专题04 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： 【答案】4 【分析】根据立方根，绝对值，平方根的定义解答即可． 本题考查了立方根，绝对值，平方根的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值，并正确计算是解题的关键． 分别计算有理数乘方，代入特殊角的三角函数值，并计算负整数指数幂，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用算术平方根及立方根的定义计算后再算加减即可； 利用绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 4．（25-26八年级上·上海虹口·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是关键． （1）利用立方根和算术平方根化简，再计算即可； （2）利用立方根、算术平方根、绝对值化简，再计算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 5．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式性质，零指数幂运算法则，绝对值意义，进行计算即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，再根据二次根式加减混合运算法则，进行计算即可； （3）根据二次根式性质和二次根式混合运算法则，进行计算即可； （4）根据绝对值意义，二次根式性质，负整数指数幂运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)； (4) 【分析】本题主要考查了实数的运算和整式的乘法运算，包括零指数幂，负整数指数幂，乘方运算，积的乘方等，多项式乘多项式等，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）先进行零指数幂，负整数指数幂，乘方运算，再进行加减即可； （2）先进行幂的乘方、同底数幂的乘法，再进行合并同类项即可； （3）先进行多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项； （4）先进行平方差计算，再利用完全平方展开即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 7．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查实数的混合运算，整式的混合运算，解答的关键是掌握零指数幂、负整数指数幂、整式混合运算法则以及乘法公式． （1）先算零指数幂，负整数指数幂，再算加减即可； （2）先算积的乘方，单项式乘单项式，同底数幂的除法，再合并同类项即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）利用平方差公式及完全平方公式进行运算较简便． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 8．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算．熟练掌握实数和整式的运算顺序和法则，乘法公式，是解题的关键． （1）根据绝对值的性质、乘方的定义、零指数幂和负整数指数幂分别运算，再相加减即可；（2）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方先进行乘方和乘除运算，再合并同类项即可； （3）把当作一个整体，利用同底数幂的乘法进行计算，然后合并即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式展开，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6)； 【答案】(1) (2) (3)17 (4) (5)1 (6) 【分析】（1）先计算同底数幂，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）先算乘方，再算乘法和除法即可； （3）将原式先转化成，再算乘方，再算加减即可； （4）先计算多项式乘多项式和单项式乘多项式，再合并同类项即可； （5）先把转化成，再运用平方差公式计算即可； （6）先计算完全平方和平方差，再计算多项式除以单项式即可． 本题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 10．（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算 (1)． (2)． (3) (4)先化简：，再给在，，，中取一个合适的值代入求值． 【答案】(1) (2) (3) (4)，当时，原式 【分析】本题考查整式加减运算与乘除运算，实数的运算，二次根式的性质化简，分式的化简求值；解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）根据整式的乘除运算以及加减运算法则即可求出答案． （2）先根据立方根、零次幂及二次根式的性质化简，然后根据实数的运算可进行求解． （3）根据完全平方公式以及平方差公式展开，再去括号，然后合并同类项即可． （4）先算括号内，然后把除法转化为乘法约分化简，最后取一个令分式分母都不为的数代值即可． 【详解】（1）解：． ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ， 因为 ， 所以当 时，原式 ． 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25八年级上·上海金山·期末）求方程中x的值： 【答案】 【分析】本题考查的是根据平方根的意义解方程，先移项，再系数化为1，最后根据平方根的意义解出即可． 【详解】解：， ， ． 12．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义，是解题的关键： （1）根据平方根的定义，解方程即可； （2）根据平方根的定义，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 所以， 解得或． （2）由题意，得， 所以， 所以， 解得或． 13．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查零次幂的含义，算术平方根的含义，开方法解方程的综合． （1）先计算乘方，零次幂，算术平方根，再合并即可求解； （2）根据直接开方法解方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 直接开方得， 移项，， ∴，， ∴原方程的解为，． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）解下列方程及方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了平方根的定义和解二元一次方程组． （1）根据平方根的定义，得到关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）把两个方程相加消去y，求出x，再把x的值代入其中一个方程求出y即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：或； （2）解：， ①②得：， 解得， 把代入①得：， 解得 ∴方程组的解为． 15．（24-25八年级上·上海闵行·期中）（1）计算：； （2）求方程的解． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了利用平方根的定义解方程、有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先计算乘方和绝对值，再计算加减即可求解； （2）整理后，利用平方根的定义求解即可． 【详解】解：（1） ； （2）整理得， 开平方得， ∴或． 16．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算和解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的混合计算法则求解即可； （2）根据求平方根的方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键． 17．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算和解方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①；②；③；④或 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方根，熟练掌握二次根式的混合运算法则以及利用平方根的定义解方程是解题的关键． ①利用平方差公式和二次根式的性质计算即可； ②先进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； ③根据平方根的定义解方程即可； ④根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：① ； ② ； ③， ， ， ； ④， ， 或． 18．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．根据上述平方根的意义，试求方程的解． 【答案】或． 【分析】本题考查平方根及应用，由平方根的知识可得，从而求出方程的解． 【详解】解： 开平方，得 解得或． 19．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知，与，都是方程的解． (1)求k与b的值； (2)当时，求y的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是解二元一次方程组及平方根， （1）根据题意可得关于、的方程组，解方程组即可得到答案； （2）由（1）可得，将代入，然后根据平方根的概念求解即可． 【详解】（1）解：∵，与，都是方程的解， ∴将，与，代入方程， 得：， 解得：． （2）解：由（1）可得， 将代入，得， ∴4的平方根为 ∴y的平方根为． 20．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）（1）阅读理解：在八年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方根的定义，乘方的意义． （1）先移项，然后根据平方根的定义直接开平方即可； （2）先移项整理得，再根据平方根的定义开平方得，再解一元一次方程即可； （3）根据乘方的意义和平方根的定义开两次平方即可得解． 【详解】解：（1）， ； （2）， ， ， ， 或； （3）， ， 或（舍去）， ． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）先移项，再由平方根的定义求解； （2）先系数化1，再由立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解： （2）解： 22．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再整理得，运用平方根进行计算，即可作答． （2）运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ 则 ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的运算，熟练掌握平方根和立方根的运算法则是解题的关键； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可 【详解】（1）解： （2）解： 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）（1）计算：； （2）解关于x的方程： 【答案】（1）（2） 【分析】先根据算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可； 根据立方根的定义解方程即可． 本题考查了实数的运算，立方根，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： ； ， ， ， ， 25．（24-25八年级上·上海普陀·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义，开平方即可求得x的值； （2）根据立方根的定义，开立方即可求得x的值． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ， ． 26．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)或 (2)或 (3) (4) 【分析】本题主要考查了利用平方根和立方根求未知数的值，熟练掌握求解一个数的平方根及立方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）利用立方根的定义求解即可； （4）利用立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ， 或 解得：或； （3）解： ， 解得：； （4）解： ， ， 解得：． 27．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知，，求式子的值． 【答案】27或7 【分析】本题考查了立方根解方程，平方根解方程，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先分别运用立方根，平方根的性质算出或，，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴， 当，时，的值为27； 当，时，的值为7． 28．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，根据平方根和立方根的定义列出方程求得，的值，代入方程，根据平方根的定义解方程即可． 【详解】解：是的平方根， ， ， 是的立方根， ，即， ， 原方程可变为， ， ， 解得：或． 29．（24-25八年级上·上海宝山·期中）（1）计算 ① ② （2）解方程： ① ② 【答案】（1）①；②；（2）①或；② 【分析】本题主要考查了实数的运算，求平方根和求立方根的方法解方程，熟知相关计算方法是解题的关键． （1）①先计算乘法和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案；②先计算乘法和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）①先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案；②把方程两边同时开立方，再解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①∵， ∴， ∴，即或， ∴或； ②∵， ∴， ∴． 30．（24-25八年级上·上海静安·期中）计算 (1)； (2)已知的平方根是，的算术平方根是4．求的立方根． 【答案】(1)或 (2)2 【分析】本题主要考查了求平方根，立方根，算术平方根， 对于（1），先整理得，再根据算术平方根可得答案； 对于（2），根据题意得，再求出的值，然后根据立方根的定义解答． 【详解】（1）解：整理，得， ∴或， 解得或； （2）解：因为的平方根是， 所以， 解得； 因为的算术平方根是4， 所以， 解得， 所以， 则8的立方根是2． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题是规律探索问题，考查了分式的化简，实数的运算，找到规律是解题的关键；由题意得各项规律，并化简得，由此即可计算出结果． 【详解】解：因为， 所以原式 ． 32．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列各式：①，②，③探索以上式子的规律： (1)写出第n个等式； (2)利用规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目已给出的式子判断出规律即可； （2）根据式子所求的特点，设，则可以得到3S的值，然后作差即可得到所求式子的值． 【详解】（1）∵①，②，③， ∴第n个式子是：； （2）设， 则， ∴， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． 33．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果. （1）计算： （2）若口请推算“口”内的运算符号. （3）在“□□□”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这个最小的数. 【答案】(1) (2) “-” (3) 【分析】(1)先进行开方运算，再加减依次计算. (2)先计算出“口”前面算式的结果，再根据结果与9和12的数量关系选择符号. (3)因为只有，所以得数经过运算之后要想最小，则一定要是负数，要使负数最小，使其绝对值越大即可，都用乘法可以得到. 【详解】(1) (2)，，所以为“-”号. (3)□□□=□□□ 则×（）××= 即最小值为. 故答案为(1) (2) “-” (3) 【点睛】本题考查了实数的运算，解题关键在于找准数字与数字之间的关系，灵活运用运算符号建立联系. 34．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式： ①； ②； ③；…… (1)请按规律写出第⑥个式子； (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据规律直接得出结果即可； （2）利用（1）中结论及有理数的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ……， 根据规律可知，， 则第⑥个式子为：； 故答案为：； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质化简及有理数规律性运算，根据题意找出相应规律是解题关键． 35．（24-25八年级·上海虹口·阶段练习）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据提供的解法可得答案； （2）根据规律推广至一般情况即可； （3）利用上述规律方法解答即可． 【详解】（1）， 故答案为：，； （2）由上述规律可得， ； （3）． 【点睛】本题考查了数字类规律题，二次根式的性质化简，找到规律是解题的关键． 36．（2025八年级上·上海松江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 【答案】(1)6，， (2)（a≥0，b≥0）， 【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算． 【详解】（1），，； 故答案为：6，，； （2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）． 故答案为： （a≥0，b≥0）， 【点睛】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 37．（24-25八年级上·上海徐汇期中）观察下列各式： ，，． (1)猜想并写出第四个等式，通过计算验证该等式； (2)写出用n（n为正整数）表示一般规律的等式，并根据下面的提示完成证明过程： …… 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据已知等式的规律，写出第四个等式，再根据二次根式的运算法则计算即可验证； （2）根据题干所给步骤，继而利用分式的运算法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 第四个等式为：， ， ， 故； （2） 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律和二次根式的化简计算，观察发现数据变化规律是解决问题的关键． 38．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　 　；⑤1+3+5+7+9＝52；… （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算21+23+25+…+99． 【答案】（1）1+3+5+7＝42；（2）1+3+…+（2n﹣1）＝n2；（3）2400． 【分析】（1）根据题中给出的四个例子，找到规律，即可写出第④个式子； （2）根据（1）中发现的规律即可得出答案； （3）将式子变形为，然后利用找到的规律即可解题. 【详解】解：（1）1+3+5+7＝16＝42． 故答案为：1+3+5+7＝42． （2）∵1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，1+3+5+7+9＝52，…， ∴1+3+…+（2n﹣1）＝n2． （3）21+23+25+…+99＝（1+3+…+99）﹣（1+3+…+19）＝502﹣102＝2400． 【点睛】本题为规律类试题，找到规律是解题的关键. 39．（24-25八年级上·上海宝山·期中）阅读理解 如果记，并且表示当时的值，即． 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； （拓展）试计算的值． 【答案】 【分析】分别把代入求值即可；根据其变化规律得到，然后求解即可． 【详解】解： ， ， ， ， 又 ． 【点睛】本题考查了与实数有关的规律探究，读懂题意观察出变化规律是解题的关键． 40．（24-25八年级上·上海静安·期末）某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0.如图1是某个学生的身份识别图案.约定如下：把第i行，第j列表示的数字记为（其中i，j=1，2，3，4），如图1中第2行第1列的数字=0；对第i行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字.如图1中，第二行，说明这个学生在5班. （1）图1代表的学生所在年级是______年级，他的学号是_________； （2）请仿照图1，在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案 【答案】（1）七；28；（2）见解析 【分析】（1）根据题意，分别求出相应的，即可得解； （2）根据题意，，，，，进行逆运算，即可得解. 【详解】（1）根据题意，得 图1代表的学生所在年级是七年级，他的学号是28； （2）根据题意，得八年级4班学号是36的同学 即，，， 即， 则该同学的身份识别图案如下： 【点睛】此题主要考查新定义下的运算，熟练掌握，即可解题. 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41．（24-25八年级上·上海松江·期中）若“三角形”表示3abc,“方框”表示（）.试计算： 【答案】6mn= 【分析】根据三角形和方框所表示的代数式，可以表示出所求形式的代数式，然后再根据运算法则运算即可． 【详解】解：=3mn =6mn=． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算，关键是列出正确的代数式． 42．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，例如2★3=2－3=. 计算3★(-2) 【答案】 【分析】先判断算式a☆b中，a与b的大小，转化为对应的幂运算，再进行乘法运算． 【详解】解：∵3>-2， ∴3★(-2)= ， 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、正指数幂、新定义等考点的运算． 43．（24-25八年级上·上海长宁·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数新定义运算； （1）由，代入，即可； （2）先求，代入即可； （3）由，，即可得，解得即可． 【详解】（1）解：由， 得； （2）由， 得； （3）由， ， ， 得， 得． 44．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）对于有理数a，b定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 【答案】(1)34 (2)640 【分析】（1）根据定义运算法则，准确计算即可． （2）根据定义运算法则，准确计算即可． 【详解】（1）∵ ∴． （2） 【点睛】本题考查了实数的新定义运算，正确理解运算法则，并选择正确计算方式是解题的关键． 45．（24-25八年级上·上海松江·期中）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1）37；（2）９ 【分析】（1）根据新运算得到，先进行乘法运算，再进行加减运算； （2）根据新运算先计算，得到3，再计算 【详解】解：由题意可知： （1） （2） =9 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新运算正确列出式子． 46．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）规定，如当时，，根据以上运算法则： (1)比较与的大小； (2)计算：． 【答案】(1) (2)0 【分析】（1）根据题干中信息分别求出与的值，然后比较大小即可； （2）根据题干信息列式计算即可． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握运算法则，准确计算． 47．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）非负整数n的各位数字中，奇数数字的和记为，偶数数字的和记为，例如：据此，解决下列问题： (1) ； ； (2)m是一个三位正偶数．若，且这个三位数的百位、十位数字之和是7，求这个三位数． (3)① ； ② ． 【答案】(1)3,8 (2)或522 (3)500，400 【分析】本题考查了新定义运算，正确理解新定义并掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据新定义内容进行运算，即可作答． （2）设设m是一个三位正偶数．为（百位为，十位为，个位为为偶数） 进行分类讨论：为偶数，或为偶数，然后列式计算，即可作答． （3）先计算出中，有的数字出现的次数，再根据新定义法则进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，中，2,6都是偶数， 故，； （2）解：依题意，设m是一个三位正偶数．为（百位为，十位为，个位为为偶数） ∵这个三位数的百位、十位数字之和是7， ∴ ∵， ∴存在一偶一奇 则设为偶数，则， 即，则此时这个三位数为； 则设为偶数，则，, 则此时这个三位数为522. 综上：这个三位数为或522. （3）解：中，含有1的数字有： 共出现次 1-100中，含有2的数字有 共出现20次； 同理: ，均出现20次；故 故答案为:500，400. 48．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1），据此即可求解； （2）利用材料所给乘法运算和乘方运算法则即可求解； （3）据此可找到规律求解． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）解：原式 （3）解：由题意可得： ∵ ∴原式 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了学生举一反三以及抽象概括能力． 49．（24-25八年级上·上海宝山·期末）规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方．例如是3的除方，记作，读作“3的圈3次方”：再例如是－3的除方，记作，读作“－3的圈4次方”：一般地，把（n个a，，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（初步探究） (1)直接写出计算结果：______；______； 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 (2)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______； (3)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为______． 【答案】(1)，16 (2) (3) 【分析】对于（1），根据运算规定，用除法运算直接得出结果； 对于（2），观察例题得出结果是-4的倒数的（6-2）次方； 对于（3），观察上述计算过程，根据规律：一个非零有理数a的圈n次方等于a的倒数的（n-2）次方，按规律计算即可． 【详解】（1）； ； 故答案为：，16； （2）； 故答案为：； （3）aⓝ=a÷a÷···÷a ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了理解新定义，掌握新定义与有理数运算的关系是解题的关键． 50．（24-25八年级上·上海静安·期末）探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）=+7；（-3）※（-5）=+8；（-3）※（+4）=-7；（+5）※（-6）=-11；0※(+8)=8；(-6)※0=6． 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，_____________，________________，________________． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，_________________． （2）计算：（-2）※〔0※（-1）〕（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【答案】（1）同号得正；异号得负；并把绝对值相加；都等于这个数的绝对值（2）-3（3）两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用；详见解析 【分析】（1）观察算式，归纳总结出运算法则； （2）根据运算法则运算即可； （3）根据运算法则验证交换律和结合律即可. 【详解】（1）根据题意，得同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 都等于这个数的绝对值； （2）根据（1）中总结出的运算法则，得 （-2）※〔0※（-1）〕 =（-2）※1 =-3 （3）①交换律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知，（+5）※（+2）=+7， （+2）※（+5）=+7， 所以（+5）※（+2）=（+2）※（+5） 即交换律在有理数的❈（加乘）运算中还适用． ②结合律在有理数的※（加乘）运算中还适用． 由※（加乘）运算的运算法则可知， （+5）※（+2）※（-3） =〔（+5）※（+2）〕※（-3） =7※（-3） =-10 （+5）※（+2）※（-3） =（+5）※〔（+2）※（-3）〕 =（+5）※（-5） =-10 所以〔（+5）※（+2）〕※（-3）=（+5）※〔（+2）※（-3）〕 即结合律在有理数的❈（加乘）运算中还适用． 【点睛】此题主要考查新定义下的运算，解题关键是理解题意，归纳出运算法则. 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·上海闵行·期中）不用计算器，比较与的大小 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，不等式的性质，熟练掌握无理数的大小估算是解题的关键，利用无理数的估算得，再利用不等式的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 52．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知是的小数部分，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算，二次根式的混合运算，正确利用已知代入求出是解题关键．先通过估算得出，再代入运算求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵是的小数部分， ∴． 原式 ． 53．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）化简： （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3）1 【分析】（1）估算出，即可计算答案； （2）估算出，即可计算答案； （3）估算出，即可计算答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴   ； （3）∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了实数的估算、有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数，有理数的运算法则及运算性质等同样适用，关键在于估算出的范围． 54．（24-25八年级上·上海普陀·开学考试）已知，算术平方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 【答案】4 【分析】根据得，解得；算术平方根是2得，得到根据得，确定，继而确定，计算即可． 本题考查了算术平方根，无理数的估算，熟练掌握算术平方根，无理数估算取整是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得； ∵算术平方根是2。 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 55．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）根据表格内容，解答下列问题． M 与的差 (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要涉及二次根式的运算以及无理数整数部分和小数部分的确定．熟知二次根式相关的运算法则和无理数的估算方法是正确解答此题的关键． （1）根据表格中P是M与N的差，利用减法运算求解即可； （2）先通过估算的范围来确定M的整数部分a和N的小数部分b，再代入计算的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知， （2）解：， ， 即． 那么， 也就是， 的整数部分． 由可得， 即． 的整数部分是1， 则小数部分． 56．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 【答案】(1)不是有理数  理由见解析 (2)3 (3)3.2 【分析】本题考查了算术平方根以及无理数的大小估算，是基础题，熟记概念是解题的关键． （1）根据圆的面积公式列式，再利用算术平方根的定义解答； （2）根据无理数的大小估算计算即可得解； （3）根据无理数的大小估算计算即可得解． 【详解】（1）解：x不是有理数，理由如下： 由圆的面积公式可得， 所以， 因为没有一个整数或分数的平方等于10，所以x不是有理数； （2）由（1）知， 因为，， 所以， 所以x的整数部分是3； （3）因为，， 所以． 又因为，， 所以， 所以将x精确到十分位为3.2． 57．（24-25八年级上·上海静安·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了无理数的估算． （1）先估算出，得到，根据定义即可得到答案； （2）先估算出的小数部分，的整数部分为，进一步计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）∵， 即， ∴的整数部分为2，小数部分．     ∵，即， ∴的整数部分．      ∴．    ∴． ∴． 58．（24-25八年级上·上海松江·期末）无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 【答案】(1)3； (2)或 【分析】本题主要考查了无理数大小的估算，以及不等式的性质． （1）根据，可得出答． （2）根据无理数得估算可得出，根据不等式的性质可得出，，再根据无理数的估算可得出，，代数式子计算即可求出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 故答案为：3；； （2）∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴或． 59．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 【答案】(1) (2)；；143 (3) 【分析】本题考查的是平方根与算术平方根的含义，无理数的整数部分的含义，理解表格信息是解本题的关键； （1）根据表格信息可得，从而可得答案； （2）根据表格信息可得，再结合算术平方根的规律变化可得答案； （3）根据表格信息可得，结合算术平方根的含义可得的值，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵由表可知：， ∴ ∴的平方根是． （2）∵， ∴， ， ； （3）∵， ∴， ∵的整数部分是m， ∴， ∴， ∴的值的平方根为． 60．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）（1）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． 若与互为相反数，求的值． （2）自由下落物体的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是，若有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？（结果通过估算四舍五入取整数） 【答案】（1）0；（2） 【分析】本题主要考查了无理数的估算，求一个数的算术平方根： （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）先根据所给式子求出，再估算出即可得到答案． 【详解】解：（1）与互为相反数， 解得：． ． （2）当时，， ， 解得： ， ∴， ， 答：物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要． 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级·上海虹口·课后作业）计算下列各式并观察： ①________，②________，③________，④________，通过上述各式，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来：__________________. 【答案】①90； ②9； ③0.9； ④0.09; （5）一个数缩小为原来的，则它的算术平方根变为原来的 【分析】根据算术平方根的定义直接求出8100，81，0.81，0.0081的算术平方根，进而得出数据变化规律． 【详解】解：根据算术平方根的求法得出： ①，②，③，④，通过上述各式，发现的规律是：一个数缩小为原来的则它的算术平方根变为原来的． 【点睛】此题主要考查算术平方根的求法以及数据变化规律等知识点，根据已知得出数据变化规律是中考的考查重点，同学们应重点掌握． 62．（24-25八年级上·上海长宁·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 【答案】(1)，，， (2) (3)①；② 【分析】（1）根据算术平方根进行计算即可求解． （2）根据（1）的结论，即可求解． （3）根据（2）的结论进行计算即可求解． 【详解】（1）解：，；； 故答案为：，，，． （2）解：由（1）可得， 故答案为：． （3）解：①； ②． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键． 63．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）（1）计算 ； ； ； （2）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ． 【答案】（1）3；6；；0；（2） 【分析】（1）先算根号里的乘方运算，然后再根据算术平方根可进行求解； （2）由（1）可得当中a≥0时，结果为a，当a＜0时，结果为-a，由此结合题中的数轴可进行求解． 【详解】解：（1），，，； 故答案为3；6；；0； （2）由（1）可知当中a≥0时，结果为a，当a＜0时，结果为-a，由数轴可得， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查算术平方根、实数的运算及合并同类项，熟练掌握算术平方根、实数的运算及合并同类项是解题的关键． 64．（24-25八年级上·上海闵行·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 【答案】(1)，，， (2)根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字 (3) 【分析】（1）用计算器逐个式子计算即可； （2）根据（1）的计算结果可总结规律根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）总结的规律即可直接得出答案，再利用计算器验算即可． 【详解】（1），，，． 故答案为：，，，； （2）根据（1）的计算结果可以得出：根号内被开方数是( n=1，2，3，…)个数字和个数字的差，结果为个数字； （3）由（2）所得规律可直接得出：， 通过计算器验证：． 故答案为：33333． 【点睛】本题考查数的开方，解题的关键是用计算器计算出结果再总结出规律． 65．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）； 【分析】本题考查了数字类规律探究，算术平方根，根据解题过程找出一般规律是解题关键． （1）先求出每个数的算术平方根，再填表即可； （2）根据计算找出规律即可得到答案． 【详解】解：（1），，，， 填表如下： a （2）由以上解答过程发现：求一个数的算术平方根时，被开方数扩大或缩小100倍，则它的算术平方根扩大或缩小10倍， ； ， ， ∵， ． 66．（24-25八年级上·上海静安·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 【答案】(1)① -5，5；②-2，2 (2) (3) 【分析】（1）根据立方根的定义解答即可； （2）根据（1）总结规律即可解答； （3）根据（2）所得规律以及（3）的已知条件可得（x-1）+（2x-3）=0，然后求解即可． 【详解】（1）解：①-5，5； ②-2，2． 故答案为① -5，5；②-2，2． （2）解：由（1）的计算可归纳： 故答案为． （3）解：∵与互为相反数 ∴+=0 ∴（x-1）+（2x-3）=0，解得：． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根、数字规律以及相反数的意义等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 67．（24-25八年级上·上海宝山·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 【答案】(1)6，6，20，20 (2)①14，②4 (3) 【分析】（1）按算术平方根的定义进行计算即可解答； （2）分析（1）中所得结果可知：当时，·=，按照所得规律进行计算即可； （3）按照所得规律可知：，再结合，即可解答． 【详解】（1）解：，，，． 故答案为6，6，20，20． （2）解：由（1）中的计算结果可知：当时， ， ∴ ． 故答案为：①14，②4． （3）解：∵，， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了阅读理解题、算术平方根的定义等知识点，根据题目中的信息获取规律是解答本题的关键． 68．（24-25八年级上·上海长宁·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可； （2）原式变形后，仿照上式得出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ∴第4个等式为：； 故答案为：； （2） ． 【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键． 69．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ． 【答案】(1)被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． (2) (3) 【分析】（1）观察被开方数和算术平方根小数点的位置，即可求解； （2）根据（1）中的规律，从被开方数和算术平方根小数点的移动位置考虑，即可求解； （3）根据前面的规律，被开立方数与立方根之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：探究发现：观察被开方数和算术平方根小数点的位置，可以的得到：被开方数的小数点向左或向右移动位，其算术平方根的小数点就向左或向右移动位． （2）解：∵ ∴ ∵ ∴； 故答案为：0.1435；14.35； （3）解：∵ ， 故答案为：12.60． 【点睛】本题考查了算术平方根和立方根，解题的关键是从小数点移动的位数来考虑． 70．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 【答案】(1)倍 (2)； (3)； (4)能直接说出，不能直接说出的值 【分析】（1）根据根号内的小数点移动规律即可求解，算术平方根的规律为，根号内的小数点移动2位，对应的结果小数移动1位其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致； （2）根据规律进行计算即可求解； （3）根据规律进行计算即可求解； （4）根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点移动一位，小数点的移动方向保持一致． 【详解】（1）解：被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍, 故答案为：倍． （2）（精确到），并用上述规律直接写出各式的值：；， 故答案为：；． （3）∵ ∴； （4）解：∵， ∴，不能直接说出的值 【点睛】本题考查了算术平方根与立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 实数运算、平方根、立方根70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 实数的混合运算 题型二 平方根、平方根方程 题型三 立方根、立方根方程 题型四 实数的规律计算题 题型五 实数的新定义运算 题型六 无理数的估算 题型七 平方根、立方根的规律探索题 【经典计算题一 实数的混合运算】 1．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： 2．（2025·上海奉贤·模拟预测）计算 3．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·上海虹口·单元测试）计算： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 8．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 9．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）计算 (1)； (2) (3) (4) (5) (6)； 10．（24-25八年级上·上海虹口·期末）计算 (1)． (2)． (3) (4)先化简：，再给在，，，中取一个合适的值代入求值． 【经典计算题二 平方根、平方根方程】 11．（24-25八年级上·上海金山·期末）求方程中x的值： 12．（25-26八年级上·上海虹口·课后作业）计算： (1)． (2)． 13．（24-25八年级上·上海徐汇·期末）计算和解方程： (1)计算：； (2)解方程：． 14．（24-25八年级上·上海闵行·期中）解下列方程及方程组： (1)； (2)． 15．（24-25八年级上·上海闵行·期中）（1）计算：； （2）求方程的解． 16．（24-25八年级上·上海松江·期中）计算和解方程： (1) (2) 7．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）计算和解方程： ①； ②； ③； ④． 18．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或．根据上述平方根的意义，试求方程的解． 19．（24-25八年级上·上海静安·期末）已知，与，都是方程的解． (1)求k与b的值； (2)当时，求y的平方根． 20．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）（1）阅读理解：在八年级上册的学习中，我们已经学习了一元一次方程，如果方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，且等号两边都是整式，这样的方程我们就称之为一元二次方程，请根据平方根的定义解一元二次方程； （2）知识延伸：解一元二次方程． 子涵同学把看作一个整体，利用所学平方根的知识也解出了本题，相信你也做得出来，请写出你的解题过程； （3）迁移应用：由乘方的意义可知，，请你解方程． 【经典计算题三 立方根、立方根方程】 21．（24-25八年级上·上海长宁·阶段练习）解方程： (1) (2) 22．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）求下列式子中x的值： (1)； (2)． 23．（24-25八年级上·上海闵行·期中）利用平方根和立方根的知识求下列方程中来知数的值； (1) (2) 24．（24-25八年级上·上海嘉定·期末）（1）计算：； （2）解关于x的方程： 25．（24-25八年级上·上海普陀·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 26．（24-25八年级上·上海静安·期中）求下列方程中x的值： (1)； (2)； (3)； (4) 27．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知，，求式子的值． 28．（24-25八年级上·上海青浦·期中）已知2既是的平方根，也是的立方根，解关于的方程． 29．（24-25八年级上·上海宝山·期中）（1）计算 ① ② （2）解方程： ① ② 30．（24-25八年级上·上海静安·期中）计算 (1)； (2)已知的平方根是，的算术平方根是4．求的立方根． 【经典计算题四 实数的规律计算题】 31．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 32．（24-25八年级上·上海闵行·阶段练习）观察下列各式：①，②，③探索以上式子的规律： (1)写出第n个等式； (2)利用规律计算：． 33．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）有个填写运算符号的游戏：在“□□□”中的每个“口”内，填入+，-，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果. （1）计算： （2）若口请推算“口”内的运算符号. （3）在“□□□”的“口”内填入运算符号后，使计算所得的数最小，直接写出这个最小的数. 34．（24-25八年级上·上海青浦·期中）观察下列等式： ①； ②； ③；…… (1)请按规律写出第⑥个式子； (2)根据以上规律，计算的值． 35．（24-25八年级·上海虹口·阶段练习）观察下列各式： ；；； 请根据以上三个等式提供的信息解答下列问题： (1)猜想： ． (2)归纳：根据猜想写出一个用（表示正整数）表示的等式； (3)应用计算：． 36．（2025八年级上·上海松江·专题练习）探究题： (1)计算下列各式，完成填空： ＝6，＝ ，＝ ，＝ (2)通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是 ；请用这一规律计算：． 37．（24-25八年级上·上海徐汇期中）观察下列各式： ，，． (1)猜想并写出第四个等式，通过计算验证该等式； (2)写出用n（n为正整数）表示一般规律的等式，并根据下面的提示完成证明过程： …… 38．（24-25八年级上·上海虹口·期中）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）在④后面的横线上写出相应的等式： ①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④　 　；⑤1+3+5+7+9＝52；… （2）请写出第n个等式； （3）利用（2）中的等式，计算21+23+25+…+99． 39．（24-25八年级上·上海宝山·期中）阅读理解 如果记，并且表示当时的值，即． 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； 表示当时的值，则　　； （拓展）试计算的值． 40．（24-25八年级上·上海静安·期末）某同学模仿二维码的方式为学校设计了一个身份识别图案系统：在的正方形网格中，黑色正方形表示数字1，白色正方形表示数字0.如图1是某个学生的身份识别图案.约定如下：把第i行，第j列表示的数字记为（其中i，j=1，2，3，4），如图1中第2行第1列的数字=0；对第i行使用公式进行计算，所得结果表示所在年级，表示所在班级，表示学号的十位数字，表示学号的个位数字.如图1中，第二行，说明这个学生在5班. （1）图1代表的学生所在年级是______年级，他的学号是_________； （2）请仿照图1，在图2中画出八年级4班学号是36的同学的身份识别图案 【经典计算题五 实数的新定义运算】 41． （24-25八年级上·上海松江·期中）若“三角形”表示3abc,“方框”表示（）.试计算： 42．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=，例如2★3=2－3=. 计算3★(-2) 43．（24-25八年级上·上海长宁·期中）对于实数，，定义运算：． (1)求的值； (2)求的值； (3)若实数x满足：，求的值． 44．（24-25八年级上·上海宝山·阶段练习）对于有理数a，b定义一种新运算“”，规定． (1)计算的值． (2)计算的值． 45．（24-25八年级上·上海松江·期中）若“*”表示一种新运算，规定，请计算下列各式的值． （1）． （2）． 46．（24-25八年级上·上海金山·阶段练习）规定，如当时，，根据以上运算法则： (1)比较与的大小； (2)计算：． 47．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）非负整数n的各位数字中，奇数数字的和记为，偶数数字的和记为，例如：据此，解决下列问题： (1) ； ； (2)m是一个三位正偶数．若，且这个三位数的百位、十位数字之和是7，求这个三位数． (3)① ； ② ． 48．（24-25八年级上·上海崇明·阶段练习）阅读理解题．定义：如果一个数的平方等于，记，这个数叫做虚数单位，把形如（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部， b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似． 例如计算： 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ； (2)计算：； (3)计算： ． 49．（24-25八年级上·上海宝山·期末）规定，求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方．例如是3的除方，记作，读作“3的圈3次方”：再例如是－3的除方，记作，读作“－3的圈4次方”：一般地，把（n个a，，n为大于等于2的整数）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．（初步探究） (1)直接写出计算结果：______；______； 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 (2)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：______； (3)将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式为______． 50．（24-25八年级上·上海静安·期末）探究规律，完成相关题目 沸羊羊说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： （+5）※（+2）=+7；（-3）※（-5）=+8；（-3）※（+4）=-7；（+5）※（-6）=-11；0※(+8)=8；(-6)※0=6． 智羊羊看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ （1）归纳※（加乘）运算的运算法则： 两数进行※（加乘）运算时，_____________，________________，________________． 特别地，0和任何数进行※（加乘）运算，或任何数和0进行※（加乘）运算，_________________． （2）计算：（-2）※〔0※（-1）〕（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致） （3）我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的※（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在※（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） 【经典计算题六 无理数的估算】 51．（24-25八年级上·上海闵行·期中）不用计算器，比较与的大小 52．（24-25八年级上·上海奉贤·期中）已知是的小数部分，求代数式的值． 53．（2025八年级上·上海虹口·专题练习）化简： （1） （2） （3） 54．（24-25八年级上·上海普陀·开学考试）已知，算术平方根是2，c是的整数部分，求的算术平方根． 55．（24-25八年级上·上海青浦·阶段练习）根据表格内容，解答下列问题． M 与的差 (1)求的值． (2)若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 56．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）设面积为的圆的半径为． (1)是有理数吗？说明理由． (2)请估计的整数部分是几． (3)将保留到十分位是多少？ 57．（24-25八年级上·上海静安·期末）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数m的整数部分，例如：，，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定________； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．   58．（24-25八年级上·上海松江·期末）无理数是无限不循环小数，由整数部分和小数部分构成，例如的整数部分是1，小数部分是．若规定无理数的整数部分记为，小数部分记为， 例如：，．请根据上面规定解答以下两题． (1)___________；___________． (2)已知，求的值． 59．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）根据下表中的数据规律，解答下列问题： a 14 196 (1)213.16的平方根是 ； (2) ， ， ； (3)的整数部分是m，求的值的平方根． 60．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）（1）我们知道时，也成立，若将看成的立方根，看成的立方根，我们得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数． 若与互为相反数，求的值． （2）自由下落物体的高度（单位：）与下落时间（单位：）的关系是，若有一个物体从高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？（结果通过估算四舍五入取整数） 【经典计算题七 平方根、立方根的规律探索题】 61．（24-25八年级·上海虹口·课后作业）计算下列各式并观察： ①________，②________，③________，④________，通过上述各式，你能发现什么规律，用自己的语言叙述出来：__________________. 62．（24-25八年级上·上海长宁·开学考试）你能找出规律吗？ (1)计算：_________，_________．_________，_________． (2)由(1)的结果猜想： _________． (3)按照找到规律计算： ①； ② 63．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）（1）计算 ； ； ； （2）利用上述规律计算：实数、在数轴上的位置，化简 ． 64．（24-25八年级上·上海闵行·开学考试）解决下列题目： (1)用计算器计算： _____，_____，_____，_____． (2)观察题（1）中各式的计算结果，你能发现什么规律？ (3)试运用发现的规律猜想：_____，并通过计算器验证你的猜想． 65．（24-25八年级上·上海虹口·阶段练习）按要求填空： （1）填表并观察规律： 0.0004 0.04 4 400 （2）根据你发现的规律填空： 已知：，则______； 已知：，，则______． 66．（24-25八年级上·上海静安·期中）探索规律： (1)计算： ①_________，_________； ②________，________． (2)归纳：由（1）的计算可得________． (3)利用（2）探索出的规律，解答下题． 若与互为相反数，求x的值． 67．（24-25八年级上·上海宝山·期中）你能找出规律吗？ (1)计算：____，_____，_____，_______． (2)请按找到的规律计算： ①________； ②________； (3)已知：，，则 （用含、的式子表示）． 68．（24-25八年级上·上海长宁·期中）阅读下列解题过程： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． …… (1)按照你所发现的规律，请你写出第4个等式：__________________． (2)利用这一规律计算：． 69．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如，有些数则不能直接求得，如，但可以通过计算器求. 还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表： n 16 0.16 0.0016 1600 160000 … 4 0.4 0.04 40 400 … (1)表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来） (2)运用你发现的规律，探究下列问题：已知，求下列各数的算术平方根：① ；② ； (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根已知，则 ． 70．（24-25八年级上·上海奉贤·阶段练习）爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据： … … … … (1)你发现的规律是被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大 ； (2)已知（精确到），并用上述规律直接写出各式的值： ， ； (3)已知则 ， ． (4)类似小明的探究，把表中所有平方根换成立方根，你能根据，直接说出和的近似值吗？ 学科网（北京）股份有限公司 $$