第1章 勾股定理课件2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

1 ❶勾股定理的验证方法较多，但最简单、最直接的方法是通过拼图，利用面积不变构造等量关系进行验证． ❷应用勾股定理解决实际问题的关键是把实际问题转化为“直角三角形”这个数学模型来求解． 2 B 【例1】1876年，美国总统加菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边AE，EB在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是 (　　) A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四边形ABCD C．S△EDA＋S△CEB＝S△CDE D．S四边形AECD＝S四边形DEBC 【学生解答】 480 【例2】如图，某人从点A出发，想垂直横渡到河对岸的点B处，由于水流的影响，他实际上岸的地点C偏离了想要到达的点B 140 m(即BC＝140 m)，其结果是他在水中实际游了500 m(即AC＝500 m)，则该河流AB处的宽度是________m. 【名师点拨】将实际问题转化为“直角三角形”．知道斜边AC，直角边BC，利用勾股定理就可求出AB了． 【学生解答】 (a＋b) 1．用如图①所示的4个形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． (1)图②中大正方形的边长为_______，里面小正方形的边长为______； c 5 (a＋b)2 (2)大正方形面积可以表示为__________，也可以表示为_____________； (3)对比这两种表示方法，可得出__________________，整理得______________． c2＝a2＋b2 6 A 2．(教材P8习题T3变式)如图，一棵高为8 m的大树被台风刮断．若树在离地面3 m的点C处折断，则树顶端落在离树底部 ( ) A．4 m处 B．5 m处 C．6 m处 D．7 m处 7 x2＋22＝(x＋0.5)2 3． (2024·吉林)图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB＝AB′，AB⊥B′C于点C，BC＝0.5尺，B′C＝2尺．设AC的长度为x尺，可列方程为____________________． 8 10 4．(2024·黔西南期末)如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10 m的树顶飞到一棵高4 m的树顶上，两棵树相距8 m，则小鸟至少要飞__________m. 9 A 10 6．如图是某小区一健身中心的平面图，活动区是面积为200 m2的长方形，休息区是直角三角形且∠AED＝90°，请你求出半圆形餐饮区的面积． 11 7．如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉之间的距离AB为125 m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN为60 m，喷泉B到供水点M的距离BM为75 m．求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长． 12 解：根据题意，得MN＝60 m. 在Rt△MNB中，BN2＝BM2－MN2＝752－602＝2 025， ∴BN＝45 m， ∴AN＝AB－BN＝125－45＝80(m). 在Rt△AMN中，AM2＝AN2＋MN2＝802＋602＝10 000， ∴AM＝100 m， ∴AM＋BM＝100＋75＝175(m). 答：供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为175 m． 13 8． 用不同的方式表示同一个图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法．请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图①是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成, 请用它验证勾股定理c2＝a2＋b2； (2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝4，BC＝3，求CD的长度； 16 (3)∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴c2＝13，(b－a)2＝1， ∴a2＋b2－2ab＝1. ∵a2＋b2＝c2＝13，∴13－2ab＝1， ∴2ab＝12， ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝13＋12＝25，即(a＋b)2的值为25. (3)如图①，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，求(a＋b)2的值(a＜b). 17 ab×4＋c2 (a＋b)2＝ab×4＋c2 5．(2024·毕节期末)如图，一架长度为x m的梯子若靠墙直立时，比窗户的下沿高1 m；若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5 m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐，则x的值为 ( ) A．13 B．12 C．15 D． 解：AD的长为＝10(m). 在Rt△AED中，由勾股定理，得DE2＝AD2－AE2＝102－62＝64， ∴DE＝8 m，∴半圆形餐饮区的面积S＝π×(8÷2)2＝8π(m2). 答：半圆形餐饮区的面积为8π m2. 解：(1)如图①，大正方形的面积可以表示为c2，也可表示为4×ab＋(b－a)2， ∴c2＝4×ab＋(b－a)2， ∴c2＝a2＋b2； (2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB2＝32＋42＝25，∴AB＝5. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD， ∴CD＝＝＝； $$ 1 1． 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．(注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去) 2 4 解答下列问题： (1)示意图中，线段CE的长为__________尺，线段DF的长为__________尺； (2)设户斜长x ，则可列方程为______________________． 2 (x－4)2＋(x－2)2＝x2 (1)作高，利用勾股定理构造方程． 已知△ABC的三边长． 作法：作AD⊥BC，垂足为D. 结论：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2； 4 (2)有共边，利用勾股定理构造方程． 已知：∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. 结论：(1)CD2＝AC2－AD2＝BC2－BD2； (2)AC2＝AB2－BC2＝AD2＋CD2； (3)BC2＝AB2－AC2＝BD2＋CD2. 5 解：(1)△ABC是直角三角形． 理由如下： 在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20， ∵122＋162＝400＝202，∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形； 2．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)若P为线段AC上一点，连接BP，且BP＝CP，求AP的长． 6 (2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A＝90°. 设AP＝x，则BP＝CP＝16－x. 在Rt△ABP中，∵AB2＋AP2＝BP2， ∴122＋x2＝(16－x)2， 解得x＝3.5. ∴AP的长为3.5. 7 解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，∴BC＝4 cm. 由题意，得BP＝t cm.分两种情况进行讨论： ①当∠APB为直角时，如答图①，点P与点C重合， 即BP＝BC＝4 cm，∴t＝4； 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1 cm/s的速度移动．设移动的时间为 t s，当△ABP为直角三角形时，求t的值． 8 ②当∠BAP为直角时，如答图②，BP＝t cm， 则CP＝(t－4)cm. 在Rt△ACP中，由勾股定理，得 AP2＝AC2＋CP2＝32＋(t－4)2. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2＋AP2＝BP2， 9 解决折叠问题的关键是抓住对称性．求线段的长时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股定理列出方程，运用方程思想解决问题． 10 A 4．如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为 ( ) A．1 cm B．1.5 cm C．2 cm D．3 cm 11 6 5．如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为__________． 12 6．如图，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，求线段BN的长． 13 解：在Rt△ABC中， AC＝6 cm，BC＝8 cm， 由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100， ∴AB＝10 cm. ∵将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合， 7．如图，有一块直角三角形纸片ABC，两直角边 AC＝6 cm，BC＝8 cm，将纸片沿AD折叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，求△BDE的面积． 14 ∴AE＝AC＝6 cm，DE＝CD，∠DEB＝90°， ∴BE＝AB－AE＝10－6＝4(cm). 设CD＝DE＝x cm，则BD＝(8－x)cm. 在Rt△DEB中，由勾股定理，得 BE2＋DE2＝BD2，即42＋x2＝(8－x)2， 解得x＝3，即DE＝3 cm， 15 8．如图，正方形ABCD的边长为10 cm，在距A6 cm处将正方形折叠后展开，折痕为MN，再沿AE折叠纸片，使点B落在MN上的点F处．求BE的长． 16 解：由折叠的性质可知：BN＝AM＝6 cm， MN＝AF＝AB＝10 cm. 在Rt△AMF中，由勾股定理，得 MF2＝AF2－AM2＝102－62＝64， ∴MF＝8 cm，∴NF＝MN－MF＝10－8＝2(cm). 设BE＝x cm，则EF＝BE＝x cm，EN＝(6－x)cm. 在Rt△EFN中，由勾股定理，得EF2＝EN2＋FN2， 17 即52＋32＋(t－4)2＝t2，解得t＝. 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4或. 解：设BN＝x，由折叠的性质，可得DN＝AN＝AB－BN＝9－x. ∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝×6＝3. 在Rt△BND中，由勾股定理，得 BN2＋BD2＝ND2，即x2＋32＝(9－x)2，解得x＝4. ∴线段BN的长为4. ∴△BDE的面积为×4×3＝6(cm2). 即x2＝(6－x)2＋22，解得x＝. ∴BE的长为 cm. $$ 1 2 1．已知△ABC，AB＝5，BC＝12，AC＝13，点P是AC上的一个动点，则线段BP长的最小值是__________． 2．如图，某高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′＝2 km，BB′＝4 km，且A′B′＝8 km.要在高速公路上的A′，B′之间建一个出口P，使A，B两城镇到出口P的距离之和最短，求最短距离． 4 解：如图，作点A关于直线MN的对称点C，连接CB，交直线MN于点P，连接AP，则此时由“两点之间线段最短”可知AP＋PB的长度最短． ∵点C为点A关于直线MN的对称点， ∴CP＝AP.∴AP＋PB＝CP＋PB＝CB. 过点B作BD⊥CA，交CA的延长线于点D. ∵AA′＝2 km，BB′＝4 km，A′B′＝8 km， ∴A′C＝2 km，DB＝8 km，则CD＝6 km. 在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB2＝CD2＋BD2＝62＋82＝100， ∴CB＝10 km.即AP＋PB＝10 km. 故最短距离为10 km. 5 6 7 B 3．(2024·黔东南期中)如图，一圆柱体的底面周长为10 cm，高AB为12 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程为( ) A．17 cm B．13 cm C．12 cm D．14 cm 8 25 4．(2024·贵阳期中)如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm和2 dm，A和B是这个台阶的两个端点，点A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度为__________dm. 9 5．(教材P22复习题T11变式)如图，一只蚂蚁在长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你根据图中所示数据计算出它从A处爬到B处的最短路线长为多少． 10 解：如图①所示， AB2＝(3＋3)2＋82＝100， 如图②所示，AB2＝32＋(8＋3)2＝130， ∵100＜130，100＝102， ∴它从A处爬到B处的最短路线长为10 cm. 11 $$ 1 ❶我国古代把直角三角形中较短的直角边称为________，较长的直角边称为________，斜边称为________． ❷勾股定理：直角三角形两直角边的__________等于斜边的________．如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么______________． 勾 股 弦 平方和 平方 a2＋b2＝c2 2 【例1】如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝5，BC＝12，求CD的长． 【名师点拨】由于△ABC为直角三角形，就可先由勾股定理求出AB的长，再根据面积求出CD的长． 【学生解答】 4 25或7 【例2】如果直角三角形的两边长是3，4，那么第三边的平方是________． 【学生解答】 5 C 1．在一个直角三角形中，如果一条直角边长是2，另一条直角边长是3，那么斜边长的平方是 ( ) A．4 B．9 C．13 D．25 2．(2024·黔西南期末)在Rt△ABC中，斜边BC＝5，则AB2＋AC2＋BC2的值为( ) A．15 B．25 C．50 D．无法计算 C 2.5m 3． 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________． 7 解：(1)c2＝a2＋b2＝52＋122＝169，∴c＝13； 4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c是△ABC的三边长． (1)已知a＝5，b＝12，求c的值； (2)已知c＝25，a＝7，求b的值． (2)b2＝c2－a2＝252－72＝576，∴b＝24. 8 B 5．(2024·贵阳期中)如图，若直角三角形的两条直角边长分别为3，2，则图中阴影部分(正方形)的面积为 ( ) A．9 B．13 C．1 D．5 9 C 6．(教材P3随堂练习T1变式)(2024·六盘水期中)如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形．若正方形A，C的面积分别为400，625，则正方形B的面积是 ( ) A．10 B．25 C．225 D．500 10 解：在Rt△ABC中，由勾股定理， 得BC2＝AC2－AB2＝172－82＝225， ∴BC＝15 cm. ∴S阴影＝15×3＝45(cm2). 7．(教材P14习题T1变式)如图，以Rt△ABC的直角边BC为一边作长方形BCDE，求阴影部分的面积． 11 B 8．如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点，PM⊥OB于点M，N是射线OA上的一个动点．若OM＝4，OP＝5，则PN的最小值为 ( ) A．2 B．3 C．4 D．5 12 B 9．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，则线段AE的长为 ( ) A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 10． 若一个直角三角形的三边长分别为a，b，c，已知a2＝25，b2＝144，则c2＝_____________． 169或119 13 解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－92＝144， ∴CD＝12； 11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BC＝20，AC＝15，AD＝9. (1)求CD的长； 14 (2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得 BD2＝BC2－CD2＝202－122＝256， ∴BD＝16， ∴AB＝AD＋BD＝9＋16＝25. (2)求AB的长． 15 解：过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2－BD2＝AD2. 在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC2－CD2＝AD2. ∴AB2－BD2＝AC2－CD2， 即252－BD2＝172－(28－BD)2，∴BD＝20. ∴AD2＝AB2－BD2＝252－202＝225，∴AD＝15. 12．(教材P9习题T6变式)如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面积． 16 解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①. 在Rt△ABD中，由勾股定理， 得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝256，∴BD＝16. 在Rt△ACD中，由勾股定理， 得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9， 13． 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长． ∴BC＝BD＋CD＝16＋9＝25， ∴△ABC的周长为BC＋AB＋AC＝25＋20＋15＝60. ②当高AD在△ABC外部时，如答图②. 同理可得BD＝16，CD＝9， ∴BC＝BD－CD＝16－9＝7， ∴△ABC的周长为BC＋AB＋AC＝7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为60或42. 18 解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2， 即AB2＝52＋122＝169，∴AB＝13. ∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，即×5×12＝×13CD， ∴CD＝. ∴S△ABC＝BC·AD＝×28×15＝210. $$ 1 【例】《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD＝5尺)， 求秋千绳索OB的长度． 2 【名师点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边是解本题的关键．设OA＝OB＝x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【学生解答】 3 解：设OA＝OB＝x尺． ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺， ∴EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)， OE＝OA－AE＝(x－4)尺． 在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺． 根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102. 解得x＝14.5. 则秋千绳索OB的长度为14.5尺． B 1．如图，在水塔O的东北方向32 m 处有一抽水站A，在水塔O的东南方向24 m处有一建筑工地B，在A，B间建一条直水管，则水管的长为 ( ) A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m B 2． 如图，某超市为了吸引顾客，在超市门口离地高4.5 m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A，如图①所示．人只要移至该门铃5 m 及5 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”．如图②所示，一个身高1.5 m的学生走到D处，门铃恰好自动响起，则BD的长为 ( ) A．3 m B．4 m C．5 m D．7 m 6 3． (2024·贵阳期中)如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12 m的C处，过了1.5 s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20 m. (1)求BC的长； 7 解：(1)∵车速检测仪A处的正前方是C处，∴AC⊥BC. ∵AC＝12 m，AB＝20 m， ∴BC2＝AB2－AC2＝202－122＝256， ∴BC＝16 m. 答：BC的长为16 m； (2)这辆小汽车在BC段的速度约是多少米/秒？(结果精确到0.1) 9 C 4．(教材P14随堂练习T1变式)有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是 ( ) 10 C 5．如图，学校需要测量升旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．经测量，绳子多出的部分长度为2 m，将绳子沿地面拉直，绳子底端距离旗杆底端6 m，则旗杆的高度为 ( ) A.10 m B．9 m C．8 m D．7 m 11 6．我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m，CD＝24 m，AD＝26 m. (1)求出空地ABCD的面积； 12 (2)144×350＝50 400(元). 答：总共需投入50 400元． (2)若每种植1 m2草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 14 7．为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄, 村庄A到公路MN的距离AB为600 m．假设宣讲车P周围1 000 m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶． 解：(1)村庄能听到宣传． 理由如下： ∵村庄A到公路MN的距离AB为600 m<1 000 m， ∴村庄能听到宣传； (1)请问村庄能否听到宣传，并说明理由； 16 (2)如图，假设当宣讲车行驶到点P时开始影响村庄， 行驶至点Q时结束对村庄的影响， 则AP＝AQ＝1 000 m，AB＝600 m， 在Rt△APB中，由勾股定理， 得PB2＝AP2－AB2＝1 0002－6002＝640 000， ∴BP＝800 m，∴BP＝BQ＝800 m， 则PQ＝PB＋BQ＝800＋800＝1 600(m)，则1 600÷200＝8(min). 答：村庄总共能听到8 min的宣传． (2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200 m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 17 (2)16÷1.5＝≈10.7(m/s). 答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7 m/s. 解：(1)连接AC. ∵∠B＝90°，AB＝6 m，BC＝8 m， ∴AC2＝AB2＋BC2＝62＋82＝100，∴AC＝10 m. ∵CD＝24 m，AD＝26 m，102＋242＝262， ∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD＝×6×8＋×10×24＝144(m2)； 即空地ABCD的面积为144 m2； $$ 1 ❶如果三角形的三边长a，b，c满足_______________，那么这个三角形是直角三角形． ❷满足a2＋b2＝c2的三个__________，称为勾股数． a2＋b2＝c2 正整数 2 【例1】如图，在△ABC中，AB＝13 cm，BC＝24 cm，BC边上的中线AD＝5 cm. (1)判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由； (2)求AC的长． 解：(1)△ABD是直角三角形．理由如下： ∵BC＝24 cm，AD为中线，∴BD＝CD＝12 cm. 又∵AB＝13 cm，AD＝5 cm，∴AD2＋BD2＝AB2， ∴△ABD为直角三角形，∠ADB＝90°； 【学生解答】 (2)∵∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴△ADC为直角三角形． 由勾股定理，可得AC2＝AD2＋CD2＝52＋122＝169， ∴AC＝13 cm. D 【例2】下列几组数，为勾股数的一组是 (　　) A．1.4，4.8，5　　 B．－15，36，39 C．21，45，51 D．8，15，17 【名师点拨】判断一组数是否是勾股数需紧扣两个条件：一看是否符合a2＋b2＝c2；二看它们是否为正整数． 【学生解答】 5 A 1．(2024·贵阳期末)四根小木棒的长度分别为3，4，5，6，小星从中拿出三根为边摆三角形，摆出的三角形是直角三角形的是 ( ) A．3，4，5 B．3，4，6 C．3，5，6 D．4，5，6 垂直 2．为了增强学生的环保意识和生态意识，某中学在植树节当天组织了植树活动．如图，为了判断种的小树是否笔直，种好树后，小明从A处拉了一根2.5 m长的绳子刚好到距离树的底部2 m处，测得树干AB＝1.5 m，则小树与地面__________．(选填“垂直”或“不垂直”) 7 解：(1)不是．理由如下：∵42＋52＝41≠62， ∴△ABC不是直角三角形； 3．在△ABC中，∠A，∠B, ∠C的对边a，b，c分别为下列长度, 判断该三角形是不是直角三角形．若是, 请指出哪一个角是直角, 并说明理由． (1)a＝4，b＝5，c＝6； 8 (2)是．∠B是直角．理由如下： ∵92＋402＝412，即a2＋c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°； (2)a＝9，b＝41，c＝40； (3)a＝8k，b＝15k，c＝17k(k>0). (3)是．∠C是直角．理由如下： ∵(8k)2＋(15k)2＝(17k)2，即a2＋b2＝c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°. 9 B 4．(2024·贵阳期中)下列四组数中，是勾股数的一组是 ( ) A．0.3，0.4，0.5 B．6，8，10 C．5，11，12 D．10，20，26 10 170 5． 勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”，观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15, 17；10，24，26；12，35，37；14，48，50；…，我们发现, 当一组勾股数的勾为2m(m≥3，m为正整数)时，它的股，径分别为m2－1和m2＋1.若一组勾股数的勾为26，则径为__________． 11 A 6．(2024·黔西南期末)满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 ( ) A．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 B．∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5 C．∠A＋∠B＝∠C D．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 12 114 7．如图，有一张四边形纸片ABCD，AB⊥BC.经测得AB＝9 cm，BC＝12 cm，CD＝8 cm，AD＝17 cm，则这张纸片的面积是__________cm2. 13 8． 图①是某品牌婴儿车，图②为其简化结构示意图．根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准． 14 解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得 BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45. 在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45， ∴BC2＋CD2＝BD2， ∴∠BCD＝90°. ∴BC⊥CD. 故该车符合安全标准． 15 9． 请你观察下列四个等式： ①(22－1)2＋42＝52； ②(32－1)2＋62＝102； ③(42－1)2＋82＝172； ④(52－1)2＋102＝262. 解：(1)由题中等式的规律可得(n2－1)2＋(2n)2＝(n2＋1)2， 理由如下：等式左边＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2＝等式右边； (1)请用含n(n为正整数，且n＞1)的等式表示上面的规律，并说明理由； 17 (2)它的三边长能为勾股数． ∵35＝36－1＝62－1，把n＝6代入上式， 得(62－1)2＋(2×6)2＝(62＋1)2，即352＋122＝372， ∴它的三边长能为勾股数，为35，12，37； (2)我们知道，若三个整数能构成直角三角形的三条边长, 则称这三个数为勾股数(如：3，4，5). 现有一直角边为35的直角三角形, 它的三边长能否为勾股数？若能，请利用(1)中得出的等式算出这组勾股数；若不能，请说明理由； 18 (3)不是表达所有勾股数的关系式，如9，12，15，92＋122＝152， 9，12，15是勾股数，但并不满足上面规律的等式， 故(1)中得出的表示上面规律的等式不是表达所有勾股数的关系式． (3)(1)中得出的表示上面规律的等式，是表达所有勾股数的关系式吗？若是，请利用该关系式再写出另外两组勾股数；若不是，请举一个例子说明． 19 $$