专题02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型（高效培优专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型 目录 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 6 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 11 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 14 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，动点从点位置出发，沿着路线不停地运动，若点的运动速度为每秒2个单位长度，则第秒时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是根据规律找出第秒时点P的位置．由题意正方形的边长为2，周长为8，得移动一圈是4秒，因为余1，可以推出点P在第秒时，移动到B处，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ， ， ∵P的移动速度为每秒2个单位长度， 点P沿移动一圈时间为：（秒）， ∵， 点P在第秒时，移动到点B处， ∴此时； 故答案为：． 2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探究，结合图象找准循周期是解决本题的关键．根据图象可知，纵坐标每四个点循环一次，而，故是第507个周期的第三个点，然后根据每一个周期第三个点的坐标可推导一般性规律为，最后计算求解即可． 【详解】解：∵，，，，，……， 纵坐标每四个点一个循环， ， 是第507个周期的第三个点， 每一个周期第三个点的坐标为：，，，……， ， ， 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标规律探究，先根据点P和点Q的运动情况找出前几次相遇时的坐标，找出相遇规律求解． 【详解】解；∵点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动， ∴第1次相遇时的点为， 第2次相遇时的点为， 第3次相遇时的点为， 第4次相遇时的点为， 第5次相遇时的点为， 第6次相遇时的点为， ， ∴相遇点每5次一循环． ∵， ∴的坐标为． 故答案为：． 4．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 【答案】 【分析】先确定横坐标的规律，等于序号数；再确定纵坐标的规律，第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：先确定横坐标的规律，第一次是1，第二次是2，第三次是3，第四次是4，第五次是5，第六次是6，第七次是7，第八次是8， 故第n次是n； 根据题意，得纵坐标变化为：第一次是1，第二次是0，第三次是2，第四次是0，第五次是1，第六次是0，第七次是2，第八次是0，按照循环出现，偶数为0， 由， 故第2025次运动后，动点的坐标是， 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】观察点的坐标变化，寻找规律．先找出周期，再根据周期计算对应的坐标．本题主要考查了平面直角坐标系中点的规律探索，熟练掌握通过观察点的坐标变化寻找周期规律是解题的关键． 【详解】解：∵，，，…， ∴下标为的倍数的点，其坐标为（为下标）． 进一步观察，每个点为一组，横坐标依次增加，纵坐标在处． ∴是第组的最后一个点． ∴的坐标为 故答案为： 6．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 【答案】(1)       (2)   【分析】本题主要考查了点坐标的规律，分别归纳出点的横、纵坐标的变化规律成为解题的关键． （1）观察点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环，据此求解即可； （2）根据（1）中的规律求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：      ． （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大1，纵坐标四个为一个循环， ∴；， ∴  ． 故答案为：  ． 7．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 【答案】(1) (2)； (3)见解析， 【分析】此题考查了点的坐标规律，根据题意找到坐标变化规律是关键． （1）根据题意写出答案即可； （2）根据（1）中的规律写出答案即可； （3）分两种情况进行解答分析即可． 【详解】（1）解：第1次移动到点，即 第2次移动到点，， 第3次移动到点，即 第4次移动到点，即 第5次移动到点的坐标为，即； 则第12次移动到点的坐标为即，即， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第次移动到点的坐标为，第次移动到点的坐标为；（用含自然数的代数式表示） 故答案为：；； （3）解：由（2）知， 当时，解得（不是自然数，舍去）， 当时，解得，符合题意，此时下标为， 所以该点及坐标可记作． 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 8．如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每个点一个循环，横坐标每个点增加个单位长度， ∵， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如……根据这个规律，第个点的横坐标为 ，第个点的坐标为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查了点的坐标的规律变化，寻找图形和数字的规律特点是解决问题的关键．以正方形最外边上的点为准考虑，点的总个数等于最右边上的横坐标的平方，且横坐标为奇数时最后一个点在轴上，为偶数时，最后以点结束，因为，为偶数，则可得第个数的横坐标；求出与2017最接近的平方数为2025，然后写出第2017个点的坐标即可． 【详解】解：根据图形可知：以最外边的矩形边长上的点为准，点的总个数等于轴上右下角的点的横坐标的平方， 如：右下角的点的横坐标为1，共有1个，即， 右下角的点的横坐标为2时，共有4个，即， 右下角的点的横坐标为3时，共有9个，即， 右下角的点的横坐标为时，共有个， ， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束， 为偶数， ∴第个点的横坐标为1； ，， 根据规律可知：当为奇数时，最后以点结束；当为偶数时，最后以点结束； 为奇数， 该正方形每一边上有45个点，且最后一个点的坐标为，是第2025个点， 第2017个点是从第2025个点向上数第8个点， 第2017个点的坐标为； 故答案为：． 10．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的变化规律，根据坐标的变化情况，总结规律，根据规律解答，仔细观察图形、数形结合，总结出点的坐标的变化规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴顶点的坐标为， 故答案为：． 11．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 【答案】(1)， (2)小正方形675个，大正方形675个 【分析】本题是点的坐标的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． （1）根据已知条件与图形可知，大正方形的对角线长为2，由此可得规律：各点的纵坐标均为2，横坐标依次大3，由此便可得结果； （2）先求出一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度，再计算2023米包含多少这样的长度，进而便可求出结果． 【详解】（1）解：∵的坐标为，的坐标为， ∴各点的纵坐标均为2， ∵小正方形的边长为1， ∴各点的横坐标依次大3， ∴，， 即，， 故答案为：；； （2）解：由已知可得，所有直角三角形是全等的等腰直角三角形， ∴直角三角形的直角边长度是1米， ∴一个小正方形与一个大正方形所构成的护栏长度：（米）， ∵， ∴需要小正方形675个，大正方形675个． 答：小正方形675个，大正方形675个． 12．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，理由见解析 【分析】本题考查点的坐标变化规律，得出坐标的变化规律是解题的关键． （1）观察坐标系中第四象限中的点的坐标特征，即可求解； （2）根据已知点的坐标特征得出，，进而即可求解； （3）根据（1）得出，进而代入，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，的坐标，， 故答案为：． （2）根据点，，，，…， 由此可得 ∵， ∴点的坐标为 （3）解：由，，，，…， ∴ 当 解得： 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 13．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探究，解题关键是根据各点坐标和题意，找出坐标规律． 根据图形得出点的坐标变化规律，再根据规律求解． 【详解】解：由图可知：，，，，，，，…，纵坐标每个一循环， 余， 在次循环后纵坐标与对应， 由，，…可知，其横坐标即为翻转次数， 的横坐标为：， 则的坐标为：， 故答案为：，． 14．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的变换，勾股定理． 根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可． 【详解】解：在 中，，， ∴， ∴的周长为：， 由题意及旋转的规律可知： 当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上， 横坐标规律为：当n为奇数时，横坐标为：； 当n为偶数时，横坐标为：； ∵9是奇数， ∴点的横坐标为：． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中放一矩形，，，现将矩形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，，，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-对称，规律型：点的坐标，观察图象可知每翻折转4次应该循环，图形向右平移6个单位，，因为余数为1，推出的纵坐标与相同是0，横坐标，由此可得结论． 【详解】解：观察图象可知每翻折转4次为一个周期循环，图形向右平移6个单位，， ∵， ∴的纵坐标与相同是0，横坐标， ∴， 故答案为：． 16．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 【答案】 【分析】（1）点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，，解答即可． （2）当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，解答即可． 本题考查了坐标系中坐标的规律，正确发现规律是解题的关键． 【详解】（1）解：点的坐标为，点的坐标为．得到长方形到x轴的距离为1，长为2，宽为1，故，，， 故答案为：． （2）解：按题意描点可知，当中的为奇数时，横坐标从开始，每次增加个单位长度；纵坐标从开始，每次增加个单位长度，即时，，当时，， ． 17．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 【答案】(1)， (2)， 【分析】考查了坐标与图形性质，坐标规律，仔细观察图形中点的横坐标的变化并熟悉2的指数次幂是解题的关键． （1）根据规律直接写出结论； （2）由题可得，点的规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3；点坐标规律为：可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0，再写出，的坐标即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：． 又∵， ∴的横坐标为：，纵坐标为：0， ∴点的坐标为：． 故答案为：； （2）解：由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是3． 故的坐标为：． 由，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是，纵坐标都是0． 故的坐标为：． 故答案为：． 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 18．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的规律探究，解题的关键是根据“友好点”的定义找出点的坐标变化规律． （1）根据“友好点”定义直接计算； （2）先找出点的坐标循环规律，再结合的坐标推出的坐标，进而求． 【详解】解：（1）已知对于点“友好点”． 点的坐标为，那么的“友好点”的坐标，将代入“友好点”定义式： 横坐标为，纵坐标为． 所以的坐标为； （2）设，则； ； ； ． 可以发现每4个点为一个循环周期． 因为，其中余数为2，说明的坐标与的坐标相同． 已知，所以，则可得方程组 解得，． 所以． 故答案为：；． 19．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，理解题中所给定义是解题的关键．解题时，根据题中所给定义直接求解即可． 【详解】解：∵的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”且的5级关联点为 ∴， 解得：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 20．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的变化规律，根据伴随点的变化规律，写出点、、、的坐标，根据坐标的变化规律写出点的坐标即可． 【详解】解：点的坐标为，点的伴随点为， ，即， 点的伴随点为， ，即， 同理可得，， 可得从开始，每四个点的坐标循环一次， ， 点的坐标与点的坐标相同，， 故答案为：，． 21．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了点的坐标规律，实数的运算等，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义找出规律是解题关键． （1）根据点的坐标结合伴随点的定义，即可找到点，，，的坐标，进而得出坐标的变化规律：每4个点为一个循环组依次循环，按照此规律即可得出答案； （2）由（1）可得：，得到，代入与中，再根据算术平方根与立方根的定义及绝对值计算即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即． …， 依此类推，每4个点为一个循环组依次循环， ∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为； （2）解：∵， ∴点的坐标与的坐标相同，为， ， ， 的算术平方根与的立方根的差的绝对值为：． 22．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 【答案】(1)点 (2)， (3) 【分析】本题主要考查坐标与图形的性质，理解新定义并列出相关的方程和方程组是解题的关键． （1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解； （2）根据“k系好友点”的定义列方程求解即可； （3）设点，得点，求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：点的“2系友好点”， ∴的坐标为， 点； （2）解：的“系友好点”的坐标为， ， 解得， ； （3）解：设点，其中， 点，即点， 轴， ， 又， ， 解得． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 平面直角坐标系中变换规律探究问题的四种模型 目录 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 6 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 11 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 14 题型一：平面直角坐标系中动点移动问题 1．如图，在平面直角坐标系中，正方形四个顶点的坐标分别为：，动点从点位置出发，沿着路线不停地运动，若点的运动速度为每秒2个单位长度，则第秒时，点的坐标为 ． 2．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上、向右、向下、向右的方向不断地移动，每次移动一个单位长度，得到点，，，…，那么点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点以每秒2个单位长度，从点出发，沿凸形的边顺时针运动；点以每秒3个单位长度，从点出发，沿凸形的边逆时针运动．记动点、在凸形边上第1次相遇时的点为，第2次相遇时的点为，，则点的坐标为 ． 4．如图，一个动点 P 在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第1次从原点运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次从运动到，第5次从运动到……按这样的运动规律，经过第2025次运动后，动点 P 的坐标是 ． 5．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，沿着箭头所示方向，每次移动个单位，依次得到点，，，，，，…，则点的坐标是 ． 6．如图，在平面直角坐标系中，动点A从原点出发，按图中顺序运动，即，…，按这样的运动规律，完成下列任务：    (1)点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)在动点A的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出，，，之间满足的数量关系为______，，，，之间满足的数量关系为______． 7．如图，在平面直角坐标系中，一只电子狗从点出发，按照一定规律沿图中的折线依次不断的移动，第1次移动到点，第2次移动到点，第3次移动到点，第4次移动到点，…． (1)第5次移动到点的坐标为__________；第12次移动到点的坐标为__________； (2)第次移动到点的坐标为__________，第次移动到点的坐标为__________；（用含自然数的代数式表示） (3)若机器狗移动到某个点，其横坐标为3038，请用字母及下标表示出该点，并写出其坐标． 题型二：平面直角坐标系中图形规律摆放问题 8．如图，已知，依此规律，则点的坐标为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“”方向排列，如……根据这个规律，第个点的横坐标为 ，第个点的坐标为 ． 10．如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为顶点作正方形，正方形，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形的顶点坐标分别为，，，，则顶点的坐标为 ． 11．如下图，学校植物园的护栏由两种大小不等的正方形间隔排列组成，将护栏的图案放在平面直角坐标系中．已知小正方形的边长为，且点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为． (1)点的坐标为___________，点的坐标为___________（用含的式子表示）； (2)要制作长的护栏，需要两种正方形各多少个？ 12．在如图所示的平面直角坐标系中，按规律排列的，，，，…，都是等腰直角三角形，且顶点都在格点上（点与坐标原点O重合）． (1)写出点的坐标：______； (2)根据点，，，，…，求出点的坐标； (3)在上述按规律排列的等腰直角三角形中，是否存在某个等腰直角三角形的顶点的纵坐标为？若存在，请说明理由． 题型三：平面直角坐标系中图形翻转问题 13．如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2025次，点P依次落在点，，，…，的位置，则的坐标为 ，的坐标为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A 按顺时针方向旋转到的位置，点 B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到 的位置，点 在x轴上，依次进行下去……， 若点A，B，则点的横坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中放一矩形，，，现将矩形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，，，则的坐标为 . 16．长方形的两边分别平行于轴，轴，点的坐标为，点的坐标为．如图1，将长方形绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为一次操作；如图2，接着将长方形继续绕图形右下侧顶点顺时针旋转，再沿轴翻折得到长方形，称为第二次操作；以此类推，… （1）经过3次操作后，点的坐标为 ： （2）经过2025次操作后，点的坐标为 ， 17．如下图所示，在直角坐标系中，第一次将变换成，第二次将变换成，第三次将变换成，已知． (1)观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律将变换成，则的坐标是______，的坐标是______． (2)若按第（1）题的规律将进行了次变换，得到，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，请推测的坐标是______，的坐标是______． 题型四：平面直角坐标系中新定义型问题 18．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫作点的“友好点”．已知点的“友好点”为，点的“友好点”为，点的“友好点”为，这样依次得到各点．若点的坐标为． （1）点的“友好点”的坐标为 ． （2）设，则的值为 ． 19．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“级关联点”．例如，点的“3级关联点”为，即．若点的5级关联点为，则点坐标为 ． 20．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，若点的坐标为，则的坐标为 ，点的坐标为 ． 21．在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…． (1)如果点的坐标为，则点的坐标为____________，点的坐标为___________ (2)如果点的坐标为，点的坐标为，则的算术平方根与的立方根的差的绝对值是多少？ 22．对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，），则称点为点的“系友好点”；例如：的“3系友好点”为，即 请完成下列各题： (1)求点的“2系友好点”的坐标为 ； (2)若点的“系友好点”的坐标为，求和的值； (3)若点在轴的正半轴上，点的“系友好点”为点，若在中，，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$