1.1.2 空间向量的数量积运算讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的数量积运算巩固提升训练 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 【答案】A 【知识点】空间向量的有关概念、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据题意，由空间向量的相关性质以及运算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于（1），当时，与不一定平行，故（1）错误； 对于（2），空间任意两个单位向量的模长相等，方向不一定相同，故（2）错误； 对于（3），取，满足， 且，但是，故（3）错误； 对于（4），因为与都是常数，所以和表示两个向量， 若与方向不同，则与不相等，故（4）错误； 故选：A 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 3．（23-24高一下�山西大同�期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】根据数量积的运算律可求得，根据投影向量定义直接求解即可. 【详解】，，， ，， ，，. 故选：C. 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据向量加法的三角形法则得到，再利用向量模长平方的性质将展开，结合向量数量积公式计算，最后求出. 【详解】因为， 所以 ， 所以． 故选：D 5．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式计算模长即可. 【详解】已知平行四边形，，且， ，， 二面角为，，， ， ， 则，即与之间距离为. 故选：D． 6．（24-25高二上�贵州贵阳�阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】根据数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】由于，且是正四棱锥， 故，且侧面均为等边三角形， ， 故，则， 故选：C 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】用表示，再根据它们的数量积为零可求的值. 【详解】由题设有， 故， 而， 同理，， 因为为直角，故， 故，故， 故（舍）或， 故选：D. 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，根据向量的线性运算法则利用基底，，表示即可判断，对于B，由，结合模的性质及数量积的运算律求，即可判断，对于C，由基底，，表示，计算，即可判断，对于D，计算，，利用向量夹角公式求即可判断. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确， 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二�上海�随堂练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义和运算律可判断ACD；不一定等于可判断B. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，由于与的夹角不确定， 故不一定等于，故B错误； 对于C，与不一定相等，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：AD． 10．（24-25高二上�河南洛阳�阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 11．在正方体中，有下列说法，其中正确的有（    ） A． B． C．的夹角为60° D．正方体的体积为 【答案】AB 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量的加减运算法则及向量夹角的定义判断即可. 【详解】如图所示， ，故A正确； ，故B正确； 与的夹角是夹角的补角， 而的夹角为，故的夹角为，所以C错误； 正方体的体积为. 故选：AB. 【点睛】本题考查空间向量的线性运算及空间向量的夹角问题，较简单，解答时类比平面向量的解法进行即可. 三、填空题 12．在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为 ． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【详解】 故对角线的长为 13．已知空间向量满足，，，，则的值为 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】利用空间向量数量积的运算性质求解. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 14．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求空间向量的数量积 【分析】设，利用向量数量积的定义及运算法则可得，知向量在向量方向上投影数量为，进而求得其取值范围. 【详解】由已知E为棱上的动点，设， 因为， 所以 ， 所以向量在向量方向上投影数量为， 又，， ， 所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为 故答案为： 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 16．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)，， (2) (3) 【知识点】用向量解决线段的长度问题、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）利用空间向量基本定理即可； （2）利用模长公式求解即可； （3）利用向量夹角公式求解即可 【详解】（1）， ， ， （2），，， ，，， 因为 ， 所以，即的长为； （3）因为，， 同理可求得，， 又因为 ， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 17．（23-24高二上�山西太原�期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 【答案】(1) (2)证明详见解析 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求得正确答案. （2）通过证明来证得结论成立. 【详解】（1）连接，则 （2）， 所以 ， 所以.    18．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【知识点】由空间向量共线求参数或值、空间向量数乘运算的几何表示、空间向量数量积的应用 【分析】（1）先表示出，然后根据可求的表示；采用先平方再开方的方法结合数量积计算公式求解出的长度； （2）假设存在满足条件，先表示出，再根据三点共线得到对应方程组，由此可求的值. 【详解】（1）因为， ， 所以； 所以 ， 所以. （2）假设存在满足条件，所以， 因为，，三点共线，所以设， 所以， 所以，解得， 故满足条件. 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)， (2)（ⅰ）14；（ⅱ） 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）连接，取中点为，连接，结合空间向量的线性运算，以为基底表示向量即可求解； （2）确定空间基底向量的模长与数量积，结合空间向量的数量积的运算性质分别求解，，即可得结论. 【详解】（1）连接，取中点为，连接．    因为底面是正六边形，所以，即， 所以，又因为，所以． （2）由题知，， 根据，可知， 因为底面是正六边形，所以，所以． （ⅰ）． （ⅱ）因为， 所以，所以． 能力提升 1．在三棱锥中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】由向量的线性运算得到，从而说明，即可求解. 【详解】， ， ，即，所以是等腰三角形. 故选：C 2．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A． B．向量与的夹角是60° C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为 【答案】AC 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量、异面直线夹角的向量求法 【分析】选择{、、}作为一组基底，分别表示各选项中的向量，运用向量的模、向量夹角、数量积、异面直线所成角公式计算即可判断. 【详解】对于A选项，由题意可知， 则 ， ∴，所以选项A正确； 对于B选项，， 所以， ， 则， ∴向量与的夹角是，所以选项B不正确； 对于C选项，， 又因为， 所以 ， ∴，所以选项C正确； 对于D选项，设与所成角的平面角为， 因为，， 所以 ， ， ， ∴，所以选项D不正确. 故选：AC. 3．（24-25高二上�广西�期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 4．（多选）（2025高二�全国�专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】BC 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】设的中点为，连接，由，可得点在以为球心，以1为半径的球面上．又设，由题可得，据此可得答案. 【详解】设的中点为，连接，则，则， 即点在以为球心，以1为半径的球面上． 如图，因为，所以． 因为正四面体的棱长为，所以，，又， 所以．设， 则． 因为，所以． 故选：BC 5．（23-24高二上�福建福州�期中）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解 【详解】由图可知，， 则， 因为棱长为， 所以， 故集合中的元素个数为1， 故选：D. 6．（24-25高二上�全国�课后作业）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；（2）的模（表示向量、的夹角）． 在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．与共线 C． D．与正方体表面积的数值相等 【答案】C 【知识点】棱柱表面积的有关计算、线面垂直证明线线垂直 【分析】由向量外积的模的定义，代入计算，即可判断A，由线面垂直的性质定理可得，，即可判断B，由向量外积的定义，即可判断CD 【详解】对于A，设正方体的棱长为1，在正方体中，， 则． 因为，且，所以， 所以， 所以，所以A正确； 对于B，在正方形中，，又因为平面， 平面，所以．又，、平面，所以平面，因为平面，所以， 同理可证，再由右手系知，与同向，所以B正确； 对于C，由、和构成右手系知，与方向相反，又由模的定义知，， 所以，则，所以C错误， 对于D，设正方体棱长为，， 正方体表面积为，所以D正确． 故选:C． 7．（24-25高二上�浙江�期中）已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、用空间基底表示向量 【分析】根据给定条件，取定空间的基底，利用空间向量的线性运算表示向量，再利用向量数量积的运算律，结合二次函数求出最小值. 【详解】在棱长为2的正四面体中，由点M，N为棱BC，AD的中点，得， 由点E，F分别在线段AM，CN上，，令，则， 所以 ，又， ，， 故 ， 当时，，所以线段EF长度的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：取定空间的一个基底，表示向量，再利用向量运算求解. 8．（23-24高二上�湖北十堰�期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值、空间向量数量积的应用、立体几何中的轨迹问题 【分析】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得Q的轨迹是正六边形OFNEMG，根据三角形的面积公式即可求解， （2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值. 【详解】（1）因为，∴点在平面上， 如图，分别取，，的中点，    连接 因为分别为，的中点，故， 又由正方体可得，，，， 故，，故四边形为平行四边形，故， 故，故四点共面，同理可证四点共面， 故五点共面，同理可证四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4，所以正六边形的边长为， 所以点的轨迹围成图形的面积是． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 当位于时，此时在上的投影最大， 故 ， ∴的最大值为12．    2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 题型1 空间向量的数量积的运算 4 题型2 空间投影向量问题 8 题型3 空间向量的夹角问题 11 题型4 空间向量的长度，距离问题 15 题型5 利用数量积证明空间垂直关系 19 题型6 数量积的最值及取值范围问题 22 知识点一 空间向量的夹角 1．两个向量夹角的定义 如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作,,则叫做向量,的夹角,记作 2．两个向量夹角的范围 通常规定.这样两个向量的夹角是唯一确定的，且.特别地，如图， 当时，向量，同向共线； 当时，向量，反向共线； 当时，向量，互相垂直，记作 注：(1)只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，并规定与任何向量都共线，即 (2)当两个非零向量同向时，它们的夹角为，反向时，它们的夹角为,即或(,为非零向量). (3)两个非零向量的夹角是唯一确定的，.例如，在等边三角形中，,而,即 (4)作向量与的夹角时，必须使表示向量，的有向线段同起点，如,. (5)规定零向量与任意向量互相垂直，即. 知识点二 两个向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量,,则叫做,的数量积,记作.即 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 注：(1)两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，数量积的符号由两个向量夹角的余弦值决定. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与数的乘法有区别，在书写时要把它们区分开来，数量积要写成，而不能写成,也不能写成. (3)类比平面向量数量积的几何意义可知空间向量的几何意义：与的数量积，等于的长度与在的方向上的投影的乘积,或的长度与在的方向上的投影的乘积. 2．两个向量数量积的性质 (1)(为单位向量)； (2)； (3)； (4)； (5). 注：(1)借助可求出，的夹角，可用来解决几何图形中的角度问题. (2)由可推广得到, ,可用来解决几何图形中的长度问题. (3)对于非零向量，，若，则两向量所在直线相互垂直，即可用向量的数量积为零来判定两直线垂直. 3．两个向量的数量积满足的运算律 (1); (2)(交换律); (3)(分配律). 注：1.数量积的运算不满足结合律,即.三个非零实数,,,有成立,但对于三个非零向量,,,不一定成立,因为是一个实数，是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，但与却不一定共线. 2.数量积的运算也不满足消去律,不能由推出.对于实数,,,若,,则;对于向量,,,若,则不能推出，只能得出. 4．投影向量 如图1，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(图2). 如图3，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为,，得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 题型1 空间向量的数量积的运算 1．如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算： (1)； (2)； (3). 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 题型2 空间投影向量问题 5．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 8．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 题型3 空间向量的夹角问题 9．如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    10．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）二面角中，，且，若，则此二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 题型4 空间向量的长度，距离问题 14．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 16．（2024�江苏淮安�模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 17．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 18．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 题型5 利用数量积证明空间垂直关系 19．（24-25高二下�全国�课堂例题）已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 20．如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    21．如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 题型6 数量积的最值及取值范围问题 22．（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，求的取值范围． 23．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 24．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 25．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 26．（多选）已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（    ） A．正四面体外接球的表面积为 B．正四面体内切球的体积为 C．的最大值为 D．的最小值为 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算巩固提升训练 基础巩固 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽安庆·阶段练习）给出下列四个命题，其中正确的有（    ） （1）若空间向量，，，满足，，则； （2）空间任意两个单位向量必相等； （3）对于非零向量，由，则； （4）在向量的数量积运算中 A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 2．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下�山西大同�期末）已知向量满足，，且，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·阶段练习）郑国渠是秦王赢政命郑国修建的著名水利工程，先人用智慧和勤劳修筑了一道道坚固的堤坝．如图是一道堤坝的示意图，堤坝斜面与底面的交线记为l，点A，B分别在堤坝斜面与地面上，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为C，D，若，二面角的大小为，则（    ） A． B．5 C． D． 5．（24-25高二下·重庆·期中）如图，已知平行四边形且，沿对角线将折起，当二面角为时，则与之间距离为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上�贵州贵阳�阶段练习）在正四棱锥中，，为的中点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期末）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上（不含端点），，当为直角时，的值是（    ）    A．2 B．1 C． D． 8．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二�上海�随堂练习）设，为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上�河南洛阳�阶段练习）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 11．在正方体中，有下列说法，其中正确的有（    ） A． B． C．的夹角为60° D．正方体的体积为 三、填空题 12．在平行六面体中，，且所有棱长均为2，则对角线的长为 ． 13．已知空间向量满足，，，，则的值为 . 14．如图，已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，则向量在向量方向上的投影数量的取值范围为 ． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏扬州·期中）如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 16．（24-25高二上·安徽淮南·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，. (1)用，，表示，，； (2)求的长； (3)求异面直线与所成角的余弦值. 17．（23-24高二上�山西太原�期中）如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，是的中点，是的中点，记．    (1)用向量表示向量； (2)利用向量法证明：． 18．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，，设，，． (1)用向量表示向量，并求的长度； (2)设点满足，是否存在使得，，三点共线，若存在求出，若不存在请说明理由． 19．（25-26高二上·全国·单元测试）如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．    (1)用分别表示，． (2)若，，，求： （ⅰ）； （ⅱ）． 能力提升 1．在三棱锥中，，则是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 2．（多选）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（    ）    A． B．向量与的夹角是60° C．AC1⊥DB D．BD1与AC所成角的余弦值为 3．（24-25高二上�广西�期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（多选）（2025高二�全国�专题练习）已知正四面体的棱长为，空间内任一点满足，则下列关于的结论正确的是（    ） A．最小值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 5．（23-24高二上�福建福州�期中）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则集合中的元素个数是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 6．（24-25高二上�全国�课后作业）在三维空间中，定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件： ①，，且、和构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；②的模（表示向量、的夹角）． 在正方体中，有以下四个结论，其中不正确的是（    ） A． B．与共线 C． D．与正方体表面积的数值相等 7．（24-25高二上�浙江�期中）已知正四面体的边长为2，点M，N为棱BC，AD的中点，点E，F分别为线段AM，CN上的动点，且满足，则线段EF长度的最小值为 . 8．（23-24高二上�湖北十堰�期中）如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．    (1)求点Q的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2 空间向量的数量积运算 题型1 空间向量的数量积的运算 4 题型2 空间投影向量问题 8 题型3 空间向量的夹角问题 11 题型4 空间向量的长度，距离问题 15 题型5 利用数量积证明空间垂直关系 19 题型6 数量积的最值及取值范围问题 22 知识点一 空间向量的夹角 1．两个向量夹角的定义 如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作,,则叫做向量,的夹角,记作 2．两个向量夹角的范围 通常规定.这样两个向量的夹角是唯一确定的，且.特别地，如图， 当时，向量，同向共线； 当时，向量，反向共线； 当时，向量，互相垂直，记作 注：(1)只有两个非零向量才有夹角，零向量与任何向量不定义夹角，并规定与任何向量都共线，即 (2)当两个非零向量同向时，它们的夹角为，反向时，它们的夹角为,即或(,为非零向量). (3)两个非零向量的夹角是唯一确定的，.例如，在等边三角形中，,而,即 (4)作向量与的夹角时，必须使表示向量，的有向线段同起点，如,. (5)规定零向量与任意向量互相垂直，即. 知识点二 两个向量的数量积 1．数量积的定义 已知两个非零向量,,则叫做,的数量积,记作.即 特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 注：(1)两个向量的数量积，其结果是数量而不是向量，数量积的符号由两个向量夹角的余弦值决定. (2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与数的乘法有区别，在书写时要把它们区分开来，数量积要写成，而不能写成,也不能写成. (3)类比平面向量数量积的几何意义可知空间向量的几何意义：与的数量积，等于的长度与在的方向上的投影的乘积,或的长度与在的方向上的投影的乘积. 2．两个向量数量积的性质 (1)(为单位向量)； (2)； (3)； (4)； (5). 注：(1)借助可求出，的夹角，可用来解决几何图形中的角度问题. (2)由可推广得到, ,可用来解决几何图形中的长度问题. (3)对于非零向量，，若，则两向量所在直线相互垂直，即可用向量的数量积为零来判定两直线垂直. 3．两个向量的数量积满足的运算律 (1); (2)(交换律); (3)(分配律). 注：1.数量积的运算不满足结合律,即.三个非零实数,,,有成立,但对于三个非零向量,,,不一定成立,因为是一个实数，是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，但与却不一定共线. 2.数量积的运算也不满足消去律,不能由推出.对于实数,,,若,,则;对于向量,,,若,则不能推出，只能得出. 4．投影向量 如图1，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，,向量称为向量在向量上的投影向量.类似地，可以将向量向直线投影(图2). 如图3，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为,，得到向量,向量称为向量在平面上的投影向量.这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角. 题型1 空间向量的数量积的运算 1．如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】空间向量数乘运算的几何表示、求空间向量的数量积 【分析】（1）（2）根据数量积的定义可得； （3）（4）根据三角形的中位线定理先得，再利用数量积定义可得. 【详解】（1） （2） （3）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 （4）因为点，分别是，的中点，所以， 所以 2．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)16 (2)0 (3)2 【知识点】求空间向量的数量积、用空间基底表示向量 【分析】（1）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （2）将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解； （3）将用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）如图， 设，，， 则，，，. . （2） . （3） . 3．（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    【答案】 【知识点】空间共面向量定理的推论及应用、求空间向量的数量积 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，平行六面体的所有棱长均为2，两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求空间向量的数量积 【分析】设，连接，根据向量的线性运算法则，化简得到，，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为2，且两两所成夹角均为， 设，则 且， 如图所示，连接，由，， 可得， 所以. 故答案为：. 题型2 空间投影向量问题 5．已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【知识点】求空间向量的数量积、求投影向量 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，已知平面，，，则向量在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的数量积、求投影向量 【分析】根据线面垂直以及已知角度求出，再结合投影向量可求得结果. 【详解】平面ABC，则，， 向量在上的投影向量为. 故选：D. 7．（24-25高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，，．若方向上的单位向量为，则在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、空间向量数量积的概念辨析 【分析】根据题意结合垂直关系可得，，结合投影向量的定义分析求解. 【详解】因为平面平面，平面平面，平面，， 可得平面， 且平面，则， 又因为平面，平面，则， 故在方向上的投影向量为． 故答案为：. 8．（23-24高二上·河北保定·开学考试）如图，，分别是圆台上、下底面的两条直径，且，，是弧靠近点的三等分点，则在上的投影向量是（    ）.    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的概念辨析、求投影向量 【分析】作出在上的投影向量，从而求得正确答案. 【详解】如图，取在下底面的投影C，作，垂足为D. 连接，，，则，在上的投影向量是. 设上底面的半径为r，则，. 故在上的投影向量是. 故选：C    题型3 空间向量的夹角问题 9．如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．    【答案】 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解. 【详解】解：设正四面体棱长为1， 设，，，则， ∵， ∴，，. ∵，分别为，的中点，，是等边三角形， ∴，，， ∴ ． ∴与的夹角的余弦值为． 故答案为：. 10．（2025·山东枣庄·二模）已知三棱柱的各条棱长相等，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】由题意可得，根据空间向量的数量积运算求，即可得结果. 【详解】不妨设棱长为2， 由题意可知：， 因为， 则 ， 即， 且， 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 11．（24-25高二上·河南南阳·期末）二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，则该二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】由，应用向量数量积的运算律及已知可得，即可求二面角余弦值. 【详解】由，且， 得， 故，即， 所以，即二面角的余弦值为. 故选：D 12．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）二面角中，，且，若，则此二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求二面角、空间向量数量积的应用 【分析】利用二面角定义确定平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】 如图所示，根据题意知：， 又，，易知二面角的平面角即， 所以 ，即，则， 由空间向量夹角的范围知，则， 所以，即此二面角的大小为. 故选：C 13．（24-25高二下·上海嘉定·期末）如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角、求空间向量的数量积 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 题型4 空间向量的长度，距离问题 14．（24-25高二下·江苏扬州·期中）在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 15．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为，且，则线段的长度为 . 【答案】/ 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】以为基底，利用空间向量数量积的运算律计算可求得线段的长. 【详解】如下图所示： 易知， 由棱长均为，且可得， ， 因此 ， 即可得线段的长度为. 故答案为：. 16．（2024�江苏淮安�模拟预测）如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 又，， 则 ， 所以， 故选：D. 17．（2025·河北沧州·一模）如图，甲站在水库底面上的点处，乙站在水坝斜面上的点处.已知库底与水坝所成的二面角为，测得从到库底与水坝的交线的距离分别为，若，则甲，乙两人相距（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量数量积的应用、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】根据向量的线性运算，结合向量数量积的运算律可求得模长． 【详解】由已知可得，与的夹角为， 因为， 所以， 因，，， 故， 所以， 故选：B 18．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量数量积的应用 【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论； （2）利用向量模长的公式可求答案. 【详解】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 题型5 利用数量积证明空间垂直关系 19．（24-25高二下�全国�课堂例题）已知在空间四边形中，，且，，分别是，的中点，是的中点，求证：． 【答案】证明见解析 【知识点】空间向量数量积的应用、空间位置关系的向量证明 【分析】设，，，可得，，再根据数量积可得，即可得. 【详解】如图所示，连接，    设，，，， 则． 因为是的中点， 则， 且． 可得 ． 可得，所以． 20．如图所示，在正方体中，为与的交点，为的中点，求证：平面．    【答案】证明见解析 【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明 【分析】要证明平面GBD，只需证明垂直于平面GBD中的两条相交直线．易知，而中的G，O连接后的线段GO与垂直的可能性最大，故不妨尝试证明，由向量的数量积可知只需证明即可· 【详解】如图所示，连接，    设，，，则，，，． 因为， ， ， 所以 ， ， 所以，，即，． 又因为，平面，平面， 所以平面． 21．如图，棱长为a的正方体中，E，F分别为棱AB和BC的中点，为棱的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面垂直、证明面面垂直、空间向量数量积的应用 【分析】（1）由题意得，，得平面，又，即可证得结论； （2）利用空间向量得，即，又，所以平面，进而证得结论. 【详解】（1）正方体中，四边形ABCD是正方形，所以. 又平面，平面ABCD，所以，. 又因为，，平面，所以，平面. 中，E，F分别为AB，BC中点， 所以，，所以，平面. （2）正方体中，四边形是正方形， 又F、M分别为、中点， 所以，，， 所以， ， 即.① 正方体中，平面，平面，所以.② 由①②及，且，平面，所以，平面， 又平面，所以，平面平面. 题型6 数量积的最值及取值范围问题 22．（2025高二·全国·专题练习）已知正四面体的棱长为2，空间一点满足，求的取值范围． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量数量积的应用 【分析】由向量运算律可得点在以为球心、1为半径的球面上运动，由对称性结合向量数量积几何意义求解即可. 【详解】由得，，为的中点， 如图1，则点在以为球心、1为半径的球面上运动． 由于定向，故只要看在上的投影即可，由对称性，取过三点的截面， 如图2，得． 23．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 24．（24-25高一下·广西南宁·期末）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】球的截面的性质及计算、求空间向量的数量积 【分析】根据空间向量数量积运算律及定义计算求解. 【详解】取中点，可知在球面上，可得， 所以， 点在球的正方体外部（含正方体表面）运动， 当为直径时，，所以的最大值为. 故选：A. 25．（24-25高二下·福建宁德·期末）在三棱锥中，，，两两垂直，且，为的中点，为的中点，若为该三棱锥外接球上的一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】由题意设为为中点，，故问题转换为求的最大值即可. 【详解】 设三棱锥的外接球的球心为， ，，两两垂直，且，则； 三棱锥的外接球的半径为 为的中点，为的中点，，设为为中点，则 ，   ， 要使取到最大值，则必须达到最大，则、、三点要共线， 且满足，故 故选：D. 26．（多选）已知正四面体的每条棱长均为为正四面体的外接球的直径，点在正四面体的表面上运动，则下列结论正确的是（    ） A．正四面体外接球的表面积为 B．正四面体内切球的体积为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【知识点】球的体积的有关计算、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、求空间向量的数量积 【分析】把正四面体放入正方体中，通过求得正方体的外接球的半径判断A；利用等体积法求得内切球的半径判断B；设正四面体的外接球球心为，利用向量的数量积运算可得，进而可求范围. 【详解】正四面体的每条棱长均为，把这个正四面体放在一个棱长为2的正方体内， 如图所示，则其外接球直径为正方体的体对角线，由正四面体的每条棱长均为， 可得正方体的棱长为，利用勾股定理可得正方体的体对角线为， 从而可得外接球的半径，外接球的表面积为，故A正确. 由题意可得， 设正四面体的内切球半径为，所以， 解得，其体积，故B正确. 设正四面体的外接球球心为，则， .因为点在正四面体的表面上运动，所以， 则的取值范围为，所以C错误，D正确. 故选：ABD. 27．（24-25高二下·江苏南京·期中）正方体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求空间向量的数量积 【分析】建立空间直角坐标系结合空间向量及向量模长公式计算求解得出球的方程，再应用三角换元结合值域计算求解. 【详解】以为原点建立空间直角坐标系，则， 点，， 因为，所以， 化简得：，表示以为球心，半径为的球. 设， ，， 所以的取值范围为， 向量 ，故的范围为. 故选：C. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$