1.1.2 空间向量的数量积运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

§1.1.2 空间向量的数量积运算 目录 考法1：求空间向量的数量积 3 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 8 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 17 考法4：利用数量积求投影向量 25 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 27 1. 空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作. 通常规定，，这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 如果，那么向量、互相垂直，记作. 2. 空间向量的数量积 (1) 空间向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做，的数量积，记作，即． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0，即. 由向量的数量积定义，可以得到: 1　 ； 2　 ； 3　 ; 4　 (当且仅当，共线时等号成立). (2) 空间向量的数量积满足如下的运算律： ； （交换律）； （分配律）. (3) 投影向量 如图1，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(图2). 如图3，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量，这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 考法1：求空间向量的数量积 方法提炼 (1) 在空间向量的数量积运算中，有①；②；③；④；⑤. (2) 根据空间向量数量积的定义:,一要注意向量的模和线段长度之间的关系;二要注意向量的夹角与向量的方向之间的关系,特别是夹角为钝角的情况,要有一定的空间观念。 (3) 长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等。 【例1.1.】 在正三棱锥中，O是的中心，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】以为基底，表示，利用向量的数量积求值. 【详解】因为为正的中心，所以， 且，， 所以. 故选：C 【例1.2.】 正方体的棱长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】因为正方体的棱长为， 所以， 故选：D. 【例1.3.】 如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案. 【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为， ， ， ， 故选：A. 【例1.4.】 如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】圆锥的结构特征辨析、空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】先求出，再利用向量的线性运算和数量积计算求解. 【详解】解：由题得, , ． 故选：B 【例1.5.】 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围，再由可得出的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以. 所以，.    故选：C. 【例1.6.】 如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 【答案】/0.25 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】利用平面向量基本定理得到，利用向量数量积运算法则和得到方程，求出答案. 【详解】长方体中，， ， ， ， 故 ， 解得或， 因为，所以满足要求，不合要求，舍去. 故答案为： 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 方法提炼 求两空间向量夹角的方法 (1) 平移法：求几何体中两个向量的夹角时，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，这样可以转化为求平面角的大小，通过解三角形得出夹角的大小。 (2) 向量法:由两个向量数量积的定义得因此求的大小可以转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,先求出的值,进而求的大小,在求时,注意结合空间图形将用其他向量表示出来,进而化简得出的值。 【例2.1.】 如图，M，N分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】连接，利用余弦定理可求得，，根据，利用向量数量积的定义和运算律求得，由向量夹角公式可得异面直线夹角余弦值. 【详解】连接， 在中，由余弦定理得： ，； 在中，由余弦定理得：； ， 故，即异面直线，夹角的余弦值为. 故选：C. 【例2.2.】 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量基本定理及其应用、直线方向向量的概念及辨析（空间中）、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据条件，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，设，易知，， 因为，所以，， 则， 又，得到， ，得到, 设和的夹角为，则, 故选：C. 【例2.3.】 如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据、，应用向量数量积的运算律及夹角公式求直线与BM所成角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 【例2.4.】 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】取，分别求得和，将与分别用表示出来，再利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，分别取，则， 且， 而 由， ， ， 设与的所成角为， 则. 故答案为：. 【例2.5.】 已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先利用空间向量的数量积运算性质求得，，关于的表达式，再由两向量夹角为钝角得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为， 所以，，， 故， ， ， 因为向量与的夹角为钝角， 所以，即， 则， 解得，即. 故答案为：. 【例2.6.】 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】根据空间向量的线性运算，结合模长公式可得，，进而根据数量积运算，由夹角公式即可求解. 【详解】在平行六面体中，四边形是平行四边形， 侧面是正方形，又是，的交点，所以是的中点， ，因为，，， 所以， 所以 ， 所以，， ， 可得,． 所以异面直线与的夹角的余弦值为, 【例2.7.】 如图，在平行六面体，中，，，，，为中点． (1)求的长度； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）设，，．由，利用向量法能求出的长． （2）由空间向量夹角公式求出与所成角的余弦值． 【详解】（1）设，，， 由已知，， 则，，， 又， ． （2）， 则， . 【例2.8.】 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．用向量法求： (1)异面直线，所成角的余弦值； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求空间向量的数量积、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）由题意确定一组基底，根据三角形的性质求得内角的余弦值，利用向量数量积的运算律以及夹角公式，可得答案； （2）由（1）选择的基底，表示出所求向量，根据向量的模长公式以及数量积的运算律，可得答案. 【详解】（1）以，，为基底，因为，分别是，的中点， 所以，，． 由题意，得， 在中，因为，，所以， 由余弦定理得． 所以， ， 则； ， 则． 因为 ， 所以， 所以异面直线，所成角的余弦值为． （2）， 所以 ． 由（1）知，，， 所以， 所以，即． 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 方法提炼 借助空间向量求两点间的距离或线段长的方法: (1) 将此线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模。 (2) 因为,所以,这是借助向量解决距离问题的基本公式。另外该公式还可以推广为. 【例3.1.】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则的长为（     ） A． B．7 C． D．9 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、已知面面角求其他量 【分析】根据式子即可求出的长为. 【详解】因为，所以， 因为二面角为，所以，即， 所以 ， 所以，即的长为. 故选：C. 【例3.2.】 如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】利用空间向量的加法的三角形法则得到，两边平方，再利用向量的数量积公式计算，开方求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以 ， ，所以与的夹角为， 因为，， 所以 ，所以，即A，D两点间的距离为. 【例3.3.】 已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】 根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律、垂直关系的向量表示求解作答. 【详解】 因为，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，， 所以 . 故选：C 【例3.4.】 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的数量积求模即可. 【详解】由图形易得， 所以， 即. 故选：A 【例3.5.】 如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量线性运算的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以， 即， 因为是棱长为6的正四面体， 所以， 故选：A 【例3.6.】 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且， 所以 ， 所以， 故选：D. 【例3.7.】 (多选)已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】由向量的线性运算和数量积的定义，化简求值. 【详解】依题意，， ，， ，故A正确； ，故B错误； ， 则，故C错误； ，故D正确； 故选：AD. 【例3.8.】 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】先将表示为，然后根据向量的数量积运算结合长度和角度求解出. 【详解】因为， 所以 ， . 故答案为：. 【例3.9.】 如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量满足，，则的最小值为 ．    【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先确定之间的数量关系，然后证明，再给出使得的例子，即可得到答案． 【详解】根据四边形是菱形，可知，从而据已知有，及 ，. 从而可以得到， 以及. ①一方面，由于，故. 这得到，又由于，故. 所以，即. 这就得到，从而. ②另一方面，取，，则 ， . 且. 所以向量满足条件，此时. 综合①②两方面，可知的最小值为. 故答案为：． 考法4：利用数量积求投影向量 【例4.1.】 已知为标准正交基底，，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．－1 C． D．－ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】利用投影向量的定义求解即可 【详解】因为，为标准正交基底， 所以在方向上的投影数量为， 故选：A 【例4.2.】 已知为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的定义求解即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故选：C 【例4.3.】 已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求投影向量 【分析】先计算，再利用公式计算即可. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量是. 故选：D 【例4.4.】 如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 方法提炼 若为非零向量，则.数量积的这一性质是证明空间中的垂直关系的重要依据. (1) 要证线线垂直,可以转化为证明两条直线的方向向量互相垂直。 (2) 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直。 (3) 对于面面垂直的问题,可以转化为证明线面垂直或线线垂直的问题。 【例5.1.】 如图，在平行六面体中，. (1)求的长； (2)求证：. 【答案】(1); (2)证明见解析. 【难度】0.65 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用，即可求出答案. （2）利用，即可证明答案. 【详解】（1） 则. （2）证明： 故. 【例5.2.】 在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【答案】证明见解析 【难度】0.85 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】设，，，则构成空间的一个基底，利用该基底表示出，证明即可． 【详解】设，，，则构成空间的一个基底， 则，， ∴， ∴，即． 【例5.3.】 如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）利用空间向量基本定理和向量的线性运算直接求解； （2）先利用向量法证明出和，再利用线面垂直的判定定理直接证明. 【详解】（1）因为， ，，， 所以，，，. （2）不妨设，， 所以 ，即， 又因为 ，即， 又，平面，平面. 所以平面. 【例5.4.】 如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，使得平面. 【难度】0.65 【知识点】向量夹角的计算、用空间基底表示向量、空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即可得； （2）分别可得，求出以及代入夹角计算公式即可得出结果； （3）假设存在使得平面，利用向量数量积为0即可解得. 【详解】（1）因为，，， 记，所以，且，， 由空间向量的线性运算法则， 可得 . （2）当时，； 所以可得，易知 又可知 . （3）假设存在使得平面，又平面， 可知，， 由（1）知，, 可得. 且 化简得，解得，满足条件. 故存在，使得平面. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ §1.1.2 空间向量的数量积运算 目录 考法1：求空间向量的数量积 3 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 5 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 7 考法4：利用数量积求投影向量 10 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 11 1. 空间向量的夹角 已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作. 通常规定，，这样，两个向量的夹角是唯一确定的，且. 如果，那么向量、互相垂直，记作. 2. 空间向量的数量积 (1) 空间向量数量积的定义 已知两个非零向量、，则叫做，的数量积，记作，即． 特别地，零向量与任意向量的数量积为0，即. 由向量的数量积定义，可以得到: 1　 ； 2　 ； 3　 ; 4　 (当且仅当，共线时等号成立). (2) 空间向量的数量积满足如下的运算律： ； （交换律）； （分配律）. (3) 投影向量 如图1，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(图2). 如图3，向量向平面投影，就是分别由向量的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，向量称为向量在平面上的投影向量，这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 考法1：求空间向量的数量积 方法提炼 (1) 在空间向量的数量积运算中，有①；②；③；④；⑤. (2) 根据空间向量数量积的定义:,一要注意向量的模和线段长度之间的关系;二要注意向量的夹角与向量的方向之间的关系,特别是夹角为钝角的情况,要有一定的空间观念。 (3) 长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体,要熟悉其结构特点,善于挖掘隐含的垂直关系或特殊角等。 【例1.1.】 在正三棱锥中，O是的中心，，则等于（   ） A． B． C． D． 【例1.2.】 正方体的棱长为，则（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 如图，各棱长都为的四面体中 ，，则向量（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例1.6.】 如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 考法2：利用数量积求角或角的余弦值 方法提炼 求两空间向量夹角的方法 (1) 平移法：求几何体中两个向量的夹角时，可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合，这样可以转化为求平面角的大小，通过解三角形得出夹角的大小。 (2) 向量法:由两个向量数量积的定义得因此求的大小可以转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,先求出的值,进而求的大小,在求时,注意结合空间图形将用其他向量表示出来,进而化简得出的值。 【例2.1.】 如图，M，N分别是二面角的两个半平面内两点，，，，，若，则异面直线，的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知在棱长为的正四面体中，，则直线和夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【例2.3.】 如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【例2.4.】 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，，且，，与所成角的余弦值为 ． 【例2.5.】 已知空间向量，则使向量与的夹角为钝角的实数的取值范围是 ． 【例2.6.】 如图，在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若是与的交点，求异面直线与所成角的余弦值. 【例2.7.】 如图，在平行六面体，中，，，，，为中点． (1)求的长度； (2)求与夹角的余弦值． 【例2.8.】 如图，在三棱锥中，，，，分别是，的中点．用向量法求： (1)异面直线，所成角的余弦值； (2)的长． 考法3：利用数量积求线段长或两点距离 方法提炼 借助空间向量求两点间的距离或线段长的方法: (1) 将此线段用向量表示,通过向量运算来求对应向量的模。 (2) 因为,所以,这是借助向量解决距离问题的基本公式。另外该公式还可以推广为. 【例3.1.】 如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，则的长为（     ） A． B．7 C． D．9 【例3.2.】 如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离. 【例3.3.】 已知，，均为空间单位向量，它们之间的夹角均为，那么（    ） A．2 B． C． D．6 【例3.4.】 如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【例3.5.】 如图，在棱长为6的正四面体中，点在线段上，且满足，点在线段上，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 如图，已知，，是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若，则（   ） A． B． C．6 D． 【例3.7.】 (多选)已知平行六面体如图所示，其中，，，线段AC，BD交于点O，点E是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.8.】 如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为 【例3.9.】 如图，平行六面体的底面是菱形，，，，若非零向量满足，，则的最小值为 ．    考法4：利用数量积求投影向量 【例4.1.】 已知为标准正交基底，，则在方向上的投影数量为（    ） A．1 B．－1 C． D．－ 【例4.2.】 已知为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知向量满足，且向量的夹角为，则在方向上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 考法5：利用数量积证明空间中的垂直关系 方法提炼 若为非零向量，则.数量积的这一性质是证明空间中的垂直关系的重要依据. (1) 要证线线垂直,可以转化为证明两条直线的方向向量互相垂直。 (2) 要证线面垂直,可以转化为证明这条直线的方向向量与平面内两条不共线的向量垂直。 (3) 对于面面垂直的问题,可以转化为证明线面垂直或线线垂直的问题。 【例5.1.】 如图，在平行六面体中，. (1)求的长； (2)求证：. 【例5.2.】 在长方体中，M是与的交点，E是上一点．若，，，利用向量法证明：． 【例5.3.】 如图，在平行六面体中，，．设，，． (1)用基底表示向量，，，； (2)证明：平面． 【例5.4.】 如图，在矩形和中，，，，，，，记. (1)将用，，表示出来； (2)当时求与夹角的余弦值； (3)是否存在使得平面？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$