，，，． 故答案为6，6，20，20． （2）解：由（1）中的计算结果可知：当时， ， ∴ ． 故答案为：①14，②4． （3）解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了阅读理解题、算术平方根的定义等知识点，根据题目中的信息获取规律是解答本题的关键． 35．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 【答案】(1)见解析;(2) a＝，b＝10k. 【分析】（1）根据表格中提供数据找出规律即可（2）利用（1）中得到的规律，求出用含k的代数式分别表示a，b. 【详解】解：(1)表中依次填0.01，0.1，1，10，100. 被开方数的小数点每移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向相同方向移动一位． (2)因为＝k，＝a，＝b， 所以a＝，b＝10k. 【点睛】此题重点考查学生对根式的实际应用能力，找出规律是解题的关键. 36．（24-25八年级上·上海松江·期中）电流通过导体产生的热量Q（单位：焦）跟电流，（单位：安）的二次方成正比，跟导体的电阻R（单位：欧姆）成正比，跟通电时间t（单位：秒）成正比．这个规律叫作焦耳定律，用代数式表示为． (1)在代数式中，当安，欧姆，秒，求Q的值； (2)电流通过一根电阻为50欧姆的电阻丝，20秒钟内产生的热量为4000焦，通过电阻丝的电流是多少安？ 【答案】(1)72焦 (2)2安 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，算术平方根的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，把安，欧姆，秒分别代入，进行计算，即可作答． （2）理解题意，把焦，欧姆，秒分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：由题知，（安），（欧姆），（秒）， 则（焦）． （2）解：由题知，（焦），（欧姆），（秒）， 由得，， ∴． ∵， ∴． 即通过电阻丝的电流是2安． 37．（24-25八年级上·上海崇明·期中）观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． (1)猜想：______，______． (2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 【答案】(1) (2)被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，，验证见解析 【分析】（1）根据给定的等式，进行猜想即可； （2）根据给定的等式可以看出，被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1，进行表示即可． 【详解】（1）解：由给定的等式猜想得：； 故答案为：； （2）由给定的式子可以得到：被开方数中的整数与分数的分子相同，分数的分母是分子的平方加1， 用一个含（为正整数）的式子可表示为：； 理由如下： ． 【点睛】本题考查算术平方根的性质和数字的规律性探究．熟练掌握算术平方根的概念，从给出的式子中正确的找出规律，是解题的关键． 38．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）填表，并观察被开方数及其算术平方根的小数点的移动规律. … 0.000004 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.002 0.2 200 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题： ①已知，则________； ②已知，，则的值为________. （3）当时，比较与的大小. 【答案】（1）0.02，2，20；（2）①17.32，②25600；③当时，；当时，；当时， 【分析】（1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用表格中的规律解答即可； （3）利用分类讨论的方法解答即可． 【详解】解：（1），，， 故答案为：0.02，2，20； ①∵ ∴ ②， ； 故答案为：①17.32，②25600； （3）当时，，从而； 当时，； 当时，，从而． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的意义，实数大小的比较，利用分类讨论的方法解答是解题的关键． 39．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，，，，…… (1)填空：______，______； (2)按上述规律，已知数的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (3)按照（2）的规律解决下列问题： ①已知，则______； ②已知，，用含的代数式表示，则______； (4)根据规律写出与的大小情况. 【答案】(1)0.01；1000 (2)见解析 (3)①0.0316；② (4) 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算即可； （2）根据题目中给出的等式总结出一般规律即可； （3）根据总结出的规律写出结果即可； （4）根据作差法，得出，然后分三种情况：，或0，进行讨论，写出结果即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：0.01；1000． （2）解：观察可得，当被开方数a的小数点向左（或向右）移动位时，它的算术平方根的小数点向左（或向右）移动n位（n为正整数）． （3）解：①根据解析（2）中总结出来的规律可知，当时，； 故答案为：0.0316； ②∵，， ∴由解析（2）中的规律可知，； 故答案为：． （4）解：， 当时，，， ∴， ∴； 当或时，，， ∴， ∴； 当时，，， ∴， ∴； 综上分析可知，． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的规律探究，熟练掌握算术平方根的定义，是解题的关键． 40．（24-25八年级上·上海静安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 不难发现，结果都是7． （1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证； （2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）答案不唯一，如选择6，13，20这三个数，按照已知等式方法计算即可； （2）设中间那个数为，列得，根据平方差公式及合并同类项法则计算即可． 【详解】解：(1)答案不唯一，如：在图中框出如图， ； (2)证明：设中间那个数为，则： ∴． ． 【点睛】此题考查数字计算规律探究，掌握有理数混合运算法则，整式的混合运算法则以及化简算术平方根是解题的关键． 【经典例题五 平方根、立方根的实际应用】 41．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知的立方根是2，的算术平方根为3， (1)分别求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根，平方根和算术平方根的定义进行求解即可； （2）先求出的值，再计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根为， ∴，， 解得：，， ∵， ∴； （2）∵，则， ∵，， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查立方根，算术平方根，平方根．熟练掌握相关概念，是解题的关键． 42．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求的平方根． (2)若的整数部分为m，的小数部分为n，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据立方根与算术平方根，平方根的含义可得：，，，从而可得答案； （2）由，，可得，的值，从而可得答案. 【详解】（1）解：由题得：，，， 解得，， ∴． 则的平方根为： （2）由（1）可求， ∵，，     ∴，，    则. 【点睛】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根的含义，无理数的整数部分与小数部分，熟记基本概念是解本题的关键. 43．（25-26八年级上·上海虹口·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 【答案】这个长方体容器的长与宽至少是 【分析】此题主要考查长方体容积（体积）公式，平方根关键是熟记公式． 设这个长方体容器的长与宽至少为，根据长方体容积（体积）公式列式，再由平方根的定义计算，即可解答． 【详解】解：设这个长方体容器的长与宽至少为，则 ， 解得或（不符合题意，舍去）． 答：这个长方体容器的长与宽至少是． 44．（24-25八年级上·上海静安·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】(1) (2) (3)够用 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【详解】（1）解：由题意得原来正方形区域的边长为， （2）解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， （3）解：， ∴， ∴铁丝够用． 45．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 【答案】 【分析】本题考查的是立方根的应用，设加工后正方体铁块的棱长为，根据题意列方程并解方程即可解决． 【详解】解：设加工后正方体铁块的棱长为， ∵长方体铁坯的长为，宽为，高为， ∴， ∴， 解得， ∴加工后正方体铁块的棱长为． 46．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设长方形苗圃的长米，宽米，已知面积为50平方米，根据长方形面积公式，可得，解方程即可； （2）分两种情况：当平行于墙时，当平行于墙时，分别求出篱笆的总长即可． 【详解】（1）解：设长方形苗圃的长米，宽米，根据题意得： ， 即， ， 解得：（因为长度不能为负，舍去）． 所以米． （2）解：因为，一边靠墙，分两种情况： 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 当平行于墙时，篱笆总长为： ， 把代入得篱笆的总长为米； 综上：篱笆的总长为米或米． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米 (2)8厘米 【分析】本题考查的是算术平方根与立方根的应用，理解题意是解本题的关键； （1）由立方根的含义可得答案； （2）由原立方体的体积减去三个棱长为4厘米的小立方体铁块的体积，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 48．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，将两块边长均为的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形． (1)求大正方形的面积． (2)求出大正方形的边长，并估计大正方形的边长在哪两个相邻的整数之间． 【答案】(1)大正方形的面积是； (2)大正方形的边长是，大正方形的边长在和之间． 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用，有理数加法的应用，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）由于大正方形是由两个小正方形所拼成的，易求得大正方形的面积为； （）根据大正方形的面积可得边长为，然后利用无理数估算方法即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形纸板是由两个小正方形纸板拼凑而成的，因此大正方形的面积为两个小正方形的面积之和， ∴大正方形的面积为， 答：大正方形的面积是； （2）解：由（）可得大正方形的边长是， ∵， ∴， ∴大正方形的边长在和之间． 49．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______dm； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为______； (2)小明同学想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？请说明理由． 【答案】(1)；；； (2)能裁出这样的长方形，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的应用，利用长宽比设未知数是解题的技巧，根据题意列方程是解题的关键． （1）①先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；②先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长；③先得出时图形的面积，然后根据正方形的性质，求得边长； （2）假设可行，设长方形的长宽分别为和，则根据面积可求得x的值，发现的值比正方形的边长小，故可能． 【详解】（1）解：当时，则正方形的面积为，边长为； 当时，则正方形的面积为，边长为； 时，则正方形的面积为，边长为； 总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为； 故答案为：；；；； （2）解：能裁出这样的长方形，理由如下： 设长方形的长为，则宽为， ∴， 解得：（负值已舍）， ∴， ∴能裁出这样的长方形． 50．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)1.414 (2)见解析， (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． （1）根据题意由正方形的面积可得出答案； （2）由（1）的方法可得出答案； （3）由题意画出图形即可． 【详解】（1）解：． 解方程得（保留到0.001）， 即． 故答案为：1.414； （2）解：∵， ∴， 设，画出示意图， 由面积公式，可得． 因为x值很小， 所以更小，略去， 解方程得（保留到0.001）， 即． ∴黄金分割数． （3）解：如图，即为所求 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 实数章末50道压轴题型专训（5大题型） 题型一 实数相关的规律题 题型二 实数的新定义运算 题型三 实数的取值范围问题 题型四 平方根、立方根的规律探究 题型五 平方根、立方根的实际应用 【经典例题一 实数相关的规律题】 1．（24-25八年级上·上海闵行·期末）（1）判断下列各式是否成立，并从中选择一个进行验证： ， ， （2）用字母n（n是正整数，）表示这一规律是：____________； 2．（24-25八年级上·上海静安·期中）观察下面的规律： …… 写出第n行的式子，并证明你的结论． 3．（24-25八年级上·上海松江·期中）观察下面的等式：，，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论为______（用含n的等式表示，n为正整数）； (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 4．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数的整数部分，例如：，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 5．（25-26八年级上·上海虹口·随堂练习）阅读材料：对于任意两个实数和比较大小，若，则；若，则；若，则．上面的规律反过来也成立．参考材料，解决问题： (1)比较大小：________；（填“”“”或“”） (2)已知，且，若，试比较和的大小． 6．（24-25八年级上·上海闵行·期中）观察：，即，的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子规律后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； (2)如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 7．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）观察下列等式，并解答问题． ， ， ， ， …… (1)将2025写成相邻两数的平方差的形式：_____________． (2)用含有字母m（m为不小于0的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个奇数的平方差一定是8的倍数吗？请说说你的理由． 8．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果： ①；②；③；④__________；… （2）深入探究，观察下列等式： ①，②；③；… 根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容： ___________． （3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算： ①； ②． 9．（2025·上海松江·模拟预测）【观察思考】 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 【规律发现】 （1）写出第5个等式： ； （2）写出你猜想的第个等式 ； 【规律应用】 （3）应用规律计算：（需写出过程）． 10．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题： (1)求，，的平方根； (2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来． 【经典例题二 实数的新定义运算】 11．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）我们定义一种新运算：．例如：． (1)求的值． (2)求的值． 12．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣，借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下： ． (1)求的值； (2)求的值． 13．（24-25八年级上·上海宝山·期中）对于两个不相等的实数、，定义一种新运算：※． 例如：． (1)___________； (2)求的值． 14．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）定义一种新运算：，如，按照上述定义计算下列各式： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·上海松江·期中）已知为有理数，定义一种新运算，其意义是,试根据这种运算完成下列各题 (1)求①23；②(43)(-2)       (2)任意选择两个有理数，分别代替与，并比较和两个运算的结果，你有何发现； (3)根据以上方法，探索的关系，并用等式把它们表示出来． 16．（24-25八年级上·上海长宁·期末）定义一种新运算，观察下列各式：，，，． （1）请你想一想：________； （2）若，那么与是否相等，请说明理由； （3）先化简，再求值：，其中，． 17．（24-25八年级上·上海普陀·期末）已知为不相等的实数，且均不为，现定义有序实数对的“真诚值”为：，如数对的“真诚值”为：，数对的“真诚值”为：． (1)根据上述的定义填空：　　， 　； (2)数对的“真诚值”，求的值．    18．（24-25八年级上·上海闵行·期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为．例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题： (1)的“青一区间”为　　　，的“青一区间”为　　　； (2)若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值； (3)实数，分别为一个正数的两个平方根，求的“青一区间”． 19．（24-25八年级上·上海宝山·期中）某数学学习小组在学习《算术平方根》之后进行了拓展研究，新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，，其结果，，都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由； (2)若三个数，，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为，求的值； (3)写出两组含有的“组合平方数”． 20．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）【阅读新知】 定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，我们把形如（a，b为实数）的数叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘运算与整式的加、减、乘运算类似．例如：．复数的加法运算法则：将两个复数的实部和虚部分别相加．例如：． 【应用新知】 (1)填空：______；______． (2)计算：． 【经典例题三 实数的取值范围问题】 21．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）定义新运算：对于任意a，b，都有a※b＝a（a﹣b）+1．比如2※5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5．若3※x的值小于13．求x的取值范围，并在数轴上把解集表示出来． 22．（24-25八年级上·上海金山·期中）在实数范围内，定义一种新运算：，例如：．已知，求x的取值范围． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）已知实数a与b满足． (1)直接写出a和b的取值范围； (2)若a是正整数，是有理数，求b的值． 24．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）判断下面各式是否成立． ①；②；③ (1)根据上述规律，请写出第6个等式； (2)用含有n的代数式将规律表示出来，说明n的取值范围，并给出证明． 25．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）我们用表示不大于a的最大整数，例如：，，；用表示大于a的最小整数，例如：，，，解决下列问题： (1) ； ； (2)，则x的取值范围是 ；若，则y的取值范围是 ； (3)已知x，y满足方程组，求x，y的取值范围． 26．（24-25八年级上·上海长宁·期中）苏科版七年级课本在引入无理数概念时，提到了：若一个面积为2的正方形的边长为a，那么a是一个无理数，并采用“逼近法”对a的大小进行探究即先判断出a是大于1且小于2的数再近一步得到终得到 (精确到2位小数似的，若一个面积为10 的正方形的边长为b，请你逐步探索出b的取值范围(精确到2位数即可)． 27．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否”为一次程序操作．    (1)若输入后程序操作仅进行了一次就输出结果，求a的取值范围； (2)当时，输入x后程序操作进行了两次输出结果，求x的取值范围； 28．（24-25八年级上·上海闵行·期中）阅读材料： 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作 例如，，，．那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么的取值范围是______； (3)如果，其中，且，直接写出的值． 29．（24-25八年级上·上海青浦·期中）阅读与思考 大家知道圆周率是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，因为的整数部分是3，于是小宇用表示出的小数部分．又例如：因为，即可得，所以的整数部分为2，小数部分为（说明：对于实数，其整数部分的定义是不大于的最大整数；小数部分大于0且小于1），请解答下列问题． (1)的整数部分是________，小数部分是________． (2)设的小数部分为的整数部分为，求的值． (3)已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分． ①的取值范围是_________． ②当是6的倍数时，且，求出的值． 30．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）类比平方根（二次方根）、立方根（三次方根）的定义可给出四次方根、五次方根的定义： ①如果，那么x叫做a的四次方根； ②如果，那么x叫做a的五次方根； 请根据以上两个定义并结合有关数学知识回答问题： (1)81的四次方根为______；的五次方根为______． (2)若有意义，则a的取值范围为______；若有意义，则a的取值范围为______． (3)解方程： ① ② 【经典例题四 平方根、立方根的规律探究】 31．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）研究下列算式，你会发现有什么规律？请用的式子表示出来．，，，… 32．（24-25八年级上·上海虹口·课后作业）一个正方体的体积变为原来的8倍，它的棱长是原来的多少倍？如果体积变为原来的27倍呢？体积变为原来的1 000倍呢？利用你发现的规律解决下列问题： 若，．，求x和y的值． 33．（24-25八年级上·上海虹口·期中）（1）填空： ＝0.01，＝ ，＝1，＝10，＝ ，… （2）观察上述求算术平方根的规律，并利用这个规律解决下列问题： ①已知 ≈3.16，则 ≈ ； ②已知 ≈1.918， ≈191.8，则a＝ ． （3）根据上述探究过程类比一个数的立方根：已知 ≈1.26，≈12.6，则m＝ ． 34．（24-25八年级上·上海青浦·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 35．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）(1)填写下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 ____ ____ ____ ____ ____ 想一想，上表中已知数a的小数点的移动与它的算术平方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)利用规律计算：已知＝k，＝a，＝b，用含k的代数式分别表示a，b. 36．（24-25八年级上·上海松江·期中）电流通过导体产生的热量Q（单位：焦）跟电流，（单位：安）的二次方成正比，跟导体的电阻R（单位：欧姆）成正比，跟通电时间t（单位：秒）成正比．这个规律叫作焦耳定律，用代数式表示为． (1)在代数式中，当安，欧姆，秒，求Q的值； (2)电流通过一根电阻为50欧姆的电阻丝，20秒钟内产生的热量为4000焦，通过电阻丝的电流是多少安？ 37．（24-25八年级上·上海崇明·期中）观察下列有规律的一组等式： ，即；，即． (1)猜想：______，______． (2)你发现了什么规律？根据你发现的规律，请用一个含（为正整数）的式子表示这一规律，并验证所写式子的正确性． 38．（24-25八年级上·上海嘉定·阶段练习）（1）填表，并观察被开方数及其算术平方根的小数点的移动规律. … 0.000004 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.002 0.2 200 … （2）利用上表中的规律，解决下列问题： ①已知，则________； ②已知，，则的值为________. （3）当时，比较与的大小. 39．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）已知，，，，…… (1)填空：______，______； (2)按上述规律，已知数的小数点移动与它的算术平方根的小数点移动间有何规律？ (3)按照（2）的规律解决下列问题： ①已知，则______； ②已知，，用含的代数式表示，则______； (4)根据规律写出与的大小情况. 40．（24-25八年级上·上海静安·期末）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定规律，如图是2020年12月份的日历，我们选择其中被框起的部分，将每个框中三个位置上的数作如下计算： 不难发现，结果都是7． （1）请你再在图中框出一个类似的部分并加以验证； （2）请你利用代数式的运算对以上规律加以证明． 【经典例题五 平方根、立方根的实际应用】 41．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）已知的立方根是2，的算术平方根为3， (1)分别求a，b，c的值； (2)若，求的平方根． 42．（24-25八年级上·上海黄浦·期中）已知：的立方根是3，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求的平方根． (2)若的整数部分为m，的小数部分为n，求的值．  43．（25-26八年级上·上海虹口·单元测试）如图，一个容积为的正方体容器中装满水，现要将其中的水全部倒入另一个长方体容器中，若长方体容器的长与宽相等且高是，则这个长方体容器的长与宽至少是多少？（结果保留根号） 44．（24-25八年级上·上海静安·期中）在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． (1)求原来正方形区域的边长； (2)求修改后长方形的周长； (3)铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 45．（24-25八年级上·上海虹口·单元测试）这几年，垃圾变废为宝的推进力度在持续加强．某废铁加工厂决定将回收的如图①所示的一个长为，宽为，高为的废弃长方体铁坯，加工成如图②所示的正方体铁块（假设加工过程中无损失），求加工后正方体铁块的棱长． 46．（24-25八年级上·上海崇明·期中）如图，计划建一个面积为50米的长方形苗圃，一边靠墙，另外三边用篱笆围成，并且它的长与宽之比为． (1)求的长； (2)求出苗圃所用篱笆总长． 47．（24-25八年级上·上海宝山·期中）如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 48．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）如图，将两块边长均为的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形． (1)求大正方形的面积． (2)求出大正方形的边长，并估计大正方形的边长在哪两个相邻的整数之间． 49．（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形．下面是他们探究的部分结果： (1)如图1的第1个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______dm； 如图2的第2个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 如图3的第3个图形，当时，拼成的大正方形的边长为______； 观察总结规律，第n个图形拼成的大正方形的边长为______； (2)小明同学想沿着正方形纸片边的方向能否裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为？请说明理由． 50．（24-25八年级上·上海徐汇·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． 问题情境：有多大呢？教材中用两个面积为1的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图②，可以求出大正方形的边长为； (1)探究过程：因为，所以．设，将边长为的正方形分成如图①所示的四部分．由面积公式，可得，因为x值很小，所以更小，略去，解得（保留到0.001），即≈_________． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到0.001） (3)怎样画出？ 现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图③，类比图①的方法，请你在图③中用实线把它们分割，然后在图④中拼接成一个新的大正方形．要求：在图③中画出分割线，并在正方形网格图④中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$