精品解析：广东湛江某校2024-2025学年八年级下学期第二次月考数学试题

2024-2025学年度第二学期八年级数学阶段训练题（二） （试卷共23题，范围：第16到18章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数据是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，6，7 D. 7，24，25 3. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在中，，D是的中点，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 15 D. 17 7. 如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 8. 如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 9. 已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（ ） A. 3.5 B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平行四边形中，，则___________． 12. 如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是_________． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的度数为_______．     14. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 15. 数轴上有A，B，C三点，若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，此时A就是点B与点C的“关联点”．若点A表示的数是，点B表示的数是，且B是点A与点C的“关联点”，则点C表示的数是______． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 17. 菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：，．计算： （1）； （2）． 20. “儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 21. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，且平分，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴. ∴，即. ∴， ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：___________；___________； （2）计算： ； （3）若，求的值. 23. 正方形中，点E为直线上一动点（点E不与A，B重合），连接，将沿着翻折得，延长交直线于点F，连接． （1）观察猜想：如图1，当点E在线段上时， ①______°． ②之间的数量关系为：______；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考：如图2，当点E在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图3，当点E在线段的延长线上时，过点E作，垂足为H．若，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期八年级数学阶段训练题（二） （试卷共23题，范围：第16到18章，时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意利用二次根式有意义条件列式计算即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，即， 故选：B． 2. 下列数据是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 2，3，4 C. 5，6，7 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、，不能构成直角三角形，故不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不符合题意； D、2，能构成直角三角形，且都是正整数． 故选：D． 3. 下列条件中，不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选项A不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合题意； ∵，， ∴四边形是平行四边形， 故选项D不符合题意； 由，，无法得到四边形是平行四边形， ∴选项C符合题意． 故选：C． 4. 如图，在中，，D是的中点，，则的长是（ ） A. 3 B. 6 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定和性质．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合等边三角形的判定得到等边三角形，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，，D是的中点， ∴， ∵， ∴等边三角形， ∴． 故选：A． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 根据二次根式的乘法计算判断A，再根据二次根式的化简判断BC，然后根据二次根式的加减计算判断D即可． 【详解】解：因为，所以A不正确； 因为，所以B正确； 因为，所以C不正确； 因为，所以D不正确． 故选：B． 6. 如图，菱形中，，分别是，的中点，若，则菱形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 15 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线和菱形的性质．利用三角形的中位线定理以及菱形的性质进行计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴是的中位线， ， ∴菱形的周长为． 故选：B． 7. 如图所示，四边形是正方形，点E是正方形内的一点，且为等边三角形，于点F，若，则的长是（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形为正方形，为等边三角形，，， ∴，，，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 如图所示，在的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1，则的形状描述最准确的是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．利用勾股定理分别求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上， ， ， 且， 为等腰直角三角形， 故选：C． 9. 已知正方形的边长为，面积为8；正方形的边长为，面积为32．计算的结果为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的实际应用，根据正方形的面积求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 10. 如图，在长方形中，，在上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上，设此点为F，若的面积为24，则的长度为（ ） A. 3.5 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，由矩形的性质可得，，，求出，再由勾股定理结合折叠的性质可得，，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中，， ∴，，， ∵的面积为24， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 平行四边形中，，则___________． 【答案】##130度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的基本性质．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．利用平行四边形的性质可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴，而， ∴， 故答案为：． 12. 如图，一棵大树折断后倒在地上，请按图中所标的数据，计算大树没折断前的高度的结果是_________． 【答案】18米 【解析】 【分析】先利用勾股定理可得，再根据大树没折断前的高度等于即可得． 【详解】解：在中，米，米， 则米， 所以大树没折断前的高度为（米）， 故答案为：18米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 13. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的度数为_______．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形的外角，根据矩形的性质，得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 在实数范围内定义运算“☆”：，例如：．则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，根据题意得到即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 15. 数轴上有A，B，C三点，若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，此时A就是点B与点C的“关联点”．若点A表示的数是，点B表示的数是，且B是点A与点C的“关联点”，则点C表示的数是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，二次根式的性质，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握“关联点”的定义． 【详解】解：∵，，且B是点A与点C的“关联点”， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 首先计算二次根式的乘除法，然后合并即可求解． 【详解】解： ． 17. 菊花作为“花中四君子”之一，象征着高雅和刚正不阿的品质，尤其在秋寒时节盛开，象征着坚韧不拔的精神．第十三届国际菊花展于2024年10月15日在河南开封清明上河园举办．本届菊花展有近800个菊花品种参展．为增进学生对菊花及其文化的了解，学校欲购进一批菊花盆栽放置在如图所示的区域供同学们观赏．已知，，，，．求放置菊花盆栽区域的面积． 【答案】 【解析】 【分析】该题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，根据题意求出，再根据勾股定理逆定理得出，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 则放置菊花盆栽区域的面积为： ． 18. 如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长至F，使，连接．求证：四边形是矩形 【答案】 证明：∵四边形是菱形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明其有一个内角是直角即可证明四边形是矩形； 本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】略 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 已知：，．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，代数式求值． （1）利用平方差公式计算的值； （2）先计算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴ ． 20. “儿童做学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明放风筝时手距离地面1.7米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该把线再放出多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该放出8米 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再根据，即可求解； （2）根据勾股定理可得：放出后米，即可求解． 【小问1详解】 解：∵米，米 ∴根据勾股定理可得（米）， 由题可知，米， ∴米； 【小问2详解】 解：根据勾股定理可得：放出后（米）， 即他应该放出8米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 21. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，且平分，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分，平分， ∴，， 又∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识． （1）先根据角平分线的定义得，，再根据平行四边形的性质得，推出，最后由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，对角线，交于点，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，，为中点， ∴． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ∵， ∴. ∴，即. ∴， ∴. 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： （1）填空：___________；___________； （2）计算： ； （3）若，求的值. 【答案】（1）； （2）2020 （3） 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值，完全平方公式的应用： （1）根据分母有理化法则计算； （2）根据分母有理化法则把各个二次根式化简，合并同类二次根式即可； （3）根据分母有理化把a的值化简，根据完全平方公式把原式化简，把化简后的a的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：； ． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：， ∵， ∴原式． 23. 正方形中，点E为直线上一动点（点E不与A，B重合），连接，将沿着翻折得，延长交直线于点F，连接． （1）观察猜想：如图1，当点E在线段上时， ①______°． ②之间的数量关系为：______；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考：如图2，当点E在线段的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸：如图3，当点E在线段的延长线上时，过点E作，垂足为H．若，请求出的长． 【答案】（1）①；② （2） 结论①成立；结论②不成立，应为：． 根据前面证明，得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故成立． ∵, ∴, ∴, 故结论②不成立，应为：． （3） 【解析】 【分析】（1）①根据折叠 性质，得，再证出解答即可． ②根据①的结论解答即可． （2）根据，，结合正方形的性质，三角形的周长表示法解答即可． （3）根据，结合正方形的性质，证明，设，则，利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 证明：根据折叠的性质，得， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：45． ②解：之间的数量关系为，理由如下： ∵，， ∴，， ∵, ∴, 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据问2，得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则，， 由勾股定理，得， ． 根据勾股定理，得． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，解方程，熟练掌握性质，勾股定理和解方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $