1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2025-2026学年新教材高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算的核心素养. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养. 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 任务一　空间向量的夹角 (阅读教材P6，完成探究问题1) 问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉. 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 学生用书⬇第8页 微提醒　因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角. 如图，在正方体ABCD -A'B'C'D'中，求向量分别与向量，，，，的夹角. 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD -A'B'C'D'中， AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D'AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防出错. 2.对空间任意两个非零向量a，b有： (1) 〈a，b〉＝〈b，a〉； (2) 〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉； (3) 〈－a，－b〉＝〈a，b〉. 对点练1.(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(双空题)在正四面体ABCD中，与的夹角等于　　　　；与的夹角等于　　　　. 答案：(1)B　(2)120°　60° 解析：(1)因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的必要不充分条件.故选B. (2)由正四面体每个面都是正三角形可知，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°；〈，〉＝〈，〉＝60°. 任务二　空间向量的数量积 (阅读教材P6－7，完成探究问题2) 问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉. 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 1.定义：已知两个非零向量a，b，则｜a｜｜b｜cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝｜a｜｜b｜cos 〈a，b〉.规定：零向量与任意向量的数量积为 0　. 2.数量积的运算律 数乘向量与向量 数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 3.数量积的性质 向量 数量 积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：则a·b＝｜a｜·｜b｜ 反向：a·b＝－｜a｜·｜b｜ 模 a·a＝｜a｜｜a｜cos〈a，a〉＝｜a｜2，｜a｜＝，｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜ 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ＝ [微思考]　对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立.例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等. 4.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影向量 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b上的投影向量，c＝｜a｜cos〈a，b〉. 学生用书⬇第9页 (2)向量a在直线l上的投影向量 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影向量. (3)向量a在平面β上的投影向量 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量，则向量(a')称为向量a在平面β上的投影向量.向量a与向量a'的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 　　 微提醒　(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b＜0；但当a·b＜0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (链教材P7例2)如图，在长方体ABCD -A'B'C'D'中，E是AA'的中点，AA'＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·； (2)·. 解：(1)因为是长方体，而且AA'＝AD＝2， 所以〈，〉＝∠B'BC'＝45°， ｜｜＝AA'＝1，＝BC'＝＝2， 所以·＝cos＜，＞＝2×1×＝2. (2)由题意知，＝＋＋，＝＝， 所以·＝·＝－＋·＋·. 因为⊥，⊥，所以·＝0，·＝0， 所以·＝－＝－2. 变式探究 　(变条件，变结论)若P是C'D'的中点.试确定向量在直线B'C'上的投影向量，并求·. 解：因为A'B'⊥B'C'，PC'⊥B'C'，所以向量在直线B'C'上的投影向量为，故·＝＝4. 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉求解. 对点练2.(1)已知空间向量｜a｜＝，｜b｜＝5，且a与b夹角的余弦值为－，则a在b上的投影向量为(　　 ) A.－b B.b C.b D.－b (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，＝2a－2b，＝b－c，则·＝　　　　. 答案：(1)D　(2)－1 解析：(1)a在b上的投影向量为·＝·＝－·＝－b.故选D. (2)由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ＝，则·＝2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2(－－1＋)＝－1. 学生用书⬇第10页 任务三　利用数量积证明垂直问题 (链教材P10T9、T10)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点.证明：MN⊥AB. 证明：由题意可知，＝＝＝a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN(图略)， 则＝－＝＋)－. 所以·＝ ＝＝0， 所以⊥，即MN⊥AB. 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 1.证明两直线垂直：可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可. 2.证明线面垂直：需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可. 对点练3.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AB⊥AC. 因为＝＋， 所以·＝·＝·＋·＝0， 所以⊥，即AB⊥AC1. 任务四　利用数量积求夹角和模 如图，平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2. (1)求AC1的长； (2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值. 解：(1)设＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°， 因为＝－＝c－， 所以＝＝ ＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b ＝12－2×2×2×cos 60°＝8， 所以AC1＝2. (2)因为＝a＋b＋c，＝c－a， 所以·＝·＝c2－a2＋b·c－a·b＝0， 所以⊥， 所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0. 1.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 2.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 第一步：将此线段用向量表示； 第二步：用其他已知夹角和模的向量表示该向量； 第三步：利用｜a｜＝，计算出｜a｜，即得所求距离. 学生用书⬇第11页 对点练4.(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为　　　　. (2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为　　　　. 答案：(1)　(2) 解析：(1)设＝a，＝b，＝c.由题意，知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以｜｜2＝＝a2＋b2＋c2＋2＝×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以｜｜＝，即EF＝. (2)由已知得＝＋)，＝－＝－，因此｜｜＝｜＋｜＝＝，｜｜＝＝＝.又因为·＝＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 任务再现 1.空间向量的夹角.2.空间向量数量积的定义、投影向量有关定义、数量积的性质及运算律.3.利用数量积证明垂直、求夹角和模 方法提炼 转化化归法、类比法、公式法 易错警示 1.向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向.2.数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”.3.当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0 1.(多选)如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案：AD 解析：选项A、D中的向量的夹角为45°，选项B、C中的向量的夹角为135°.故选AD. 2.已知｜a｜＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影向量为(　　 ) A.2e B.－2e C.－e D.e 答案：B 解析：由题意知，｜a｜＝4，｜e｜＝1，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e上的投影向量为｜a｜cos ·＝4×(－＝－2e.故选B. 3.平行六面体ABCD -A1B1C1D1的底面是菱形，AB＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，线段AC1的长度为2，则cos∠BAD＝　　　　. 答案： 解析：因为＝＋＋，所以＝＝＋＋＋2·＋2·＋2·，因为AB＝AD＝2，AA1＝4，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，AC1＝2，所以4＋4＋16＋8cos∠BAD＋16cos 60°＋16cos 60°＝44，解得cos∠BAD＝. 4.(双空题)如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为　　　　；·＝　　　　. 答案：60°　1 解析：法一：连接A1D，PD(图略)，则∠PA1D就是所成的角，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°，因此·＝××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·＝(＋)·＝＝1.由题意可得PA1＝B1C＝，则××cos〈，〉＝1，cos〈，〉＝，从而〈，〉＝60°. 课时分层评价2　空间向量的数量积运算 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—9，每小题5分，共45分) 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案：C 解析：由题意可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选C. 2.已知空间向量a，b的夹角为60°，且＝1，＝2，那么等于(　　) A. B.2 C. D.7 答案：C 解析：由题意可得a·b＝cos 60°＝1×2×＝1，＝＝＝＝.故选C. 3.已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为(　　) A.－6 B.6 C.3 D.－3 答案：B 解析：因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，所以e1⊥e2，则e1·e2＝0.因为m⊥n，所以m·n＝0，即·＝0，所以2k－8e1·e2＋3ke1·e2－12＝0，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B. 4.如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，AA1＝2AB，H为AA1的中点，P1，P2，P3，P4分别是A1D1，D1C1，C1B1，B1A1的中点，则集合M＝{m｜m＝中元素的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：A 解析：由于AA1⊥平面A1B1C1D1，A1Pi⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1Pi.又·＝·＝·＝＋·＝(其中i＝1，2，3，4)，所以集合M中元素的个数是1.故选A. 5.(多选)下列四个结论正确的有(　　) A.对于任意两个向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b B.对于任意两个向量a，b，(3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2 C.空间中任意三个向量a，b，c 都满足·c－a·＝0 D.对于任意两个向量a，b，都有＝ 答案：AB 解析：对于A，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A正确；对于B，向量的运算满足平方差公式，所以(3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2，故B正确；对于C，若a，b，c为空间向量中的单位向量，且a，b夹角为90°，b，c的夹角为60°，则·c＝0，a·＝a，·c－a·≠0，故C错误；对于D，因为＝，故仅当cos θ＝±1时，＝，故D错误.故选AB. 6.在三维空间中，三个非零向量，，满足⊥，⊥，⊥，则△ABC是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形或锐角三角形 答案：A 解析：由题意得，·＝0，·＝0，·＝0，·＝(－)·(－)＝·－·－·＋＝｜｜2＞0，所以cos 〈CAB＝〉0，即∠CAB为锐角.同理可知∠ABC，∠BCA也为锐角.故△ABC是锐角三角形.故选A. 7.已知＝4，＝3，a·b＝－12，则a与b的夹角〈a，b〉＝　　　　. 答案： 解析：cos〈a，b〉＝＝＝－，由〈a，b〉的范围为，所以〈a，b〉＝. 8.已知空间向量a，b满足＝3，＝4且向量a，b的夹角为，则2a＋b在a方向上的投影向量为　　　　. 答案：a 解析：因为＝3，＝4且向量a，b的夹角为，所以a·b＝cos＝3×4×＝6，所以2a＋b在a方向上的投影向量为·＝·a＝a＝a. 9.如图，已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB＝4，BD＝3，AC＝5，则CD＝　　　　　. 答案：5 解析：由于AC⊥α，AB，BD在平面α内，所以AC⊥AB，AC⊥BD，又BD⊥AB， 所以·＝0，·＝0，·＝0.由于＝＋＋，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝25＋16＋9＝50，所以CD＝＝5. 10.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； (2)求AP的长. 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝－＝b－a， ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝·＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4cos 60°－3×4cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD. (2)由(1)知＝a＋b＋c， 所以＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝＝. (11—13，每小题5分，共15分) 11.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，则a与b的夹角为(　　 ) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 答案：D 解析：设a与b的夹角为θ，由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，两边平方，得a2＋2a·b＋b2＝c2.因为｜a｜＝2，｜b｜＝3，｜c｜＝4，所以4＋2×2×3cos θ＋9＝16，解得cos θ＝，即A，B，C选项均不符合cos θ＝.故选D. 12.(多选)(2024·河北张家口高二期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设＝a，＝b，＝c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是(　　) A.＝a＋b＋c B.＝ C.直线AB1和直线BC1相互垂直 D.直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 答案：ABD 解析：对于A，＝＋＋＝＋＋＝－＋＋＋－)＝＋＋，又＝a，＝b，＝c，所以＝a＋b＋c，故A正确；对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c＝，所以｜｜2＝(a＋b＋c)2＝(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)＝(3＋1＋1)＝，所以｜｜＝，故B正确；对于C、D，＝a＋c，＝c＋b－a，cos〈，〉＝＝＝＝，故D正确，C错误.故选ABD. 13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝　　　　. 答案： 解析： 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得AG＝AD，根据向量的运算法则，可得＝＋＝＋＝＋＋) ＝＋［(－)＋－)］＝＋＋)，所以＝＋＋＋2·＋2·＋2·)＝(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以＝，即OG＝.\ 14.(17分)已知长方体ABCD -A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，如图，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. (1)求·； (2)求·的取值范围. 解：(1)·＝· ＝·＋·＋·， 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 所以⊥，⊥， 即·＝0，·＝0， 因此·＝＝＝4. (2)·＝· ＝·＋·＋·＋·＋·＋·， 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ， 所以·＝0，·＝0，·＝0，·＝0， 因此·＝·＋· ＝－·， 设＝x，＝y， 0≤x≤2，0≤y≤2， 则·＝4－xy， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0， 所以0≤4－xy≤4， 故·. (15、16，每小题5分，共10分) 15.已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则· 的最大值为(　　) A.－3 B.－2 C.－1 D.0 答案：D 解析：依题意得，正方体外接球的直径＝2，设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有＝－，且＝＝，·＝(－)·(－)＝·－(＋)·＋＝－·＋＝－3，由于≤＝，所以·的最大值为0.故选D. 16.(新情境)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距(　　) A.70 m B.70 m C.90 m D.90 m 答案：A 解析：由于＝＋＋，所以｜｜2＝(＋＋)2＝｜｜2＋｜｜2＋｜｜2＋2(·＋·＋·)＝302＋(20)2＋402＋2×(0＋0＋30×40×cos 60°)＝4 900，所以｜｜＝70，故甲、乙两人相距70 m.故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $