2.1 认识实数（第2课时）教案 　2025-2026学年北师大版数学八年级上册

初中数学北师大版（新课标） 第二章实数 1 认识实数 第2课时 一、教学目标 1．了解无理数的概念、实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类，领会分类的思想. 2．了解有理数的运算规律在实数范围内仍然适用. 3．了解实数和数轴上的点一一对应，能找出实数在数轴上的对应位置. 4．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，进一步体会数形结合的思想. 二、教学重难点 重点：了解无理数的概念、实数的概念和意义，能按要求对实数进行分类. 难点：利用数轴上的点来表示实数，找出实数在数轴上的对应位置. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 通过上节课的学习我们知道 在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数. 在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数. a ，b不是整数，也不是分数，是无限不循环小数. 问题：不是有理数的数都是无限不循环小数吗？ 教师活动：提出问题让学生思考，不急于给出答案. 设计意图：温故知新，作必要的知识回顾，为本节课要学习的内容作准备. 环节二：探究新知 问题：把下列各式表示成小数，你发现了什么？ 预设答案： 发现：有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 【归纳】 无理数定义：无限不循环小数称为无理数. 强调：判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数. 问题：你能找到其他的无理数吗？ 预设答案： 答案不唯一：0.2323323332…（两个2之间依次多1个3）1.41421356…，2.2360679…，3.1415926…（圆周率）等. 小结：这些数的小数位数都是无限的，又不是循环的，是无限不循环小数，这些数都是无理数. 【归纳】无理数的常见形式 主要有三种： ①一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数． ②圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． ③开方开不尽的数(下一节学到). 设计意图：回顾有理数的情况，明确有理数都可用有限小数或无限循环小数表示.为后面引出无理数的概念作准备.通过想一想加深对无理数概念的认识和理解.进一步理解无理数的概念，归纳出无理数的三种常见形式. 问题：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 3.14，- ，，0.1010001000001…（相邻两个1之间0的个数逐次加2）. 分析: ∵ 3.14是有限小数，-是分数，是无限循环小数， ∴3.14，- ，0.，是有理数. ∵0.1010001000001…是无限不循环小数， ∴根据无理数的定义，0.1010001000001…是无理数. 解：有理数有：3.14，-， ； 无理数有：0.1010001000001…. 【归纳】实数的定义： 有理数和无理数统称为实数， 即实数可以分为有理数和无理数. 追问：请你把上面各数填入下面相应的集合内. 预设答案： 设计意图：通过一个具体的题目的探究进一步加深对有理数和无理数的认识和理解，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力，进而得出实数的概念. 问题：你能类比有理数的分类对实数进行分类吗？ 预设答案： 按定义分： 按正负分 问题：有理数范围内的一些概念是否适用于实数？ 与______互为相反数；与______互为倒数；的绝对值为______；的绝对值为______. 进而可以得出： a是一个实数，它的相反数为____. 当a≠0时，那么它的倒数为____. a是一个实数，它的绝对值为____. 预设答案： 与互为相反数；与互为倒数；的绝对值为；的绝对值为. 进而可以得出： a是一个实数，它的相反数为. 当a≠0时，那么它的倒数为. a是一个实数，它的绝对值为. 结论：在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用. 设计意图：通过类比有理数的运算律，探讨实数的运算律、运算法则，明确实数和有理数一样,有完全一样的运算法则和运算律. 问题：上节课我们讨论了两个正方形，边长分别为，，且满足a2=2，b2=5. (1)如下图，OA=OB，数轴上点A对应，中的哪个数？ 预设答案：点A介于整数1和2之间，故点A于对应数a. 问题：(2)你能在数轴上找到找到另一个数对应的点吗？ 预设答案： 在数轴上数2的对应点处作长度为1的垂线段AB，连接原点O与点B，以原点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴与点2右侧一点C，则点C即为的对应点. 【归纳】实数与数轴上的点的关系： 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示.反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大. 设计意图：引导学生探讨实数和数轴上的点的对应关系.实现数与形的结合，为后续的学习打基础. 环节三：应用新知 【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0.4583， ，-π，-，18 解：有理数：0.4583， ，- ，18； 无理数：-π. 设计意图：通过例题的探究进一步加深对有理数和无理数的认识和理解，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力. 环节四：应用新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.判断下列说法是否正确： （1）所有无限小数都是无理数；( ) （2）所有无理数都是无限小数；( ) （3）有理数都是有限小数； ( ) （4）不是有限小数的不是有理数.( ) 2.面积为6的长方形，长是宽的3倍，则宽为（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.无理数 答案： 1. 答案：×，√，×，× 2.D. 解析：设长方形宽为a,则长为3a,根据长方形面积公式可得：3a2=6 ∴a2=2通过估算可得a=1.41421…，它是一个无限不循环小数，满足无理数的定义，所以宽是一个无理数. 故选 D. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$