12.1函数（第1课时）教案　 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该教案聚焦常量与变量、自变量与因变量及函数意义，以“乌鸦喝水”视频导入，分析水面高度、石子数量等变化与不变的量，初步感知变量关系，为概念学习搭建生活实例支架。 特色在于生活实例贯穿教学，如乌鸦喝水、热气球升空、汽车制动距离等，引导学生用数学眼光观察现实世界变量。通过问题链探究变量对应关系，培养抽象能力与推理意识，函数图象应用助学生用数学语言表达关系。实例贴近生活，既帮学生理解概念，又为教师提供易操作流程。

初中数学沪科版（新课标） 第十二章 函数与一次函数 12.1 函数 第1课时 一、教学目标 1.了解常量与变量的意义，能正确分辨出自变量与因变量； 2.初步了解自变量与函数的意义，能写出简单的函数表达式； 3.通过观察、分析生活中两个变量的运动变化过程，培养学生利用函数的观点认识现 实世界的意识和能力； 4.在函数概念形成的过程中，培养学生联系实际、善于观察、乐于探索和勤于思考的 精神. 二、教学重难点 重点：了解常量、变量的概念，能正确分辨出自变量与因变量. 难点：了解函数的意义. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 引言 乌鸦喝水的故事大家应该都听说过，今天我们不说乌鸦遇到困难不放弃的精神，也不说乌鸦善于思考、动脑筋，我们从数学的角度来观看乌鸦喝水的故事，看看我们能从中发现什么呢？ 教师活动：教师先提问，让学生思考，并在学生回答完之后给出答案. 上述视频涉及哪几个量？它们之间有什么不同呢？ 涉及的量：水面高度，水量，石子数量； 水面高度，石子数量在改变； 水量固定不变. 现实生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在.我们常常需要研究变化的量之间的关系.这节课我们一起来研究这些量. 设计意图：通过对视频中涉及的几个量的分析，初步感知变化的量和不变的量，为后面要探究的内容作铺垫. 环节二：探究新知 教师活动：教师提出问题并引导学生思考分析问题. 问题：用热气球探测高空气象，设热气球从海拔1800 m处的某地升空，在一段时间内，它匀速上升.它上升过程中到达的海拔高度h m与上升时间t min的关系记录如下表： (1)这个问题中，涉及哪几个量？ (2)你能求出上升后3 min和6 min时热气球到达的海拔高度吗？ (3)观察上表，热气球在升空过程中平均每分上升多少米？ 预设答案： (1)热气球原先所在的高度1800 m； 热气球升空的时间t、升空的高度h； (2)上升后3 min时热气球到达的海拔高度为1890 m，上升后6 min时热气球到达的海拔高度为1980 m. (3) 30 m； 设计意图：通过生活中的实例激发学生的学习兴趣，进一步体会数学与现实生活的密切联系. 追问1：你能总结出h与t的关系吗？ 分析： 1min上升：30m 2min上升：30m×2 3min上升：30m×3 4min上升：30m×4 tmin上升：30t m 可推出：h=1800+30t 追问2：想一想刚才热气球在升空过程中哪些量发生了变化？哪些量没有发生变化？ 预设答案：原先所在的高度1800 m和上升的平均速度30 m/min没有发生变化；升空的高度h和升空的时间t发生了变化. 设计意图：通过熟知的路程、速度与时间的关系，让学生初步感知如何用表达式来表示两个变量之间的关系,为后面学习列函数表达式作铺垫. 【归纳】 我们把某一变化过程中保持不变的量叫做常量.而把某一变化过程中不断发生变化的量叫做变量. 你知道如何判断常量和变量吗？ 常量和变量必须存在于一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需这两个方面： (1)看它是否在同一个变化过程中； (2)看它在这个变化过程中的取值是否改变. 设计意图：让学生明确如何判断常量和变量. 【思考】 热气球升空的高度h与时间t，这两个变量之间有什么关系吗？ 预设答案：h随t的变化而变化.且任给变量t的一个值，就可以相应地得到变量h的一个确定的值. 如：t=3时，h=1890；t=6时，h=1980 … 我们把t叫做自变量，h叫做因变量. 注：自变量可直观理解为自我发生变化的量.因变量可直观理解为因别人变化而变化的量. 【归纳】 一个量随另一个量的变化而变化.一般地，先发生变化的量叫做自变量，随自变量的变化而变化的另一个量叫做因变量. 对于自变量的每一个确定的值，因变量要有唯一确定的值与之对应. 设计意图：强调自变量和因变量的关系，为学习函数的概念作铺垫. 【思考】 汽车在行驶的过程中，制动后由于惯性的作用仍将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动距离.某型号的汽车在路面上的制动距离s m与车速v km/h之间有下列经验公式：. (1)这个公式中涉及哪几个量？ (2)当制动时车速v分别是40 km/h，60 km/h时，相应的制动距离s分别是多少米(结果保留一位小数)？ (3)制动时，对于车速v 的每一个值，相应的制动距离s的值都是唯一确定的吗？ 解：(1) 常量，制动距离s和车速v (2) 当v=40 km/h时，(m)； 当v=60 km/h时，(m). (3)是的. 【交流】 请同学们举出生活中的实际问题，并说明在你所举问题中的常量、变量、自变量、因变量各是什么?当自变量取一个值时，因变量的值是不是唯一确定? 【归纳】 一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y，如果对于x在它允许取值的范围内的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，其中x是自变量. 如果x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 函数的概念注意把握： ①变化过程； ②两个变量x与y； ③对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应. 设计意图：通过训练，进一步熟悉常量、变量、自变量与因变量的概念以及两个变量之间的关系.培养学生利用所学的知识分析问题和解决问题的能力. 环节三：应用新知 【例题】S市某日自动测温仪记下的用电负荷曲线如图所示. (1)这个问题中，涉及哪些变量？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)给出这天中的某一时刻，如4.5 时，能找到这一时刻的负荷y(×10³兆瓦)是多少吗？找到的值是唯一确定的吗？20时呢？ (3)在这天中，对于时间t的每一个值，相应的用电负荷y的值都是唯一确定的吗？ (4)这一天的用电高峰、用电低谷负荷各是多少？它们是在什么时刻达到的？ 预设答案： (1) 两个变量：时间、负荷；时间是自变量，负荷是因变量. (2)唯一确定. (3)是的. (3)下午13:30是用电高峰，负荷是18×103兆瓦；凌晨4:30是用电低谷，负荷是10×10兆瓦. 设计意图：巩固自变量和因变量的概念，体会函数图象也可以表示变量之间的关系. 环节四：课堂练习 1.指出下列变化过程中的变量和常量： (1)汽油的价格是8.5 元/升，加油x升，车主加油付油费y元； (2)小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n； (3)用长为30 cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x cm，其面积为S. 2.汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h， (1)填写下表： (2)请指出上述问题中的变量和常量. (3)s的值随t的值的变化而怎样变化？ 3.下列问题中哪些量是自变量，哪些量是自变量的函数？试写出函数的解析式. (1)一个正方形的边长为3 cm，它的各边长减少x cm后，得到的新正方形的周长y (单位：cm)随x(单位：cm)的变化而变化 ． (2)小军用50元去买单价为8元的笔记本，他剩余的钱Q (元)随他买笔记本的本数x(本)的变化而变化； (3)矩形的周长为12 cm，求它的面积S(cm2)随它的一边长x(cm) 的变化而变化． 答案： 1.解：(1)变量x，y；常量8.5． (2)变量t，n；常量200． (3)变量x，S；常量30． 2.解：(1) (2)变量s，t；常量60. (3) s的值随t的值的增大而增大． 3.解：(1)x是自变量，y是x的函数. y=124x； (2)x是自变量，Q是x的函数. Q=508x； (3)x是自变量，S是x的函数. y=x(6x). 设计意图：通过课堂练习巩固常量与变量的概念，让学生能区分常量和变量，以及理解变量之间的关系，为后一课时要学习的内容作铺垫. 环节五：总结归纳 设计意图：通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$