2.1 认识实数（第1课时）教案2025-2026学年北师大版数学八年级上册

初中数学北师大版（新课标） 第二章实数 1 认识实数 第1课时 一、教学目标 1.通过拼图活动，感受无理数产生的实际背景和引入的必要性； 2.在探索无理数的过程中，体会无限逼近的思想；能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练思维判断能力. 3.通过实践活动，体会到无理数在现实生活中大量存在； 4.感受无理数的广泛性，提高学生学习的自主性. 二、教学重难点 重点：通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在 难点：能判断给出的数是否为有理数，并能说出理由. 三、教学过程设计 环节一：情境导入 问题：同学们还记得什么是有理数吗? 教师活动：提出问题让学生思考并回答，然后再给出答案. 预设答案：整数和分数统称有理数. 追问：那整数分为哪些数？分数又为哪些数呢？ 预设答案：整数分为正整数、0、负整数，分数分为正分数、负分数. 追问：有理数是如何分类的呢？ 预设答案： 提出问题：除了有理数外还有没有其他的数呢？ 设计意图：温故知新，作必要的知识回顾，便于后续问题的说理，为本节课要学习的内容作准备. 环节二：探究新知 问题：如下图是两个边长为1的小正方形，通过剪一剪、拼一拼，设法得到一个大正方形，你会吗？ 教师活动：教师课件展示两个边长为1的小正方形，让学生通过不同的方法剪一剪，再拼起来组成一个大正方形，得到相应大正方形后再探索大正方形边长究竟是什么数，进而了解到除了有理数外还存在别的数. 预设答案： 拼法一： 拼法二： 拼法三： 设计意图：以小组探究的形式，通过拼图活动，让学生感受客观世界中无理数的存在. 问题(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？ 预设答案： 分析： 一个小正方形的面积为：S小正方形=1×1=1. S大正方形=S小正方形+S小正方形=1+1=2， ∴ S大正方形=2； 根据正方形面积公式：S大正方形=a2 ∴ a2=2. 问题(2)a可能是整数吗？说说你的理由. 预设答案： 从“数”的角度： ∵ a2=2, 而12=1, 22=4， 32=9··· ∴ 12<a2<22 , 1< a< 2 ∴ a不是整数. 从“形”的角度： 在△ABC中，AC=1，BC=1，AB=a 根据三角形的三边关系，斜边AB满足： AC-BC< a<AC+BC 即0<a<2，且 a≠1，∴ a不是整数 问题(3)a可能是分数吗？并与同伴进行交流. 分析： ， ， 从上面的式子中发现：两个相同的最简分数的乘积仍然是分数，而a2=2是整数， ∴ a不是分数. 【归纳】 在等式a2=2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数. 设计意图：选取客观存在的“无理数”实例，让学生进一步深刻感受除有理数外还有别的数存在,为“新数”（无理数）的学习奠定了基础. 【思考】 问题： （1）如下图，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ （2）设该正方形的边长为b，b满足什么条件？ （3）b是有理数吗？ 预设答案： 解：(1)设直角三角形的斜边长为b， 根据勾股定理得：b2=12+22=5， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 ∴以图中直角三角形的斜边为边的正方形的面积是5. (2)∵正方形的边长为b， 根据正方形面积公式得：S正方形=b2 而S正方形=5，得出b2=5 ∴ b满足 b2=5. (3)∵b2=5，4<b2<9 ，∴ 2<b<3， ∴ b不是整数； ∵两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而b2=5是整数， ∴ b不是分数. b既不是整数，也不是分数，那么一定不是有理数. 【归纳】 a2=2 b2=5 数a，b确实存在，但都不是有理数. 问题：面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？能不能确定一下a的大致范围？ 教师活动：教师课件展示三个不同面积的正方形，让学生先通过对比的方法得出面积为2的正方形边长的大致范围，借助计算器，采用估算的方法，得到一些无理数的小数表示，从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）. 预设答案： ∵ a2=2, 而12=1, 22=4,··· ∴ 12<a2<22 , 1< a< 2, 而1.52=2.25, 2.25＞2 ∴a的值一定小于1.5 ∴a的大致范围在1~1.5之间. 问题： (1)如下图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？ 预设答案： 通过对比观察，可以直观得出：3个正方形的边长之间的大小关系为1<a<2. 问题： (2)a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？ 借助计算器探索，用表格的形式整理. 预设答案： 分析：使用计算器计算a取不同值时的平方值，整理得到表格： 预设答案： a的整数部分是1，十分位是4，百分位是1，千分位是4. 追问：还可以继续算下去吗？a可能是有限小数吗？ 通过想一想提出问题来解决该追问. 【想一想】 边长a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？a可能是有限小数吗？ 预设答案： 假如a算到某一位时，它的平方恰好等于2，即a是一个有限小数，那么它的平方一定是一个有限小数，而不可能是2，所以边长a不会算到某一位时，它的平方恰好等于2，所以a不可能是有限小数. 【做一做】 （1）估计面积为5的正方形的边长b的值（结果精确到0.1），并用计算器验证你的估计. 预设答案： 使用计算器计算a取不同值的平方值，整理得到表格： 列表格： 从表格观察可知，面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，经过计算器验证b≈2.2（结果精确到0.1） （2）如果结果精确到0.01呢？ 预设答案： 使用计算器计算a取不同值的平方值，整理得到表格： 列表格，在（1）的基础上 面积为5的正方形的边长b的值满足：b2=5，经过计算器验b≈2.24(结果精确到0.01) 结论： 在等式a2=2中，a=1.41421…，它是一个无限不循环小数. 在等式b2=5中，b=2.23606…，它是一个无限不循环小数. a ，b不是整数，也不是分数，是无限不循环小数. 设计意图：通过更多的例子，让学生熟悉求无理数近似值的估算方法，进一步体会无理数的“无限”与“不循环”的特点. 环节三：应用新知 【例1】 如图,等边三角形ABC中的边长是2，高AD为h，h可能是整数吗？可能是分数吗？ 教师活动：教师课件展示三个不同面积的正方形，让学生先通过对比的方法得出面积为2的正方形边长的大致范围，借助计算器，采用估算的方法，得到一些无理数的小数表示，从而归纳出无理数的概念（无限不循环小数）. 解：∵△ABC是等边三角形，AD ⊥BC ∴ D是BC的中点，且BC=2 ∴ BD=CD=1 在Rt△ABD中，由勾股定理得：h2=22 -12=4-1=3 ∵1< h2<4 ， ∴ 1<h<2，∴ h不是整数； ∵ 两个相同最简分数的乘积仍然是分数， 而h2=3是整数. ∴ h不是分数. ∴ h不可能是整数，也不可能是分数. 设计意图：通过例题的探究让学生进一步感受除有理数外还有别的数存在，感受无理数的广泛性. 环节四：应用新知 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段. 2.已知a2=17，则a是（ ） A.整数 B.分数 C.有理数 D.非有理数 3.以下各正方形的边长不是有理数的是( ) A.面积为25的正方形 B.面积为的正方形 C.面积为8的正方形 D.面积为1.44的正方形 答案： 1.解析：长度是有理数的线段是指：长度可以用整数与分数表示的线段. AB=1,AD=3,根据勾股定理： AE2=32+42=25,AE=5, ∴线段AB，AD，AE均为长度是有理数的线段. 根据勾股定理得：AC2=12+12=2,AC2=2，1<AC2<4 ，∴ 1<h<2，∴ AC不是整数； ∵两个相同最简分数的乘积为分数，而AC2=2是整数，∴AC不是分数. ∴AC长度不是有理数的线段. 同理可得BE,CD为长度不是有理数的 线段. 2.选D. 解析：∵ a2=17, 而42=16, 52=25， ∴ 42<a2<52 , 4< a< 5 ∴ a不是整数. ∵两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=17是整数， ∴ a不是分数. ∴ a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.所以答案选D. 3.选C. 解析：假设正方形边长为a， 选项A中面积为25的正方形的边长是5,而5是有理数,排除A选项； 选项B中面积为的正方形的边长是，而是有理数，排除B选项； 选项C中面积为8的正方形中的边长满足：S正方形=a2=8， ∵ a2=8, 而22=4, 32=9， 42=16··· ∴ 22<a2<32 , 2< a< 3 ∴ a不是整数. ∵ 两个相同最简分数的乘积为分数，而a2=8是整数， ∴ a不是分数. ∴ a既不是整数，也不是分数，一定不是有理数.所以答案选C. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五：总结归纳 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $$