1.1.3 课时1 空间向量的坐标与运算课件-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

1.1.3 课时1 空间向量的坐标与运算 第一章 作者编号：32200 作者编号：32200 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并能进行向量的线性运算与数量积运算. 2.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系. 学习目标 作者编号：32200 平面向量基本定理：如果两向量a，b不共线，那么对于平面中任意向量p，都存在唯一确定的有序数对{x，y}，使 p=xa+yb. 此时，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系. 如图，对于平面内任一向量p=xi+yj，此时(x，y)即为p的坐标. 空间向量基本定理:如果三个向量a，b，c不共面，那么对于空间中任意向量p，都存在唯一确定的有序数组{x，y，z}，使p=xa+yb+zc. 新课导入 … … … 作者编号：32200 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量. 空间向量的坐标 知识梳理 作者编号：32200 复习回顾：平面向量的坐标运算 新知探究 … … … 作者编号：32200 1.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，有 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 ＋ ＋＝_______________________ 减法 － －＝_______________________ 数乘 λ λ＝______________，λ∈R 数量积 · ·＝________________ (a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 空间向量运算的坐标表示 知识梳理 作者编号：32200 2.设＝(a1，a2，a3)，＝(b1，b2，b3)，则有 ①当≠时，∥⇔＝λ⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)⇔ ②⊥⇔·＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0； ③求模：； ④求夹角：cos<，>== 作者编号：32200 提醒 (1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0，时b，c不一定平行. (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0. 作者编号：32200 例1 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)， 求a＋b，2a·(－b)，(a＋b)·(a－b). 解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)， 2a·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝(4，－2，－4)·(0，1，－4) ＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14， 又a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2，0，－6)， ∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6) ＝2×2＋(－2)×0＋2×(－6)＝－8. 新知探究 … … … 作者编号：32200 例2 已知向量a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2). (1)求|a|；(2)求向量a与b夹角的余弦值. 解：(1)∵a＝(－4，2，4)， (2)∵a＝(－4，2，4)，b＝(－6，3，－2)， ∴a·b＝(－4，2，4)·(－6，3，－2)＝24＋6－8＝22， 新知探究 … … … 作者编号：32200 归纳总结 利用数量积求两向量夹角的步骤 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2). (1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解：(1)a－b＝(2，1，－2). ∵c∥(a－b)， 设c＝λ(a－b)，即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)， ∴c＝(2，1，－2)或c＝(－2，－1，2). 新知探究 … … … 作者编号：32200 例3 已知a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2). (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. (2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 新知探究 … … … 作者编号：32200 2.空间向量中垂直、平行向量坐标之间的关系 1.空间向量运算的坐标表示 加减、数乘、数量积 课堂总结 … … … 作者编号：32200 1.已知a＝(－3，2，5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.设向量a＝(－1，－1，1)，b＝(－1，0，1)，则cos〈a，b〉＝( ) C D 当堂检测 … … … 作者编号：32200 3.(多选)下列每组中的两个向量满足平行的是( ) A.(5，0，5)，(0，5，0) B.(0，0，1)，(0，0，3) C.(2，3，－1)，(2，3，1) D.(1，－1，2)，(－2，2，－4) 4.已知向量a＝(1，2，－1)，则下列向量与a垂直的是( ) A.(0，0，1) B.(－2，1，0) C.(1，1，2) D.(4，－1，1) BD B 当堂检测 … … … 作者编号：32200 ∴cos〈a，b〉＝eq \f(22,6×7)＝eq \f(11,21).故a与b夹角的余弦值为eq \f(11,21). ∴|a|＝eq \r(（－4）2＋22＋42)＝eq \r(36)＝6. 又∵|a|＝6，|b|＝eq \r(（－6）2＋32＋（－2）2)＝7， ∴|c|＝＝3|λ|＝3，∴λ＝±1， 解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－. A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(6),3) $$