专题07坐标系中四种探究规律（四种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题07坐标系中四种探究规律（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01循环性规律 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（    ）    A． B． C． D． 【例1-3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C，D 四点的坐标分别是，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照的方向不断移动，已知P的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒点P的坐标是 ．    【变式1-3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为 .    题型02对称性规律 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知点，点，点是线段的中点，则， ．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点A的对称点（即P，A，三点共线，且），关于点B的对称点，关于点C的对称点，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点…，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨）如图，一个动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点关于轴的对称点坐标为 ． 【例2-3】（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，点P在y轴上，且坐标为，点P关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于点x轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于y轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为…，按此规律进行下去，则点的坐标是 ． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·山东济南·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将关于y轴对称得到 ．．．．．．依次类推．点经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（    ）．(注：“012”算3次变换) A． B． C． D． 【变式2-2】（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，P关于直线OA的对称点为，关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，…，则的坐标是 ． 【变式2-3】（八年级上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象l是第一、三象限的角平分线． (1)实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别标明、关于直线l的对称点、的位置，并写出它们的坐标； (2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，请你直接写出坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标． 题型03递增性规律 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动次后，点B的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25八年级上·重庆江北）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是 ． 【例3-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，则点第8次跳动至点的坐标是 ，点第2019次跳动至点的坐标是 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 题型04定义性规律 【典例分析】 【例4-1】（2024八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 【例4-2】（2023八年级上·全国·专题练习）对有序数对的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于的整数)．如，,．则 ． 【例4-3】（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”： ①当时，为点与点的“远距离”，即； 当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则______． (2)若点在第一象限，且．求点的坐标． (3)若点，且，所有满足条件的点组成了图形，请在图中画出图形． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 【变式4-3】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值． 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的四个顶点在坐标轴上，点坐标为，假设有甲、乙两个物体分别由点同时出发，沿正方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动．物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体秒钟可环绕一周回到点，乙物体秒钟可环绕一周回到点，那么两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第2024个点的横坐标为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为 ． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与长方形的边碰撞次数为次时，则它与边的碰撞次数是 ． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）对一组数的一次操作变换记为 ,定义其变换法则如下：P1；且规定 (n为大于1的整数)．如，，，则 ． 三、解答题 9．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一将变成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△已知，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△变换成△，则的坐标是 ，的坐标是 ； (2)若按第（1）题找到的规律将进行次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． (3)在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？ 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07坐标系中四种探究规律（四种技巧精讲精练+过关检测） 题型01循环性规律 【典例分析】 【例1-1】（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动：另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2024次相遇点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查点坐标规律探索、行程问题中的相遇问题，通过计算找到坐标变化规律是解答的关键．根据坐标与图形可得四边形的各边长，结合点P、Q的速度求得两点相遇点的坐标，找出坐标变化规律即可求解． 【详解】解：∵点，，，， ∴，， ∴四边形的周长为， 由题意，经过1秒时，两点在点处相遇，随后，两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为（秒）， ∴第二次相遇点是边的中点； 第三次相遇点是点； 第四次相遇点为点； 第五次相遇点为点， 第六次相遇点为点，……， 由此发现，每五次相遇点重合一次， ∵， ∴第2024次相遇点与第四次相遇点重合，即， 故选：B． 【例1-2】（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，问第2025秒瓢虫在点（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查点的坐标，先根据点的坐标求出一圈的长度，再计算爬行一圈所需要是时间，再求整个周期剩下的时间即可得出结论． 【详解】解：∵ ∴， ， ∴瓢虫7秒爬行一圈， ∵， ， ， ∴第2025秒瓢虫在点， 故选：D． 【例1-3】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，有一动点从点处出发，按的规律运动，每秒走2个单位，则： （1）第3秒时，点在第 象限； （2）第2024秒时，点P所在位置的坐标是 ． 【答案】 三 【分析】根据点、、、的坐标可得出、及矩形的周长，由可得出当秒时点在点处，即可得出结论． 【详解】解：，，，， ，， ∵第3秒时，行走了6个单位， ∴此时位于上，距离点有1个单位， 故在第三象限； ，周期为5秒， ， 当秒时，相当于点P第404次回到点A之后，继续行走了4秒，即8个单位， ∵， ∴此时点的坐标为． 故答案为：三，． 【点睛】本题考查了规律型中点的坐标，根据点的运动规律找出当秒时点在点处是解题的关键． 【变式演练】 【变式1-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，，，把一条长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的规律绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标规律探索，找到规律是解题的关键．根据题意可得，从一圈的长度为10，据此分析即可得细线另一端在绕四边形第203圈后的第4个单位长度的位置，从而求得细线另一端所在位置的点的坐标． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴四边形周长为， ， ∴线另一端在绕四边形第203圈的第4个单位长度的位置， ∴细线另一端所在位置的点的坐标为， 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C，D 四点的坐标分别是，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照的方向不断移动，已知P的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒点P的坐标是 ．    【答案】 【分析】由题意正方形的边长为2，周长为8，因为余7，可以推出点P在第2023秒时，移动到点D与点A的中点处，由此即可解决问题． 【详解】解：∵，，，， ， ， ∵P的移动速度为每秒1个单位长度， 点P沿移动一圈时间为：（秒）， ∵余7， 点P在第2023秒时，移动到点D与点A的中点处， ∵，， 第2023秒点P的坐标是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是根据规律找出第2023秒时点P的位置 【变式1-3】（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知点，，，在平面直角坐标系中的位置如图所示，一只瓢虫从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿循环爬行，第2025秒瓢虫所在点的坐标为 .    【答案】 【分析】本题考查了了坐标系中坐标变化的规律问题，根据点的坐标，确定，计算矩形的周长，用枚举法计算找到变化的规律，根据循环规律再计算即可. 【详解】∵点，，，， ∴， 根据题意，运动第一秒时，向下运用2个单位，到达的位置是； 运动第二秒时，向下运用1个单位，向右移动1个单位，到达的位置是； 运动第三秒时，向右移动2个单位，到达的位置是； 运动第四秒时，向上运用1个单位，向右移动1个单位，到达的位置是； 运动第五秒时，向上运用2个单位，到达的位置是； 运动第六秒时，向左移动2个单位，到达的位置是； 运动第七秒时，向左移动2个单位，到达的位置是； 点的规律是每7秒循环，当运动2025秒时，， 与的位置相同， 故答案为：. 题型02对称性规律 【典例分析】 【例2-1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）已知点，点，点是线段的中点，则， ．在平面直角坐标系中有三个点，点关于点A的对称点（即P，A，三点共线，且），关于点B的对称点，关于点C的对称点，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点…，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标系中点规律的探索；由中点坐标计算公式先分别计算出，……，的坐标，从中找到点的规律，根据规律即可求得结果． 【详解】解：由中点坐标计算公式得：， ∴，，， 即经过6次后，点与点P重合，显然后面的点继续重复上述规律，即每6次一循环； 而， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为； 故选：B． 【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨）如图，一个动点在平面直角坐标系中按箭头所示方向做折线运动，即第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，，按这样的运动规律，经过第2023次运动后，动点关于轴的对称点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标规律，点的对称等知识，根据各点的横纵坐标变化得出点的坐标规律进而得出答案即可．由已知的点的坐标得出点的变化规律是解题关键． 【详解】解：第一次从原点运动到，第二次从运动到，第三次从运动到，第四次从运动到，第五次从运动到，， 按这样的运动规律，第几次运动横坐标即为几，即纵坐标为：1，0，2，0，1，0，2，个一循环， ， 经过第2013次运动后，动点的坐标是， 动点关于轴的对称点坐标为， 故答案为：． 【例2-3】（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，点P在y轴上，且坐标为，点P关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于点x轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于y轴的对称点为，点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为…，按此规律进行下去，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题是对点的变化规律的考查，作出图形，观察出每6次对称为一个循环是解题的关键，也是本题的难点．根据对称依次作出对称点，便不难发现，点与点P重合，也就是每6次对称为一个循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定点的位置，然后写出坐标即可． 【详解】解：根据题意画图，如图所示，点与点P重合， ， 点是第337循环组的第6个点，与点重合， 点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键在于能够准确找到相关规律进行求解． 【变式演练】 【变式2-1】（22-23八年级上·山东济南·期中）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴作对称点，一个点作“2”变换表示将它关于y轴作对称点．由数字0，1，2组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：如图，点 按序列“012”作变换，表示点A先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到，再将关于y轴对称得到 ．．．．．．依次类推．点经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为（    ）．(注：“012”算3次变换) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，如此求解下去可知按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，点按序列“012”作变换先变成点，然后变成，再变成， 点按序列“012” 作变换先变成点，然后变成，再变成， ∴可知点按序列“012012”作变换后得到的坐标仍是， ∴点按照序列“012012012．．．．．．．”作变换时每6次是一个循环， ∵， ∴经过“012012012．．．．．．．”100次变换后得到点的坐标为， 故选D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，正确理解题意找到点坐标变化规律是解题的关键． 【变式2-2】（20-21八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，P关于直线OA的对称点为，关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，关于x轴的对称点为，关于y轴的对称点为，关于直线的对称点为，…，则的坐标是 ． 【答案】（1，-2） 【分析】根据题意，写出各个点的坐标，找出点的坐标的变化规律，进而即可得到答案． 【详解】∵， ∴直线OA是第二、四象限的角平分线， ∵， ∴（-2，1），（-2，-1），（2，-1），（1，-2），（1，2），（-1，2），（-2，1）， ∴6个点一次循环， ∵2020÷6=336…4， ∴的坐标是（1，-2）， 故答案是：（1，-2） 【点睛】本题主要考查坐标系中点的坐标的变化规律，根据点的坐标，找出规律，是解题的关键． 【变式2-3】（八年级上·湖北十堰·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象l是第一、三象限的角平分线． (1)实验与探究：由图观察易知关于直线l的对称点的坐标为，请在图中分别标明、关于直线l的对称点、的位置，并写出它们的坐标； (2)归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，请你直接写出坐标平面内任一点关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标． 【答案】(1)画图解析，， (2) 【分析】（1）根据A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），横纵坐标位置互换，进而得出、的坐标和位置； （2）根据关于直线y＝x对称的点的坐标特点进行求解； 【详解】（1）解：∵A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0）， ∴B（5，3）、C（−2，5）关于直线l的对称点B′（3，5），C′（5，−2）， 故答案为：， 、位置如图所示： （2）解：∵A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），B（5，3）、C（−2，5）关于直线l的对称点B′（3，5），C′（5，−2） ∴关于直线l对称的点的坐标横纵坐标位置互换， ∴点P（m，n）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（n，m）． 故答案为：； 【点睛】本题考查的是平面直角坐标系中点坐标特征，涉及到关于直线y＝x对称的点的坐标特点，准确地掌握坐标特征规律是解题的关键． 题型03递增性规律 【典例分析】 【例3-1】（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图1，在中，，，将放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动次后，点B的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，点坐标的规律探究．根据题意确定点坐标的规律是解题的关键． 由勾股定理得，，则的周长为，由题意知，滚动第1次，点的横坐标增加2，滚动第2次，点的横坐标不变，滚动第3次，点的横坐标增加，且每滚动3次，点的横坐标增加，由，可知滚动次后，点B的横坐标为，计算求解即可． 【详解】解：∵，， 由勾股定理得，， ∴的周长为， 由题意知，滚动第1次，点的横坐标增加2，滚动第2次，点的横坐标不变，滚动第3次，点的横坐标增加，且每滚动3次，点的横坐标增加， ∵， ∴滚动次后，点B的横坐标为， 故选：C． 【例3-2】（24-25八年级上·重庆江北）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按“向上、向右、向下、向下、向右、向上…”的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，…，那么点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了具有周期性的点的坐标，关键是根据点运动的特点求出周期，找出同类的点，再寻求下标与横、纵坐标的关系．具有周期性的点的坐标，求出周期，利用余数找出同类点，再寻求规律． 【详解】解：电子狗从原点出发，按向上向右向下向下向右向上的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6， ， 考虑，，， ， ，得， 的坐标为， 故答案为：． 【例3-3】（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，直线对应的函数表达式为，在直线上顺次取点，，，，，…，，构成形如“7”的图形，阴影部分的面积分别为，，，…． 根据以上规律，解决下列问题： (1)______，______（用含的式子表示）． (2)计算：． 【答案】(1)（或12）；（或） (2) 【分析】本题主要考查平面直角坐标中点的规律，整数的运算，有理数的混合运算 （1）根据点与阴影部分面积的计算可得（或），由此即可求解； （2）把面积的值代入，运用有理数的混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，阴影部分的面积分别为，，， ∴（或）， ∴（或12） 故答案为：；． （2）解： ． 【变式演练】 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中箭头方向排列，如，，，，，，，…，根据规律探索可得，第2024个点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律，根据图形可知第列有个点，点的横坐标为，奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动，进而得到所有列点的总数为，推出第2024个点在第列，即可得到第2024个点的坐标 【详解】解：解：由图知，第一列有1个点，点的横坐标为0， 第二列有2个点，点的横坐标为1， 第三列有3个点，点的横坐标为2， 依次类推， 第列有个点，点的横坐标为，且奇数列点由下到上进行运动，偶数列点从上到下进行运动， 所有列点的总数为， 有， ， ，即第2024个点在第64列， 第2024个点的横坐标为63， ，64为偶数列， 第2024个点的纵坐标为7， 第2024个点的坐标为． 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向左跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，则点第8次跳动至点的坐标是 ，点第2019次跳动至点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，(为自然数)”是解题的关键． 设第次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，”，依此规律即可得出点和的坐标． 【详解】解：设第次跳动至点， 观察发现：， ，， ∴（n为自然数）． ∵， ∴，即， 故答案为：，． 【变式3-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动： 第一次：原点，； 第二次：，； 第三次：，； 第四次：，； 第五次：，； … 归纳上述规律，完成下列任务． (1)直接写出下列坐标：　　，　　，　　； (2)第2023次运动后，的坐标为________； (3)点距轴的距离为 　　，点距轴的距离为 　　． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】本题考查点的坐标变化规律，能根据点的运动方式发现其坐标的变化规律是解题的关键． （1）根据动点的运动方式，即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题． （3）求出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）由题知， 因为，，，，， 所以点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，(为正整数）． 令， 解得， 所以． 即点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，，． （2）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． （3）根据（1）的发现可知， 令， 解得， 所以点的坐标为． 则点到轴的距离是4，到轴的距离是199． 故答案为：4，199． 题型04定义性规律 【典例分析】 【例4-1】（2024八年级上·全国·专题练习）对点的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于1的整数）．如，， ．则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律类问题，解题的关键是认真审题并从中找到正确的规律，并应用此规律解题．根据操作方法依次求出前几次变换的结果，然后得出规律：当为奇数时，，当n为偶数时，，根据规律解答即可． 【详解】解：， ， ， ， …， ∴当为奇数时，，当n为偶数时，， ∴． 故选：D． 【例4-2】（2023八年级上·全国·专题练习）对有序数对的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（n为大于的整数)．如，,．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，读懂题目信息，理解操作方法并观察出点的纵坐标的指数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：依题意可得， ， ， ， ， …， ． 故答案为： 【例4-3】（23-24七年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”： ①当时，为点与点的“远距离”，即； 当时，为点与点的“远距离”，即． ②点与点的“总距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： (1)已知点，则______． (2)若点在第一象限，且．求点的坐标． (3)若点，且，所有满足条件的点组成了图形，请在图中画出图形． 【答案】(1)8 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查平面直角坐标系，新定义运算： （1）根据求解； （2）分和两种情况，根据的定义分别求解； （3）根据可得，由此作图即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：8； （2）解：点在第一象限， ，， 当时，， ， 此时点的坐标为； 当时，， ，， 此时点的坐标为； 综上可知，点的坐标为或． （3）解：，， ，图形如下图所示． 【变式演练】 【变式4-1】（23-24七年级下·山东滨州·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的友好点．已知点的友好点为点，点的友好点为点这样依次得到点，，，，若点的坐标为，则根据友好点的定义，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点的规律，图形与坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先分别算出，，，，，找到规律后，得点的坐标与的坐标相同，即可作答． 【详解】解：∵对于点，把点叫做点的友好点．且的坐标为 则， ， 则 ∴ 同理得，，，…… 观察发现，每6个点为一个循环组依次循环． ∴点的坐标与的坐标相同，为， 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级上·四川成都·期中）定义：在平面直角坐标系中，将两个端点横、纵坐标均为整数且长为整数的线段称之为“整线段”．例如，，则，所以为“整线段”．已知线段为“整线段”，其中A在x轴上，B在y轴上，在不改变线段长度的条件下改变A在x轴上的位置，改变B在y轴上的位置，使其成为一条新的“整线段”．若存在使得，则称这样的“整线段”为“不一整弦”（直角三角形斜边被称之为“弦”，古诗亦有云“纵横意不一，然诺心无二”，结合性质“整”故此得名“不一整弦”）．若将所有的“不一整弦”按长度从小到大的顺序排列，则第1条“不一整弦”的长为 ；第3条“不一整弦”的长为 ． 【答案】 5 13 【分析】本题考查新定义问题，特别是坐标与图形，理解新定义应用新定义，联系实际是解决问题的关键． 根据题意可得符合条件的“整线段”有（3，0）、（0，4）对应“不一整弦”的长为 5；（6，0）、（0，8）对应“不一整弦”的长为 10；（5，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 13；（9，0）、（0，12）对应“不一整弦”的长为 15；（12，0）、（0，16）对应“不一整弦”的长为 20等． 【详解】解：根据题意可得符合条件的“整线段”有、对应“不一整弦”的长为 5； 、对应“不一整弦”的长为 10； 、对应“不一整弦”的长为 13； 、对应“不一整弦”的长为 15； 、对应“不一整弦”的长为 20等， 最小的应该为：5，第三条为13， 故答案为：5；13． 【变式4-3】（22-23七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）新定义：在平面直角坐标系中中的点，若点P的坐标为（其中k为常数，），则称点为点P的“k属派生点”．例如：点的“3属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为________； (2)若点P在y轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为点，且线段的长为线段长的3倍，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据“k属派生点”的定义，进行求解即可； （2）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， 即：， 故答案为：． （2）解：设点 点P的“k属派生点”为点， ∴， ∵，的纵坐标相同， ∴轴， 如图，分两种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴；    综上：或． 【点睛】本题考查点的坐标规律．解题的关键是理解并掌握“k属派生点”的定义 一、单选题 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，正方形的四个顶点在坐标轴上，点坐标为，假设有甲、乙两个物体分别由点同时出发，沿正方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向匀速运动．物体乙按顺时针方向匀速运动，如果甲物体秒钟可环绕一周回到点，乙物体秒钟可环绕一周回到点，那么两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了坐标变化规律，求出甲乙两物体两次相遇间隔的时间为秒，得到两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是乙物体第16秒时运动到的位置，进一步求出答案即可. 【详解】解：由题意可得，甲乙两物体两次相遇间隔的时间为（秒）， ∵， ∴两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是乙物体第16秒时运动到的位置， ∵乙物体第2秒运动到点，第4秒运动到点，第6秒运动到点，第8秒运动到点，……，乙物体第16秒运动到点， ∴两个物体运动后的第次相遇地点的坐标是， 故选：B 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在直角坐标系中，已知点，，对连续作旋转变换，依次得到，，，，…，的直角顶点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标规律．根据题目可知旋转三次为一个循环，图中第三次和第四次的直角顶点的坐标相同，由①→③时直角顶点的坐标可以求出来，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得，旋转三次和原来的相对位置一样，点，， ∴，，， ∴， ∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：， ∵， ∴旋转第24次的直角顶点的坐标为：， 又∴旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样是， 如图，点是第26次直角顶点，作于点， ∵，，，， ∵， ∴，， ∴旋转第26次的直角顶点的坐标是即， 故选：C． 3．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行，第2024秒瓢虫在（    ）处． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，能够找到规律是解题关键． 根据坐标可知，，求出循环爬行一周用时秒，然后计算，根据余数可确定最后的位置． 【详解】解：∵， ∴，， ∵一只瓢虫从点A出发以2个单位长度/秒的速度沿循环爬行， ∴爬行一周所需的时间为：秒， ∵， ∴在第2023秒时，瓢虫在点， ∴到第2024秒时，瓢虫从点往点跑了秒钟，即跑了2个单位长度， 故在第2024秒时，瓢虫的坐标为， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如，，，，，…根据这个规律，第2024个点的横坐标为（    ） A．42 B．43 C．44 D．45 【答案】D 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键．根据图形推导出当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为．而，由，解得．由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第一个正方形每条边上有2个点，共有个点，且终点为； 第二个正方形每条边上有3个点，连同第一个正方形共有个点，且终点为； 第三个正方形每条边上有4个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 第四个正方形每条边上有5个点，连同前两个正方形共有个点，且终点为； 故当n为奇数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所有正方形共有个点，且终点为；当n为偶数时，第n个正方形每条边上有个点，连同前边所以正方形共有点，且终点为． 而，， 解得：． 由规律可知，第44个正方形每条边上有个点，且终点坐标为，由图可知，再倒着推1个点的坐标为：． ∴第2024个点的横坐标为45； 故选：D． 5．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）已知点，记关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称点为，关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为，关于直线p（直线p上各点的横坐标都为）的对称点为，关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为，关于直线m的对称点为，关于直线n的对称点为，……依此规律的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，点坐标的规律探究．根据轴对称的性质写出点坐标，然后推导一般性规律是解题的关键． 由题意求得，在第一象限；，在第四象限；，在第三象限；，在第二象限；，在第一象限；，在第四象限；在第三象限；观察点坐标可知每四个点坐标所在象限为一个循环，由，可知与在同一象限，由，，可知，第三象限的点坐标的特征为，然后代入求解即可． 【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴， ∴，在第一象限， ∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线； ∴，在第四象限， ∵直线p上各点的横坐标都为，即直线p为直线， ∴，在第三象限， ∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线， ∴，在第二象限， ∴，在第一象限，，在第四象限，在第三象限， ∴每四个点坐标所在象限为一个循环， ∵， ∴与在同一象限， ∵，， ∴可知，第三象限的点坐标的特征为， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，将沿x 轴向右无滑动的滚动到的位置，再到的位置…依次进行下去， 若已知点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型：点的坐标，解决本题的关键是灵活运用旋转的知识．根据点得，再根据旋转的过程寻找规律即可求解． 【详解】解：， 所以点； 继续旋转得， ； … 发现规律： ． 所以点的坐标为． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在长方形中，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，若发光电子与长方形的边碰撞次数为次时，则它与边的碰撞次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标的规律，如图以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系，根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【详解】解：如图，以为x轴，为y轴，建立平面直角坐标系， 根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与边的碰撞有次， ， 当点P第次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为， ∴它与边的碰撞次数是：次， 故答案为：． 8．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）对一组数的一次操作变换记为 ,定义其变换法则如下：P1；且规定 (n为大于1的整数)．如，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据题目中变化规律，分别找到当为奇数和偶数时，对应点的横纵坐标的表达式，据此来求解． 【详解】解：∵P1， ， ， ， ， …, ∴当n为奇数时,， 当n为偶数时, ， ∴． 故答案为：． 三、解答题 9．（2022八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，第一将变成△，第二次将△变换成△，第三次将△变换成△已知，，，，，，，． (1)观察每次变换前后的三角形，找出规律，按此变化规律再将△变换成△，则的坐标是 ，的坐标是 ； (2)若按第（1）题找到的规律将进行次变换，得到△，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测的坐标是 ，的坐标是 ． (3)在前面一系列三角形变化中，你还发现了什么？ 【答案】(1)； (2)，；， (3)见解析 【分析】（1）根据点的坐标和等腰三角形的性质直接写出结论； （2）由题可得，A点的规律为：横坐标为2的下角标次方，纵坐标为3；B点坐标规律为：横坐标为2的下角标+1次方，纵坐标为0，再写出，的坐标即可； （3）根据题意得出结论即可． 【详解】（1），△为等腰三角形，且点与的横坐标相同，的纵坐标是3， ． ∵， ∴； 故答案为：；； （2）观察，发现：，，，，，， ，； ，，，，，， ，． 故答案为：，；，； （3）在前面一系列三角形变化中，我发现：点的纵坐标均为3，点都在轴上，△均为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形性质，坐标规律，等腰三角形的性质等，仔细观察图形中点的横纵坐标变化的规律是解题的关键． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务： (1)点的坐标为　　，点的坐标为　　；点的坐标为　　； (2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为　　，之间满足的数量关系为 　　． 【答案】(1)； (2)； 【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解； (2)根据(1)中的规律求解． 【详解】（1）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ∵，， 点的坐标为，，的坐标为，； ∵， ∴的纵坐标与的纵坐标一样， 点的坐标为，， 故答案为：，，，，，； （2）解：∵ ∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环， ；， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$